高斯是黎曼的導(dǎo)師嗎？——AMS Notices美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通告

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在黎曼（Riemann，1826年9月17日—1866年7月20日）誕辰二百周年之際，我們不妨回顧一下他與高斯之間的關(guān)系。在學(xué)術(shù)層面，高斯和柯西為復(fù)變函數(shù)及其積分的研究奠定了基礎(chǔ)，而黎曼于 1851 年在高斯的正式指導(dǎo)下完成的博士論文，則提出了一套更為寬泛的理論。這就引出了一個(gè)顯而易見(jiàn)的問(wèn)題：高斯對(duì)黎曼博士論文的指導(dǎo)究竟有多深入？更廣泛地說(shuō)，將高斯視為黎曼的導(dǎo)師是否合理？為解答這個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，本文將帶我們回溯至 19 世紀(jì)中葉的哥廷根 —— 那個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究學(xué)派尚未興起的時(shí)代。

作者：David E. Rowe（德國(guó)約翰內(nèi)斯?古騰堡大學(xué)數(shù)學(xué)與自然科學(xué)史榮休教授）2026-1-20

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2026-1-21

1. 引言

伯恩哈德?黎曼于1850年代

圖源：Familienarchiv Thomas Schilling

伯恩哈德?黎曼（Bernhard Riemann，1826年9月17日—1866年7月20日）的名字及其學(xué)術(shù)遺產(chǎn)長(zhǎng)期以來(lái)都與哥廷根大學(xué)緊密相連，他在現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上占據(jù)著特殊地位。

人們常常將他與更為著名的卡爾?弗里德里希?高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855）相提并論，高斯于 1807 年以職業(yè)天文學(xué)家的身份前往哥廷根。

高斯于1840年

圖源：Christian Albrecht Jensen

高斯憑借發(fā)明最小二乘法躋身該領(lǐng)域，隨后僅通過(guò)三次觀測(cè)便成功定位了谷神星。作為哥廷根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，他在天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)、地磁學(xué)和純數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究贏得了科學(xué)界的廣泛贊譽(yù)。到 1830 年代，他與洪堡兄弟（亞歷山大?洪堡和威廉?洪堡）已成為德國(guó)最具影響力的學(xué)者之一 [3, 426-427]。

黎曼是高斯晚年為數(shù)不多的學(xué)生之一，但兩人的關(guān)系并不密切 [8, 213-218]。當(dāng)然，導(dǎo)師制形式多樣，但本文的標(biāo)題引發(fā)了一個(gè)問(wèn)題：在這個(gè)特殊案例中，“導(dǎo)師” 這一稱謂是否適用？在黎曼誕辰二百周年之際回望他的生平與成就，或許有人會(huì)驚訝于這個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題至今仍無(wú)定論。但顯然，答案取決于人們對(duì) “指導(dǎo)” 一詞的理解。按照當(dāng)今對(duì) “導(dǎo)師” 的定義，我們可以明確給出否定答案。

然而，這引出了一個(gè)更宏大且令人困惑的問(wèn)題：高斯對(duì)黎曼的影響究竟體現(xiàn)在哪些方面？本文僅通過(guò)幾個(gè)例子初步探討這一復(fù)雜議題，其余部分仍留待進(jìn)一步研究。黎曼數(shù)學(xué)成就的神秘之處，部分在于他對(duì)其他數(shù)學(xué)家的借鑒 —— 他極少引用他人的研究成果。有時(shí)他可能刻意隱瞞了這些信息，但在那個(gè)年代，作者并不需要詳盡地注明文獻(xiàn)來(lái)源。我們已知黎曼一生博覽群書(shū)，而且從進(jìn)入大學(xué)之初，他就潛心鉆研高斯的著作與思想 [10, 89-90]。此后，黎曼偶爾會(huì)與高斯交流，甚至有時(shí)會(huì)將高斯視為競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，尤其是在電磁學(xué)的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域。盡管兩人在物理空間上相距甚近，但高斯對(duì)黎曼的實(shí)際影響，更像是一種 “超距作用”。

根據(jù)數(shù)學(xué)譜系項(xiàng)目（MGP，Mathematics Genealogy Project）的記錄，高斯共有 15 名學(xué)生，伯恩哈德?黎曼便是其中之一。該項(xiàng)目數(shù)據(jù)顯示，在登記在冊(cè)的 30 多萬(wàn)名數(shù)學(xué)家中，超過(guò)三分之一是 C?F?高斯的學(xué)術(shù)后裔。其中，通過(guò)黎曼傳承的學(xué)術(shù)后裔約有 4000 人。這一統(tǒng)計(jì)基于黎曼有兩名學(xué)生的假設(shè)，其中挪威數(shù)學(xué)家卡爾?安東?比耶克內(nèi)斯（Carl Anton Bjerknes）據(jù)稱通過(guò)索菲斯?李（Sophus Lie）與埃利?嘉當(dāng)（élie Cartan）存在學(xué)術(shù)淵源（盡管嘉當(dāng)從未在萊比錫求學(xué)）。比耶克內(nèi)在哥廷根曾短暫師從黎曼和古斯塔夫?狄利克雷（Gustav Dirichlet），但并未留在當(dāng)?shù)毓プx博士學(xué)位。因此，黎曼實(shí)際的博士研究生數(shù)量很可能為零。

無(wú)論統(tǒng)計(jì)多么嚴(yán)謹(jǐn)，這類數(shù)據(jù)在諸多方面都可能具有誤導(dǎo)性。顯然，自 1950 年左右起，它們?yōu)楹饬垦芯繉W(xué)派的規(guī)模與傳播范圍提供了一種有意義的方式。誠(chéng)然，現(xiàn)代意義上的導(dǎo)師制起源更早，但根據(jù)伯恩德?斯圖姆費(fèi)爾斯（Bernd Sturmfels）和肯?奧諾（Ken Ono）近期的觀點(diǎn)，導(dǎo)師制更多是一門(mén)藝術(shù)而非科學(xué) [18, 11]。然而，若將這一概念進(jìn)一步追溯至 19 世紀(jì)中葉，則會(huì)面臨諸多問(wèn)題，需要謹(jǐn)慎處理相關(guān)量化信息。

