推翻150年數學直覺：數學家燒壞幾臺筆記本，解決幾何拓撲難題

機器之心編譯

這是一次數學理論與計算機算力結合的勝利。

設想一下，如果我們的天空總是被一層厚厚的不透明云層所遮蔽，既看不見星星，也無法從上方俯瞰我們的星球，我們還能發現地球是圓的嗎？

答案是肯定的。通過測量地面上特定的距離和角度，我們就能確定地球是一個球體，而不是平面或者甜甜圈狀。即使沒有衛星照片也能做到。

數學家們發現，這種情況在更普遍的二維曲面中也經常成立：只需要曲面上相對少量的局部信息，就足以推斷出其整體形態，也就是由局部唯一確定整體

然而在某些例外情況下，這些有限的局部信息可能對應著不止一種曲面。在過去的 150 年里，數學家們一直在致力于整理這些特例：即那些通常只能定義一種曲面，實際上卻描述了多種曲面的局部測量數據。但他們能找到的唯一例外并不是像球體或甜甜圈那樣規整、封閉的曲面。相反，這些曲面要么向某個方向無限延伸，要么擁有某種「邊緣」。

沒有人能找到一個打破這一規律的封閉曲面，似乎根本就不存在這樣的特例。也許，這類曲面總是可以通過常規的局部信息被唯一確定。

如今，數學家們終于發現了一個尋覓已久的特例。在去年 10 月發表的一篇論文中，三位研究人員，包括柏林工業大學的 Alexander Bobenko、慕尼黑工業大學的 Tim Hoffmann 以及北卡羅來納州立大學的 Andrew Sageman-Furnas，描述了一對非常扭曲的封閉曲面，它們雖然擁有相同的局部信息，卻具有完全不同的全局結構

• 論文標題：Compact Bonnet pairs: isometric tori with the same curvatures
• 論文地址：https://link.springer.com/article/10.1007/s10240-025-00159-z

這一發現耗費了該團隊數年的辛勞、幾臺因運算過熱的筆記本電腦，以及一個來自幾何學看似無關領域的意外線索。

幾何學中的異類

數學家們有各種各樣的方法來局部地描述一個曲面，但其中兩種尤為有用。

其中一種方法捕捉的是關于曲面「外在」曲率的信息，即在曲面上任選一點，你可以沿著無限多的方向計算曲面在空間中的彎曲程度，也就是所謂的曲率。只關注那些能得到最大和最小曲率值的方向，然后取這兩個值的平均數，得到的數值被稱為「平均曲率」。你可以計算曲面上任意給定點的平均曲率，從而更好地理解它是如何置于周圍空間之中的。

另一種測量方法捕捉的是關于曲面「內蘊」曲率的信息，這是一種不依賴于曲面所在外部空間的幾何屬性。試想一張平整的紙，你可以把它卷成圓柱管而不必拉伸或撕裂它。如果紙上兩點之間由一條曲線連接，那么這條曲線在圓柱上的長度將保持不變。這意味著這張紙和圓柱體擁有相同的「度量」，即距離的概念。

但如果你試著把這張紙包在球體上，情況就不再是這樣了。你不得不拉伸、剪開或弄皺這張紙，點與點之間的曲線長度也會隨之改變。因此，這兩個曲面擁有不同的度量。

1867 年，法國數學家 Pierre Ossian Bonnet 證明，如果你知道一個曲面上每一點的度量和平均曲率，通常就足以確定該曲面的形態。當然，只是「通常」。但「通常」并不代表「總是」，正是這種不確定性讓數學家們心癢難耐。

Pierre Ossian Bonnet

在 Bonnet 提出證明后的 150 年間，數學家們發現了各種違背這一規律的曲面。這些曲面擁有相同的度量和平均曲率，卻不具備相同的全局結構。

但所有這些曲面都屬于數學家口中的「非緊致」曲面。它們不像球體、甜甜圈以及其他「緊致」曲面那樣能夠完美地閉合。相反，非緊致曲面可能向某個方向無限延伸（如平面或圓柱面），或者擁有突然中斷的邊緣（如同從一個更大的形狀上裁下來的一塊）。

緊致曲面受到的限制則更多，它們必須滿足各種約束條件，才能自身回轉并完美閉合。因此，認為它們或許能被其度量和平均曲率唯一確定，似乎是合乎情理的推測。

1981 年，數學家 Blaine Lawson 和 Renato de Azevedo Tribuzy 證明，對于球體及任何與其拓撲等價的曲面，即任何沒有孔洞的緊致曲面。這一推測確實成立。

