探尋伊斯蘭五重紋飾中的準周期性：伊朗伊斯法罕、阿爾罕布拉宮、彭羅斯密鋪

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

彭羅斯密鋪因其非周期性（即不具有平移對稱性）卻又結構分明而引人注目。其被稱作"準周期性"的結構，它可通過多種方式描述，包括自相似細分法、具有匹配規則的拼塊法，以及在五維空間中立方晶格的投影切片法。這些拼圖還因擁有眾多局部五重和十重旋轉對稱中心而與眾不同——這些特征同樣見于某些伊斯蘭幾何圖案中。這種相似性引發了比較研究，促使一些人將其視為彭羅斯密鋪的先驅，甚至認為在傳統伊斯蘭設計中存在準周期性的證據。邦納[2]識別出三種自相似風格；馬科維茨基[20]受此啟發開發了彭羅斯密鋪的新變體，隨后與同事[24]將彭羅斯密鋪疊加在傳統摩爾人的設計上；近期盧克與斯坦哈特[17]觀察到傳統伊斯蘭設計體系中細分法的運用，并將彭羅斯風箏形與飛鏢形拼塊疊加于伊朗設計圖案之上。后者的研究成果雖在全球媒體獲得廣泛報道，但部分報道存在夸大事實與曲解研究結論的情況。

在傳統伊斯蘭圖案中探尋準周期性實例的愿望可以理解，但我們必須謹慎，避免將現代的動機和抽象概念投射到過去。有時，凡是創造出展現多種對稱類型的重復圖案的文化，都會被賦予對群論的直覺認知，即便這些文化本身并沒有抽象的群概念。我們要避免以下兩種謬誤：

? 抽象化謬誤：P知曉X，且X是Y的一個實例，因此P知曉Y。

? 推導謬誤：P知曉X，且X可推導出Y，因此P知曉Y。

在這兩種情形中，P很可能從未考慮過Y，即便考慮過，也未必會將Y與X聯系起來。

本文將闡述一種基于密鋪構建伊斯蘭幾何圖案的方法。通過技藝與巧思，這種基本技法可衍生出多種變體與精妙演繹，最終形成紛繁復雜的各類圖案。筆者還將剖析某些呈現準周期性密鋪特征的傳統紋樣，借助基礎幾何原理揭示其異同之處，并評估伊斯蘭藝術中存在準周期性的相關證據。

關于術語的幾點說明：許多構建方法基于平面密鋪。拼塊集合指密鋪中包含有限數量且與圓盤同胚的子集。我使用"重復單元"作為通稱，指代通過等距變換重復生成圖案的模板，該術語不及"周期平行四邊形"或"基本域"那樣具有特定指向。具有放射狀對稱性的圖案或密鋪存在單個有限旋轉對稱中心。其余術語遵循文獻[8]關于密鋪的表述，并輔以文獻[33]對替代密鋪的補充說明。

伊斯蘭幾何紋樣的構建方法

盡管伊斯蘭幾何設計的原則并不復雜，卻鮮為人知。試圖從完成的藝術品中反推其原理相當困難，因為紋樣中最引人注目的元素往往并非設計師使用的構圖要素。所幸留存至今的一些中世紀文獻揭示了部分技藝秘訣。其中最珍貴的當屬伊斯坦布爾托普卡帕宮圖書館珍藏的編號為MS.H.1956的手稿卷軸。這份卷軸由繪制著幾何圖形的單頁粘合而成，形成高約33厘米、長達近30米的連續長卷。雖無文字說明而非"操作指南"，但因其保留了輔助線而超越普通紋樣圖譜。其半尺寸彩色復制品可見于文獻[25]，該版本還標注了照片中難以辨識的針管制圖痕跡。本文提及托普卡帕卷軸編號圖版時，均采用文獻[25]的編號體系。

伊斯蘭紋樣中常出現星形母題，其形態豐富多樣。本文僅需涉及平面幾何中正星形多邊形的幾種基礎形態：在圓周上等距取n個點，以直線連接相隔d個間隔的點，即可得到記作{n/d}的星形多邊形。但這屬于數學意義上的星形，藝術家鮮少將完整圖形直接用作裝飾母題，更常見的做法是舍棄邊線的中間線段。

許多早期伊斯蘭紋樣通過將6角、8角或12角星形排列在正方形或等邊三角形標準網格的頂點上創作而成。而更通用的菱形晶格則允許使用其他星形。圖1(a)展示了基于{10/3}星形多邊形的實例：菱形的內角分別為72°和108°，均為星形相鄰尖角夾角36°的倍數。在晶格頂點繪制一組等半徑且相切的最大內切圓，將星形母題置于圓中并使尖角對準晶格邊緣，即可控制主母題的間距與朝向。但此時紋樣尚未完成——每個星形母題中總有部分尖角未能與相鄰母題連接，游離指向圓之間的剩余空間。將這些游離尖角的邊線延伸至外接圓外，直至與鄰近星形延伸出的對應線條相交，這種簡易手法既能填充剩余空間，又能增強星形母題的連通性。所有剩余空間需采用統一的間隙填充模式，并盡可能保持整體紋樣的對稱性。最終效果如圖1(c)所示，此時間隙填充的風箏形與星形中的風箏形全等。這種圖案是最常見的十邊形紋樣之一，我們將稱之為"星與風箏"紋樣以便指代。