從歷史角度來(lái)看，正如比爾?克拉克（Bill Clark）在其趣味研究 [3] 中所描述的，現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究學(xué)派的根源可追溯至更早的傳統(tǒng)。由于極具個(gè)人魅力的學(xué)者發(fā)揮著關(guān)鍵作用，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的這一特征尤為顯著。無(wú)論是傳統(tǒng)意義上作為研究學(xué)派非正式領(lǐng)袖的 “博士生之父”（Doktorvater），還是近年來(lái)的 “博士生之母”（Doktormutter），其背后的神秘感長(zhǎng)期以來(lái)極具吸引力 —— 盡管這些學(xué)術(shù)譜系對(duì)高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)嶋H的學(xué)術(shù)影響揭示甚少。

事實(shí)上，數(shù)學(xué)研究學(xué)派直到 19 世紀(jì)后三分之一時(shí)期才真正以清晰的形式出現(xiàn)。在伯恩哈德?黎曼所處的時(shí)代，它們尚未成為數(shù)學(xué)界公認(rèn)的組成部分。此外，當(dāng)時(shí)的博士培養(yǎng)與導(dǎo)師制度也與如今大相徑庭。本文主要旨在闡明高斯與黎曼人生軌跡交匯的那段短暫時(shí)期里，哥廷根的學(xué)術(shù)環(huán)境狀況。

2. 黎曼的學(xué)生時(shí)代（1846-1851）

格奧爾格?弗里德里希?伯恩哈德?黎曼是一名路德教牧師與其妻子的六個(gè)孩子中的老二，其母親出身于漢諾威的一個(gè)名門(mén)望族。黎曼一家的孩子們?cè)诳瞬鞔宓哪翈熥≌L(zhǎng)大，該村如今仍是德國(guó)北部易北河以西偏遠(yuǎn)地區(qū)的一部分。黎曼的父親曾在哥廷根攻讀神學(xué)，他熱切期望兒子日后能繼承自己的事業(yè)。

和黎曼家的所有孩子一樣，伯恩哈德最初由父親在家中輔導(dǎo)學(xué)業(yè)。13歲受堅(jiān)信禮后，他前往漢諾威投奔外祖母，并在當(dāng)?shù)氐奈睦碇袑W(xué)就讀。1842年外祖母去世后，黎曼轉(zhuǎn)至呂訥堡的另一所古典文理中學(xué)，該校離家鄉(xiāng)更近。他在這所學(xué)校遭遇了諸多困難，但也有幸得到數(shù)學(xué)老師康斯坦丁?施馬爾富斯（Constantin Schmalfuss）的賞識(shí)，后者發(fā)現(xiàn)了他非凡的數(shù)學(xué)天賦。

有時(shí)會(huì)有這樣的說(shuō)法（例如維基百科）：是高斯說(shuō)服黎曼放棄在哥廷根的神學(xué)研究，轉(zhuǎn)而投身數(shù)學(xué)。若這樣的對(duì)話確實(shí)發(fā)生過(guò)，我愿意承認(rèn)高斯配得上 “黎曼導(dǎo)師” 這一稱號(hào)，但這需要確鑿的證據(jù)，而非僅僅是傳說(shuō)。更合理的情況是，黎曼在哥廷根求學(xué)的第一年，與高斯并無(wú)實(shí)質(zhì)性的交流。不久之后，他便前往柏林學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) —— 當(dāng)時(shí)柏林的課程設(shè)置比哥廷根先進(jìn)得多。誠(chéng)然，黎曼最初注冊(cè)神學(xué)專業(yè)是為了遵從父親的意愿，但黎曼牧師早已知道兒子一心渴望研究高等數(shù)學(xué)，最終欣然應(yīng)允了他的請(qǐng)求。

黎曼早期的導(dǎo)師正是施馬爾富斯，而施馬爾富斯恰好也是呂訥堡文理中學(xué)的校長(zhǎng)。在該校的最后一年，黎曼給父親寫(xiě)了一封信：

“我現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)的渴望和興趣與日俱增，施馬爾富斯也認(rèn)為我應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；當(dāng)然，僅為了獎(jiǎng)學(xué)金，我會(huì)以神學(xué)專業(yè)學(xué)生的身份在這里參加考試，并在哥廷根注冊(cè)神學(xué)專業(yè)，但我必須自己決定在那里真正要做什么，否則無(wú)論在哪個(gè)領(lǐng)域，我都無(wú)法取得像樣的成就。”[9, 92-93]

持有古典文理中學(xué)畢業(yè)文憑（Abitur）—— 即通過(guò)嚴(yán)苛的最終綜合考試后獲得的證書(shū) —— 的畢業(yè)生，通常可以在德國(guó)任何一所大學(xué)攻讀任意專業(yè)。盡管這些大學(xué)有各自的章程，且由德國(guó)各州分別管理，但在多個(gè)方面卻出奇地一致。其校歷基于兩個(gè)學(xué)期，中間由兩個(gè)宗教節(jié)日隔開(kāi)。冬季學(xué)期通常在米迦勒節(jié)（9月29日）后兩周開(kāi)始，春季在復(fù)活節(jié)前不久結(jié)束。夏季學(xué)期前的假期約為一個(gè)月，之后授課期從 4 月持續(xù)至 8 月。

許多學(xué)生選擇就讀多所大學(xué)，因?yàn)檗D(zhuǎn)學(xué)僅需極少的行政手續(xù)。這些大學(xué)的另一共同特點(diǎn)讓轉(zhuǎn)學(xué)過(guò)程更為簡(jiǎn)便：沒(méi)有課程成績(jī)，也無(wú)需參加考試或提交書(shū)面作業(yè)。這種極端形式的 “學(xué)習(xí)自由”（Lernfreiheit）很容易被濫用，而且事實(shí)也確實(shí)如此；但對(duì)于那些求知若渴的學(xué)生而言，這一制度為少數(shù)年輕人提供了探索新思想的難得機(jī)會(huì)，不過(guò)如果他們未能迅速適應(yīng)，也可能一事無(wú)成。黎曼在給家人的信中透露，他厭惡文理中學(xué)的刻板規(guī)章，因此大學(xué)這種自由的學(xué)術(shù)氛圍對(duì)他而言，無(wú)疑是一座學(xué)術(shù)天堂。

