丟勒、達芬奇的玫瑰花結和其他圓形排列

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

藝術和建筑中的設計過程通常涉及相對少量的幾何元素的組合和操作，以創建底層結構和覆蓋的裝飾細節。在本文中，我們將重點放在由一個單一的幾何形狀——圓復制而成的圖案上。圓形是一個非常重要的形狀。憑借其簡單性和拓撲結構，它已經被許多不同的文化推崇了幾千年，象征著上帝、統一、完美、永恒、穩定等。例如，拉爾夫·瓦爾多·愛默生認為圓是“世界密碼中最高的象征”[Emerson 1920]。

圓形玫瑰花結

圓形玫瑰花結有著悠久的歷史，至少可以追溯到6000年前，例如在埃及、巴比倫、亞述和希臘文化中很流行[Goodyear 1891]。羅爾斯的綜合著作[Rawles 1997]中給出了奧西里斯神廟相交圓的一些吸引人的排列的例子(例如，所謂的生命之花和種子)。后來，玫瑰花結成為羅馬建筑中流行的地板裝飾圖案[Schmelzeisen 1992]。一個更現代的現象是越來越多的人看到麥田怪圈。不考慮它們來自地球外的真實性問題，值得注意的是，許多涉及交叉圓形成玫瑰狀圖案。事實上，圓形玫瑰花結出現在許多意想不到的地方，從人孔[Melnick 1994]到達芬奇的繩結圖案，再到鐘面和花園籬笆(圖1)。

圖1 圓形玫瑰花結

圓形玫瑰花結是通過復制一個圓并圍繞一個點(玫瑰花結的中心)旋轉它們而形成的(圖2)。

圖2 圓形玫瑰花結的兩個例子。

如果圓的半徑r等于旋轉點和圓心之間的距離d，那么所有的圓都在玫瑰形的中心相交(圖3a)。如果圓的半徑小于d，那么它們不會到達玫瑰花結的中心，形成一個洞(圖3b)。

圖3 由30個半徑為(a) r = d，(b) rd的圓組成的圓形玫瑰花結。

同樣，當圓的半徑大于d時，會產生一個明顯的洞，盡管在這種情況下，所有的圓都包含玫瑰形中心。我們還看到，隨著用于產生玫瑰花結的圓的數量增加，玫瑰花結的外周長的包絡收斂于半徑為r+d的圓，而內圓的包絡是半徑為d的圓。因此，我們有一個奇怪的方面，即對于固定值v，不管r=d+v還是r=d-v，都產生相同尺寸的內圓孔。

為了簡化問題，我們只考慮圓在玫瑰形中心相遇的第一種情況。圓之間的交點由下式給出

其中，t是連續圓之間的角度增量，即，如果有N個圓，則t=2π/N，N是交叉點級別，1表示最靠近玫瑰花結外圍的交叉點，表示最靠近玫瑰花結中心的下一個級別，依此類推。這使我們能夠通過對玫瑰花結的目視檢查來驗證一些特性。首先，除了玫瑰花結最里面和最外面的區域，由重疊圓圈形成的空隙形成了一種曲線菱形(見下圖9)。不僅這些空隙的所有邊都等長，而且所有空隙的邊都等長。第二，有N/2圈空隙。在中心環中，它們的縱橫比為1:1，而從該環向外移動時，兩側的縱橫比對稱地增加。也就是說，中環兩側的相應間隙具有相同的縱橫比，但旋轉了90°。相比之下，由對數螺線構建的玫瑰花結的空隙保持相同的形狀(和縱橫比)，但隨著它們從玫瑰花結中心向外輻射，其尺寸只會增加[Williams 1999]。當更多的圓圈組成玫瑰花結時，自然會產生更多的空隙。不僅如此，它們的長寬比的變化率也會發生變化。具有很少圓圈的玫瑰花結的空隙具有在[0，1.5]范圍內相當均勻分布的縱橫比，而對于包含許多圓圈的玫瑰花結，大多數空隙接近1:1。這在圖4的圖表中得到驗證，該圖表顯示了每個環與其向內相鄰的環的縱橫比。