圖1. "星與風箏"紋樣

這種基礎方法僅能生成重復單元較小的有限周期紋樣，且僅適用于偶數角星形。更通用的方法適用于所有星形，并能實現不同星形在同一紋樣中的組合運用——其核心在于采用由邊對邊密鋪構成的、包含邊數大于四的正凸多邊形體系。圖1(b)展示了通過十邊形密鋪形成的密鋪結構，其間留存的非凸六邊形拼塊成為填充區域。當在每個十邊形拼塊中置入{10/3}星形后，我們沿用前述間隙填充法，在六邊形中發展出相應的紋樣脈絡。

這種從圓形到多邊形的轉變看似細微，卻催生了一系列普適性拓展。我們不再受限于星形的晶格排列——任何密鋪結構皆可適用。密鋪中可包含不同類型的正多邊形，使得不同星形母題得以在同一紋樣中共存；密鋪本身自然決定了不同星形間的相對層級。我們甚至可以摒棄啟動間隙填充的規則星形母題，直接從密鋪本身開啟紋樣生成進程。在后一種方法中，我們在每條邊中點以X形配置繪制一對短線，再將其延伸直至與同類線條相遇——這類似于對所有拼塊實施間隙填充。線條與密鋪邊界的夾角（即入射角）作為藝術家可調參數，通常在所有邊界處保持恒定。線條延伸無需止于首個交點：若紋樣中仍存在大片空白區域或整體效果欠佳，可持續延伸線條直至產生新的交錯。

這種被稱為"接觸多邊形法"（PIC）的技藝，最早由漢金[9-13]在西方文獻中記載。他在印度工作期間觀察到某些紋樣的石膏底稿上刻有多邊形網格。托普卡帕卷軸的許多圖版同樣顯示出紋樣與其底層多邊形網絡的疊印關系。盡管這些網絡的具體用途未見文獻記載，但將其解讀為輔助線似無不妥。邦納[2,3]主張PIC是唯一有歷史證據表明在整個伊斯蘭世界被設計師采用的體系。該方法具有普適性，可解釋大量傳統紋樣，但并非放之四海而皆準。卡斯特拉[5]采用的替代方案則無需隱藏網格，直接對最終紋樣中的圖形進行排布。

接觸多邊形法（PIC）的應用可通過以下四幅圖示闡明。

圖2展示了基于正十邊形、正五邊形及非凸六邊形密鋪的兩種紋樣。圖2(b)在十邊形拼塊中置入基于{10/4}的星形母題，使其他邊界獲得72°入射角，該完成紋樣是星形圖案中流傳最廣、應用最頻繁的經典范式之一。圖2(c)呈現中亞常見紋樣，采用基于{10/3}的54°入射角設計；若采用{10/2}星形與36°入射角，則可再現"星與風箏"紋樣。

圖3紋樣源自文獻[14]，包含基于{7/3}的星形母題，其密鋪中的七邊形為正多邊形，但五邊形并非正形。

圖4基于含正九邊形與十二邊形的密鋪體系，筆者選擇55°入射角使紋樣中的凸十二邊形元素成為正多邊形，且非凸六邊形拼塊內部線段銜接處無轉角生成，但代價是兩個星形母題均未保持幾何正則性。文獻[4]圖版120-122即為基于相同密鋪的傳統紋樣。

圖5呈現具有十重旋轉對稱性的紋樣，源自托普卡帕卷軸第90a圖版——內奇波格盧將其標注為穹頂設計[25]。原始圖版顯示，用實黑線繪制的紋樣疊加在紅虛線密鋪網格上，構成包含十分之一圖案的模板。值得注意的是部分拼塊為十邊形的十分之二或十分之三扇形區。穹頂裝飾同樣通過將PIC應用于多面體網絡實現。對于星形密度較低的紋樣，則通過將PIC應用于由正三、四、六、十二邊形構成的k-均勻密鋪體系——文獻[4]圖版77、97、142收錄了若干特殊案例。

(a) 底層多邊形網絡

(b)72°入射角

(c) 54°入射角

圖2. 一種密鋪及其衍生的兩種星形紋樣（各紋樣中的玫瑰形花瓣已作高亮處理）

圖3. 含正七角星形的紋樣

圖4. 含九角與十二角星形的紋樣

圖5. 托普卡帕卷軸第90a圖版紋樣

圖2中的兩種紋樣展現了另一種常見的伊斯蘭母題：每幅紋樣中環繞星形的六邊形集合均以灰色高亮顯示。這種被放大的星形母題稱為"玫瑰花結"，其周邊的六邊形構成"花瓣"。此處的玫瑰花結源于底層密鋪中十邊形被等邊多邊形環繞的布局，但也可通過星形外接圓周邊切圓組進行構建[16]，并作為獨立構圖元素使用。

您可通過卡普蘭開發的在線Java小程序[34]親身體驗PIC法的運作機制——選定密鋪類型與星形母題入射角后，程序將自動通過推理邏輯生成間隙填充圖案。

作為PIC構建法底層網絡的密鋪體系通常具備高度對稱性，由此生成的紋樣井然有序。但伊斯蘭藝術家也創作出另一種紋樣：其元素排布看似混沌，局部呈現小層級秩序，整體卻難覓長程結構。托普卡帕卷軸圖版揭示，這類紋樣同樣存在由少量等邊拼塊（見圖6）復制拼合而成的底層多邊形網絡，這些拼塊的內角均為36°的倍數：