高斯成長(zhǎng)于王室宮廷及其資助人主導(dǎo)的時(shí)代，這一環(huán)境賦予了他截然不同的視角。1830 年至 1837 年間，他與物理學(xué)家威廉?韋伯展開(kāi)了富有成效的合作，彼時(shí)他的學(xué)術(shù)生涯已成果斐然。然而，在 1837 年這個(gè)關(guān)鍵年份，一切突然發(fā)生了變化。維多利亞女王登基后，漢諾威不再與英國(guó)保持君合國(guó)關(guān)系。新任漢諾威國(guó)王恩斯特?奧古斯特（Ernst August）立即廢除了前任國(guó)王幾年前頒布的相對(duì)自由的憲法。作為公職人員，哥廷根大學(xué)的教員曾宣誓效忠該憲法，其中幾位認(rèn)為自己受誓言約束，不應(yīng)違背。

圖3：哥廷根七君子

1837年漢諾威王國(guó)七名哥廷根大學(xué)教授抗議國(guó)王廢除憲法的政治事件

上：格林兄弟（威廉及雅克布·格林，法學(xué)、德語(yǔ)學(xué)者）

中：威廉·愛(ài)德華·阿爾布雷希特（Wilhelm Eduard Albrecht，國(guó)家法學(xué)者）、

弗里德里希·克里斯托弗·達(dá)爾曼（Friedrich Christoph Dahlman，歷史學(xué)者）、

格奧爾格·哥特弗利德·格維努斯（Georg Gottfried Gervinus，文學(xué)史學(xué)者）

下：威廉?韋伯（Wilhelm Weber，物理學(xué)者）和海因里希?埃瓦爾德（Heinrich Ewald，東方語(yǔ)言學(xué)者，數(shù)學(xué)王子高斯的女婿）

圖源：wikimedia

包括韋伯和高斯的女婿海因里希?埃瓦爾德（圖3右下）在內(nèi)的七位知名學(xué)者公開(kāi)抗議國(guó)王的決定。國(guó)王的回應(yīng)是解雇這七位學(xué)者，并將其中三位他認(rèn)為是 “哥廷根七君子” 領(lǐng)袖的人驅(qū)逐出境。許多人疑惑為何高斯保持沉默 —— 知情者知道他對(duì)這些解雇決定深感失望，但他不愿 “恩將仇報(bào)”，因?yàn)樗宄约翰贿^(guò)是一名 “宮廷顧問(wèn)”（Hofrat），國(guó)王極少會(huì)征求他的意見(jiàn)，尤其是在這場(chǎng)激烈的政治沖突中。

這一事件后，哥廷根大學(xué)的入學(xué)人數(shù)急劇下降。在1820年代，入學(xué)人數(shù)一直維持在 1400 人左右，但到 1846年4月黎曼入學(xué)時(shí)，學(xué)生人數(shù)已降至 560 人，盡管高斯在校任教，卻很少有學(xué)生前來(lái)攻讀數(shù)學(xué)專業(yè)。作為新生，黎曼顯然并不了解 “哥廷根七君子” 事件后，這所大學(xué)在學(xué)生人數(shù)和士氣方面遭遇的急劇下滑。

在那個(gè)時(shí)代，哥廷根大學(xué)仍只有四個(gè)學(xué)院，這一結(jié)構(gòu)可追溯至中世紀(jì)。它們包括傳統(tǒng)的高級(jí)學(xué)院 —— 神學(xué)院、法學(xué)院和醫(yī)學(xué)院 —— 以及規(guī)模遠(yuǎn)超其他三個(gè)學(xué)院的哲學(xué)院。只有正教授（Ordinarien）有權(quán)管理各自學(xué)院的內(nèi)部事務(wù)。這些正教授大多是年長(zhǎng)男性，享有 “宮廷顧問(wèn)” 的榮譽(yù)頭銜。在這一群體中，高斯宮廷顧問(wèn)（Hofrat Gauss）理所當(dāng)然地備受尊崇，但他僅教授天文學(xué)和大地測(cè)量學(xué)相關(guān)課程。1846年，哥廷根大學(xué)共有 37 位正教授：神學(xué)院 5 位、法學(xué)院 6 位、醫(yī)學(xué)院 9 位、哲學(xué)院 17 位。他們的名字按資歷順序列在課程目錄的末尾，旁邊還有其他頭銜較低的教員名單。需要說(shuō)明的是，正式注冊(cè)課程的學(xué)生需直接向教員支付學(xué)費(fèi)。學(xué)生最多可注冊(cè) 6 門(mén)課程，且通常在試聽(tīng)后再?zèng)Q定是否注冊(cè)。黎曼的興趣極為廣泛，因此他難以抉擇該注冊(cè)哪 6 門(mén)課程。

在哥廷根的第一年，他選修了高斯開(kāi)設(shè)的最小二乘法、莫里茨?亞伯拉罕?施泰因（Moritz Abraham Stern）開(kāi)設(shè)的定積分，以及高斯的弟子本杰明?戈德施密特（Benjamin Goldschmidt）教授的地磁學(xué)課程。除此之外，黎曼在哥廷根還選修了各類其他課程，而在柏林攻讀第二、三年時(shí)，他幾乎全身心投入數(shù)學(xué)和物理學(xué)的學(xué)習(xí)。

在柏林，黎曼從古斯塔夫?狄利克雷、C?G?J?雅可比（C.G.J. Jacobi）和戈特霍爾德?艾森斯坦（Gotthold Eisenstein）開(kāi)設(shè)的課程中，學(xué)到了大量高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的前沿研究成果。他還師從氣象學(xué)家海因里希?多夫（Heinrich Dove）和天文學(xué)家弗朗茨?恩克（Franz Encke）。

