我們能知道所有的數學真理嗎？

在數學中，我們通常相信一件看似理所當然的事：對于一個命題，只要通過嚴格的推導把它證明出來，那么我們就相信它是真的。既然如此，我們能否知道所有的數學真理，或者說是否所有的數學真理都能被證明？這一信念背后其實隱藏著一系列關于數學基礎的更深刻的問題——什么是數學證明？如何選擇公理？是否存在一套完備的推理規則？等等。數學家和邏輯學家試圖以形式化的方式回答這些問題，希望用一套明確的公理與推理規則刻畫所有可能的數學證明，從而為整個數學建立堅實的基礎。但出人意料的是，對這一計劃的深入研究最終揭示了一個現實：我們對數學真理的把握有著本質上的限制，而這種限制來自數學本身。本文也將以此為線索，對邏輯學作一個簡要介紹。

撰文 | 葉凌遠

“Ignoramus et ignorabimus”，我們不知道，我們永遠不會知道。

這是德國生理學家Emil du Bois-Reymond 在其1872年出版的著作《關于自然知識的限制》（über die Grenzen des Naturerkennens）中寫下的拉丁語格言。這句格言表明了對于科學發現的態度：我們能夠發現的科學知識在本質上是受局限的。1900年，新世紀之初，國際數學家大會在巴黎舉行。在會上，大衛·希爾伯特（David Hilbert）堅定地反對了面對科學探索如此消極的態度。他發表了如下這番話：

“每一個數學問題都可以被解決，這種信念是對研究者的一種強大激勵。我們在內心不斷聽到這樣的召喚：問題就在這里，去尋求它的解答吧，你可以憑借純粹的理性找到它。因為數學中不存在 ignorabimus”。

三十年后，希爾伯特更是喊出了如下更鏗鏘有力的口號：“Wir müssen wissen - wir werden wissen”，我們必須知道，我們終將知道。我相信，這種對認知數學真理的堅定信念仍是大部分數學工作者所認同的。

然而，我們真的能知道所有的數學真理嗎？甚至，我們真的有辦法明確地回答這個問題，而不僅僅是淪為不同信仰的爭吵嗎？本文對邏輯學的介紹便會圍繞這一問題展開。作為一些劇透，我想在本文的最后讓讀者了解，希爾伯特對數學求索的設想可能過于樂觀了——我們對數學真理的把握有著本質上的限制：這種限制無關乎人類的智力或創造力，它是數學作為一項嚴格的事業所必須要面臨的局限。

什么是數學證明？

要回答“我們能否知道所有的數學”這個問題，最關鍵一點是明確我們獲得數學知識的途徑。而數學的特殊之處在于，獲得數學真理本質上只有一種方式：通過證明！因此，理解何為數學證明便是我們回答這一問題的最佳切口。

數學和哲學一樣，是人類智力活動中最古老的領域之一。在古希臘，證明幾乎可以看作一種修辭，用于在對話中說服他人相信某個命題。這一點在柏拉圖的對話體寫作中體現得尤為明顯，《美諾篇》（Meno）更是在一般意義上探討了人類如何獲取知識這一問題。我們在此不論述這一更一般的哲學問題，但引用其中提到的一個具體例子。

蘇格拉底詢問一個奴隸，如果想要把一個正方形的面積擴大兩倍，其邊長需要擴大多少倍？奴隸的第一反應是，需要變成原本的兩倍。蘇格拉底按照他的回答在沙地上用木棍畫出了下圖左邊的圖案。由此，奴隸便明白了，依照他的回答，正方形的面積會變為原本的四倍。蘇格拉底隨后又在該圖形上添加了四條對角線，如下圖右所示。

由于每條對角線都把四個小正方形分割成了面積相等的兩份，中間構成的正方形其面積也會是外部大正方形面積的二分之一，即為原本小正方形面積的兩倍。蘇格拉底通過這樣的對話說服了奴隸這一事實：若要把正方形的面積變為原來的兩倍，其邊長需要變為如上右圖中對角線的長度。整個對話便構成了一個“證明”。[1]