? 內角72°與108°的菱形

? 正五邊形（內角108°）

? 內角72°與144°的凸六邊形——梭形

? 內角108°與144°的凸六邊形——桶形

? 內角72°與216°的非凸六邊形——蝶結形

? 內角108°與144°的凸八邊形

? 正十邊形（內角144°）

圖6 一組伊斯蘭原胞拼塊

這些拼塊上的紋樣采用54°入射角的接觸多邊形法生成。桶形六邊形與十邊形各有兩種裝飾形態：其中一種十邊形母題僅為{10/3}星形，其構成的風箏形與蝶結形上的風箏形全等；另一種十邊形母題則更為復雜，對稱性由十重旋轉降為五重旋轉。

當嘗試用十邊形與五邊形進行密鋪時，這些拼塊的形狀便自然顯現。蝶結形與桶形六邊形在前述圖示中已常見，而八邊形與另一種六邊形則可視為兩個十邊形重疊相交的產物。后者上的紋樣形似纏繞紗線的梭子，這種特征鮮明的母題在紋樣中極易辨識，其存在往往暗示該紋樣可能由這些拼塊構建而成。

將不規則拼塊從輔助圖形提升為獨立構圖元素，標志著伊斯蘭紋樣設計的重要發展。將這些拼塊視為拼圖組件，使得構圖方式更為靈活自由：設計者可通過在拼塊集合邊界持續附加新拼塊，在每一步自由選擇擴展方式，從而實現紋樣的自然生長。這種新方法賦予藝術家以創新方式組合拼塊的自由度與靈活性，催生出一類全新的紋樣體系。這似乎源自塞爾柱王朝的革新——12至13世紀土耳其與伊朗地區開始涌現此類實例。盧克與斯坦哈特[17]首次系統闡述了這種以裝飾拼塊為設計元素的普適性應用體系；邦納[2]亦有類似論述，漢金[10]同樣采用過這類拼塊。

圖7展示了小型拼塊組合。特定區域的填充往往存在多種解法。即便如圖7(a)所示的梭形與蝶結形簡單組合，拼塊位置也可通過垂直線鏡像，使蝶結形位于右上而非左上。圖7(d)所示的拼塊組合可替代任意十邊形拼塊，但會伴隨對稱性損失——蝶結形可指向10個方向中的任意方位。圖7(b)與(c)則是另一對可互換的填充方案，兩者對稱性存在差異。

圖7 小型拼塊組合

圖8展示了由這些拼塊構成的若干傳統紋樣。圖8(a)與(b)分別源自托普卡帕卷軸第50圖版與第62圖版：原始圖版均顯示紋樣以實黑線疊加于紅點密鋪網格構成的模板上。圖8(b)(c)(d)依次對應文獻[4]圖版173、176、178；圖8(e)(f)取自文獻[16]圖33與34。圖中保留密鋪邊緣以揭示紋樣的底層結構，但在完成品中這些輔助線將被抹去，僅留下交織的緞帶。這種處理既隱藏了底層框架，也保護了藝術家的創作技法。觀者所見的是緞帶勾勒出的背景多邊形——這些實為構建過程的副產品，而非用于構圖的主要母題。

圖8 周期性的設計

拼塊內角均為36°的倍數，因此密鋪中所有邊緣將指向五個方向之一——即全部平行于五邊形各邊。拼塊的自發組合會在交織背景中生成正五邊形，并在紋樣中形成局部五重或十重旋轉對稱中心。這種對稱性可見于圖7的若干構型中。然而在通過模板平移生成的圖案里，這種對稱性必然被打破，無法作為整體紋樣特征存續。這是晶體學限制律的必然結果：周期圖案中的旋轉中心只能為二重、三重、四重或六重。盡管該定律直至19世紀方獲嚴格證明，但伊斯蘭圖案創作者必然憑借直覺領悟此理。或許這些密鋪的魅力恰在于其蘊含諸多"禁忌"對稱中心——它們營造出人類可掙脫自然法則束縛的幻象。遺憾的是，當展示足夠大范圍的密鋪使周期性顯形時，任何（全局）旋轉中心僅存二重對稱性，且（未裝飾）密鋪的對稱類型通常為pgg、pmm，或更常見的cmm。

圖9(b)展示了伊朗西北部馬拉蓋卡布德穹塔（藍塔）一面墻體上的紋樣；塔身其他側面亦飾有類似圖案。乍看之下，該設計似乎缺乏整體組織原則，實則與圖9(a)所示的框架完美契合。位于圖版右下角的中心區域，可見圖7(g)所示的拼塊組合被一圈十邊形環繞。左上角毗鄰首組結構的類似布局，則留出星形空隙。十邊形環帶中除底部邊緣的拼塊采用十邊形拼塊填充外，其余均以蝶結形朝外的圖7(d)組合填充。星形空隙則由五個圖7(b)所示的菱形填補。值得注意的是，紋樣中存在偏離基礎構型的不規則與變體，尤其在圖版左下角區域表現明顯；此外左上角的十邊形采用的是圖7(d)組合而非十邊形拼塊。

圖9. 伊朗馬拉蓋卡布德穹塔紋樣

圖9(a)同樣可作為圖10所示紋樣的基礎。圖中中心與左上角的玫瑰花結中心，恰為構成紋樣重復單元的矩形對角線兩端點。此矩形內的底層框架與馬拉蓋嵌板完全相同，通過對該單元進行矩形邊反射即可生成完整紋樣。需注意，反射對象是拼塊的排列方式而非其裝飾紋樣——完整紋樣的交織仍保持交替規律。單元矩形邊界多由拼塊邊線或其鏡像線覆蓋，兩者均確保密鋪跨越接縫時的連續性。然而在矩形右上與左下角（該單元具有中心二重旋轉對稱性），部分拼塊并非內嵌于矩形而是懸垂于邊緣。這種生成方法對此并無障礙：懸垂拼塊只需切割適配，反射機制自會處理緞帶的連續性。圖10中最明顯的例證見于底部中央區域，成對的蝶結形與梭形在此融合。密鋪中心本可采用圖7(g)所示的組合填充，但設計者棄之而選用大型玫瑰母題。里格比在文獻[26]中為此紋樣提供了另一種構建方案。