不上課時(shí)，黎曼常常泡在圖書(shū)館研讀最新文獻(xiàn)，包括多部法國(guó)出版物。他對(duì)柯西在復(fù)變函數(shù)及其積分方面的開(kāi)創(chuàng)性研究尤為感興趣。但最重要的是，他繼續(xù)深入鉆研高斯的著作，這進(jìn)一步強(qiáng)化了他對(duì)高斯和狄利克雷傳統(tǒng)下勢(shì)論的興趣。

1849年回到哥廷根后，黎曼的興趣轉(zhuǎn)向了物理學(xué)和哲學(xué) [2]。他加入了教學(xué)研討班，以及施泰因于 1850 年創(chuàng)辦的新數(shù)學(xué)與物理學(xué)研討班。海因里希?里特（Heinrich Ritter）和赫爾曼?洛采（Hermann Lotze）開(kāi)設(shè)的課程，加深了他對(duì)形而上學(xué)和自然科學(xué)方法論的興趣。他還認(rèn)為化學(xué)家弗里德里希?維勒（Friedrich W?hler）開(kāi)設(shè)的課程極具價(jià)值。

與此同時(shí)，韋伯已重返哥廷根大學(xué)任教 —— 無(wú)論在學(xué)術(shù)上還是個(gè)人層面，這對(duì)黎曼而言都是一件幸事。事實(shí)上，與高斯關(guān)系密切的威廉?韋伯和地質(zhì)學(xué)家沃爾夫?qū)?薩托里烏斯?馮?瓦爾特豪森（Wolfgang Sartorius von Waltershausen），后來(lái)幫助籌集資金，使黎曼在生命的最后幾年得以大部分時(shí)間待在意大利。

除了師從韋伯，黎曼還選修了僅比他年長(zhǎng)兩歲的古斯塔夫?馮?昆圖斯 - 伊西利烏斯（Gustav von Quintus-Icilius）開(kāi)設(shè)的課程。昆圖斯 - 伊西利烏斯于 1847 年在哥廷根獲得博士學(xué)位，1849 年在韋伯的指導(dǎo)下完成教授資格論文（Habilitation），之后擔(dān)任韋伯在物理研究所的助理，無(wú)疑與黎曼有過(guò)定期交流。

在講述黎曼的學(xué)術(shù)生涯時(shí)，我們需要意識(shí)到，當(dāng)時(shí)許多年輕人都獲得了博士學(xué)位。然而，要在德國(guó)大學(xué)獲得正式學(xué)術(shù)職位，博士學(xué)位持有者還需通過(guò)教授資格認(rèn)證（Habilitation），這一程序由哲學(xué)院負(fù)責(zé)。在黎曼所處的時(shí)代，這一 “成人禮” 相當(dāng)于獲準(zhǔn)加入一個(gè)小圈子 —— 當(dāng)時(shí)哥廷根大學(xué)哲學(xué)院的正教授不足 20 人。黎曼獲得博士學(xué)位后，高斯也負(fù)責(zé)指導(dǎo)他的教授資格認(rèn)證，而黎曼在這位 “數(shù)學(xué)王子” 于 1855 年 2 月去世前幾個(gè)月才完成該認(rèn)證。本文重點(diǎn)關(guān)注與黎曼博士學(xué)位相關(guān)的事件，最后將簡(jiǎn)要談?wù)劯咚乖诶杪淌谫Y格認(rèn)證過(guò)程中所扮演的角色。

3. 黎曼的哲學(xué)博士學(xué)位（Dr. Phil.）晉升

長(zhǎng)期以來(lái)，博士學(xué)位（哲學(xué)博士 Dr. Phil. 是現(xiàn)代博士學(xué)位 PhD 的前身）由高級(jí)學(xué)院（神學(xué)院、法學(xué)院和醫(yī)學(xué)院）授予，而基礎(chǔ)文科與哲學(xué)院僅授予碩士學(xué)位。哥廷根大學(xué)打破了這一傳統(tǒng)，這一變革始于克里斯蒂安?戈特洛布?海涅（Christian Gottlob Heyne）的學(xué)術(shù)生涯。海涅是希臘神話領(lǐng)域的多產(chǎn)專家，1763 年至 1812 年去世前一直擔(dān)任詩(shī)歌與雄辯術(shù)教授（當(dāng)然，授課語(yǔ)言為拉丁語(yǔ)和希臘語(yǔ)！）。

正是在這一時(shí)期，哲學(xué)博士（Dr. Phil.）學(xué)位首次在哥廷根大學(xué)確立，且大多數(shù)該學(xué)位授予古典語(yǔ)言學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域的學(xué)生。在 18 世紀(jì)的最后三十年里，共有 40 名學(xué)生獲得了哲學(xué)博士學(xué)位 [3, 506-507]。其中有 4 位候選人提交的博士論文涉及數(shù)學(xué)領(lǐng)域，而在1790年代，有 3 人因在數(shù)學(xué)科學(xué)史領(lǐng)域的研究獲得博士學(xué)位。這些論文無(wú)疑是在博學(xué)家亞伯拉罕?戈特黑爾夫?凱斯特納（Abraham Gotthelf K?stner）的指導(dǎo)下完成的，高斯在 1790年代中期曾聽(tīng)過(guò)他的課程。

到了19世紀(jì)初的幾十年，博士學(xué)位的授予數(shù)量有所增加，但部分學(xué)位無(wú)需提交博士論文即可獲得。在這種情況下，候選人通過(guò)公開(kāi)辯論（Disputation）的表現(xiàn)獲得晉升 —— 他們需要針對(duì)（通常是）兩位對(duì)手提出的反駁，為自己的論點(diǎn)辯護(hù)。從中世紀(jì)開(kāi)始，公開(kāi)辯論就一直扮演著核心角色，即便到了 19 世紀(jì)，候選人通常仍需用拉丁語(yǔ)進(jìn)行辯論 [3]。

不過(guò)，通常情況下，獲得哲學(xué)博士（Dr. Phil.）學(xué)位的第一步是提交一篇約 50 頁(yè)、據(jù)稱包含原創(chuàng)研究的博士論文。若論文被學(xué)院認(rèn)可，候選人便可進(jìn)入博士學(xué)位授予程序的下一階段。現(xiàn)在，讓我們聚焦伯恩哈德?黎曼這位特殊候選人 —— 他的博士論文題目為《單復(fù)變函數(shù)一般理論的基礎(chǔ)》（英文譯為