圖4 顯示在玫瑰花叢中間距長寬比增加和減少的變化率的曲線圖。

由于其類似透視的收縮，玫瑰環的外半部分給人一種視覺印象，即有一個遠離觀察者的三維球面彎曲。為了避免這種情況，并確保玫瑰花結給人一種類似星爆的輻射效果，許多為人行道設計的圓形玫瑰花結只使用內環，去掉中環以外的部分。

五盤問題

既然我們已經確定了圓的交點，現在就很容易解決幾何五圓盤問題[Weisstein 1998],設置如下(圖5)。給定五個大小相等的圓盤，關于給定的中心對稱放置，確保圓盤覆蓋的圓形區域的半徑等于1的最小圓盤半徑是多少？所要做的就是求解給定圈數N=5時相對于r的xi(1)^2+yi(1)^2=1，結果得到解r=1/π。

圖5 五盤問題。陰影圓的半徑應該等于1。

我們還可以確定N的其他值的解，例如，對于四個圓：r=1/√2，對于六個圓：r=1/√3。

內旋輪線

將玫瑰圖與稱為內旋輪線的解析曲線進行比較是很有趣的，內旋輪線是通過描繪在另一個固定圓內滾動的圓上的固定點而產生的。參數方程給出的簡化形式

產生與圓形玫瑰花結非常相似的圖案，如圖6所示。參數q決定了葉的數量，并且可以修改方程來增加和減少葉的豐滿度。

圖6 非常類似圓形玫瑰花結的內旋輪線。

人們可以推測，阿爾布雷特·丟勒可能也注意到了這種相似性。除了他的藝術作品，他意識到數學可以為藝術家提供強大的工具，并對藝術和數學之間的聯系感興趣。這導致他成為一個重要的文藝復興時期的數學家(至少就幾何學的早期傳播而言，而不是該領域的擴展)。在他的著作《Unterweisung der Messung MIT DEM Zirkel und Richtscheit》中，他不僅描述了一種設計圓形玫瑰地板圖案的方法，還描述了大量曲線的構造，包括外擺線(心形)[Dürer 1977]。

內旋輪線不是唯一與玫瑰花結外觀相似的曲線。事實上，1728年Guido Grande發表了《Flores Geometrici》，描述了一系列產生花狀圖案的曲線。

形式上的變化

從基本的圓形玫瑰花結開始，我們可以在它的結構上做出許多變化。例如，旋轉的圓可以由其它形式代替，例如圖7a所示的橢圓。如果橢圓的拉伸是足夠的，那么空隙就表現出介于圓形和螺旋形玫瑰花結之間的特性。例如，在所示的例子中，菱形空隙隨著從玫瑰花結中心向外移動而變得更加緊密。與圓形玫瑰花結相比，縱橫比的變化較慢。此外，縱橫比不達到1∶1，因此不包含在中間環的任一側具有相同縱橫比的對稱間隙環。空隙縱橫比的變化率取決于組成玫瑰花結的橢圓數量及其偏心率。因此，如果產生一系列玫瑰花結，其中橢圓的偏心率逐漸減小，變得更圓，則1∶1空隙的環出現在玫瑰花結的外圍，并向內朝著玫瑰花結的中環移動。

圖7b和7c示出了以另一種方式拉伸橢圓的效果，使得它延伸穿過玫瑰花結，而不是從中心向外突出。當包含足夠多的橢圓時，就產生了網格圖案，其中出現了各種形狀的空隙。此外，在中心形成一個半徑等于橢圓短軸長度的圓環。在圖7d和7e中，生成圓已經被超橢圓代替[Gardner 1965](實際上是超圓，因為它們的長寬比為1)。由于輕微彎曲的邊和尖銳的角的混合，一個更有活力的自然被創造出來，因為空隙似乎螺旋進入中心，從那里出現了幾個蓮花形狀。