圖10. 土耳其科尼亞卡拉塔伊經學院紋樣

在嘗試圖6所示拼塊時，人們很快會發現首行拼塊較其他更難駕馭——108°角必須成對環繞頂點出現，這限制了組合選擇。事實上許多紋樣完全規避這些拼塊，僅基于底行三種形狀構建。圖11的紋樣獨特之處在于主要由難用拼塊（菱形、五邊形、八邊形）及少量梭形構成。密鋪中的大型星形區域本可采用圖7(f)所示組合填充以延續同組拼塊的使用，但此處卻替換為{10/4}星形母題。

圖11. 土耳其開塞利蘇丹驛站紋樣

紋樣構建完成后，可根據語境與材料以不同方式潤飾：部分附圖中區域采用二色著色（棋盤格陰影），另一些則將線條處理為交織緞帶。基礎線描本身亦可直接使用，例如刻繪于石膏表面的情形。

何為準周期性？

20世紀80年代，具有五重對稱性的晶體金屬合金在衍射圖譜中展現的發現引發轟動。衍射圖譜中的尖銳斑點標志著長程有序——彼時這與周期性同義，但五重旋轉與晶體學限制律相悖，意味著人們觀測到全新現象。這種新型固體被稱為準晶體，其底層有序結構則被命名為準周期性。對晶體學家而言，衍射圖譜中產生清晰定義的點是準周期性的決定性特征。然而在裝飾藝術研究中，"準周期"一詞的使用較為隨意，尚未形成統一共識。讀者在比較不同文獻時需注意這一潛在混淆因素。針對本文討論的密鋪及相關幾何紋樣，可采用局部拼塊構型分布的均勻性條件作為判定依據（該條件較晶體學定義更為寬松）。這一特性及其他特征將通過以下實例加以闡明。

該示例由圖12所示的拼塊組合構建，僅用于演示技法而不具藝術價值——蝶結形分布失衡會導致紋樣效果欠佳。任何由蝶結形、梭形與十邊形拼合的拼塊組合，均可通過圖中所示方式對各拼塊進行細分，再按比例放大使小拼塊恢復原始尺寸，從而轉化為更大的同構組合。這種"細分再放大"的工序稱為膨脹操作。每個復合拼塊的各邊均由兩個小拼塊邊與一個小梭形長對角線構成；在膨脹后的密鋪中，半梭形兩兩配對形成完整拼塊。

圖12. 三種拼塊細分生成同型小拼塊的過程。縮放系數為(7+√5)/2≈4.618

設P?為單個十邊形，對于所有自然數i，令Pi+1為Pi經膨脹操作所得拼塊集合。圖12(b)展示P?，圖13則呈現P?。通過迭代膨脹過程，可實現對平面任意大區域的密鋪覆蓋。值得注意的是，由于P?中心包含十邊形結構，Pi+1中部必然包含Pi的復制體。因此Pi+1實為P?的擴展延伸，當i趨向無窮時，該拼塊集合將延展為覆蓋整個平面的密鋪P∞。初始拼塊的對稱性在膨脹過程中得以保持，故P∞具有全局十重對稱中心，因而必然是非周期性的。

圖13 準周期密鋪構建步驟示意圖

通常而言，膨脹操作僅能生成無需同心排列的任意大型拼塊集合，因此需要論證極限存在的合理性及其作為平面密鋪的有效性[19]。若兩密鋪中任一拼塊的任意局部構型均能在對方密鋪中找到復制體，則稱二者為局部不可區分。由圖12所示原胞拼塊及其細分規則定義的替代密鋪族，正是所有與P∞局部不可區分的密鋪構成的集合。事實上該族包含不可數無窮多種密鋪，但其中任一密鋪的任意局部構型必包含于某個Pn之中。

基于有限原胞拼塊集合T?,…,T?構建的替代密鋪，其基本組合特性可通過n×n矩陣編碼：第i行第j列元素表示復合拼塊Tj中包含小型Ti的數量。以本文示例按蝶結形、梭形、十邊形順序排列，其替代矩陣為：

若矩陣的某次冪所有元素均為正數，則稱該矩陣為本原矩陣。當替代矩陣具有本原性時，任意拼塊經反復膨脹生成的拼塊集合最終將包含所有原胞拼塊的復制體。密鋪的性質可通過本原矩陣的代數特性推導得出：例如最大特征值為膨脹比例因子的平方，對應特征向量包含平面完整密鋪中原胞拼塊的相對頻率；轉置矩陣的對應特征向量則包含三種原胞拼塊的相對面積。本例中頻率特征向量為(5+5√5; 5+7√5; 4)。由于向量分量比值存在無理數，此類細分規則生成的任何替代密鋪均具有非周期性[30,31]。

盡管我們的替代密鋪缺乏平移對稱性，但仍與周期密鋪共享若干特性。首先，每幅密鋪均為邊對邊結構，由有限種拼塊形狀構成，每種拼塊僅以有限種朝向出現，且頂點鄰域構型種類有限——這種性質被稱為有限局部復雜性。對于本原替代密鋪而言，該特性引申出重要推論：給定密鋪中任意局部構型X，存在半徑R使得在密鋪任意位置放置的半徑為R的圓盤內必包含X的復制體。具備此性質的密鋪稱為重復性密鋪。這意味著密鋪中任意有限部分的復制體將均勻分布在整個密鋪中——你無法通過任何有限圖樣判斷其所屬的密鋪區域。