Foundations of a General Theory of Functions of a Variable Complex Quantity

1851年11月14日，黎曼向哲學(xué)院院長(zhǎng)申請(qǐng)參加博士學(xué)位的最終口試。除博士論文 [13] 外，他還提交了正式的申請(qǐng)表和個(gè)人簡(jiǎn)歷 —— 根據(jù)學(xué)院規(guī)定，這兩份文件均需用拉丁語(yǔ)撰寫(xiě)。黎曼提交申請(qǐng)的院長(zhǎng)是東方語(yǔ)言學(xué)家海因里希?埃瓦爾德，他娶了高斯的女兒明娜（Minna）。埃瓦爾德也是 “哥廷根七君子” 之一，因此在1837年失去了哥廷根大學(xué)的教授職位。但與物理學(xué)家威廉?韋伯一樣，他后來(lái)獲準(zhǔn)重返哥廷根。

收到黎曼的文件后第二天，埃瓦爾德寫(xiě)信通知學(xué)院的正教授們：

“我在此向各位尊敬的同事呈上一位新的博士學(xué)位候選人 —— 來(lái)自布雷瑟倫茨的 B?黎曼先生的論文；懇請(qǐng)宮廷顧問(wèn)高斯先生對(duì)該論文發(fā)表意見(jiàn)，若論文合格，煩請(qǐng)確定口試的合適日期和時(shí)間。該候選人希望參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域的口試。其申請(qǐng)表和簡(jiǎn)歷中的拉丁語(yǔ)晦澀難懂，幾乎難以忍受；不過(guò)，在語(yǔ)言類學(xué)科之外，目前我們很難期望有人能寫(xiě)出更好的拉丁語(yǔ)，即便像這位候選人這樣有意進(jìn)入大學(xué)任職的人也不例外。”[12, 45]

我們稍后便會(huì)看到，黎曼對(duì)埃瓦爾德教授作為管理者的評(píng)價(jià)也好不到哪里去。

11月24日，伯恩哈德寫(xiě)信給弟弟威廉，告知事情的進(jìn)展。與此同時(shí)，高斯已閱讀完黎曼的博士論文并提交了評(píng)審意見(jiàn)。黎曼還得知其他所有教員均已簽字同意，因此院長(zhǎng)將口試時(shí)間定在12月1日（周一）。黎曼在信中還提到了不久前與高斯的一次談話中，高斯所說(shuō)的一些令人費(fèi)解的話。這次會(huì)面顯然發(fā)生在高斯向?qū)W院提交評(píng)審意見(jiàn)前不久。

“周六我見(jiàn)到高斯時(shí)，他還未閱讀我的論文，但他告訴我，多年來(lái)他一直在準(zhǔn)備一篇論文（目前仍在撰寫(xiě)中），其主題與我所研究的主題相同，或至少部分相同。事實(shí)上，52年前他在自己的博士論文中就已表明，打算撰寫(xiě)這一主題的論文。我尚未聽(tīng)到他對(duì)我的研究成果的評(píng)價(jià)…… 不過(guò)，從其他人的評(píng)論中（我認(rèn)為這些評(píng)論并非單純的客套話），我必須得出結(jié)論：他對(duì)我的工作是滿意的。”[9, 104]

顯然，黎曼有機(jī)會(huì)與幾位看過(guò)高斯簡(jiǎn)短評(píng)審意見(jiàn)的教員交流，這無(wú)疑讓他在口試前松了一口氣。

盡管黎曼的博士論文是在沒(méi)有高斯指導(dǎo)的情況下完成的，但仍深受高斯的影響。在論文中，他引用了兩部著作 —— 關(guān)于保角映射的文獻(xiàn) [5] 和關(guān)于曲面內(nèi)蘊(yùn)幾何的文獻(xiàn) [6] 第13節(jié) —— 這兩部著作對(duì)黎曼曲面理論都至關(guān)重要。黎曼在哥廷根的第一年就試圖獲取第一篇論文，但未能成功；直到后來(lái)在柏林求學(xué)期間，他才有機(jī)會(huì)閱讀該論文。我們不難想象，作為哥廷根的一名新生，他絕不敢向高斯求助。當(dāng)他想從大學(xué)圖書(shū)館借閱專著時(shí)，總是通過(guò)高斯的助手本杰明?戈德施密特申請(qǐng)書(shū)面授權(quán)。

事實(shí)上，高斯對(duì)黎曼的博士論文給出了如下簡(jiǎn)短評(píng)價(jià)，表示認(rèn)可：

“黎曼先生提交的論文充分證明，作者在該主題所屬領(lǐng)域進(jìn)行了深入透徹的研究，展現(xiàn)出勤奮、真正的數(shù)學(xué)研究精神，以及值得稱贊的、富有成效的自主性。論文表述嚴(yán)謹(jǐn)簡(jiǎn)潔，部分內(nèi)容甚至頗具美感；不過(guò)，大多數(shù)讀者可能希望部分章節(jié)的結(jié)構(gòu)能更加清晰易懂。整篇論文是一項(xiàng)有價(jià)值的杰出成果，不僅完全達(dá)到了博士論文通常要求的標(biāo)準(zhǔn)，還遠(yuǎn)超這些標(biāo)準(zhǔn)。”[12, 47]

高斯向來(lái)吝于稱贊，因此這番話分量十足 —— 即便他對(duì)論文內(nèi)容未置一詞。巧合的是，黎曼的第一篇發(fā)表論文在其關(guān)于阿貝爾函數(shù)的里程碑式研究 [14] 問(wèn)世后，才獲得更廣泛的關(guān)注，在該研究中，他直接引用了自己的博士論文 [13]。正如高斯所預(yù)料的那樣，大多數(shù)讀者認(rèn)為黎曼的博士論文難度極大，部分原因在于其創(chuàng)新性。該論文給出了解析函數(shù)的新定義，通過(guò)黎曼曲面描述了它們的基本性質(zhì)，利用后來(lái)被稱為狄利克雷原理的方法證明了解析函數(shù)的存在性，并最終證明了黎曼映射定理。簡(jiǎn)而言之，這是一篇在復(fù)分析這一近乎全新的領(lǐng)域中極具原創(chuàng)性的作品，而高斯和柯西都為復(fù)分析領(lǐng)域做出了基礎(chǔ)性貢獻(xiàn)。