圖7 使用替代旋轉形式創建的玫瑰花結。

如果圓形玫瑰花形在任何方向上均勻拉伸，這將導致玫瑰花形整體呈橢圓形(圖8a)。旋轉的圓將變成橢圓，盡管其偏心率有所不同，與上例中的橢圓不同。

另一個以橢圓為主題的變化是由米開朗基羅設計的坎皮多利奧人行道(雖然直到1940年才開始實施)。最終版本顯示了比上述均勻拉伸更微妙的結構。內環是一個圓，連續的環逐漸拉伸，以便逐漸過渡到外橢圓。

其他圖案可以以類似于圓形玫瑰花結的方式構建，但是修改圓的位置和/或它們的大小。例如，圖8b和8c中的腎形線和心形線對于圓保持與玫瑰花結相同的位置，但是它們的半徑是位置的函數。

圖8 圓形玫瑰花結的進一步變化。

連接的變化

再次從基本的圓形玫瑰花結開始，輪廓可以通過各種圖形方式進一步表達[Williams 1997]。同樣由米開朗基羅設計的Laurenziana圖書館的路面從兩個方面改進了基本的玫瑰花結。它是由兩個玫瑰組合而成，第二個相對于第一個略微旋轉[Nicholson and Kappraff，1998；Kappraff 1999]。此外，空隙內還畫了橢圓。

即使將圖案簡化為具有無限薄邊界的單個玫瑰花結，并將橢圓與圓對接，仍然會產生難以分析的幾何圖案。主要問題涉及橢圓，因為確定內接橢圓并不簡單。

為了簡化分析，我們將曲線菱形近似為標準的直邊菱形(圖9)。然后，我們可以按照繪圖員已知的繁瑣程序來確定平行四邊形的內接橢圓[Browning 1996]

圖9 曲線菱形空隙形成圓形玫瑰花環。

事實上，對于菱形來說，問題大大簡化了。菱形和橢圓的中心重合，我們發現如果菱形的軸的長度是a和b，那么橢圓的軸的長度是a/√2和b/√2，并且與菱形的共軛直徑對齊。此外，橢圓與菱形的接觸點位于菱形邊的四個中點。我們注意到，這也是牛頓解決的在凸四邊形中內接橢圓問題的退化情況[drri 1965]。牛頓發現所有可能的內接橢圓的中心都位于連接四邊形對角線中點的直線段上。對于菱形，對角線的中點是重合的，因此橢圓的位置只有一個解。然而，對于長寬比仍然有多種解決方案。我們所描述的結構最大化了橢圓的面積。

如圖10a所示，由直邊菱形引起的近似引起的誤差可能很大。橢圓看起來大小合適，但是向玫瑰花結的中心移動。隨著圓圈數量的增加，組成菱形邊的弧線變短，從而降低了總曲率。這意味著近似誤差也減小了，如圖10b所示，橢圓更好地擬合了空隙。

測試了幾個簡單的修正，看看是否有一個簡單的程序可以更準確地記錄橢圓。第一次校正是基于菱形的兩個角，這兩個角與玫瑰中心的距離相等。我們最初的方法有效地將它們的平均值作為中心，因此該中心比角更靠近玫瑰中心。因為看到這實際上是太深入，我們考慮推出橢圓，使他們的中心變得與菱形的角落等距。這是通過選取一個角點并旋轉它，使其與通過菱形中心的光線對齊來實現的。圖10c表明，盡管橢圓不再與它們的鄰居接觸，但誤差已經大大減小。第二種校正方法是考慮形成空隙的真實圓和直線近似之間的最大誤差。這是ri=√(r^2-c^2/4)其中c是菱形邊的長度。最大誤差出現在菱形邊的中點，也就是橢圓應該接觸的地方。通過這個校正因子，沿著光線從玫瑰中心推出菱形中點，產生更好定位的橢圓。即使玫瑰花結中只有幾個圓圈，誤差也幾乎看不見(圖10e)。這種方案優于更復雜的方案的一個優點是，由于空隙的長度都是相等的，所以對于整個玫瑰花結只需要計算一個修正值。這也導致橢圓與它們的鄰居保持聯系。