就本文而言，若密鋪滿足非周期性、有限局部復雜性及重復性三重屬性，則稱為準周期密鋪。據此可引申定義：若某伊斯蘭紋樣的底層多邊形網絡為準周期密鋪，則采用接觸多邊形法構建的該紋樣可稱為準周期紋樣。但遺憾的是，僅憑密鋪的任意有限子集無法判定其是否具有準周期性。因此若要論證某密鋪可能具有準周期性，必須識別出類似膨脹法這樣的生成機制——既能用于構建所示局部圖樣，又可延展生成完整的準周期密鋪。

多層級紋樣

托普卡帕卷軸的部分圖版呈現不同層級的紋樣疊加現象。這種多層級紋樣的交織互動，正是某些大型伊斯蘭建筑裝飾的特征——觀者接近時能體驗圖案的遞進變化：遠觀時高對比度的大層級形態占據主導，近察時這些形態因層級過大而難以辨識，小層級紋樣轉而成為視覺焦點。早期實現這種從粗獷雄渾到精巧細膩過渡的手法較為樸素，通常通過逐步填充背景空隙形成無留白紋樣（卡布德穹塔即存此類次級紋樣），層級與細節層次的差異借助密度、雕刻深度、色彩及肌理變化來表現。后世設計更為宏闊，在同一作品中運用同種風格進行多層級表達，甚至可能重復使用相同紋樣。

可在多層級上解讀的紋樣常被稱為自相似，但該術語本身具有多重含義層級。在最嚴格意義上，它指代層級不變性：存在將紋樣映射到自身的相似變換（等距變換后接放大操作）。該變換可弱化為拓撲等價性——例如迭代函數系統產生分形的同胚映射。在更寬泛的語境下，它僅表示不同層級的母題在風格或構圖上具有相似性，而非嚴格復制。本文將采用"層級結構"指代后者這類多層級紋樣。

托普卡帕卷軸第28圖版中，三組圖樣疊加于同一畫面：小層級多邊形網絡以紅點繪制，對應的小層級紋樣以實黑線呈現，大層級紋樣則以實紅線附加。大層級紋樣對應的多邊形網絡雖未直接顯示，但可推導得出——圖14(a)即呈現這兩個疊加的多邊形網絡。該圖其余部分展示了卷軸中另外三組雙層紋樣的底層多邊形網絡，這些圖版僅以黑紅兩色呈現完成的雙層紋樣，并未單獨繪制網絡結構。

圖14 托普卡帕卷軸圖版的雙層多邊形網絡底層結構

將上述圖版的大、小層級多邊形網絡疊加，可發現若干拼塊的細分規律：第28圖版中的菱形、第32圖版中的兩個五邊形、第34圖版中的梭形均呈現細分結構。所有復合拼塊的邊均由兩個小拼塊邊與一個小十邊形對角線構成。我們還能識別出被圖版邊界裁切的大層級多邊形碎片——這些圖版并非隨意截取的紋樣局部，而是通過邊界矩形反射生成紋樣的模板。盡管圖14(d)乍看之下可能被誤認為大層級網絡是由六個五邊形環繞梭形的構型（該構型在小層級網絡中確可觀察到），但經邊界反射后會生成菱形、五邊形及桶形。第31圖版生成的大層級紋樣見圖8(g)。第28圖版右側似被截斷，或受限于版面空間。若其關于大菱形中心具有二重旋轉對稱性，則大層級紋樣應如圖8(h)所示。四個圖版共同呈現出一致的細分選擇，五種拼塊的細分方式歸納于圖15——據筆者所知，這一發現此前未見報道。

圖15 源自托普卡帕卷軸的細分結構（縮放系數為3+√5≈5.236）

圖16展示了基于第32圖版構建的雙層紋樣：復合拼塊生成大層級紋樣（灰色區域），小拼塊則填充其背景區域形成小層級紋樣（黑白相間）。桶形拼塊存在兩種裝飾形態——大層級紋樣采用簡約母題，小層級紋樣則運用另一種復雜形態。在復合五邊形中心完成小層級紋樣存在技術難點：對于該層級的五邊形，僅能實現部分細分——置入半十邊形后，轉角處被迫使用五邊形；與轉角五邊形相鄰的只能是五邊形或桶形，這兩種選擇均會產生無法密鋪的小區域。圖15(b)中的灰色區域即標識此類必然存在的空洞。筆者采用與托普卡帕卷軸略有差異的填充方案。大層級紋樣對應圖2(c)所示形態。

圖16 基于托普卡帕卷軸第32圖版的雙層紋樣

圖17對第34圖版進行了類似處理，包含四個圖14(d)所示模板矩形的復制體（兩個正向復制與兩個鏡像復制）。此案例中，大層級紋樣通過區域著色予以呈現。這兩種風格實例均可見于伊朗伊斯法罕的建筑裝飾中。

圖17 基于托普卡帕卷軸第34圖版的雙層紋樣

圖15中蝶結形的缺席引人注目，其遭遇與五邊形相同：兩端拼塊被強制鎖定后，腰部區域無法實現密鋪（卷宗第29圖版底層大層級多邊形網絡右上角雖可見四分之一蝶結形被十邊形碎片環繞，但其構建方式與其他圖版基于細分的邏輯不同）。

