數學，美在哪里？

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（來源：圖靈人工智能）

數學，美在哪里？

所謂“數學之美”，也是個老生常談的話題了，我不揣冒昧，也談談我的認識。

數學，美在簡潔

有這樣一個問題：給你平面坐標系上的三個定點，求過這三個定點的圓的方程。如果讓普通的中學生來求解，肯定是先作出其中兩點連線的垂直平分線方程，然后再作一垂直平分線方程，繼而求交點、半徑，才能得到圓方程，多么麻煩。但數學家不是這樣，他們直接寫出圓的方程：

這是多么的簡潔。利用行列式的性質立刻可以看出，、、 均滿足這個方程，所以這個方程確實是過已知的三個點，而且 和 的系數相同、沒有 項，完全符合圓的方程特點。

該方程不但適用于一般情況，也適用于退化情況：只要將方程按第一行（或第一列）展開，馬上可以看出當且僅當第一項的余子式為零時，這個方程的二次項系數為零，即此圖形退化為直線，而這個余子式恰好就是以已知點為頂點的三角形面積的二倍。換言之，當且僅當這三個點代表的三角形面積為零（此時三點共線），所求的過這三個點的圖形為直線。

可能有人會說，前面的行列式如果展開的話，并不簡潔，那么請看微積分基本定理：

以一個式子溝通了導數和積分之間的關系，何等簡潔？

不但數學式子是簡潔的，數學理論也是簡潔的。《幾何原本》把整個幾何的知識體系都建立在了五條公設和五條公理上，即使到了現代公理體系的經典著作《幾何基礎》，也只有二十條公理，而這些公理能推出的命題則不可勝數。

數學，美在奇妙

這里的奇妙有兩方面的含義，一是結論本身的奇妙，二是求解（求證）過程的奇妙。晚年的愛因斯坦回憶兒時曾經談到“一本關于歐幾里得平面幾何的小書”，并且舉了一個例子——三角形的三個高交于一點。這個定理的神奇之處在于，一方面它很不容易由觀察得出，另一方面也在于它的一個著名的證明過程居然會用到四點共圓，而這個定理本身無論前提還是結論都和圓毫無關系。

能體現數學之奇妙的還有尺規作圖。眾所周知的是，正七邊形不能用尺規作出，但正十七邊形居然可以，甚至可以用單獨一只圓規或者單獨一把尺子（配合一個已知圓）作出，真可謂神乎其技。

類似的驚奇還出現在“有理數和整數一樣多”“實數比有理數多得多”的證明中。乍看起來，無窮多的東西怎么能比較多少？但是數學家能夠像普通人處理 一樣處理無窮，真是不可思議。可是另一方面，有時數學家處理的研究對象又是很少的，比如所謂的布爾代數，只涉及兩個對象——0 和 1，很難想象數學家會研究這么“貧乏”的東西，更難以想象的是，數學家居然從中得出了非常豐富的結論。

在學習泰勒展式和傅里葉分析前，你可曾想過，（幾乎）“任何”函數都可以化成統一的形式，乃至無論函數本身的定義如何，都可以用四則運算來計算？筆者中學時代常困惑于“數學用表是怎樣編制的”這個問題，待學完泰勒展式后這個問題迎刃而解。

下面兩個命題從表面上看似乎是矛盾的，以至于很難相信它們竟會同時成立：一是素數是無窮多的，二是存在著任意（給定）長度的連續的合數數列。這兩個命題都能用很簡短的方式加以證明，其可靠性是確定無疑的。這展示了數學奇妙特性的另一方面。

數學，美在統一

給出平面直角坐標系上的三個點的坐標，以這三個點為頂點的三角形面積怎么計算呢？還是用行列式表示比較容易：

這里內層的豎線表示行列式，外層的豎線表示絕對值。而立體直角坐標系上四棱錐的體積公式則是

數軸上兩個點的坐標，其距離則可以寫作

看出來系數的奧妙了嗎？沒錯，正是維度階乘的倒數。

如果你取消上面的絕對值符號，那么會有更統一的結論：以平面為例，任給四個點 、、、，則有 ，這里的 是帶號面積，以角標下第一個點的坐標為 、第二點的坐標為 、第三個點的坐標為 。這樣處理，無論點 D 在三角形 ABC 的內部還是外部，結論都是一樣的。

仍以前面說過的過平面上已知三點的圓方程為例，可以方便地擴展為三維空間乃至 維空間里 個點的球方程。

體現數學統一性的還有求最值的方法。筆者在高中時代為了求最值可沒少受罪，比如什么直接法、函數增減法、判別式法等等（那時高中還不講導數），但是到了大學發現，原來求最值只要先求得導函數再解方程，然后比較一下就可以了啊。

數學，美在嚴謹

培根曾說，數學使人嚴密。有幾個學生在初中沒有受過“有且僅有”“當且僅當”一類字眼的折磨？還有就是證明一個東西是另一個東西的“充要條件”，或者在證明軌跡的時候要先證明一次“符合條件的點在所求線段上”，再證明一次“不符合條件的點不在所求線段上”，當時覺得多此一舉，但是后來才知道只有這樣才能保證正確性。

另外的例子是在學習微積分時，先要背所謂的 ε-δ 定義，這個已經很繞嘴了，什么“任給”、“存在”、“當”……然后每學一個定理時，總是要注意前提——函數是在開區間里連續，還是在閉區間里連續，或者是開區間里可導，還是閉區間里可導。連續還有一致連續，非一致連續，間斷還有第一類間斷點、第二類間斷點，收斂還有條件收斂、絕對收斂……然而這正是數學的特質。她以嚴謹的特性，篩選出了真正的裙下之臣。

在缺乏邏輯傳統和邏輯課程的中國，數學的嚴謹特質，是一種可貴的補充。其中，初等數學領域中的證明題是特別有利于培養“言之有據”等邏輯規則的。這里容不下花言巧語，容不下轉移話題，不能借助類比等手段。你必須以“事實”（所給條件）為依據，以“法律”（公理、定義、定理）為準繩，腳踏實地進行論證，有一說一，有二說二。說到這里，有一種應試傾向應該得到糾正，那就是讓學生遇到不會的題目去“蒙”，或者把條件羅列一下直接寫個結論。筆者認為，理想的教學方法是，要求學生會做的題目要做對，不會的地方要老實留空，但這主張實在難以實行。

關于數學之美，當然可以談論的地方還有很多，比如很應該從抽象之美的角度談一談（群論、線性代數可以作為例子），還有數學研究內容之豐富和有力可能也是數學之美的組成部分，但筆者能力所限，只能避而不談了。其實就是以上內容，可能也不免謬誤或者不當，敬請讀者指正。