人們通常強(qiáng)調(diào)，黎曼對(duì)覆蓋曲面的運(yùn)用為單復(fù)變函數(shù)領(lǐng)域開(kāi)辟了新的天地 —— 該領(lǐng)域在很大程度上要?dú)w功于柯西及其追隨者的工作 [1, 131-213]。核心問(wèn)題在于如何處理多值函數(shù)，這促使柯西和夏爾?埃爾米特（Charles Hermite）設(shè)計(jì)出基于曲線的方法，有效對(duì)復(fù)平面進(jìn)行分割。柯西的 “割線”（lignes d’arrêt）使得函數(shù)在這些割線之外的不同區(qū)域有了多種取值確定方式。

而黎曼的構(gòu)想則靈活得多：他采用了一個(gè)覆蓋在復(fù)平面上的連通曲面，使得對(duì)于復(fù)平面上除分支點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，曲面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的葉數(shù)與函數(shù)值的個(gè)數(shù)一致。這些葉在分支點(diǎn)處相互連接，形成一個(gè)與函數(shù)取值確定方式相對(duì)應(yīng)的連通曲面。在博士論文的結(jié)尾部分，黎曼僅簡(jiǎn)要提及了這一一般構(gòu)想，并承諾將在后續(xù)場(chǎng)合進(jìn)一步展開(kāi)論述。六年后，他通過(guò)發(fā)表論文 [14] 兌現(xiàn)了這一承諾。

前文引用的11月24日的信件明確表明，高斯并未參與黎曼博士論文題目的指導(dǎo)，而且在那個(gè)時(shí)代，這種指導(dǎo)也不符合常規(guī)。戴德金（Richard Dedekind）在撰寫(xiě)黎曼的傳記時(shí)，顯然借鑒了這封信的內(nèi)容，他寫(xiě)道：黎曼是在論文提交后、口試前不久才與高斯討論自己的研究成果的 —— 口試中，高斯擔(dān)任數(shù)學(xué)考官，韋伯擔(dān)任物理考官。黎曼曾告知恩里科?貝蒂（Enrico Betti），高斯曾與他探討過(guò)如何通過(guò)曲面的橫割來(lái)推導(dǎo)其連通性，這與黎曼在博士論文中的做法一致。

或許貝蒂誤解了這番話，他在給普拉西多?塔爾迪（Placido Tardy）的信中稱，黎曼是從高斯那里首次學(xué)到這一方法的 [19]。戴德金補(bǔ)充道，黎曼隨后了解到 “高斯長(zhǎng)期以來(lái)一直在準(zhǔn)備一篇關(guān)于同一主題的論文，但該論文肯定不僅限于這一主題”[4, 545]。除非有人在高斯未發(fā)表的論文中發(fā)現(xiàn)黎曼曲面一般概念的痕跡 —— 這并非完全不可能 —— 否則這番話很可能也是基于誤解。

現(xiàn)在，讓我們回到后續(xù)事件，這些事件有助于我們明確：在黎曼所處的時(shí)代，獲取博士學(xué)位的儀式與如今的慣例有著天壤之別。哲學(xué)院整體負(fù)責(zé)授予博士學(xué)位，參與這一程序的教授會(huì)從國(guó)家（此處為漢諾威州政府部門(mén)）獲得服務(wù)報(bào)酬。應(yīng)院長(zhǎng)的要求，高斯提出了口試的可能時(shí)間，這些時(shí)間得到了其他簽字教員的認(rèn)可：91歲的古典語(yǔ)言學(xué)家克里斯蒂安?威廉?米切爾利希（Christian Wilhelm Mitscherlich）、礦物學(xué)家弗里德里希?豪斯曼（Friedrich Hausmann）、哲學(xué)家海因里希?里特、古典考古學(xué)家卡爾?弗里德里希?赫爾曼（Karl Friedrich Hermann）、歷史學(xué)家格奧爾格?魏茨（Georg Waitz）、古典語(yǔ)言學(xué)家兼圖書(shū)館員卡爾?赫克（Karl Hoeck），以及物理學(xué)家威廉?韋伯。這九人代表了半數(shù)正教授，其成員構(gòu)成顯然僅基于資歷。值得注意的是，古典語(yǔ)言學(xué)家的人數(shù)眾多，這與他們?cè)谡軐W(xué)院長(zhǎng)期占據(jù)的主導(dǎo)地位一致。

口試原定于12月3日舉行，黎曼本以為口試后便可回家與家人慶祝。他曾申請(qǐng)豁免公開(kāi)辯論這一古老習(xí)俗，但很快得知申請(qǐng)被駁回。12月13日，他在給威廉的信中發(fā)泄了自己的不滿：

“不幸的是，負(fù)責(zé)我博士學(xué)位事宜的院長(zhǎng)（埃瓦爾德教授）是一個(gè)極其迂腐且愛(ài)找麻煩的人；我提交手稿后，他讓我等了五個(gè)多星期，而正常流程只需兩周左右。我的口試最終在八天前的周三舉行。現(xiàn)在他又要求我進(jìn)行公開(kāi)辯論，盡管哲學(xué)院已經(jīng)有十年沒(méi)有舉行過(guò)公開(kāi)辯論了…… 為了避免進(jìn)一步拖延，我只好同意，今天終于收到通知，他將公開(kāi)辯論的時(shí)間定在 12 月 16 日。”[9, 104-105]

黎曼的憤怒其實(shí)有些不合時(shí)宜，因?yàn)榘Ｍ郀柕轮皇窃诼男幸幻惫毴藛T的職責(zé)，他認(rèn)為無(wú)法規(guī)避法定要求。此外，高斯也獨(dú)立得出了相同的結(jié)論。只有韋伯支持豁免黎曼的正式辯論，但他支持黎曼申請(qǐng)的理由聽(tīng)起來(lái)可能相當(dāng)奇怪：韋伯認(rèn)為，這位候選人可能無(wú)法在朋友中找到愿意擔(dān)任對(duì)手的人。