圖16中可見的大層級紋樣局部構型雖同樣存在于小層級紋樣中，但更大范圍的展示揭示出圖案并不具有層級不變性——這是此類細分方法的固有局限。由于五邊形與蝶結形缺乏細分規則，圖15的細分體系無法作為替代密鋪的迭代基礎，膨脹過程因而不可持續。

阿爾罕布拉宮紋樣

圖18所示紋樣占據阿爾罕布拉宮博物館大型嵌板的主體部分（照片見文獻[24]）。該嵌板由1958年出土的碎片拼接而成，原件可追溯至14世紀。圖樣下半部分為完成紋樣，上半部分則呈現筆者擬定的底層多邊形網絡。網絡的核心構圖元素是環繞著十個五邊形的十邊形結構，這一母題在最終紋樣中演變為反復出現的十重玫瑰花結。該元素的復制體以雙層環狀排列（可見于圖樣左上區域）：內環十組、外環二十組，相鄰元素共享兩個五邊形。內外環間的連接分為兩類：灰色菱形區域內嵌圖2(b)所示經典周期紋樣的平移單元。剩余空間的構建邏輯如圖19所示：圖19(b)揭示該紋樣實為圖19(a)五邊形母題構型的子集，而圖19(c)則展示了基于包含半桶形與十分之一十邊形（即圖18所用多邊形）網絡的相同紋樣。生成的多邊形網絡包含兩種邊長，其比例關系與五邊形拼塊的邊對角線比一致。最終紋樣可通過廣義接觸多邊形法由該網絡生成：短邊入射角72°，長邊入射角36°。中心置入二十重玫瑰花結，間隔花瓣尖端與十重玫瑰花結相接，中間花瓣尖端的線條延伸直至與紋樣中其他線條交匯。經復原的矩形嵌板四角本應設有二十重玫瑰花結的四分之一扇形區（此類嵌板常見特征，反映多數紋樣實為周期圖案的局部截取），但因象限錯位且屬嵌板修復最密集區域，圖中已予省略。

圖18 阿爾罕布拉宮博物館第4584號嵌板結構解析

圖19

此紋樣的獨特之處在于包含大量近乎連續的貫通直線。圖18右下角標注的水平線高度顯示，存在五個方向族系，彼此夾角36°。在某些準周期密鋪中，可通過在原胞拼塊上裝飾線段，使其跨越密鋪邊緣銜接，形成覆蓋整個平面的連續直線網格——這類線條稱為阿曼棒。平行阿曼棒的相鄰間距存在兩種規格，傳統記作S（短距）與L（長距）。它們構成的非重復序列既不會出現相鄰S，也不會出現連續三個L。

圖18中的線條并非真正的阿曼棒——標注星號者未能在紋樣全幅范圍內保持精確對齊，出現偏移導致S與L間隔互換位置（此類結構缺陷在準晶體中被稱為相子）。圖2(b)的周期紋樣雖具有相似線條，但其序列呈現重復性：垂直方向的"類阿曼棒"序列為SLSL，與垂直方向呈36°夾角的線條序列為SLLSLL，而與垂直方向呈72°夾角的線條則未形成規整對齊。

馬科維茨基團隊[24]將圖18視為準周期紋樣的典型案例，試圖探尋其與彭羅斯密鋪中"車輪"元素的結構關聯。在承認風箏形與飛鏢形拼塊匹配存在困難后，他們轉而嘗試匹配馬科維茨基在研究圖9(b)馬拉蓋紋樣時發現的彭羅斯拼塊變體[20]。其最具突破性的論斷見于結論6[24, p. 125]：

阿爾罕布拉宮出土及摩洛哥地區發現的非周期"車輪"十邊形紋樣，基于馬科維茨基近期提出的彭羅斯非周期密鋪改良版"PM1密鋪"……我們推斷，馬林王朝與奈斯爾王朝的工匠（數學家）必然掌握著類PM1對稱化的彭羅斯密鋪變體，此類紋樣無疑收錄于其高級紋樣集中。

在論文其他章節中，作者對其推測性質展現出更為審慎務實的態度。他們提出了另一種構建方案：基于頂點位于十邊形拼塊中心的徑向對稱菱形網絡[24, 圖23]。

要將圖案歸類為周期性或徑向對稱，必須擁有足夠大的樣本以識別其模板及重復規則。同理，若要將圖案歸為準周期結構，則需描述一套構建流程，使得給定局部圖樣能被視作覆蓋整個平面的準周期結構的一部分。僅憑有限片段中紋樣的幾何特征（如旋轉中心）與某種熟知的準周期密鋪相吻合，并不足以構成證據——我們必須找到基于紋樣自身元素構建的生成程序。圖18底層拼塊集合與圖13所示P?拼塊集合均為具十重對稱性的大型拼塊，但僅后者具備準周期延展的構建邏輯。

筆者認為，阿爾罕布拉宮紋樣的設計策略并不需要理解彭羅斯密鋪，其內核不過是：將大型對稱母題（玫瑰花結）排布成徑向對稱模式，再填充空隙。本節開篇概述的構建方法，完全采用據信為伊斯蘭藝術家所使用的技藝與母題完成了該紋樣的完整生成。其整體結構與圖5具有相同氣質。"阿曼棒"實為構建過程的副產品，盡管紋樣結構可能經過演化篩選以強化其視覺效果，這些線條在構建過程中也有助于維持各元素間的精確對齊。

