女士們,先生們,老少爺們兒們!在下張大少。
本文展示6個由數學原理啟發(fā)的圖像與雕塑,展現數學的深邃之美
我們常以冰冷的敬畏之心看待數學。這門學科由永恒的規(guī)則與原理所驅動:比如素數的個數永遠無法窮盡,圓周率的數位也將無限延續(xù)。
然而在這份確定性之下,卻潛藏著一種崇高的魅力。某個證明或方程能產生優(yōu)雅的美學效應。以研究群論的數學家為例,他們分析支配旋轉與反射的規(guī)則——視覺上,這些變換會呈現為極具沖擊力的瑰麗對稱,恰如雪花輻射狀的圖案。
部分數學家與藝術家認為,在數學與藝術之間做抉擇是個偽命題。他們選擇不做選擇,而是用數字和群論的語言提出問題,在金屬、塑料、木材和電腦屏幕上尋找答案——他們編織、勾勒、構建。每年都有許多這樣的人齊聚國際橋梁數學與藝術會議交流思想,或在兩年一度的加德納聚會上碰面——該聚會以馬丁·加德納的名字命名,這位數學家曾為本刊撰寫長達25年之久的著名專欄《數學游戲》。
如今,人們對數學藝術的興趣似乎正在蓬勃興起,展覽乃至學術期刊的增多都表明了這一點。當前這股浪潮的根源可追溯至20世紀末,但當今的藝術家們召喚著更廣闊的數學繆斯,并運用著更現代的工具。以下便是其中幾件最引人矚目的作品。
《博羅梅安環(huán)塞弗特曲面》(2008年)
巴斯示巴·格羅斯曼(Bathsheba Grossman)
過去十余年間,定居波士頓的格羅斯曼一直運用3D打印技術,將數學雕塑鑄造于金屬之中。她沉醉于對稱性、不可能形態(tài)以及空間分割。此處的三個外環(huán)彼此不相接觸,卻又環(huán)環(huán)相扣無法分離——若移除其中一環(huán),另兩環(huán)即可解脫。這種被稱為博羅梅安環(huán)的古老結構,如今出現在國際數學聯(lián)盟的標識中。
這些環(huán)屬于鏈環(huán)形式的數學家族,每個成員都由三條閉合曲線構成,且任意兩環(huán)均無物理連接。對于鉆研紐結理論的數學家而言,它們之間的交互關系具有特殊魅力。而由博羅梅安環(huán)所界定的曲面,則被稱作塞弗特曲面。
格羅斯曼的這件雕塑既是紐結理論的具象化,也是一道空間謎題。為凸顯曲面奇詭的弧線走勢,她采用鏤空紋理——既讓光線在其間嬉戲,又將觀者視線引向這片充滿異想的地形構造。
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《般若波羅密分形》(1993年)
梅琳達·格林(Melinda Green)
20世紀末,一種名為曼德勃羅集合的圖案席卷了數學與藝術界。這套分形體系以法美雙籍數學家伯努瓦·B·曼德勃羅命名,這位已故學者首次將分形整合為值得深入研究的領域,其1982年著作《大自然的分形幾何學》至今仍是經典。
該集合的構建始于復平面上的一個點(由二維圖形表示),將此點作為特定方程的初始值代入計算,再將得出的新解反復回代方程。若計算結果始終保持在可控范圍——數值略有增減卻不會無限膨脹——則初始點即屬于該集合。
這類集合的坐標圖呈現出標志性特征:無論放大或縮小局部,基本形態(tài)都會重復出現。但直至20世紀90年代,曼德勃羅集合的標準形態(tài)始終如同巨型甲蟲,邊緣散布著小甲蟲,小甲蟲上又附著更微小的甲蟲。
計算機程序員格林并不欣賞這種"甲蟲軀體"的樣貌。她另辟蹊徑編寫程序,著重展現某些點在平面上跳格移動的軌跡細節(jié)。當圖像在屏幕上顯現時,她不禁倒吸涼氣:"我都不確定自己是否真的掐了手臂。"那分明是一尊形神兼?zhèn)涞姆鹜釉煜瘛8窳蛛S即調整代碼強化色彩層次,最終成就這幅作品。許多數學家常將數學抽象概念比作靈性體驗,而格林的"般若波羅密多分形"正是架通二者的具象橋梁。
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《南極光》(2010年)
卡洛·H·塞昆(Carlo H. Séquin)
在數學藝術界,加州大學伯克利分校計算機科學家塞昆以數百件作品聞名,這些創(chuàng)作將關于曲面、扭轉與維度的玄妙概念賦予實體形態(tài)。他用木材、金屬和塑料打造了一座名副其實的數學形態(tài)動物園。