圖10 a，b)位于菱形中心的橢圓；c，d)位于菱形旋轉角上的橢圓；e，f)位于菱形中心的橢圓，帶有曲率校正。

月牙形

我們可以看到，每一對相鄰的圓都會產生一個新月形的切面，這個切面被稱為 "月牙形"。月牙形的一個有趣之處在于它與經典的 "圓的平方 "問題有關。公元前五世紀，希臘數學家希波克拉底成功地將月牙形變為正方形，即他建造了一個面積與月牙形相等的正方形。當然，雖然這是一個令人印象深刻的壯舉，但不幸的是，這并沒有使他更接近于把圓變平方！

我們可以把內切橢圓看作是擠在月牙形中的，它們的中心將位于月牙形的中間——也就是所謂的中軸線上。作為一個更簡單的問題，我們可以考慮如圖 11 所示的帶內切圓的月牙形。

圖11 刻在月牙上的圓。

這種結構讓人聯想到哥特式玫瑰窗的裝飾，例如森斯大教堂的玫瑰窗 [Heilbron 1998]。我們通過尋找與楔形窗兩條弧線相切的圓心的位置來確定中軸線。在我們對月琴的分析中，其邊界圓弧的中心分別為 (0,0) 和 (0,m)，我們可以證明中軸線是一個橢圓，其中心為 (0,m/2)，半軸長度為 a=r，b=1/2√(4r^2-m^2)。設置 r=1，并繪制出 m 值（以 r 為單位）不斷增大時中軸的長寬比 a/b，我們可以看到，除了當月輪的兩個圓相距甚遠，幾乎沒有交集時，中軸一般都是圓狀的（圖 12）。隨著圓的完全分離（即 m 值接近 2r），中軸的長寬比趨于無窮大。

圖12 新月中軸的長寬比，是圓間距的函數(m以r為單位)。

當然，這種程度的間隔不會出現在玫瑰花形中，因為最極端的情況是只有三個圓（盡管此時沒有菱形間隔來刻畫橢圓）。此時相鄰圓心之間的距離為 √3r，從圖中可以看出，這發生在圓心距離增大導致大偏心之前。事實上，在三個圓的情況下，橢圓的長寬比正好是2。

內切圓

通過研究，我們發現內切圓出現得非常有規律，不僅僅是作為數學問題，而是在跨越藝術和科學的各種上下文中。如前所述，它們經常出現在哥特式窗飾中。羅伯特·比林斯給出了一個廣泛的例子，他在19世紀發表了100種幾何窗飾的設計，以及基于四個圓接觸一個外圓的構造圖[Billings 1849]。幾年后，他繼續這一主題，并發表了另外100個設計(見圖13)，這一次完全基于三個內圓，彼此相切以及外圓[Billings 1851]。

圖13 Billing的100張圖中的一張圖，顯示了幾何窗飾圖案及其基本結構。

也許最著名的刻圓例子是亞歷山大的帕普斯，他在兩千多年前描述了如何在阿貝羅斯——一種形狀像鞋匠的刀的圖形——上刻圓。最近，丟勒也開始使用內切圓作為一種“有序”分割透鏡的方式，如圖14所示。

圖14 丟勒對透鏡的細分。

這個圖表可以通過以下方式生成。設形成透鏡的兩個圓的圓心在，半徑為r。內接圓位于，半徑為ri:

月子上的圓的方程也可以確定，盡管這個過程比較費力(見附錄)。這使我們能夠在由相交的圓組成的圓形玫瑰花結形成的月形中插入圓，如圖15所示。

玫瑰花結包含兩組月牙形；圖 15a 顯示了只填充一組月牙形的效果。這些圓可以被看作是位于月牙的放射臂上。或者，從玫瑰花結中央沿著月牙形向外移動，所有月牙形的刻圓在玫瑰花結內形成一個環形鏈。雖然最初的圓很小，但圓環的半徑也很小。這兩個圓的半徑都在增大，直到達到圓環的中點。此后，圓圈逐漸變小，而圓環的半徑繼續增大，從而形成越來越稀疏的圓環。如果兩組月牙形都以圓圈刻劃（圖 15b），圓圈會相交（最外圈除外），從而產生額外的月牙形系列。

圖15 圓形玫瑰花結，額外的圓刻在新月上。

內切圓的更多實際應用經常出現在工業設計中，通常作為一種在最小化重量或材料的同時提供強度的手段。在十八世紀的橋梁設計中可以看到一對對比鮮明的例子。在圖16a所示的桑德蘭鐵橋中，圓圈可以被認為主要是為了加強結構。另一方面，龐蒂普里德石橋(見圖16b)中的內接圓圈是穿過拱肩的圓柱體，以減輕重量，因此看起來是內接圓圈的移除而不是增加。

圖16 包含內切圓的橋。

保角映射

承接上文所述的內切圓，我們可以將一組內切圓變換成我們之前分析過的帶有內切橢圓的玫瑰花形圖案。我們將應用保角映射，即保留局部角度的變換。這類映射有很多 [Kober 1957]，但我們只考慮 Dixon [1991] 描述的反墨卡托映射。其定義為

它的作用是將(對角線)直線轉化為等角螺線。這使我們能夠把平移對稱映射成旋轉對稱。

圖17a示出了映射到圖17b中七個同心橢圓環的七列圓。為便于顯示，各欄的上半部分已被剪去。應該注意的是，卵形是蛋形而不是橢圓形，因為它們在接近圖的中心時收縮。每列中的圓位于范圍[0，2p]內；增加圈數會增加徑向分辨率。可以在圖17a的兩側添加向無限延伸的圓形列，增加圖17b中同心環的數量。縮放x值，即執行縮放因子s

改變徑向縮放的速率，使橢圓可以拉伸或擠壓任意量。

圖17a還包括已經添加的包圍圓圈的空隙，并且它們的映射包括在圖17b中。為了避免線與圓交叉，它們需要形成六邊形元素的網格。映射的六邊形包圍橢圓形，并從玫瑰花結的中心向外擴展；它們的兩條徑向線保持直線，而剩下的四條線變成(輕微的)曲線。為了形成一個類似于帶有內接橢圓的玫瑰花結的圖案，我們通過相鄰圓之間的接觸點疊加了一個菱形網格(圖17c)。映射后，曲線菱形形成，除了不像真正的圓形玫瑰，他們切斷了橢圓形的細長條(圖17d)。另一個值得注意的區別是，這種玫瑰花結表現得像對數而不是圓形螺旋玫瑰花結，橢圓的尺寸增加，同時保持相同的縱橫比[Williams 1999]。

圖17 圓和線的線性網格到螺旋網格的反墨卡托映射。

附錄：月牙上的圓

對于半徑為0的圓弧組成的月牙，我們可以確定圓心為(xn,yn)、半徑為rn的內切圓的參數。第一個圓很簡單:xn =0 y1 =m/2 r1 =m/2。此后，使用三個約束來找到序列中的每個內切圓，這些約束涉及與三個圓的切線：組成月形的兩個圓和先前相鄰的內切圓。這可以看作是三個畢達哥拉斯三角形，它們引出三個聯立方程，可以解出第二個圓

然后我們可以確定圓序列的余數為

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青山不改，綠水長流，在下告退。

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