現代數學意義上的證明可以說是從歐幾里得開始的。歐幾里得的《幾何原本》以定義-公理-定理的順序展開，構建了許多幾何和數論的結論。毫不夸張地說，歐幾里得的書寫影響了之后兩千多年人類探索數學的方式：數學要從解釋所使用的術語的定義和預設的公理開始，根據邏輯推演得出結論。同時，古希臘時期人們已經意識到這就是證明的一般結構。亞里士多德在其《后分析篇》（Analytica Posteriora）中已經提到：演繹科學圍繞著一些無需進一步解釋即可理解的基本概念，和一些被視為理所當然的基本真理或公理而構建。已定義的概念和定理都被簡化為這兩者，后者是通過證明實現的。

依照這一范本，數學獲得了驚人的發展——即使語言不通，不同地區的數學家們仍然能夠相互理解并認可彼此的定義、公理以及推演步驟，在歷史的長河中不斷推進人類對數學的理解。初學者可以通過閱讀與模仿習得這樣的技巧，隨后發揮自己的聰明才智發明新的定義、證明新的定理，從而推動數學的發展。

然而，能夠寫下數學證明并不意味著對證明本身有了完整的理解。要描述所有可能的數學證明，我們所面臨的是如何理解證明的一般結構中所出現的幾個要素：

1. 如何確定數學的基本概念？

2. 如何選取公理？

3. 推理的規則有哪些？

若仔細想想，這幾個問題的答案都不是顯然的。很長一段時間內，數學定義要么依賴于之前已經定義好的術語，要么必須超出數學的語言，依賴于人們對某些基本概念的直觀。例如，在《幾何原本》中，歐幾里得將“點”定義為“沒有部分的事物”，而后者并沒有更進一步的闡釋，而是默認了讀者對此有足夠的直觀理解該定義的內涵。顯然，我們也不能一直通過引入別的概念來解釋現有的定義——否則就會陷入無窮盡的循環。那么，哪一個或哪些概念能夠作為其他一切概念定義的基礎呢？對于選定的基本概念，要選擇哪些自然的事實作為公理？要使得所選的基本概念和公理能夠囊括所有的數學證明，這是一件不容易的事。

其次，哪些推理規則是可以在證明中使用的？我們很容易列舉出一些常見的推理規則，比如“若A推出B，且B推出C，則A推出C”，或者“若A推出C，B也推出C，則（A或B）能推出C”。歷史上許多哲學家都研究過可行的推理規則，早期有亞里士多德著名的“三段論”，中國的墨家也對推理有相關的敘述。要完整地理解什么是一個數學證明，我們必須列舉出所有可以在數學證明中使用的推理規則。檢查列舉出的推理規則是否正確，或者說是否有效，是比較容易的：若推理的前提為真，則結論也必須為真。可是，如何確保所列舉出的推理規則是完全的？或者更明確地說，如何確保所有可能被證明的命題都能夠依據我們所列舉出的推理規則演繹得到？回答這個問題同樣困難。

現代邏輯學對上面這些問題都給出了可能的答案。基于此，邏輯學對什么是一個數學證明本身給出了一個可能的嚴格且完整的描述。在筆者看來，這是人類對真理探索——至少是數學真理探索——旅程上一個重要的轉折點，它標志著我們將探索真理這項活動本身也納入了理性檢驗的范疇。

本文之后的內容就圍繞著邏輯學如何回答這幾個問題展開，為讀者簡要地介紹邏輯學的思想。在文章的最后，我們會回到行文伊始的問題，在邏輯學的角度下談談希爾伯特對數學發現的觀念是否是恰當的。

證明的出發點：集合

數學基于非常簡單且直觀的基本概念發展了許多年。幾何學以點、線、面等基本幾何對象為基礎，數論與代數則基于自然數，這些概念對于有立體感官以及計數經驗的人而言是直接的。隨著數學不斷涉及新的復雜概念，為數學對象尋找一個嚴格甚至是統一的基礎變得越來越重要。首先是微積分，在其發展的早期，許多計算與證明都基于對“無窮小”以及“連續體”等概念啟發式的理解，并不具有嚴格性。之后復數與復分析的發展更是讓人們對于
作為一個數字的具體含義感到困惑。礙于篇幅與能力，筆者在此無法詳細地整理數學中概念的發展歷程。但這一節想要說明的是，到了十九、二十世紀，在戴德金、康托等數學家的努力下，以一個單獨的概念為基礎統一所有的數學定義變得可能了，這個概念就是集合。