而當涉及到帶有一個孔洞的緊致曲面（即拓撲學上的「環面」，類似于甜甜圈）時，情況多了一點回旋余地。數學家們證明，給定的度量和平均曲率最多只能對應兩個不同的環面

然而，從來沒有人找到過這種「緊致 Bonnet 對」的實例。因此在幾十年間，學界普遍認為環面與球體一樣，給定的度量和平均曲率只能定義唯一的環面

「很長一段時間里人們都對此深信不疑，」杜克大學的 Robert Bryant 說道，「因為他們造不出任何反例。」

但是，他們錯了。

像素化的世界

過去 20 年里，Alexander Bobenko 一直在啃那些「數學甜甜圈」。21 世紀初，他曾試圖證明緊致 Bonnet 對確實存在。但當他意識到這個問題絕非幾個月就能解決時，便將其暫時擱置，轉而專注于他認為能更快取得進展的問題。

他轉向了一個看似與 Bonnet 問題毫不相干的數學領域，但這恰恰成了最終解開謎題的關鍵。

Bobenko 開始思考「離散」曲面，這有點像是光滑曲面經過像素化處理后的低分辨率版本。數學家之所以研究離散曲面，是因為它們不僅本身具有重要的幾何性質，而且在計算機科學、物理學、工程學等領域也有著廣泛的實際應用。

要構建一個離散曲面，需要選取有限數量的點，并用線段將它們連接起來，形成一個由平面構成的形狀。通過選擇不同的點，可以用不同的方式來表示同一個光滑曲面。例如，下面就是幾種表示球體的方式：

有些離散曲面能比其他的更好地進行表征。近二十年來，Bobenko 和他的長期合作伙伴 Tim Hoffmann 一直致力于建立一套理論，旨在利用離散曲面盡可能保留光滑曲面最顯著的幾何特征。

2010 年代，當時還是哥廷根大學博士生的 Andrew Sageman-Furnas 加入了這項工作，并將 Bonnet 問題重新帶回了討論之中。

Sageman-Furnas 對漁網等編織材料的力學機制很感興趣，這些材料本質上就是離散曲面，這也吸引他進入了離散數學領域。在此過程中，他提出了 Bonnet 問題的一個離散版本：局部信息在什么情況下能唯一確定一個離散曲面，又在什么情況下不能

通過調整一種已知的生成 Bonnet 定理反例的方法，Sageman-Furnas 與他的導師 Max Wardetzky 以及 Hoffmann 一起，找到了一套在離散情形下構造反例的「配方」

與光滑情形一樣，這些反例也總是非緊致的。但由于離散曲面并不包含無限多個點，因此利用計算機對其進行研究是可行的。Sageman-Furnas 不禁設想，是否可能利用計算機的「暴力求解」法，在離散幾何的世界里找到一對緊致 Bonnet 對？如果確實如此，那么離散情形或許也能為解決光滑情形下的問題指明方向。

于是，他作為 Bobenko 研究組的博士后研究員來到柏林，加入了 Bobenko 和 Hoffmann 的行列，并著手開展工作。

曲面探尋之旅

2018 年春，Sageman-Furnas 開始通過計算機搜尋一種特殊的曲面，這種曲面可以被轉化為一個 Bonnet 對，就像是用「老面」作為基底能烘焙出各種不同的面包一樣。這個作為「引子」的曲面，類似于他讀研期間用來構建離散 Bonnet 對的那些曲面。但這一次，他要求它必須是一個環面。也就是說，它必須是緊致的，且帶有一個或多個孔洞。

Hoffmann 回憶稱，Sageman-Furnas 消失了數周，甚至可能數月。當這位年輕的數學家終于再次現身時，他找到了他一直在尋覓的東西：一個長滿尖刺的形狀，與其說像環面，倒不如說更像是一只折紙犀牛。

「犀牛」。

但它確實是一個環面。根據 Sageman-Furnas 的計算機程序，它具備生成 Bonnet 對所需的所有其他屬性。更重要的是，當 Sageman-Furnas 在計算機上生成這些 Bonnet 對時，它們也都是環面。從犀牛形狀到 Bonnet 對的變換似乎并沒有將犀牛形狀扭曲成非緊致曲面。這些曲面始終保持緊致。

「當你開始進行計算探索和設計時，」Sageman-Furnas 說道，「你可以得到一些遠超出你想象的新例子。」

但這會不會好得令人難以置信？計算機程序會產生舍入誤差：Sageman-Furnas 的犀牛形狀可能看起來符合所需的標準，它生成的 Bonnet 對也可能看起來是環面，但這都可能只是假象，是微小計算誤差造成的假象。如果沒有嚴格的證明，數學家們無法確定。

「他來了，給我們展示了一些看起來很奇怪的幾何物體，看起來很像是數值計算產生的垃圾，」Bonnet 說。「開玩笑地說，我對整個項目最寶貴的貢獻可能就是當時我說了一句：『我見過更糟糕的。』」

Andrew Sageman-Furnas（左）、Tim Hoffmann（中）和 Alexander Bobenko（右）構建了一對新的形狀，從而解決了一個長期存在的猜想。

