三刷過后，聊聊《挽救計劃》中的飛船與燃料丨看電影學天文

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最近熱映的科幻電影《挽救計劃》引起了許多討論，逐星也在第一時間。在文章的評論區有網友提到了燃料問題。

電影中身為外星入侵物種的噬星體同時也是讓地球人和波江星人有能力實現星際航行的突破口，原因是噬星體能作為一種極為高效的燃料。在原著小說中作者安迪·威爾在相關內容上著墨不少，從而讓整個故事看起來更為科學。電影也通過展示主角動筆計算的畫面、臺詞等形式讓觀眾相信相關劇情是科學合理的。不過或許是為了避免淪為無趣的科學說教，電影相比小說有意模糊了一些細節，比如說沒有解釋為什么波江星人會有多余的燃料給主角。接下來就以這個問題為切入點聊聊《挽救計劃》中的飛船與燃料。

挽救之星飛船與發出佩特洛娃輻射的「燃料」噬星體︱電影《挽救計劃》

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波江星人的多余燃料

關于為什么波江星人會有多余的燃料給主角這個問題，電影中是有暗示的。波江星人洛基與地球人主角格雷斯曾在談話中提到在天倉五的研究結束后的計劃，格雷斯因為在醒來時通過飛船噬星體的剩余量計算出返回地球需要上百年，明白自己執行的是一個有去無回的自殺任務，所以一直有意回避話題。洛基主動提起這一話題，則說明波江星人的計劃不像地球人，他們是有考慮返回自己母星的，所以飛船上還有大量用于返程的噬星體燃料。勻一部分給格雷斯，最多就是回程開得慢一些。電影臺詞也給出答案，波江星人給格雷斯燃料后路程時間會延長6年，這對于幾百年壽命的波江星人來說那都不叫事。

圖︱電影《挽救計劃》

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挽救之星飛船質量

剛剛提到了格雷斯在剛醒來時發現自己無法在有生之年返回地球，電影中給出了一段他在白板上的計算，我們可以據此推導出挽救之星飛船的質量。電影給出的數據有飛船剩余噬星體質量為11581千克，噬星體消耗速率為每秒6g，此時飛船正以1.5倍重力加速度作勻減速運動。此時如果將航向對準地球勻加速，完全消耗掉噬星體燃料需要1.93E6秒，飛船最終速度可以達到每秒2.84萬千米，接近0.1倍光速。此時勉強可以適用普通的齊奧爾科夫斯基火箭方程：

代入相關數據（ve按1c計算），飛船初始質量m0與最終質量m1的比值是約1.1倍，即飛船凈質量是燃料質量的約10倍，挽救之星飛船的凈質量約為120噸，作為對比，我國的天宮空間站質量約為100噸。電影中挽救之星飛船在觀感上確實與空間站的體量相近。

天宮空間站︱Wikipedia@Shujianyang

在之前的文章中我們已經定性分析了為何地球人沒辦法攜帶返程燃料，現在飛船凈質量已知，可以做一個定量計算，看看如果計劃往返，飛船需要多帶多少燃料。使用考慮相對論的火箭方程：

其中M是燃料質量，m是燃料消耗后飛船的剩余質量，單程時m即飛船凈重。考慮返程時時間增加一倍，飛行方式不變，往返所需燃料質量則變成單程燃料質量與飛船質量的平方。已知單程時燃料質量是飛船質量的2000/120≈16.7倍，那么考慮返程后需要攜帶的燃料質量就會變成飛船的(16.7+1)2-1≈312.3倍，需要額外攜帶(312.3-16.7)×120=3.5萬噸飽和噬星體。

格雷斯：你在逗我嗎︱電影《挽救計劃》

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不懂相對論的波江星人

看到這你可能有了新的疑問：既然人類帶不了返程燃料，為什么波江星人就能帶呢？波江星人自然也會受物理定律約束，但他們逆天的材料科技樹在一定程度上緩解了這一點（對就是那個氙巖）；他們的行星上有著兩百多攝氏度的海洋，可謂天選噬星體充能站（電影沒有提到這一點）。此外在原著小說中還補充了一個看似合理的理由：由于不懂相對論，波江星人原本估計飛船要六年多才能飛抵天倉五，而實際上飛船只用了不到一半的時間（三年），時間短了，燃料消耗自然就少了有富余。

關于波江星人究竟帶了多少燃料，我們可以在純牛頓力學的框架下求解這個問題。電影并沒有明確給出波江星人前往10光年外天倉五所花費的時間，如果按照小說的設定，是6.64年。以最簡化的勻加速勻減速模型推算，飛船的極速將會達到3.01倍光速，加速度為0.879g。將這一數值帶入齊奧爾科夫斯基火箭方程中，得到的結果是飛船出發時需要攜帶相當于自身飛船凈質量約412倍的燃料。如果考慮返程，還需要在這個基礎上平方，也就是需要攜帶相當于自身飛船凈質量17萬倍的燃料。電影和小說都沒有涉及波江星飛船Blip A的質量，如果代入地球人的挽救之星飛船質量計算，結果將會是恐怖的2040萬噸。