這種情況會(huì)讓學(xué)院陷入尷尬境地，不得不指定對(duì)手。然而，高斯不為所動(dòng)：“沒(méi)有公開(kāi)辯論，就不能算是真正的博士。” 他進(jìn)一步指出，黎曼不久后希望成為編外講師（Privatdozent）。由于教授資格認(rèn)證條例規(guī)定，此前未通過(guò)拉丁語(yǔ)正式辯論的申請(qǐng)者，需在認(rèn)證過(guò)程中完成該環(huán)節(jié)，因此高斯認(rèn)為此時(shí)豁免這一要求毫無(wú)意義 [12, 47-48]。

4. 黎曼的公開(kāi)辯論（Disputation）

黎曼或許從未知曉，是高斯投下了關(guān)鍵一票，駁回了他的申請(qǐng)；而且，我們也不太可能知曉12月16日公開(kāi)辯論中他的對(duì)手是誰(shuí) —— 他最終成功挺過(guò)了這場(chǎng)考驗(yàn)。由于沒(méi)有關(guān)于黎曼公開(kāi)辯論過(guò)程的記錄留存，那天實(shí)際發(fā)生了什么在很大程度上（盡管并非完全）只能靠我們想象。院長(zhǎng)埃瓦爾德向政府部門(mén)提交的最終報(bào)告盡可能簡(jiǎn)潔（粗略譯文）：“伯恩哈德?黎曼因其在印刷論文中展現(xiàn)出的在數(shù)學(xué)和物理科學(xué)領(lǐng)域的非凡學(xué)識(shí)，通過(guò)了口試和公開(kāi)辯論，獲得認(rèn)可。”

起初，黎曼似乎計(jì)劃提出六個(gè)論點(diǎn)，準(zhǔn)備在正式辯論中辯護(hù)。值得注意的是，其中不少于五個(gè)論點(diǎn)涉及物理主題。此外，這五個(gè)論點(diǎn)均反映了黎曼對(duì)當(dāng)時(shí)各類主流觀點(diǎn)和技術(shù)進(jìn)展的強(qiáng)烈批判態(tài)度 [17, 1902: 112-113]：

（1）磁流體并不存在。

（2）法拉第的 “曲線感應(yīng)” 理論站不住腳。

（3）可逆擺（英文中稱為凱特?cái)[）并非測(cè)定秒擺長(zhǎng)度（用于測(cè)量當(dāng)?shù)氐厍蛑亓铀俣龋┑淖罴逊椒ā?/strong>

（4）能量守恒理論尚未得到充分的實(shí)驗(yàn)證明。

（5）電學(xué)理論中的電壓概念尚未得到足夠清晰的界定。

黎曼可能與合作密切的韋伯討論過(guò)這些論點(diǎn)，甚至可能是韋伯建議他轉(zhuǎn)而辯護(hù)自己在博士論文中倡導(dǎo)的復(fù)分析一般方法。考慮到韋伯曾對(duì)黎曼能否找到一個(gè)或多個(gè)對(duì)手（通常是已獲得或未獲得博士學(xué)位的同學(xué)）表示懷疑，他很可能認(rèn)為這是最佳方案。無(wú)論如何，黎曼在哥廷根的遺物中，有一份包含三個(gè)拉丁語(yǔ)論點(diǎn)的公開(kāi)辯論草稿，所有論點(diǎn)均涉及博士論文第12節(jié)中提出的復(fù)解析函數(shù)的性質(zhì)。

黎曼論文中的另一份文件明確表明，這些論點(diǎn)正是他在公開(kāi)辯論中辯護(hù)的內(nèi)容。在該文件中，他通過(guò)將自己的解析函數(shù)定義與另外兩種定義（其中一種由柯西提出）進(jìn)行對(duì)比，簡(jiǎn)要指出了核心爭(zhēng)議點(diǎn)。有趣的是，奧古斯丁?路易?柯西（Augustin Louis Cauchy）的名字僅在此處出現(xiàn)，而在博士論文本身中并未提及。

圖4：戴德金轉(zhuǎn)錄的黎曼公開(kāi)辯論文本

哥廷根大學(xué)圖書(shū)館藏黎曼手稿（Cod. Ms. B. Riemann 13），第 100r 頁(yè)

以下譯文源自理查德?戴德金的轉(zhuǎn)錄本（圖4）；該轉(zhuǎn)錄本可在哥廷根數(shù)字化中心（GDZ）在線獲取：（Cod. Ms. B. Riemann 13, 100r, 100v）。

“我為博士學(xué)位撰寫(xiě)的論文旨在為單復(fù)變函數(shù)的一般理論奠定基礎(chǔ)，并非出于論戰(zhàn)目的。然而，由于該論文也旨在為當(dāng)前的學(xué)術(shù)爭(zhēng)論提供素材，因此有必要強(qiáng)調(diào)其中一些觀點(diǎn) —— 這些觀點(diǎn)與一些公認(rèn)的知名學(xué)者提出的主張相悖。

第一個(gè)爭(zhēng)議點(diǎn)涉及‘單復(fù)變函數(shù)’這一術(shù)語(yǔ)的定義。

在我的論文中，我給出了如下定義：若復(fù)數(shù)量 w 隨復(fù)數(shù)量 z 變化，且微商 dw/dz 的值與微分 dz 的取值無(wú)關(guān)，則稱 w 為 z 的函數(shù)。”

在論文 [13] 的第4節(jié)中，他證明了這一定義導(dǎo)出了著名的柯西 - 黎曼微分方程—— 這是函數(shù)在某一區(qū)域內(nèi)解析（全純）的必要條件。然而，他認(rèn)為這些方程構(gòu)成充分條件的假設(shè)，還需要額外的條件支持 [1, 266]。為了明確這是一種本質(zhì)上的新構(gòu)想，黎曼列舉了兩種對(duì)立的復(fù)函數(shù)定義：

“第一種定義認(rèn)為，變量 z=x+yi 的函數(shù) w 具有這樣的性質(zhì)：dw/dz 與 dz 無(wú)關(guān)。但這一性質(zhì)并未被視為該概念定義的一部分。相反，人們依賴先前已證明的定理 —— 該定理聲稱，a+b 的函數(shù)對(duì) a 的微商等于對(duì) b 的微商。

