《人類科學技術史-210》解析幾何

解析幾何

解析幾何亦稱坐標幾何，它采用代數的記號和方法來表示并解決幾何學中的問題，建立了幾何曲線和代數方程之間的對應，從而使幾何和代數的方法和知識可以一起用來解決幾何或代數中的問題。

古代巴比倫、埃及和希臘、羅馬的一些數學家，已經知道圖形的幾何與數的代數之間的某些對應，但那時的代數的記號和方法尚處于比較原始的狀態，那時的數學家也還處于對現實世界的完全依賴和附屬的狀態，因此，建立幾何與代數之間的對應的工作受到了限制。

直到17世紀初期，由于代數學漸趨完善并日益成為研究自然科學的重要工具和手段，解析幾何的發展出現了一個突進。

1.笛卡爾的《幾何學》

1637年，笛卡爾的《幾何學》作為其《方法談》一書的附錄而問世。《幾何學》的第一和第二部分論述解析幾何，第三部分論述方程理論。

笛卡爾把代數思想和記法引進了幾何學。他用字母標示直線段，通常用a，b，c……標示已知的或變化的線段，用x，y，z標示未知的或變化的線段，構成了字母或字母組合的乘積和冪，采用了至今還使用的那種書寫指數的系統。他使用分析法來解幾何問題。這種方法假定問題已經解出，然后寫出在作圖中涉及到的各種直線的長度之間必定成立的全部隱關系，每一個關系都由一個方程表示，因而該問題的解便歸結為所有這些聯立方程的解。

笛卡爾的解析幾何學的基本概念，是二維平面上的點與有序實數偶之間的對應，獲得這種對應的辦法，是使平面上兩條相交直線與點一起成為一個坐標系。在這個平面直角坐標系中，每個點有一個以有序實數偶(X，Y)為標志的唯一表示，反之，每個有序實數偶表示一個唯一的幾何點。在建立起點與有序實數偶之間的這種對應之后，幾何曲線與代數方程之間的關系便十分清楚。例如，給定一個簡單的線性方程，就有與它相對應的幾何曲線，這條曲線由平面上所有的其坐標(x，y)滿足這個方程的點所構成。相反，給定了一條幾何曲線，也就有與它相對應的代數方程，使其所有點的坐標滿足這個方程。

2.費馬的創見

與笛卡爾同時代的法國數學家費馬(1601-1665年）也獨立地發明了把代數應用于幾何問題的方法，提出了用可以導出曲線特征性質的方程來表示曲線的思想。

費馬的職業是律師，曾擔任圖盧茲議會的顧問，數學是他的業余愛好。在研究古代幾何學的基礎上，他發現，如果通過坐標系把代數運用于幾何，將使軌跡的研究更易于進行。在《平面和立體的軌跡引論》這部著作中，費馬提出，使兩條直線彼此成一定角度，最好是直角，將其交點作為原點，使離原點的距離分別同方程的兩個變元成正比，就能方便地表示出方程。在他的著作中，還第一次出現了表示一條通過原點的直線的方程。他還用自己的符號寫出了拋物線方程和等軸雙曲線方程。

費馬也是最早發現極大值和極小值問題的一般解法的數學家之一，并因此而對從解析幾何向微積分的過渡產生了推動作用。費馬生前發表的研究成果甚少，他的大部分著作和學術通信都是在他逝世后才出版的，上述《軌跡引論》就是在1679年問世的。

3.德扎爾格的方法

當笛卡爾和費馬發現解析幾何學的基本原理時，另一個法國數學家德扎爾格(1591-1661年）也提出了一些對幾何學日后發展具有重要意義的概念。

德扎爾格生于里昂，是一個職業建筑師，曾作為軍事工程師在軍隊中服務，后來擔任過樞機主教黎塞留和法國政府的技術顧問。他在1628年與笛卡爾相識，隨后成為巴黎一個數學家組織的成員。他最主要的著作是《試論錐面與平面相截的結果的初稿》，1639年出版于巴黎。他在對圓錐曲線的研究中，引入了射影幾何學的主要概念。他用一個平面以不同方式截割錐面或柱面，得到了各種類型的圓錐曲線，并且提出了根據錐面底部的圓的幾何性質推導出圓錐曲線的幾何性質的方法。

德扎爾格的這一創新對帕斯卡產生了重要影響，受到其贊賞并被進一步應用。但在他們兩人都辭世之后，德扎爾格的方法很快遭到冷落。直至19世紀中葉射影幾何學重新引起人們的興趣之時，德扎爾格的思想的重要意義，才獲得普遍的承認，并成為迅速發展起來的射影幾何學的基礎。