《人類科學技術史-244》萊布尼茨

萊布尼茨
1.非凡的才能

萊布尼茨生于德國的萊比錫。1664年，萊布尼茨在萊比錫大學畢業，以一篇有關邏輯學的論文獲哲學學士學位。1666年，他又以一篇有關方法論的論文《論組合的藝術》獲阿爾特道夫大學的哲學博士學位。同年，獲阿爾特道夫大學教授席位。此后，萊布尼茨即任教于該校，開始進行哲學、數學、力學等方面的科學研究。

青年時代的萊布尼茨就十分關注應用數學的發展。當時，在應用數學的發展中最引人注目的進展是機械式計算機的發明。早在1649年，法國著名數學家巴斯噶就發明一種可進行加減運算的機械式計算機。自此之后，法國曾一度成為計算機技術的研究中心。正是在這一背景之下，萊布尼茨也來到巴黎，研究了以巴斯噶計算機為基礎的計算機技術。

在巴斯噶計算機的基礎上，萊布尼茨進行了兩方面的改革。其一，萊布尼茨把巴斯噶計算機中的十進制改為由他發明的二進制。當時，在明末清初來華的法國傳教士曾把中國陰陽八卦與自然哲學思想帶回法國。在中國陰陽八卦中的朦朧的二進制觀念的影響下，萊布尼茨最先發明了二進制，并立即把這種二進制運用到他的計算機中。對于早期的那種機械式計算機來說，雖然萊布尼茨的二進制未能顯示出明顯的優越性，但它對后來計算機技術的發展產生了重要的影響。其二，萊布尼茨對巴斯噶計算機的機件設備也進行了一些改革，如加裝了梯形軸等裝置。由于進行了上述二進制和機件兩方面的改革，萊布尼茨終于在1671年發明了一臺新的機械式計算機。

由于萊布尼茨在哲學和科學上的才華，1672年3月，作為梅因茲選帝侯的大使，出使巴黎。在出使期間，萊布尼茨結識了在巴黎科學院任職的荷蘭科學家惠更斯，由于惠更斯的影響，萊布尼茨進一步產生了對數學的興趣。

雖然在此之前，萊布尼茨也讀過一些數學著作，但對于當時的數學的最新進展，萊布尼茨基本上還不熟悉。正是在惠更斯的引導之下，萊布尼茨開始研究笛卡爾、費爾瑪和巴斯噶等人的著作，通過對笛卡爾等人的著作的研究，萊布尼茨得以迅速地走向當時數學的最前沿。

1673年，萊布尼茨又以梅因茲選帝侯的外交官員的身分出使英國。在倫敦期間，他結識了英國皇家學會的許多知名人士。在這些知名人士中，對萊布尼茨影響最大的是英國皇家學會的聯絡秘書歐登堡，由于歐登堡與英國科學界有廣泛的聯系，因此他為萊布尼茨廣泛了解英國科學的進展提供了極大方便。同年，萊布尼茨在英國皇家學會演示了他所發明的二進制的機械式計算機，并因此在同年被選為英國皇家學會會員。在英國期間，萊布尼茨除了繼續研究笛卡爾、費爾瑪等人的數學著作之外，他還研究了英國著名數學家華里斯及巴羅等人的數學著作，特別是巴羅的《幾何講義》，對萊布尼茨的影響最大。通過上述研究，他開始認識到求曲線的切線問題的重要性。這樣，萊布尼茨也就在英國產生了微積分思想的最初萌芽。

2.微積分的發明

不久以后，萊布尼茨返回巴黎，直至1676年被任命為漢諾威選帝侯圖書顧問而被召回德國。

在巴黎期間，萊布尼茨繼續研究笛卡爾的解析幾何，從中吸取了笛卡爾在《幾何》中所用的求曲線的切線方法。同時，萊布尼茨還繼續研究巴羅的《幾何講義》，從中吸取了巴羅的微分三角形法，并從巴羅的著作中意識到微分與積分的互逆性質。與此同時，他還通過歐登堡繼續了解英國數學方面的最新進展，根據萊布尼茨的自述，經過一年多的努力，他在1674年發明了微積分的基本原理和主要方法。

萊布尼茨發明微積分的起點，是求曲線的切線作法及其計算問題。在研究過程中，萊布尼茨從巴羅在解決這一問題時所用的微分三角形法中得到啟發，創立了他自己的一種新方法——縱坐標差分法。萊布尼茨所創立的這種新方法的基本特點，按照他自己的說法，乃是把曲線及其切線置于笛卡爾坐標系中，求切線的問題即可相應地轉變成求橫坐標與縱坐標變化率之差。