伊斯法罕紋樣

圖20所示雙層紋樣與前述托普卡帕卷軸案例類似，均基于細分原理構建。大層級紋樣為源自圖1(b)蝶結-十邊形密鋪的"星與風箏"圖案。用于生成小層級紋樣的蝶結形與十邊形細分方式如圖21(a)與(c)所示（灰色區域為大層級紋樣疊加）。復合拼塊的邊由兩個梭形對角線及一個十邊形對角線構成。該圖案不具備層級不變性：大層級紋樣的多邊形網絡包含被4個十邊形環繞的蝶結形，但這種局部構型并未出現在小層級網絡中。

圖20 仿伊斯法罕伊瑪目陵墓的雙層紋樣

圖21 細分結構 (a) 與 (c) 源自伊斯法罕建筑紋樣[17]，縮放系數為4+2√5≈8.472

這些細分規則由盧克與斯坦哈特[17]從伊斯法罕建筑的三組層級紋樣中推導得出。圖22灰色區域標示出這些紋樣底層大層級多邊形網絡的局部：矩形帶狀區域環繞聚禮清真寺門道內側，三角形區域為伊瑪目陵墓一對鏡像拱肩之一，拱形區域同樣源自伊瑪目陵墓門道的鼓室——照片見文獻[17,35]。邦納[2]為伊瑪目陵墓拱形紋樣提出了另一種細分方案，其大層級紋樣以圖2(a)密鋪為基礎。

圖22 伊斯法罕紋樣中使用的蝶結形與十邊形密鋪局部

伊瑪目陵墓鼓室馬賽克與圖20的完美對稱構建存在數處差異：例如中心復合蝶結形右上角的蝶結-梭形組合（如圖7(a)所示）發生鏡像翻轉；上部復合十邊形邊角的蝶結-梭形組合同樣出現翻轉；兩側邊界弧段下端的十邊形被替換為圖7(d)組合。這些對復合十邊形的修改似為刻意為之——所有邊角均采用統一改動，以小十邊形替換可能更便于馬賽克嵌入壁龕。而蝶結形的異常或許源于工匠失誤。

若欲以伊斯法罕細分為基礎構建替代密鋪，則需為梭形拼塊設計配套的細分規則。在此過程中應效仿兩種樣本的特征——細分的鏡像對稱性，以及拼塊與灰線的相對位置關系。需注意灰線的焦點（如角點或交叉點）始終位于十邊形中心，而連接路徑則縱向貫穿蝶結形。圖21(b)呈現筆者的解決方案：雖部分滿足上述準則，但存在缺陷——灰線某些角點間距過近，導致以其為中心的十邊形相互重疊，且路徑貫穿蝶結形與兩端鏡像對稱要求產生沖突。該補充細分雖使膨脹過程得以實現，但生成的密鋪可能僅具數學理論價值。細分的大縮放系數導致膨脹增長率相應增大：十邊形經兩次膨脹后，拼塊總數將達約15000枚（作為對比，圖13所示拼塊集合約含1500枚）。

盧克與斯坦哈特在探討準周期性時引用了伊斯法罕紋樣，針對拱肩部分他們指出[17, p. 1108]：

"伊瑪目陵墓的鑲嵌圖案雖未嵌入非周期框架，但理論上可擴展為無限準周期紋樣。"

此言意指大層級紋樣的可見局部足夠小，尚未顯現平移對稱性，故該拼塊可能屬于非周期密鋪的一部分。若僅憑任意密鋪的有限片段，在缺乏局部或整體結構信息的情況下，根本無法判定其周期性。盡管伊瑪目陵墓紋樣中明顯周期性的缺失，可被解讀為藝術家刻意營造的模糊性表達，但依我之見，這更可能是受紋樣美學特質、小層級紋樣嵌片相對尺寸與填充區域面積等多重因素影響的選擇結果。事實上，三組伊斯法罕紋樣均以同一周期密鋪為基礎，這一事實本身即暗示其底層組織原則的周期性特征——聚禮清真寺紋樣中單向平移的可見性便是明證。

盧克與斯坦哈特同時觀察到，中世紀藝術家并非對單個大型拼塊進行細分，而是采用由若干大型拼塊構成的組合進行細分——這種構型在小層級網絡中并不存在。他們隨后指出[17, p. 1108]：

"這種任意且非必要的選擇意味著，嚴格來說該密鋪并非自相似，盡管重復應用細分規則仍可生成非周期密鋪。"

這給人以下印象：若中世紀工匠有此意愿，他們完全可以單塊拼塊為起點，通過膨脹操作直至覆蓋所需空間。但我們必須警惕以現代抽象概念解讀古代作品。尚無證據表明中世紀工匠理解膨脹流程——這些馬賽克僅需單次細分層級，且未包含迭代膨脹所必需的梭形細分規則。

依我之見，伊斯法罕紋樣與托普卡帕卷軸的雙層設計如出一轍，最合理的解釋是：將細分法應用于周期性大層級紋樣以生成小層級填充。更進一步說，大層級紋樣的選擇絕非隨意之舉——它作為最古老、最普遍的十邊形星形紋樣之一，必然為中世紀觀者所熟知，即便僅憑局部片段亦能辨識。

與彭羅斯密鋪的關聯

20世紀70年代，隨著非周期拼塊組（以彭羅斯風箏與飛鏢形最為著名）的發現，運用細分與膨脹法生成具有禁忌旋轉中心的準周期密鋪成為研究熱點。彭羅斯密鋪具有局部五重與十重旋轉中心，部分伊斯蘭紋樣同樣具備這些非尋常對稱特性，這一現象促使眾多學者探索二者間的關聯[1, 17, 20, 24, 27]。