一個集合直觀上就是一些元素所構成的整體。集合之間最基本的關系就是集合之間的屬于關系，數學家用x∈y來表明x是y的一個元素，每個集合都由其內的元素唯一確定。直觀上，集合之間存在許多自然的操作：最簡單的集合是空集?，即不包含任何元素的集合；給定一些集合，我們能將它們的元素并在一起構成一個新的集合，等等。從空集出發，我們能定義自然數，例如將 0 看作空集?，1 看作只包含0這一個元素的集合，通常記作 {0}；2 看作包含0，1兩個元素的集合，記作{0,1}，以此類推。這樣，每個自然數所包含的元素個數即為該自然數本身。

或許最精彩的構造是戴德金用集合的語言對實數的定義：一個實數可以看作是對有理數集某種特別的“分割”，被稱為戴德金分割。實數由此便可看作是對有理數集分割的集合。從自然數和實數出發，用集合論的語言就能夠清晰地描述代數與幾何中的基本概念。同時，在以柯西為代表的數學家們工作的基礎上，集合論的語言也為微積分、復數等近現代數學中的復雜概念提供了嚴格的基礎。

至此，數學不同領域看似不同類別的對象都能夠統一地用集合的語言描述。這是數學一次巨大的理念革新，意味著我們找到了一個可能的基本概念：所有其余的數學定義都基于集合這一基本概念，而所有的數學證明都可以從有關集合的定義與公理出發，依照嚴格的推理完成。

集合的公理

然而，這一理念革新潛藏著危機——對于集合，應當選擇什么樣的公理？在數學發展的初期，當人們仍以基本的幾何對象或自然數作為基本概念時，有關它們的公理或多或少是顯然的：我們有足夠的直觀能夠直接地判斷一個關于基本幾何對象或自然數的命題是否正確。例如，歐幾里得在《幾何原本》中列出的五條幾何的基本公理，或是自然數的歸納公理，這些在直觀上都是顯然的：我們能直觀上驗證這些公理的正確性，并且往往從這些簡單且基本的公理出發，我們能夠證明大部分有關幾何與自然數的基本事實。

某種意義上說，我們對集合仍具有良好的直觀。但是，對于集合直觀的簡單運用卻會帶來矛盾——這就是著名的羅素悖論。羅素悖論基于一個簡單的直觀：由于一個集合只是一系列元素構成的整體，任何一個性質P都應能定義一個集合 {x|Px}，該集合內的元素即為所有滿足性質P的對象。然而，不加限制地使用這一公理會導致矛盾：定義R?{x?x∈x}，即 R 為所有自己不屬于自己的對象所構成的集合。根據其定義，R∈R當且僅當 ?R∈R，矛盾。

為了解決這一“數學危機”，在確定有關集合的公理時需要更為小心謹慎。本文不再詳述集合論公理具體的發展歷程了。只是告訴讀者，在以德國數學家恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）和亞伯拉罕·弗蘭克爾（Abraham Adolf Fraenkel）以及挪威數學家托拉爾夫·斯科倫（Thoralf Skolem）的努力下，集合論有了一個被數學界普遍接受的公理化系統，現如今通常被記作 ZFC（Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choice）。

在為數學提供基礎的層面上，公理集合論取得了巨大的成功：目前數學界已經普遍認可所有已知的數學定理都可用集合的語言描述，并從集合論的公理出發得以證明。換句話說，目前絕大多數已知的數學都是集合論在 ZFC 公理下的推論。以此看來，集合論的公理系統無論如何都是人類探求真理歷史上的一顆明珠。

推理規則的完全性

此時，我們剩下的唯一一個問題就是確定數學證明所允許的推理規則。如前文所言，對這一問題的研究比集合論要古早得多。不過，從現代的眼光來看，兩千多年來人們都只局限于發現有效的推理規則，而沒有對推理規則進行一般性的研究。范式的轉變來自德國哲學家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）于1879年發表的重要著作《概念文字》（Begriffsschrift）。弗雷格毫無疑問是現代形式邏輯的奠基人，他首先構造出了一個現代意義上的形式邏輯系統，清晰地定義了何為一個數學證明。自此之前，沒有人想過存在一套完全的證明原則能夠用于所有可能的數學推理：