在創立縱坐標差分法之后，萊布尼茨又相繼在原理和方法上作了一些新的研究。在1675年10月29日的一篇手稿中，萊布尼茨已決定用∫作為求和的符號；11月11日，他又在一篇題為《切線的反方法的例子》的手稿中，進一步對微分和積分的符號進行了探討。此后，他又在一些數學手稿中證明了微分和積分的互逆性，導出了微分法和積分法的一些基本原則。盡管在無窮小量這一概念上他與牛頓一樣含糊不清，但最遲在1676年，萊布尼茨已基本上完成了微積分的發明。

當時，英國科學家牛頓也在研究微積分。因此萊布尼茨作為外交使節出使英國期間，曾通過歐登堡與牛頓有過通信往來。后來，當萊布尼茨返回巴黎留任駐法大使時，以及返回德國任漢諾威圖書顧問以后，萊布尼茨仍然通過歐登堡與牛頓保持著一定的聯系。1676年，萊布尼茨在與歐登堡的通信中，得知牛頓的微積分研究已有顯著的進展時，因此，他要求歐登堡告訴他有關這方面的消息，歐登堡把萊布尼茨的愿望轉給牛頓，牛頓即于1676年6月13日，寫了一份關于他的流數法的簡要說明，請歐登堡轉寄給萊布尼茨。

同年8月27日，萊布尼茨收到了歐登堡的信及附寄來的牛頓的關于流數法的簡要說明。此后，萊布尼茨直接致信牛頓，向牛頓簡述了他自己在微積分方面取得的成果，并要求牛頓能就他的無窮級數的處理方法作進一步說明。同年10月24日，牛頓給萊布尼茨回信，就他的流數法作了較為詳盡的說明，此時牛頓估計萊布尼茨也有可能發明了微積分，因此他在回信中寫入了一個著名的字謎(以字謎的方式表示自己已作出某一發現或發明的方法起于17世紀初，在1610年，伽利略發現金星的位相之后，他意識到這是證實哥白尼日心說的重要發現，但他也認識到，完全弄清金星的位相變化還需要時間，因此他先發表了一個由35個字母組成的字謎，表示他已經發現了金星的位相。此后，這種以字謎暗示已作出某一發現和發明的方法即流傳于17世紀）。

牛頓給萊布尼茨回信中的字謎是：6accdaeff7i3l9n4o4qrr4s9t12vx，字謎就是由這些字母和數字組成的一個不規則的句子。這個字謎的謎底是：根據所給的方程式，在任意多變數方程求出流數及其逆運算。牛頓所以給萊布尼茨寄去這個字謎，實際上是向萊布尼茨暗示，他已經發明了微積分。

萊布尼茨收到牛頓的回信之后，研究了牛頓對于流數法的說明，也研究了牛頓的字謎。當然，萊布尼茨未能解開牛頓的字謎，但萊布尼茨也估計到，這是牛頓表明他已經發明了微積分的隱語。因此，他在1677年6月21日給牛頓回信時，也向牛頓坦率地介紹了他發明微積分的縱坐標差分法："我長期在用一種更普遍得多的方法來處理切線問題，這就是縱坐標差分法。"并認為："求切線無非就是求相應于已知的(相等的）橫坐標之差的縱坐標差。"此后，他們兩人各自致力于數學和其他學科的研究，誰也沒有公開發表有關微積分的研究成果。直到1684年，即他們彼此都知道對方已經發現了微積分的7年之后，萊布尼茨在德國的《博物者學報》發表了一篇關于他的微積分方法的簡要介紹。因為這篇簡介實際上只是一篇介紹報道性的文章，因此在當時并未引起人們的注意。

1686年，萊布尼茨在《博物者學報》上發表了一篇有關微積分的內容比較具體的論文：《求極大、極小和切線的新方法，也能用于分數和無理量的情形以及這個方法的一個巧妙的計算》。在這篇論文中，萊布尼茨公開發表了微積分的基本原理和主要方法。

在發表上述論文之前，萊布尼茨已于1675年10月29日的數學手稿中創用積分符號∫。∫是sam(總和）一詞的第一個字母的拉長寫法。此后，萊布尼茨在1684年發表的那篇簡介中創用了微分符號d。在1686年發表的這篇論文中萊布尼茨首次同時使用了dx，dy，∫x，∫y這樣的微分符號和積分符號。其中dx表示兩個相鄰的x之間的差，dy表示兩個相鄰的y之間的差，而∫x與∫y則相反。

萊布尼茨在1686年發表的這篇論文的標題雖然很長，但篇幅卻很短，只有6頁。但由于其內容新穎，方法新奇，符號新巧，因此，立即引起歐洲數學界的極大關注，而萊布尼茨亦因此先于牛頓成為人們知曉的微積分這一新數學方法的發明者。