據藝術家自述,這件作品的靈感源于南半球天空上演的天光奇觀——南極光。雕塑中扭轉的緞帶呼應著光帶的流轉韻律:帶狀體從平面漸變?yōu)榍妫罱K復歸平整并自我閉合。若以指尖沿雕塑蜿蜒路徑游走,無需抬指便可遍歷全貌,最終返回起點。其內表面即外表面,這正是莫比烏斯環(huán)的特性——已知最簡單的不可定向曲面,意味著"正面""背面""內外翻轉"等概念在此失效。
在塞昆看來,這類視覺形態(tài)不僅引人入勝,更成為理解深奧數學思想的通道。"這能讓厭惡數學的人重新聚焦,"他解釋道,"讓人們看到數學遠不止是機械記憶。"
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《雙曲平面/擬球面》(2005年)
戴娜·泰米娜(Daina Taimina)
泰米娜的幾何手工藝探索始于20世紀90年代。彼時,這位如今已退休的數學家正在康奈爾大學教授非歐幾何分支——雙曲幾何課程。在歐氏幾何中,給定一條直線和直線外一點,經過該點且平行于原直線的直線有且僅有一條。但在非歐幾何中,經過該點且不與原直線相交的直線可能有多條,這是由于雙曲平面具有恒定負曲率(球面具有恒定正曲率,負曲率則更接近馬鞍面的形態(tài))。因此,雙曲平面上三角形的內角和總小于180度——這種彎曲的奇異特性,恰如羽衣甘藍葉片邊緣的褶皺。
泰米娜希望制作可觸摸的模型,讓學生能直觀感受曲率。她畢生擅長的鉤針編織術恰好派上用場。憑借鉤針與毛線,她遵循一個簡單法則——指數級增加針數——創(chuàng)造出雙曲曲面。圖中這件作品呈現為處處具有負曲率的擬球面形態(tài)。
此后,泰米娜用繽紛色彩鉤織了數十件模型(最重的約17磅),并開創(chuàng)了"雙曲鉤編"技藝。她創(chuàng)作炫目曲面的方法僅有一個基本步驟:"保持恒定曲率。"
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《分形樹》(2002年)
約翰·西姆斯(John Sims)
現居佛羅里達州薩拉索塔的數學家兼藝術家西姆斯,其創(chuàng)作靈感源自廣闊的數學思想。畫面中央描繪了生長于分形結構上的樹木——所謂分形,即具有自相似性的圖案:無論放大或縮小局部,基本形態(tài)始終重復。
這類圖案在自然界中比比皆是:花椰菜蓬松的冠頂、鋸齒狀的山脈輪廓。科學家們借其研究從宇宙結構到鳥類飛行軌跡的諸多現象。
這件作品融合了真實樹木影像、手繪樹木圖稿與樹形分形圖案。西姆斯認為,它"詮釋了數學、藝術與自然的交匯"。在《分形樹》中,這些聯(lián)結的形態(tài)如同建筑模塊,大小相生,最終連綴成宏大的網絡。
2002年,西姆斯在林林藝術設計學院聯(lián)合策劃"數學藝術/藝術數學"展覽時,首次公開展出此作。他還以圓周率數位序列為靈感創(chuàng)作了大量作品,包括拼布被面和時裝。2015年,他與數學家兼藝術家薇·哈特合作推出《圓周率日頌歌》,二人在動感鼓點與貝斯節(jié)拍中吟誦圓周率數位。
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《圣甲蟲》(2018年)
比亞內·耶斯佩森(Bjarne Jespersen)
耶斯佩森自稱魔法木雕師。這位丹麥藝術家追求的是令人難以置信的效果:他希望人們看到、觸摸、把玩他的木雕作品后,仍不敢相信其真實存在。"與其說是數學家或藝術家,我更像個魔術師。"他如是說。
當你捧起這顆球體,很快會發(fā)現每只甲蟲都能獨立晃動,卻又環(huán)環(huán)相扣——若不破壞整體結構,任何一只都無法剝離。整顆球由單一櫸木塊雕刻而成。
耶斯佩森的靈感源于荷蘭藝術家M.C.埃舍爾,后者的創(chuàng)作多具數學精神。埃舍爾將密鋪幾何圖形(即能無縫拼接覆蓋平面的重復圖案)推向大眾視野。數學家們長期研究密鋪的特性——不僅限于平面,更延伸至高維空間。(埃舍爾本人亦受伊斯蘭藝術中的密鋪啟發(fā),尤其是裝飾西班牙南部阿爾罕布拉宮的紋樣。)耶斯佩森的《圣甲蟲》正是以甲蟲為基本單元構建的立體密鋪。
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最后照例放些跟張大少有關的圖書鏈接。
青山 不改,綠水長流,在下告退。
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