“所有正確推理所必需的內容都已完整表達，而非必需的內容通常不予指出；一切都無需猜測。” （《概念文字》，第3頁）

我們之前已經提到，一個有效的推理規則只需要滿足一個條件：若前提為真，則結論也必須為真。很顯然，滿足此條件的推理規則是無窮多的，因為我們只需把已知的有效推理規則組合在一起就能形成新的有效的推理規則。弗雷格的工作所具有的劃時代意義是：我們能夠寫下有限多個基本的推理原則，使得所有的有效推理都能由這些基本推理規則組合而成。我們稱這有限多個基本推理規則是完全的。這一理念進步對邏輯學和數學基礎的發展都具有決定性意義。

弗雷格的《概念文字》毫無疑問開啟了現代邏輯學的研究，且現在我們知道，他在其中列舉出的推理規則的確對于數學證明而言是完全的。然而，對于這一事實的嚴格證明還需要許多數學家和邏輯學家的努力。事實上，如何以嚴格的方式問出這一問題在弗雷格的年代都并不明晰。到1928年，希爾伯特和德國數學家威廉·阿克曼（William Ackermann）在他們的著作《數理邏輯原理》（Grundzüge der theoretischen Logik）中更加嚴格地問出了證明規則完全性的問題。這一問題被庫爾特·哥德爾（Kurt G?del）于1929年在其博士論文中解決，他證明了希爾伯特和阿克曼在上述著作中給出的證明規則是完全的。

從現代的角度來看，一套完全的推理規則由兩部分組成：結構規則和邏輯連詞的規則。結構規則中最重要的是“切割規則”（cut rule），它聲明若有一個以 A 為前提 B 為結論的證明，且有一個以 B 為前提 C 為結論的證明，則可將這兩個證明合起來構成一個以 A 為前提 C 為結論的證明。而有關邏輯連詞的規則則與每個邏輯連詞的使用方式有關：每個連詞都對應著兩個規則，即它的引入規則和消去規則。引入規則規定了我們如何證明一個帶有該邏輯連詞的語句，而消去規則規定了如何從帶有這個邏輯連詞的語句出發證明新的句子。現代邏輯學可以證明，結構規則加上每個邏輯連詞對應的引入和消去規則對于所有的邏輯推理是完全的。由于數學語句中只涉及有限多個邏輯連詞（合取、析取、否定、蘊含、存在、全部），因此證明規則也是有限的。

至此，我們對何為一個數學證明就有了一個清晰且嚴格的答案：數學證明所涉及的基本概念可選為集合和其之間的包含關系；對于集合我們有一套完整且確定的公理描述其性質；同時，我們有一套完全的證明規則，使得在集合論下所有可能的數學證明都能從集合論的公理出發，依照這些有效的推理原則證明得到。我們最后得到的這一系統原則上囊括了自數學發展以來所寫下的——以及可見的未來內可能寫下的——所有數學證明。按照現代邏輯學和數學的約定，我們把這一整套公理及證明系統記作 ZFC。

數學基礎的不完全性

此時，讓我們回到最開始的問題：我們能否知道所有的數學真理？如果我們認同人類知道任何數學真理的方式只能通過證明，那該問題就等價于，是否所有數學真理都能被證明？當我們確定了數學證明所選取的證明系統 ZFC，該問題也等價于問 ZFC 能否證明所有的數學真理？

答案是徹底的否定！某種意義上，這是現代邏輯最重要的結論之一。這一結論同樣歸功于哥德爾，有意思的是這一結論同樣來自于他嘗試回答希爾伯特所提出的另一個問題：一個數學證明系統能否證明自身無矛盾？

文章之前提到過，之所以數學家和邏輯學家花了大量的精力嘗試給出集合論嚴格而確定的公理化，是因為對于一些集合直觀的簡單運用會立刻導致矛盾。這里未被討論的問題是，那我們如何確定之后所寫下的公理同樣不會導致矛盾？如果所使用的證明系統能夠推出矛盾，于數學而言這顯然是巨大的災難。

