矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

當(dāng)一個方陣無法對角化時，我們還能將它簡化到怎樣的程度？這是線性代數(shù)中一個自然又深刻的問題。本文圍繞上述疑問展開，介紹了若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型——它是方陣在相似變換下所能達(dá)到的"最簡形式"，也是最接近對角矩陣的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)。

無論你是初學(xué)線性代數(shù)的學(xué)生，還是希望重溫這一經(jīng)典課題的數(shù)學(xué)愛好者，本文都將帶你一窺矩陣內(nèi)涵的簡潔之美。

撰文 | 朱慧堅（廣州南方學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院副教授）、丁玖（廣州南方學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院教授）

關(guān)于矩陣，我們近來已經(jīng)寫了幾篇文章，如特征值問題、矩陣可對角化的充分必要條件，以及可對角化的幾類矩陣，如實對稱矩陣和正交矩陣。然而，當(dāng)一個方陣不可對角化時，或者等價地說，該矩陣至少有一個特征值的代數(shù)重數(shù)大于幾何重數(shù)時，可提的一個數(shù)學(xué)問題是：通過

對于長成這番模樣的矩陣，以及與它們具有相似關(guān)系的其他矩陣，其背后暗藏著怎樣的玄機(jī)？本文旨在揭開這類矩陣的神秘面紗：在我們熟知的特征值與特征向量背后，還隱藏著一類"廣義特征向量"。它們與普通特征向量一起，如同一根根立柱，共同支撐起矩陣內(nèi)部結(jié)構(gòu)最簡潔的呈現(xiàn)形式——"若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型"。由于一般矩陣在實數(shù)范圍內(nèi)可能沒有實特征值，下面的討論都是在復(fù)數(shù)域中進(jìn)行。

廣義特征向量

若爾當(dāng)塊與若爾當(dāng)鏈

若爾當(dāng)塊數(shù)量公式

到目前為止，為介紹若爾當(dāng)矩陣標(biāo)準(zhǔn)型的基本思想起見，僅對所得到的標(biāo)準(zhǔn)型只有一個若爾當(dāng)塊的那些矩陣開發(fā)出了一個相似變換化簡程式。這類矩陣僅有一個特征值，它的代數(shù)重數(shù)自然

即，計算公式（6）給出本例矩陣標(biāo)準(zhǔn)型各階若爾當(dāng)塊的個數(shù)。

幾乎所有的矩陣都不會是這么特殊的，所以需要繼續(xù)挖掘標(biāo)牌為"若爾當(dāng)"的矩陣數(shù)學(xué)金礦。然而，為了讓讀者稍稍放松一下思考中的神經(jīng)，先離開線性代數(shù)的主題，從近代歐洲的數(shù)學(xué)史中稍稍了解一下若爾當(dāng)這位十九世紀(jì)杰出法國數(shù)學(xué)家的簡歷。

卡米爾·若爾當(dāng)（Camille Jordan，1838-1922）以與伽羅瓦群有關(guān)的基礎(chǔ)性研究和教科書《巴黎綜合理工學(xué)院分析教程》而聞名于世，但他的半生職業(yè)卻是工程師。后來他在綜合理工和法蘭西學(xué)院教書。他在分析學(xué)中最著名的工作是復(fù)分析中需要用到的一個拓?fù)浣Y(jié)果"若爾當(dāng)曲線定理"，即該閉曲線將平面分為以曲線為共同邊界的有界"內(nèi)部"和無界"外部"；這幾何上看似直觀，卻非顯然。若爾當(dāng)矩陣是他留給線性代數(shù)這門當(dāng)今大數(shù)據(jù)時代最實用學(xué)科之一的重大遺產(chǎn)。若爾當(dāng)于 1870 年首次提出了現(xiàn)以他名字命名的矩陣標(biāo)準(zhǔn)型。

若爾當(dāng)矩陣

下面將考慮一般方陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型問題。這時，所給矩陣通常有相異的特征值，并且每個特征值的幾何重數(shù)可以是不大于代數(shù)重數(shù)的任意正整數(shù)。因而可以想象它的這個"最簡結(jié)構(gòu)"通常含有若干個若爾當(dāng)塊。在進(jìn)一步的討論前，先引進(jìn)若爾當(dāng)型矩陣的正式定義。