電影中的挽救之星號與Blip A︱電影《挽救計劃》

這個數字看著不可思議，但波江星人在理論上確實有能力喂飽這么多的噬星體，小說中提到波江星人所在的波江座40Ab有著水量數倍于地球海洋的水體，水溫接近500開爾文。假設將波江座40Ab的全部海洋（取5倍地球海洋質量）降溫100開，釋放的能量足夠生產3200萬噸飽和噬星體。

電影中的波江座40Ab︱電影《挽救計劃》

PS：引入勻速巡航階段可以大幅降低燃料消耗，如先以2.2g（小說提及波江星人的故鄉波江座Ab的重力加速度是地球的2.2倍）的加速度勻加速273天，隨后進入巡航階段，在到達前開始以2.2g的加速度勻減速273天。這種情況下飛船極速約為1.7c，單程所需的燃料-飛船質量比大約是28.8，往返是29.82-1≈887倍。但沿著這一假設不能實現「波江星人因為不懂相對論而節省燃料」的設定，見下一節。

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更節省 or 更浪費

我們把燃料總量的問題暫時放一放，先看看波江星人是否真的因為不懂相對論而節約了燃料。

定性討論，由于相對論的「尺縮鐘慢」效應，飛船上經歷的時間確實會變短，從而減少了燃料的使用時間；但相應的，如果波江星人執意要達到預定的超光速狀態，則會不斷提速，在接近光速的過程中單位時間內會消耗更多的燃料。這兩種效應綜合以后燃料消耗如何變化，還得具體情況具體分析。

如果波江星人一直維持原計劃的加速度0.879g推進，那么在飛船時間過去3年時（大概是原計劃時間的一半）已經飛行了8個光年，或許洛基在此時注意到了這一點開始減速。小說中洛基確實也提到了他們的飛船比預想的更早過了行程中點。此時前半程勻加速對應的燃料質量比約15.5，減速時由于能量守恒，也是消耗對應比例的燃料，兩者疊加得到單程的燃料與飛船剩余質量比為16.52-1≈271，271/272＜412/413，燃料的消耗確實會比預計的更少一些。飛船上經歷的時間大約是4年。

波江星人洛基

根據牛頓計算結果，波江星人攜帶了17萬個單位質量的（1單位質量=Blip A飛船凈質量）噬星體，原來預計會消耗掉(412.4/413.4)×1.7E5≈169588.8單位質量的燃料，而實際消耗了(271/272)×1.7E5≈169375單位質量的燃料，節省了約214單位質量的燃料。考慮到Blip A的體量不會小于挽救之星號，把這些節省的燃料勻一部分給格雷斯回家倒是綽綽有余。

電影中洛基提出給格雷斯燃料后，格雷斯獻上擁抱︱電影《挽救計劃》

如果按照小說提到的波江星人只用3年就到達了天倉五，那么飛船需要更加接近光速，會更貼近前文所說的執意達到預定超光速的情況，所需加速度也要更高。考慮簡化的勻加速-勻減速模型，飛船極速是0.996c，加速度為2.02g，此時單程的燃料與飛船剩余質量比為e^(2×3×9.8×365.25×86400/299792458)-1≈518。518/519＞412/413，此時飛船的燃料消耗量反而會略多于牛頓計算值。

PPS：如果同樣引入巡航階段，首先同樣以2.2g勻加速273天，到達前273天開始勻減速，這樣的飛船巡航速度為0.938c，單程所需燃料-飛船質量比為29.74，29.74/30.74＞28.8/29.8。此時不懂相對論并不能讓波江星人節省燃料。

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必須保留的「破綻」

回到燃料總量的討論，以上推算表明波江星人在出發時可能攜帶了接近Blip A 20萬倍質量的噬星體，這個數字怎么看都不太合理，至少不是人類科技可以比擬的（作為對比航天飛機的燃料與軌道器質量之比大約是20:1），就算是人均材料仙人的波江星人也不見得有能力接近這個比值。如果不想把波江星人的Blip A飛船視為一種材料學奇跡，就得引入飛船勻速巡航的設定以降低燃料的攜帶量，但這又跟小說中「波江星人因為不懂相對論而節省燃料」的說法產生沖突，甚至于會消解波江星人給主角燃料的合理性。

另外人類這邊區區2000噸噬星體是否足夠支撐單程航行也是要打個問號的。理論上想要在4年時間內抵達天倉五就要達到400倍的燃料-飛船質量比，16.7倍遠遠不夠；如果考慮之前的文章中提到的人類收集能量的速度，保持2000噸噬星體質量不變時飛船質量只能調低到約5噸（神舟飛船是8噸）；如果保留燃料與飛船質量的16.7倍比值，就要至少延長飛行時間到7年。總之2000噸噬星體-120噸飛船-4年內抵達天倉五三個條件組成了一個不可能三角。

以上這些由燃料引發的不合理之處可以看作是整個故事當中不得不留的bug，正如現實中火星的氣壓不足以產生《火星救援》描述的那種風暴。

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