《人類科學(xué)技術(shù)史-210》解析幾何

解析幾何

解析幾何亦稱坐標(biāo)幾何，它采用代數(shù)的記號和方法來表示并解決幾何學(xué)中的問題，建立了幾何曲線和代數(shù)方程之間的對應(yīng)，從而使幾何和代數(shù)的方法和知識可以一起用來解決幾何或代數(shù)中的問題。

古代巴比倫、埃及和希臘、羅馬的一些數(shù)學(xué)家，已經(jīng)知道圖形的幾何與數(shù)的代數(shù)之間的某些對應(yīng)，但那時的代數(shù)的記號和方法尚處于比較原始的狀態(tài)，那時的數(shù)學(xué)家也還處于對現(xiàn)實世界的完全依賴和附屬的狀態(tài)，因此，建立幾何與代數(shù)之間的對應(yīng)的工作受到了限制。

直到17世紀(jì)初期，由于代數(shù)學(xué)漸趨完善并日益成為研究自然科學(xué)的重要工具和手段，解析幾何的發(fā)展出現(xiàn)了一個突進(jìn)。

1.笛卡爾的《幾何學(xué)》

1637年，笛卡爾的《幾何學(xué)》作為其《方法談》一書的附錄而問世。《幾何學(xué)》的第一和第二部分論述解析幾何，第三部分論述方程理論。

笛卡爾把代數(shù)思想和記法引進(jìn)了幾何學(xué)。他用字母標(biāo)示直線段，通常用a，b，c……標(biāo)示已知的或變化的線段，用x，y，z標(biāo)示未知的或變化的線段，構(gòu)成了字母或字母組合的乘積和冪，采用了至今還使用的那種書寫指數(shù)的系統(tǒng)。他使用分析法來解幾何問題。這種方法假定問題已經(jīng)解出，然后寫出在作圖中涉及到的各種直線的長度之間必定成立的全部隱關(guān)系，每一個關(guān)系都由一個方程表示，因而該問題的解便歸結(jié)為所有這些聯(lián)立方程的解。

笛卡爾的解析幾何學(xué)的基本概念，是二維平面上的點與有序?qū)崝?shù)偶之間的對應(yīng)，獲得這種對應(yīng)的辦法，是使平面上兩條相交直線與點一起成為一個坐標(biāo)系。在這個平面直角坐標(biāo)系中，每個點有一個以有序?qū)崝?shù)偶(X，Y)為標(biāo)志的唯一表示，反之，每個有序?qū)崝?shù)偶表示一個唯一的幾何點。在建立起點與有序?qū)崝?shù)偶之間的這種對應(yīng)之后，幾何曲線與代數(shù)方程之間的關(guān)系便十分清楚。例如，給定一個簡單的線性方程，就有與它相對應(yīng)的幾何曲線，這條曲線由平面上所有的其坐標(biāo)(x，y)滿足這個方程的點所構(gòu)成。相反，給定了一條幾何曲線，也就有與它相對應(yīng)的代數(shù)方程，使其所有點的坐標(biāo)滿足這個方程。

2.費馬的創(chuàng)見

與笛卡爾同時代的法國數(shù)學(xué)家費馬(1601-1665年）也獨立地發(fā)明了把代數(shù)應(yīng)用于幾何問題的方法，提出了用可以導(dǎo)出曲線特征性質(zhì)的方程來表示曲線的思想。

費馬的職業(yè)是律師，曾擔(dān)任圖盧茲議會的顧問，數(shù)學(xué)是他的業(yè)余愛好。在研究古代幾何學(xué)的基礎(chǔ)上，他發(fā)現(xiàn)，如果通過坐標(biāo)系把代數(shù)運用于幾何，將使軌跡的研究更易于進(jìn)行。在《平面和立體的軌跡引論》這部著作中，費馬提出，使兩條直線彼此成一定角度，最好是直角，將其交點作為原點，使離原點的距離分別同方程的兩個變元成正比，就能方便地表示出方程。在他的著作中，還第一次出現(xiàn)了表示一條通過原點的直線的方程。他還用自己的符號寫出了拋物線方程和等軸雙曲線方程。

費馬也是最早發(fā)現(xiàn)極大值和極小值問題的一般解法的數(shù)學(xué)家之一，并因此而對從解析幾何向微積分的過渡產(chǎn)生了推動作用。費馬生前發(fā)表的研究成果甚少，他的大部分著作和學(xué)術(shù)通信都是在他逝世后才出版的，上述《軌跡引論》就是在1679年問世的。

3.德扎爾格的方法

當(dāng)?shù)芽柡唾M馬發(fā)現(xiàn)解析幾何學(xué)的基本原理時，另一個法國數(shù)學(xué)家德扎爾格(1591-1661年）也提出了一些對幾何學(xué)日后發(fā)展具有重要意義的概念。

德扎爾格生于里昂，是一個職業(yè)建筑師，曾作為軍事工程師在軍隊中服務(wù)，后來擔(dān)任過樞機主教黎塞留和法國政府的技術(shù)顧問。他在1628年與笛卡爾相識，隨后成為巴黎一個數(shù)學(xué)家組織的成員。他最主要的著作是《試論錐面與平面相截的結(jié)果的初稿》，1639年出版于巴黎。他在對圓錐曲線的研究中，引入了射影幾何學(xué)的主要概念。他用一個平面以不同方式截割錐面或柱面，得到了各種類型的圓錐曲線，并且提出了根據(jù)錐面底部的圓的幾何性質(zhì)推導(dǎo)出圓錐曲線的幾何性質(zhì)的方法。

德扎爾格的這一創(chuàng)新對帕斯卡產(chǎn)生了重要影響，受到其贊賞并被進(jìn)一步應(yīng)用。但在他們兩人都辭世之后，德扎爾格的方法很快遭到冷落。直至19世紀(jì)中葉射影幾何學(xué)重新引起人們的興趣之時，德扎爾格的思想的重要意義，才獲得普遍的承認(rèn)，并成為迅速發(fā)展起來的射影幾何學(xué)的基礎(chǔ)。