希爾伯特曾提出了他對于驗證公理證明系統無矛盾的設想：我們應該能通過本質上“有限”的方法驗證所選取的公理-證明系統無矛盾。哲學上對于何為“有限”有很多爭論，但粗略地說，我們應該能僅僅通過一些有關計數的原則——這些原則我們應該能夠通過直接計算進行驗證——證明所選取的公理系統無矛盾。由此，希爾伯特希望可以毫無爭議地確定數學證明系統不會產生矛盾。

然而，哥德爾的結論完全推翻了希爾伯特的設想。即使我們不僅僅局限于“有限”的手段，而將整個 ZFC 作為出發點，它也無法證明自身無矛盾。若我們相信 ZFC 是無矛盾的——這也是絕大部分數學家所相信的——這意味著我們所選取的公理系統無法證明所有的數學真理。這被稱為數學基礎的不完全性。

讀者自然會問，這是否是由于我們所選取的公理是不完整的？若所選取的公理不完整，自然而然其無法證明所有的數學真理。事實上，哥德爾的結論證明了這不是公理選取多少的問題：只要所選取的公理集是可判定的（且具有足夠的表達力），即有一個具體確定的規則告訴我們一個數學命題是否是一個公理，最后得到的公理系統都是不完全的。不滿足這一條件的公理系統本質上是無法被數學家使用的，因為若無法有效地判定一個語句是否是一個公理，那如何運用公理進行數學證明呢？因此，我們不可能通過向 ZFC 增添新的公理的方式得到一個可用的且能證明所有數學真理的公理體系。

結語

基于數學基礎的不完全性，我們該以什么樣的方式面對現有的數學研究呢？許多數學家都認為，這些結論對于具體的數學工作是沒有意義的。因為數學的重點不全在于證明新的定理，一部分也在于加深人類對理念和現實世界的理解——而這種理解不是通過對定理進行形式化地證明，而是通過創造新的概念、找出看似不同事物之間的關聯而取得的。盡管 ZFC 原則上能夠描述所有已知的數學證明，但在實際研究中，集合論就像一把大刀隨意地將數學的對象切碎成末，加工成人類無法理解的碎片。好的數學應該是像柏拉圖在《費德魯斯篇》（Phaedrus）中所說，要“切在自然的關節處”：引入好的概念使得人的理解加深，而不單單是機械地證明更多定理。

筆者同意這樣的看法，但也認為部分數學家可能沒有意識到數學基礎對于他們工作的潛在重要性。的確，大部分數學家的工作可能不會超出 ZFC 的能力，但隨著數學的發展，數學家們必定會遇見他們推斷為真——事實上也可能真的為真——但 ZFC 無法證明的命題。許多人可能會認為這樣的情況不會出現：數學中任何“自然的”命題應該都能在 ZFC 中證明。然而，何為一個“自然”的命題并不清晰。希爾伯特在 1900 年巴黎數學家大會上提出了著名的 23 個問題，許多問題都深遠地影響著數學之后一百多年的發展。其中的第一個問題有關康托的“連續統假設”，而哥德爾和美國數學家保羅·科恩（Paul Cohen）的工作說明該假設與 ZFC獨立，即 ZFC 不可證明也不可證否該假設。

當然，對于數學基礎的探討可能無法對目前大部分數學家的日常工作產生幫助，數學也的確不應該一直局限于對于數學基礎的探討當中，而更應該關注什么樣的數學結構更能夠揭示數學和自然界的真理。但隨著數學的不斷發展，我們有一天一定還會回到對數學基礎的討論中來，因為每個數學家工作的下一個問題都可能超出 ZFC 中的證明。那時，如哥德爾在其職業生涯后期一直所強調地那樣，我們會需要新的公理——甚至是不再基于集合作為基本概念的新的數學基礎。

注釋

[1] 當然，依照現代數學的眼光，這并不構成一個嚴格的證明。不過有趣的是，現代邏輯學對證明的其中一種解釋是博弈語義，它可以看作將證明理解為對話的理論基礎。只不過對話的對象變成了抽象的“上帝”：如果你能說服上帝某個命題為真，那顯然你就證明了它，否則全知全能的上帝一定能舉出反例！

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