定義.主對角塊是若爾當(dāng)塊的一個塊對角方陣 被稱為是若爾當(dāng)矩陣。

由于若爾當(dāng)矩陣中的若爾當(dāng)塊都是上三角矩陣，而且每個若爾當(dāng)塊只有一個特征值，它就是主對角線上共同的常數(shù)，故若爾當(dāng)矩陣所有特征值的全體，若按代數(shù)重數(shù)排列，則與所有若爾當(dāng)塊的主對角元一一對應(yīng)。這里提醒讀者注意，不同若爾當(dāng)塊的主對角元可能相同，或言之，每個相異特征值都有可能"攜帶"一個或幾個主對角元都等于這個特征值但尺寸卻可以不一的若爾當(dāng)塊，全依這個特征值的"級別"而定。這就像國際航空公司的"常旅客計劃"會員制，普通會員只能免費(fèi)托運(yùn)一件行李，金卡會員卻可以免費(fèi)托運(yùn)兩件行李，而最高級別的鉆石會員則能享受到最高禮遇：免費(fèi)托運(yùn)三件行李。正是由于這個待遇，筆者之一去年退休回國時，三件托運(yùn)行李中的一只帆布大包，裝進(jìn)了幾十年教學(xué)生涯中收集保存的近百本《美國數(shù)學(xué)月刊》，贈送給了新近成立的廣州南方學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院。希望這一批擁有全世界讀者最多人數(shù)、文字與數(shù)學(xué)均編輯得極為專業(yè)、幾近完美的闡述性數(shù)學(xué)期刊，能給今年秋季入學(xué)的"創(chuàng)院首屆生"留下難以磨滅的數(shù)學(xué)閱讀記憶。

有了上述若爾當(dāng)矩陣的定義，我們可以進(jìn)而討論怎樣將一般方陣通過相似變換盡可能地化簡到一個最靠近對角矩陣的"極簡矩陣"；這就是它所對應(yīng)的"若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型"——若爾當(dāng)矩陣。作為證明這個標(biāo)準(zhǔn)型存在性定理的先期準(zhǔn)備，我們再考慮一種方陣，鞏固讀者對若爾當(dāng)鏈和若爾當(dāng)塊的印象。新的矩陣比之前的要求稍微少了一點(diǎn)限制。

若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型定理

然而，具體地將所有的若爾當(dāng)鏈都提取出來，對一般矩陣而言，寫出詳細(xì)的構(gòu)造性證明是一項頗為繁瑣的工作。在包含若爾當(dāng)矩陣的書籍中，若爾當(dāng)矩陣標(biāo)準(zhǔn)型定理的證明都有好幾頁的篇幅，有的需要若干個引理的預(yù)備結(jié)果。比如美國矩陣?yán)碚撔屑一舳骱图s翰遜在他們合著的內(nèi)容洋洋大觀的《矩陣分析》的第三章第一節(jié)專講若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型定理，借助于舒爾定理"任意復(fù)方陣酉相似于上三角矩陣"，先證明了這個上三角矩陣又相似于一個塊對角上三角矩陣，其中每個對角塊都有相等的對角元素，繼而證明有相等對角元素的上三角矩陣相似于一個若爾當(dāng)矩陣。這個過程復(fù)雜而冗長。1971 年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家菲利波夫（Aleksei F. Filippov，1923-2006）發(fā)表了一個精巧的證明，其對若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的歸納法構(gòu)造思路，被美國麻省理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家斯特朗（Gilbert Strang，1934-）在他的教科書《線性代數(shù)及其應(yīng)用》的附錄 B 中稱為"可能是最清晰簡單的"，并把它放進(jìn)了自己的著作里。

這里，為縮短本文篇幅起見，跟隨菲利波夫思路，用數(shù)學(xué)歸納法證明

若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型定理.任何復(fù)方陣相似于一個若爾當(dāng)矩陣。

若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的計算步驟

若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用

一般方陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型給出了在相似變換下，該矩陣能夠達(dá)到的最簡形式。它保持原矩陣的特征多項式不變，也繼承了特征值及其代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)。對于可對角化的矩陣，若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的外形是對角矩陣。在許多涉及矩陣的問題中，將矩陣化約成對應(yīng)的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，不僅有可能使得分析和計算更易進(jìn)行，甚至在某些方面是唯一可行的求解方案。這里給出兩個應(yīng)用例子，一個早就寫進(jìn)了教科書，另一個則是十多年來的研究論題。

十五年前，當(dāng)筆者之一讀到楊振寧先生的訪談錄并初步認(rèn)識到楊-巴克斯特方程與辮群、扭結(jié)理論等數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)系后，心中冒出奇想：姑且不論該方程在物理中的重要意義，即便僅僅考察與它具有同一形式的如上矩陣方程，說不定是一件滿足好奇心的快事。說干就干，先手工求

矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型揭示出了矩陣的基本性質(zhì)，其外在表現(xiàn)是特征值、特征向量及其廣義特征向量。由于將有限維向量空間映射到自身的線性算子，在任一被選定的空間基底下有且僅有一個"坐標(biāo)表示"，它就是線性算子的矩陣化。通過這個矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，人們可以將該線性算子分解成更為簡單的"子算子"，使得原先算子的關(guān)鍵內(nèi)涵暴露無遺，易被充分理解。

最后，我們簡單提及矩陣若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型在通常的大學(xué)本科線性代數(shù)教材中不大涉及的"矩陣的解析理論"中的一個應(yīng)用。這個解析理論可使人人都會直接計算的矩陣多項式躍進(jìn)到傍上微積

致謝：《返樸》周舒義編輯發(fā)現(xiàn)了文中六階矩陣?yán)拥挠嬎沐e誤并修改之，特此致謝！

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