圖23展示了風箏形與飛鏢形拼塊向蝶結形、梭形及十邊形拼塊的細分過程。與前例相同，風箏形與飛鏢形的邊線均落在拼塊的鏡像線上。通過這種替代規則，任何彭羅斯密鋪皆可轉化為伊斯蘭風格的紋樣[27]。更值得注意的是，由于風箏形與飛鏢形拼塊屬于非周期組合，由此生成的紋樣必然具有非周期性。

圖23 彭羅斯風箏形與飛鏢形拼塊的細分

這種轉換亦可反向進行。圖24展示了三種伊斯蘭拼塊向風箏形與飛鏢形細分的對應關系，其中兩個組合對彭羅斯密鋪研究者而言尤為熟悉：(a)為康威蠕蟲結構中的長蝶結形組件，(b)為車輪密鋪的中心樞紐。值得注意的是，(b)的構成方式與圖7(d)如出一轍，即由(a)與(c)組合而成。

圖24 彭羅斯風箏形與飛鏢形拼塊組合

風箏形與飛鏢形拼塊附有匹配規則，旨在通過拼圖式組裝阻止周期密鋪的構建。圖24中，每個飛鏢形"翼部"的兩個角與每個風箏形鏡像線上的兩個角均以灰色扇形標記；匹配規則要求灰色角僅能與灰色角相鄰。這一規則有效阻止了諸如蝶結形與十邊形在圖中以"星與風箏"紋樣方式組合——例如，十邊形對角位置無法同時放置兩個蝶結形。

圖24中風箏形與飛鏢形拼塊的標記賦予復合拼塊獨特的匹配規則：每個復合拼塊的各邊均設有將邊長按黃金比例分割的灰點，并以箭頭指向較短區段進行標識。與前述彭羅斯密鋪的頂點匹配規則不同，此處對密鋪邊施加約束——構成密鋪邊的兩側箭頭必須指向相同方向。通過此類標記與匹配規則，蝶結形與梭形即構成非周期拼塊組。其證明思路如下：圖25的細分規則表明可通過膨脹法實現平面密鋪，而任何由蝶結形與梭形構成的周期密鋪均可轉化為風箏形與飛鏢形的周期密鋪——但后者根本不可能存在。這些標記拼塊的替代矩陣與斐波那契數列相關聯，替代密鋪中梭形與蝶結形的數量比即為黃金分割比。值得注意的是，貫穿復合蝶結形中心的水平線縱向穿越小蝶結形、橫向穿越小梭形，經膨脹生成具有相同屬性的更長線段，最終替代密鋪中將包含任意長度的此類平行線（因無法相交而必保持平行）。這些線段承襲了自身的一維替代規則。

結論

在前述章節中，筆者闡述了伊斯蘭幾何紋樣的構建方法，簡要介紹了替代密鋪的現代數學理論，并剖析了若干傳統伊斯蘭紋樣。現將討論中得出的結論歸納如下：

1伊斯蘭藝術家使用的原胞拼塊集合（圖6）具備構建準周期密鋪的潛力。通過基于膨脹的替代密鋪或采用標記拼塊的匹配規則，均可生成此類范例。

2藝術家確實運用細分法創作層級紋樣。托普卡帕卷軸存有技法實例，伊斯法罕建筑的三組紋樣亦可由此技法闡釋。這些原胞拼塊以多元自我細分能力展現出非凡特質。

3尚無證據表明伊斯蘭藝術家曾迭代運用細分流程——筆者所見的全部紋樣僅具雙層結構。這在一定程度上受限于實際因素：大小層級紋樣間的縮放系數通常較大，而紋樣區域相對較小。托普卡帕卷軸的細分體系更因五邊形與蝶結形缺乏復合版本，導致迭代無法實現。

4未見伊斯蘭藝術家使用匹配規則的證據。最接近強制非周期性裝飾手法的當屬阿曼棒——某些紋樣中出現的相似線條實為構建過程的副產品，而非設計流程的輸入要素，盡管此類特征可能因美學吸引力而被刻意保留。

5本文分析的紋樣不足以證明伊斯蘭藝術家掌握準周期紋樣的生成工藝。這些紋樣要么是通過矩形邊反射生成的周期結構，要么是具有徑向對稱性的大型設計。多層級紋樣呈現的是層級性，而非層級不變性。

本文聚焦于具局部五重對稱性的紋樣研究。西班牙與摩洛哥地區存在具局部八重對稱性的同類紋樣，塞維利亞王宮少女中庭的精美雙層設計即為典例[22]——這些紋樣底層多邊形網絡的幾何結構基于√2比例體系而非黃金分割比。穆克納斯（通過層疊單元逐級縮小中心孔洞形成的鐘乳石狀穹頂）的平面圖有時亦展現相似特征，其網絡結構與由正方形和45°-135°菱形構成的阿曼-賓克準周期密鋪[33]高度相似。后者作為另一種可通過細分與膨脹生成的替代密鋪，其拼塊同樣可裝飾線段以形成阿曼棒。針對某些伊斯蘭八重紋樣，學界已提出與本文評估相類的論斷[2, 6, 22, 23]。

依筆者之見，伊斯蘭世界對細分的興趣最可能源于多層紋樣的創作需求。伊斯蘭藝術家無疑熟稔通過反射、旋轉和平移重復模板生成紋樣的技法，他們或許對晶體學限制律具有直覺認知，意識到全局五重與十重旋轉中心與周期性的天然矛盾。盡管他們確實掌握構建準周期紋樣的工具，卻缺乏相應的理論框架來認知這種可能性及其深遠意義。

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