雖然花了一些時間，但 Hoffmann 和 Sageman-Furnas 最終確信這個「犀牛」形狀值得認真研究。如果能夠找到這樣一個離散的 Bonnet 對的例子，那么光滑曲面的情況或許也并非毫無希望。Hoffmann 和 Sageman-Furnas 在那個夏天里仔細研究這個犀牛形狀，尋找線索，有時一次視頻通話就長達八到十二個小時，尋找可能有助于他們縮小光滑 Bonnet 環面搜索范圍的特殊性質和幾何約束。

到了九月，他們終于找到了一個非常有希望的新線索，這讓 Bobenko 重新投入到他幾十年前放棄的這個問題中。

閉合環路

線索與沿著犀牛邊緣環繞的特定線條有關。

這些線條已知可以提供關于犀牛曲率的重要信息 —— 描繪出它彎曲和折疊程度最大和最小的方向。由于犀牛是一個存在于三維空間中的二維表面，數學家們原本預計這些線條也會在三維空間中勾勒出路徑。但實際上，它們總是位于平面或球面上。這些排列如此巧合的可能性微乎其微。

「這讓我們覺得一定有什么特別的事情正在發生，」Sageman-Furnas 說道。這太不可思議了。

與離散表面不同，光滑表面沒有邊緣。但你仍然可以繪制「曲率線」，描繪出最大和最小彎曲的路徑。Sageman-Furnas、Bobenko 和 Hoffmann 決定尋找一個光滑的犀牛類比物，其曲率線同樣被限制在平面或球面上。也許一個具有這些特性的初始表面可以產生光滑的 Bonnet 環面。

但這樣的表面是否存在尚不清楚。

然后博本科意識到，一個多世紀前，法國數學家讓?加斯頓?達布就幾乎已經提出了數學家們現在需要的東西。

達布提出了生成具有正確曲率線的表面的公式。問題是，他的公式無法生成閉合的曲率線。相反，它們「看起來像螺旋線，并延伸到無窮遠，」Bobenko 說。「不可能讓它們閉合。」這意味著雖然曲率線可能位于平面和球面上，但整個表面不會是環面。

經過多年的努力，數學家們 —— 結合使用紙筆和計算實驗 —— 終于找到了如何調整達布的公式，使曲率線閉合。他們終于找到了光滑的犀牛類比物，盡管兩者看起來并不太相似。

此外，正如他們所希望的那樣，這個光滑的犀牛可以生成一對新的環面，它們具有相同的平均曲率和度量數據，但整體結構不同。該團隊最終找到了 Bonnet 問題的答案：某些環面最終無法通過其局部特征唯一確定。但是，當他們弄清楚這對 Bonnet 曲面究竟長什么樣時，他們發現這兩個環面互為鏡像。「從技術上講，這不成問題，」Sageman-Furnas 說道。「從形式上講，它解決了問題。」但他補充說，這仍然令人不滿意。

因此，在接下來的一年里，他們嘗試以各種方式調整他們的光滑犀牛曲面。最終，他們意識到，如果放棄其中一組曲率線必須位于球面上的要求，他們就可以構建一個新的光滑犀牛曲面，從而達到他們的目的。然后，他們利用這個曲面生成了一對新的 Bonnet 曲面 —— 這一次，是兩個非常扭曲的環面，它們顯然是不同的曲面，但仍然具有相同的度量和平均曲率。

該團隊最終找到了緊湊型 Bonnet 曲面的一對實例。

這一結果令 UMass Amherst（馬薩諸塞大學阿默斯特分校）的數學家 Rob Kusner 感到驚訝。他表示，這表明即使是環面 —— 一些最美觀、研究最透徹的曲面 —— 也并非總能用其局部特征完美描述。

「這是一個我們的直覺不夠用的例子，」杜克大學的數學家 Bryant 說道。

不過，數學家們發現的這兩個環面有點奇怪：它們像數字「8」一樣自身相交。Bobenko 現在希望證明存在不與自身相交的 Bonnet 環面。

Bonnet 環面的發現是對 Bobenko 和 Hoffmann 數十年來在離散曲面研究方面工作的有力驗證。傳統上，光滑形狀的幾何學發展速度更快，而離散幾何學的理論發展相對滯后。但在這項工作中，離散理論取得了突破性進展，并最終促成了光滑曲面方面的進展。

Hoffmann 認為，這突出表明：雖然離散曲面看起來像是其光滑對應物的簡化模型，但它們擁有自身的數學生命。離散世界可以像光滑世界一樣豐富，甚至更加豐富，揭示出一些可能被忽略的額外對稱性和聯系。

「人們似乎忘記了離散方面的研究，」Hoffmann 說道。「但我們仍然可以從中有所收獲。」

原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/two-twisty-shapes-resolve-a-centuries-old-topology-puzzle-20260120/