第二種定義將復(fù)數(shù)量 w（通常為特定類型）視為隨 z=x+yi 任意變化的函數(shù)。這一觀點(diǎn)由柯西提出，他是法國(guó)學(xué)者中首位廣泛研究復(fù)數(shù)量理論的人。他在巴黎科學(xué)院最近的一次會(huì)議上提交關(guān)于皮瑟（Puiseux）某部著作的報(bào)告時(shí)提出了這一觀點(diǎn)，并在后續(xù)的多次演講中進(jìn)一步闡述了該觀點(diǎn)。

在這兩種理解單復(fù)變函數(shù)概念的方式中，第一種與我的定義相反：它承認(rèn)我用于定義該概念的性質(zhì)，但不將其視為定義的一部分；而第二種則根本不認(rèn)為復(fù)函數(shù)具有這一性質(zhì)。”

在此背景下，值得注意的是，黎曼的博士論文以連續(xù)實(shí)值函數(shù)的松散定義開(kāi)篇。他的著作編輯在其手稿中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)更精確的表述，并將其印在論文的注釋中 [17, 1876: 46]：

“‘在 z=a 到 z=b 之間，量 w 隨 z 連續(xù)變化’這一表述的含義是：在該區(qū)間內(nèi)，z 的無(wú)窮小變化對(duì)應(yīng) w 的無(wú)窮小變化；或者更具體地說(shuō)，對(duì)于任意給定的量 ε，總能找到一個(gè)量 α，使得當(dāng) z 的鄰域區(qū)間小于 α 時(shí)，w 的任意兩個(gè)值之差永遠(yuǎn)不大于 ε。”

當(dāng)然，這正是我們熟知的、通常歸功于魏爾斯特拉斯（Weierstrass）的連續(xù)性定義的一種略顯繁瑣的表述。黎曼補(bǔ)充說(shuō)明，連續(xù)函數(shù)在各處都是有限的。

最后，我們不妨回顧一下黎曼給弟弟的信中提到的：哥廷根哲學(xué)院已有整整十年沒(méi)有舉行過(guò)拉丁語(yǔ)正式辯論了。無(wú)論這一說(shuō)法是否屬實(shí)，我們或許可以推測(cè)，黎曼的辯論是最后幾次此類辯論之一。他很可能沒(méi)有用拉丁語(yǔ)長(zhǎng)篇大論，這無(wú)疑會(huì)讓埃瓦爾德教授感到安心。

遺憾的是，我們并不清楚黎曼是否真的面臨一個(gè)正式的對(duì)手，與他展開(kāi)辯論。考慮到他所辯護(hù)的論點(diǎn)具有很強(qiáng)的技術(shù)性，這場(chǎng)辯論很可能會(huì)顯得刻意做作，而韋伯的觀點(diǎn)或許最終占了上風(fēng) —— 只不過(guò)是以這種折中的方式。正如我們所見(jiàn)，論文答辯并非當(dāng)時(shí)博士學(xué)位的要求之一，但黎曼的公開(kāi)辯論與后來(lái)德國(guó)大學(xué)及其他地區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)程序有諸多相似之處。

總結(jié)這一案例中的正式流程，我們可以看出，高斯無(wú)疑是核心人物。然而，他是與哲學(xué)院常設(shè)的博士委員會(huì)共同行事的。該委員會(huì)由九位正教授組成，代表了幾乎所有學(xué)科，他們均認(rèn)同高斯的簡(jiǎn)短評(píng)價(jià)。隨后，他們商定了黎曼口試的合適時(shí)間，由高斯負(fù)責(zé)數(shù)學(xué)部分的口試，韋伯負(fù)責(zé)物理部分的口試。兩周后，黎曼成功為其在公開(kāi)辯論中提出的論點(diǎn)進(jìn)行了辯護(hù)。

然而，他是否與對(duì)手（如果存在的話）用拉丁語(yǔ)進(jìn)行了辯論，這一點(diǎn)仍值得懷疑。簡(jiǎn)而言之，黎曼通過(guò)提交合格的書(shū)面作品、通過(guò)數(shù)學(xué)和物理學(xué)口試，以及以改良版的傳統(tǒng)拉丁語(yǔ)公開(kāi)辯論形式向?qū)W術(shù)界公開(kāi)亮相，滿足了哲學(xué)院對(duì)哲學(xué)博士（Dr. Phil.）學(xué)位的要求。另一方面，他獲得的這一學(xué)位在很大程度上只是一種榮譽(yù)象征。像黎曼這樣希望成為德國(guó)大學(xué)教職候選人的人，還需經(jīng)歷另一項(xiàng)考驗(yàn) —— 教授資格認(rèn)證（Habilitation）程序。對(duì)于希望申請(qǐng)?jiān)撜J(rèn)證的哲學(xué)博士（Dr. Phil.）持有者，最短等待時(shí)間為兩年。

教授資格認(rèn)證（Habilitation）包括提交一篇博士后論文（Habilitationsschrift），一段時(shí)間后，再就學(xué)院選定的主題發(fā)表一篇演講（Habilitationsvortrag）。與博士論文不同，黎曼的博士后論文 [15] 直到他去世后才得以發(fā)表。該論文探討的問(wèn)題是他在柏林聽(tīng)狄利克雷的課程時(shí)了解到的，即找出一個(gè)函數(shù)能夠用無(wú)窮三角級(jí)數(shù)表示的充分必要條件。當(dāng)他向?qū)W院提交這篇論文時(shí)，高斯再次被要求發(fā)表評(píng)審意見(jiàn)。這一次，高斯的表述更為簡(jiǎn)潔：“該論文充分展現(xiàn)了作者深厚的學(xué)識(shí)、出色的判斷力和獨(dú)立研究能力，完全符合其預(yù)期目的。”（哥廷根大學(xué)哲學(xué)院 1854 年院長(zhǎng)檔案，SUB G?ttingen）。

至于黎曼的演講，高斯著名地要求他以《論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》（

On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry