幾何天才生成伊斯蘭準周期圖案的新方法

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

準晶體的發現引發了一場關于其不尋常結構的大爭論。令人驚訝的是，這些結構在幾個世紀前就在伊斯蘭藝術中被發現了。這一最新發現引起了科學家們的注意，他們提出了幾種方法，通過分析分布在伊斯蘭世界的幾種準周期圖案來理解這些結構。本文提出了一種系統的方法來產生新的準周期圖案的啟發，現有的伊斯蘭歷史圖案。該方法基于準周期密鋪和幾個直觀參數構建伊斯蘭準周期圖案。給定一個準周期密鋪，該方法將其密鋪(菱形)劃分為對稱的直角三角形，并構造其模板圖案。這些模板主題的構建是通過一個系統和組織良好的過程來實現的。拼塊的內容是通過將鏡像反射應用于構建的模板圖案而獲得的。最后，通過將構建的拼塊的內容放入拼塊中來繪制圖案。

1介紹

Dan Shechtman因發現準周期結構而獲得2011年諾貝爾獎[26]。在這一發現的幾年前，數學家們對在平面上鋪上規則的圖案很感興趣，這些圖案永遠不會重復，以創造出非周期性的馬賽克。Roger Penrose為這個問題提出了一個優雅的解決方案：Penrose拼塊[22,23]。

令人驚訝的是，這些不尋常的結構被用于伊朗馬拉加藍塔的幾何圖案[16]，以及伊朗達比伊瑪目神社的幾何圖案[15]，在它們被發現幾個世紀之前。伊斯蘭圖案與準晶體結構的相似性吸引了許多科學家對幾種伊斯蘭幾何圖案的數學結構和生成原理進行研[2,5,10,19,21,24,25]。到目前為止，還沒有產生伊斯蘭準周期圖案的一般方法。

本文介紹了一種方法，此法生成新的伊斯蘭準周期圖案的靈感來自現有的建筑圖案。這種方法從現代已知的現有準周期密鋪開始，并用受歷史伊斯蘭星星圖案啟發的圖案裝飾這些密鋪。

本文主要內容。第2節：介紹最著名的相關作品，并特別關注構造方法。第3節：介紹了伊斯蘭幾何圖案的分析和一些理論背景，這將有助于理解所提出的方法。第4節：新方法，展示了如何使用準周期拼塊來構建準周期星形圖案，并提出了一種生成技術來設計其拼塊的主題元素。第5節：一些作品。第6節總結。

2相關作品

伊斯蘭藝術的一些歷史圖案的對稱性與準周期結構之間的相似性吸引了一些科學家去研究這些圖案的數學結構。Makovicky研究了Maragha藍塔的圖案，證明了Penrose和Maragha拼塊之間的對應關系，并開發了Penrose拼塊的新變體[16]。在另一項工作中，Makovicky和Fenoll Hach-Alí分析了西班牙的一些伊斯蘭八角形圖案，并推斷這些圖案是基于嵌套八角形的準晶格[10]。在[21]中，研究了西班牙和摩洛哥與Penrose拼塊系統相關的十角形準周期圖案。2011年，對非斯陵墓Moulay Idriss II的十二角圖案的分析表明，它與Ammann準晶格相容[19]。在[18]中，Makovicky研究了在伊朗西北部Maragha的Gunbad-e-Qabud上進行的準周期性拼塊可能的同時代人和仿制品。在[20]中，E. Makovicky和N. Makovicky分析了瓜廖爾(北印度)Muhammad Ghaus陵墓的大型Jali屏風的圖案，并提出它們可能是基于一種新型復合拼塊的準周期性八邊形拼塊的近似物。在[15]中，Lu和Steinhardt證明了用線條裝飾的Girih拼塊的密鋪可以創造出越來越復雜的周期性Girih圖案。然后，他們說明了這些密鋪與自相似變換的結合可以在伊朗伊斯法罕的Darb-I伊瑪目神殿(1453)上構建近乎完美的準周期彭羅斯圖案。在[25]中，Saltzman證明了Gunbad-i Kabud設計的單位胞和Darb-i Imam設計的很大一部分都是準周期的。

所有這些分析研究對于理解這些圖案的結構和發現它們的生成原理的謎題是重要的。

在構建歷史的和新的準周期圖案方面已經取得了一些成果。在[4]中，Al Ajlouni提出了一個模型來描述伊斯蘭藝術的十角形準周期結構的理論。這個模型被命名為層次框架模型(HFM)，它基于嵌套十角圖的底層基本網格。這個框架決定了星形單位的中心。星形之間的空間是用重疊星形單元的排列來覆蓋的，這些重疊星形單元是根據底層子網格的某些交點來定位的。采用多層陣型來生成準周期圖案全景。這種方法只描述了十角形和五角形圖案(具有五倍和十倍旋轉對稱的圖案)。在每一個層面上，Al Ajlouni的方法都需要進行搜索，以發現恒星之間不同的可能連接結構。Al Ajlouni提出了一種基于相同原理的結構模型，用于描述伊斯蘭建筑中基于八邊形的準周期對稱的全球遠程順序，包括Ammann-Beenker拼塊[3]。在[1]中，Aboufadil等人提出了一種基于多重網格和工匠采用的Hasba技術構建摩洛哥準周期圖案的方法。這種方法不適合計算機應用，需要實驗技能。在他的論文[12]中，Kaplan提出了一種基于準周期密鋪的方法，利用菱形作為放置正多邊形的向導來生成非周期密鋪。玫瑰花密鋪在正多邊形中，其他方塊使用推理算法填充。本文的目的是提出一種系統的方法來生成新的伊斯蘭準周期圖案，在不干擾其真實歷史特征的情況下拓寬這些裝飾品的范圍。

3背景

3.1歷史圖案分析

摩洛哥非斯阿塔琳伊斯蘭學校的鑲板是伊斯蘭藝術中最美麗、最復雜的幾何圖案之一。對該圖案的分析表明，它是使用圖1所示的兩個裝飾的彭羅斯拼塊(胖菱形和瘦菱形)獲得的圖案的片段。菱形是用伊斯蘭藝術中著名的圖案裝飾的。這種圖案被稱為玫瑰花結，它完全排列在胖菱形內(圖1(e))，部分排列在胖菱形和瘦菱形內(每個角度包含一部分玫瑰花結)(圖1(f))。

圖1：(a)摩洛哥非斯(Fez, Morocco)的Madrasa Attarine的面板，(b)相應的裝飾拼塊，(c)裝飾拼塊的排列，(d)與面板相似的部分，(e)圓形菱形中玫瑰花的排列，以及(f)以六個菱形之間的共享頂點為中心的10角玫瑰花。

觀察上圖得出以下結論:

?準周期拼塊的菱形可以用玫瑰和星星圖案裝飾。

?玫瑰花/星形的順序和菱形的角度之間有關系。

?玫瑰/星星可以在菱形的頂點上居中。

?每個菱形的每個角都包含玫瑰花結的一部分。這些部分的結合形成一個完整的玫瑰花結。

?必須確保圖案的線條在相鄰菱形邊緣上的連續性。

?伊斯蘭準周期圖案可以基于現有的準周期拼塊生成。

因此，伊斯蘭準周期圖案可以由菱形的準周期密鋪得到。伊斯蘭準周期圖案的構造可以簡化為其對應的準周期拼塊的內容的生成。因此，本文的主要目的是形式化構造一種新的伊斯蘭準周期圖案的一般方法。

3.2 設計元素

伊斯蘭星形圖案被認為是伊斯蘭幾何藝術中最復雜、最著名的形式之一。幾何玫瑰和星星是這些圖案中最常見的圖案[13]。它們的結構在幾篇論文中被描述[11,13,14]。可通過以下參數定義花結：花結階數N，半徑R，角度θ和φ，交點數s(圖2(b))。星型主題可以通過參數(N, R， θ， S)來定義(圖2(A))。除了上述參數外，我們還考慮了一個附加的雙值參數O，它定義了星形/玫瑰花的方向。如果星形/玫瑰花結在直角三角形的斜邊上有尖刺，則O = OH，如果沒有，則O = OL(圖3)。(用于確定此方向的直角三角形將在下一節中說明。)因此，玫瑰將由參數 (N, R, θ,φ, S,O) 定義，星形將由參數(N, R, θ, S,O)定義。

圖2：(a)星形和(b)玫瑰花形參數。

圖3：(a) O = OH (b) O = OL取向的10角星形和10角玫瑰花結。

3.3準周期密鋪

數學家和物理學家羅杰·彭羅斯在20世紀70年代提出了使用兩塊拼塊的準周期拼塊的發現[22]已經引起了幾位科學家的極大關注。De Bruijn給出了基于五邊形的準周期密鋪的代數描述[7，8]。已經提出了幾種技術來產生準周期密鋪，例如來自高維的切割和投影方法[9]和廣義方法[27]。菱形的準周期拼塊(圖4)將用作底層子網格，其拼塊將使用玫瑰花形或星形圖案裝飾。

圖4：(a)五邊形和(c)十邊形密鋪以及(b)它們相關的拼塊。

4 .建議方法

根據幾位科學家的定義[15,20,25]，準周期性可以解釋為由特殊的拼塊邊緣和拼塊頂點標記保證的非周期性情況。如果能從一個有保證的準周期密鋪的代表性密鋪塊中推導出無標記的歷史密鋪，則可以認為它是準周期密鋪，并且由此推導出的準周期密鋪可以擴展為整個平面的準周期密鋪[20,25]。近似值是由拼塊類型和準周期圖案的拼塊組合衍生出來的周期圖案[20]。本方法所產生的圖形是由準周期拼接導出的。

生成過程(圖6)從提取準周期密鋪的菱形開始。然后，每個拼塊會被分成幾個對稱的直角三角形。如圖5所示，菱形被分成四個相同的直角三角形，正方形被分成八個相同的直角三角形。具有最小角度的拼塊將被稱為主拼塊并標記為PTi，并且其對應的直角三角形將被稱為主三角形并標記為PTr(圖6)。因此，拼塊(模板單元)內容的構造可以簡化為生成其對應的直角三角形(模板主題)的內容(圖6)。

圖5：(a, b)將菱形劃分為直角三角形(c)將正方形劃分為直角三角形。玫瑰結可以集中在突出的紅色角落。

圖6：所提方法的步驟。(a)初始準周期密鋪，(b)密鋪的密鋪及其對應的直角三角形的密鋪，(c)模板圖案的構造，(d)單元圖案的生成，(e)單元圖案在密鋪中的插入。

4.1模板主題的構建

模板主題步驟的構建由四個操作組成:分割(徑向網格的生成)、第一半花瓣的構建、花結的部分構建，以及最后間隙主題的構建。

4.1.1徑向網格。從前面的分析可以得出結論，拼塊包含部分星形/玫瑰形圖案。具有給定的準周期密鋪的兼容玫瑰花結階N由以下等式確定:

其中，ω為PTi的最小角度，k為非空整數。玫瑰花形的半徑R可以由不等式來定義

其中I和L分別是PTr直角的最小邊和最大邊。圖7顯示了在R = 1和R = 1/2的情況下，薄菱形角上的玫瑰花形排列。星形/玫瑰形可以構建在放射狀網格上。為了在PTr內得到這個徑向網格，根據玫瑰花結的順序將每個角分成x個相等的角度:x = β/(π/N)(圖8(a))，其中β是角上的角度。

圖7：(A)Pti和它的Ptr，(b)在半徑R = 1的相應頂點處的花的排列，和(c)R = 1/2的花的排列；重疊區域有陰影。

4.1.2前半瓣的構造。放射狀網格的每個分區將包含半瓣星形/玫瑰結。玫瑰花半花瓣可以用以下步驟構造:首先，我們從點K(定義半徑R和玫瑰花的方向)到角CEK的平分線繪制線段S0 = KG，其中EK是K上BC的垂線(圖8(a)和8(b))。然后，我們繪制從G到除法界的第二條線段S1(圖8(c))。線段S0和S1分別定義了花結的參數θ和φ。線段S1被認為是一條光線，通過分割角傳播，連續的反射在分割角的邊界交替發生(如果入射角不同于π/2)，產生線段S2，…， SS(圖8(c)、8(d)、8(e))，其中S為圖3(b)中描述的花結參數。

圖8：(a - e)參數為(10, l = AC,π/10,π/10, 3, OH)的花結半瓣的構造步驟，(f) 10角星的前半瓣。

如果θ = φ，則S0和S1與CEK角平分線對稱，則半花瓣僅從線段S0導出。同樣的步驟用于生成星的半瓣。這可以通過去掉點g來實現。線段S0直接到達除法的邊界。最后一條線段是SS?1(圖8(f))。

4.1.3星形/玫瑰形部件的構造。花結部分的構建是通過另一半花瓣的生成。這是通過對第一半花瓣應用鏡面反射來實現的，如圖9所示。

圖9：另一半花瓣的構造:(a)在BC斜邊的右平分線中應用鏡面反射，以及(b，c)在BCA角的徑向網格線中應用鏡面反射。

4.1.4間隙主題的構建。在伊斯蘭星形圖案的制作中，玫瑰花的構造部分之間的空白是最容易遇到的也是最重要的問題。這個空間將包含一個間隙主題，連接圖案的玫瑰花。生成這個間隙圖案的最簡單方法是在間隙區域內擴展玫瑰花的穗狀花序。為了實現這個目標，我們首先列出峰值;如果尖峰位于三角形的一側，那么它將被命名為反射點。其他尖峰被稱為延伸點。

用一個延伸點來延伸每條邊，當它遇到另一條延伸的或反射的邊時，或者當它到達三角形的一邊時，就把它切掉。每條有反射點的邊都被認為是一條光線。這種光線在邊上被反射，直到它遇到延伸的或反射的邊或到達三角形的邊。如果每個邊的端點(圖10(b)中的點P3)位于間隙區域內，則每個邊的反射結果是可以接受的。對于具有共享延伸點的邊，如果兩個端點都在間隙區域內(圖10(b)中的點P1和P2)，則接受其延伸的結果。這個條件確保了在每個擴展點的完美交叉。如果滿足以下條件，端點Pi在間隙區域內:

(1) Pi在基本區域內或在一側。

(2)對于圖案中的每個星/玫瑰圖，V Pi > RV，其中V和RV分別是以V為中心的星/玫瑰圖的中心和半徑，V P是玫瑰圖的中心和端點Pi之間的歐幾里德距離。

必須重復延伸/反射過程，直到玫瑰花結連接。第一次迭代的終點是第二次迭代的起點，依此類推，但是所考慮的間隙區域保持不變(圖10(c)和10(d))。

圖10：延伸/反射過程:(a)確定延伸點(綠色)和反射點(紅色)，(b)該過程的第一次迭代，其中玫瑰花形仍未連接(點P1、P2和P3是第一次迭代的端點)，(c)確定該過程的第二次迭代的延伸點和反射點，(d)該過程的第二次迭代的結果，其中一個片段的反射將被移除，因為其端點(P3)在間隙區域(BP3 ≤ RB)之外，以及(e)獲得的模板主題。

通過遵循相同的步驟和通過尊重玫瑰花結的相同參數，以及相同數量的延伸/反射過程的應用，將產生相同的拼塊的模板圖案。這些條件確保了相鄰拼塊邊緣上線條圖案的連續性(圖11(c))。

4.2模板單元的構造

模板主題生成后，我們通過三角形直角邊進行鏡面反射，得到每個菱形的單元主題(圖11(a))。為了構建方形的單元主題，我們通過斜邊應用鏡面反射，然后是關于自由頂點的四重旋轉對稱(圖11(b))。

圖11。(a)用于薄菱形和厚菱形的模板單元的構造，(b)用于正方形的模板單元的構造，以及(c)確保圖案連續性的模板單元的布置。(d)胖拼塊的中心元素(由四個五邊形包圍的菱形)是亞洲Kond tilings的常見主題[15，17]。

4.3圖案的構建

在最后一步中，我們將模板單元放在準周期點陣的點陣中，這被認為是一個潛在的準周期點陣(圖12)。

圖12：(a)從(b)構建的模板單元獲得的十邊形和(c)五邊形伊斯蘭準周期圖案。

5結果和討論

5.1改變參數

設計元素的參數的數學定義允許我們通過改變一個或多個參數，從相同的準周期密鋪中得到幾個圖案。我們將改變前一個例子(圖12)中玫瑰花結的半徑R，以允許玫瑰花結重疊(R = L/2)。在將鏡面反射應用于第一半花瓣后，模板圖案的一部分位于PTr之外。該部分將被移除，允許玫瑰花形重疊(圖13(a))。這種技術使我們能夠避免尋找與重疊的正多邊形相關的不同構型，這些正多邊形被約翰尼斯·開普勒命名為怪物，并在[6，12]中討論。圖14、15和16示出了通過改變玫瑰花結參數獲得的十邊形和五邊形準周期密鋪的幾種圖案。圖17顯示了使用10角星作為設計元素獲得的準周期圖案。

圖13：生成模板圖案。(a)去掉三角形外的部分，使玫瑰花在細菱形的陰影區域重疊;(b)模板主題和胖菱形的單元主題。

圖14：十角形準周期圖案(左)和五角形準周期圖案(右)及其相關的花結參數。

圖15：十角形準周期圖案(左)和五角形準周期圖案(右)及其相關的花結參數。這些圖案是通過改變半徑和相對于圖14的方向獲得的。

圖16：十角形準周期圖案(左)和五角形準周期圖案(右)及其相關的花結參數。這些圖案是通過改變角度θ和φ的玫瑰花與圖15。

圖17：用10角星作為設計元素得到的十角形和五角形圖案。

5.2七邊形和十四邊形圖案

前一節中描述的生成過程可以應用于裝飾任何類型的準周期拼塊。七邊形和十四邊形圖案分別包含七重和十四重旋轉對稱。這些密鋪由三個角度為2π/14、4π/14和6π/14的菱形組成。因此，這些密鋪的兼容玫瑰圖階數由等式N = k × 2π/(2π/14) = k × 14定義。圖18展示了每種類型的一個例子。

圖18：(a)構建七邊形和(c)四十邊形準周期圖案，通過(b)用指示的玫瑰花結參數生成模板和單位主題。

5.3八角形圖案

八邊形密鋪由一個π/4角的菱形和一個正方形組成。兼容玫瑰花結階數由N = k × 8定義。圖19示出了基于這種密鋪構造的準周期圖案的兩個例子。

圖19：構造的八邊形圖案及其玫瑰花結參數。

5.4十二邊形圖案

十二邊形密鋪由一個正方形和兩個角度分別為π/6和π/3的菱形組成。兼容玫瑰花結階數由等式N = k × 12定義。圖20顯示了兩個構建圖案的例子及其相關的玫瑰花結參數。

圖20：生成十二角準周期圖案及其相關的模板圖案和單元圖案。

5.5九邊形和十八邊形圖案

九邊形和十八邊形密鋪由π/9，2π/9，3π/9和4π/9四個角度的菱形組成。兼容玫瑰花結順序為N = k × 18。圖21舉例說明了每種密鋪類型。

圖21：(a)十八邊形準周期圖案，(b)用玫瑰花結參數生成的模板主題和單位主題，以及(c)九邊形準周期圖案。

5.7特殊情況

第一個特例是由于從正方形中提取的直角三角形的自由頂點(圖5)。可以在這個頂點上放置一個額外的M點星形/玫瑰形。玫瑰花結階M只取決于頂點的四重旋轉對稱:M = k × 4。在圖22(a)中，生成的八角形圖案包含一個附加的八角星，放置在正方形三角形的自由頂點上。圖22(b)示出了具有兩個玫瑰花形的十邊形圖案。額外的八角形玫瑰花結(紅色)放置在正方形的直角三角形的自由頂點上。

圖22：(a)在正方形三角形的自由頂點上放置一個額外的八角星形(紅色)的八角形圖案，以及(b)在正方形三角形的自由頂點上放置一個額外的八角玫瑰形(紅色)的十二邊形圖案。

在第二種特殊情況下，將在直角三角形的邊上放置一個額外的玫瑰花結。圖23示出了五邊形和十邊形圖案，在胖菱形的邊上放置了10點玫瑰形。在八邊形圖案中，在兩個直角三角形的邊上構建一個八角形玫瑰花結，并且在具有主16角玫瑰花結的正方形的三角形的自由頂點上生成一個八角星(圖24)。

圖23：(a)十邊形圖案和(b)五邊形圖案，在胖菱形(紅色)的直角三角形邊上放置一個額外的10角玫瑰花形圖案。

圖24：一種八角形圖案，主玫瑰花結的為16階，一個八角玫瑰結放在兩個直角三角形的兩邊，一個八角星放在正方形直角三角形的自由頂點上。這個圖案是著名的阿爾罕布拉周期圖案的一個準周期版本，請見http://patterninislamicart.com/archive/main/7/ spain/spa1209

6結論

在這篇文章中，我們提出了一種新的方法來生成新的伊斯蘭準周期圖案的靈感來自現有的建筑圖案。這種方法從現代已知的現有準周期密鋪開始，并用受啟發的圖案裝飾這些密鋪。我們已經將構造的面積減少到從被認為是潛在的準周期晶格的準周期密鋪的拼塊中提取的最小三角形。構建過程包括幾個詳細描述的步驟。這些步驟允許我們使用星形和玫瑰花形作為設計元素來裝飾直角三角形。這些設計元素由它們的參數很好地定義。然后，我們將一些等距變換應用于模板主題，以生成菱形(單元主題)的內容。然后將單位主題復制到準周期密鋪中。本方法允許我們通過改變每種密鋪類型的星形/玫瑰形參數來獲得一種新的準周期圖案。

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[27] Joshua E. S. Socolar, Paul J. Steinhardt, and Dov Levine. 1985. Quasicrystals with arbitrary orientational symmetry. Physical Review B 32, 8 (1985), 5547.

[28] AZIZ KHAMJANE and RACHID BENSLIMANE, Generating Islamic Quasi-Periodic Patterns: A New Method

青山不改，綠水長流，在下告退。

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