小樂數(shù)學(xué)科普：掛谷猜想專題系列——針尖上的猜想之塔——譯自Quanta Magazine量子雜志

圖源：Allison Li|Quanta

表面上看，掛谷猜想是關(guān)于旋轉(zhuǎn)針的簡單命題。但它是大量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

作者：Jordana Cepelewicz（量子雜志數(shù)學(xué)編輯）2023-9-12

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-1-30

在數(shù)學(xué)中，往往一個(gè)看似簡單的問題并不簡單。今年夏天早些時(shí)候，量子雜志報(bào)道了一個(gè)這樣的問題 https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/ ：當(dāng)一根無限細(xì)的針向所有可能的方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，你可以掃過的最小面積是多少？

像表盤一樣繞其中心旋轉(zhuǎn)，你就會(huì)得到一個(gè)圓。但更巧妙地旋轉(zhuǎn)它，你就可以覆蓋任意小的一片空間。如果你不需要針以連續(xù)的方式移動(dòng)，而是簡單地在各個(gè)方向放置一根針，你就可以構(gòu)建一種完全不覆蓋任何區(qū)域的針排列。

數(shù)學(xué)家將這些排列稱為掛谷集（Kakeya set）。雖然他們知道這樣的集合在面積（或體積，如果你將針排列在3維或更高維度上）方面可能很小，但他們相信如果它們的大小是通過豪斯多夫維數(shù)（Hausdorff dimension）來測量的，那么這些集合必須始終很大。

數(shù)學(xué)家尚未證明這一命題，即掛谷猜想（Kakeya conjecture）。雖然它表面上是一個(gè)關(guān)于針的簡單問題，但“這些掛谷集的幾何形狀支撐著偏微分方程、調(diào)和分析和其他領(lǐng)域的大量問題，”愛丁堡大學(xué)的喬納森·?？寺↗onathan Hickman）說。

掛谷猜想是調(diào)和分析中3個(gè)核心問題的基礎(chǔ)——調(diào)和分析（harmonic analysis）是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，研究函數(shù)如何表示為周期性函數(shù)之和，周期函數(shù)例如定期振蕩的正弦波。

這些都是由一根針向各個(gè)方向旋轉(zhuǎn)形成的掛谷集，但右圖中的三角旋輪線（deltoid）是圓大小的一半

圖源：Merrill Sherman|Quanta

該層級(jí)結(jié)構(gòu)中，掛谷猜想的上一層是“限制”（restriction）猜想。如果該猜想為真，那么掛谷猜想也為真。（這也意味著，如果掛谷猜想被證明是錯(cuò)誤的，則限制猜想是不正確的。）

限制猜想反過來又被所謂的Bochner-Riesz猜想蘊(yùn)含。而層級(jí)最高的是局部光滑猜想（local smoothing conjecture）。

猜想的層級(jí)結(jié)構(gòu)，若下一層不成立，則上層的猜想都將不成立。

前兩個(gè)猜想涉及傅立葉變換（Fourier transform）的行為，這是一種調(diào)和分析的技術(shù)，實(shí)際上是計(jì)算如何將任何函數(shù)作為正弦波之和表達(dá)出來的。它是物理學(xué)家和工程師可用的最強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具之一。

傅立葉變換在求解微分方程，表達(dá)量子力學(xué)思想（例如海森堡不確定性原理）以及分析和處理信號(hào)等方面發(fā)揮了基本作用 —— 使諸如現(xiàn)代手機(jī)之類的事情成為可能。

由于層級(jí)結(jié)構(gòu)中的每個(gè)命題都蘊(yùn)含了下一層的命題，因此，如果掛谷猜想是錯(cuò)誤的，那么其他猜想都不正確。整個(gè)塔將崩潰。希克曼說：“你可以創(chuàng)建一個(gè)超級(jí)怪物反例，破壞很多猜想?！?/p>

另一方面，證明掛谷猜想正確并不能自動(dòng)蘊(yùn)含其他猜想正確，但它將為數(shù)學(xué)家提供有關(guān)如何進(jìn)一步處理的重要洞察。

因此，“據(jù)我所知，調(diào)和分析社區(qū)中將近一半的人正在研究這個(gè)問題及相關(guān)問題，或者曾經(jīng)在某個(gè)時(shí)候研究過這些問題”，威斯康星大學(xué)麥迪遜分校的郭少明（現(xiàn)為南開大學(xué)陳省身數(shù)學(xué)研究所教授，譯者注2025-1-30）說道。

令人驚訝的是，最近數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，他們開發(fā)的解決這些問題的技術(shù)也可以用來證明看似無關(guān)的數(shù)論領(lǐng)域的主要結(jié)果。郭少明說：“這是比人們之前認(rèn)為的更為普遍的現(xiàn)象。”

千層蛋糕

故事從傅里葉變換開始?！澳阆胍獙函數(shù)]分解成小塊，分析它們的相互作用，然后將它們重新加在一起，”賓夕法尼亞大學(xué)的歐雨濛說。對于一維函數(shù)（可以在一張紙上繪制的曲線），數(shù)學(xué)家非常了解如何做到這一點(diǎn)，即使他們需要僅使用某些小塊來逆轉(zhuǎn)傅里葉變換。

但是在2維或更高維度中，事情可能會(huì)變得凌亂。

1971年，普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)家Charlie Fefferman（查理·費(fèi)弗曼）想出了如何使用掛谷集來證明傅里葉逆變換可以在多個(gè)維度上產(chǎn)生奇怪且令人驚訝的結(jié)果。

這種形狀，如果達(dá)到極限，面積可能為零，但內(nèi)部的針頭卻可以指向各個(gè)方向。數(shù)學(xué)家們曾利用這種形狀來證明傅里葉變換可以以意想不到的方式發(fā)揮作用

圖源：Merrill Sherman|Quanta

數(shù)學(xué)家找到了Bochner-Riesz猜想形式的一種修復(fù)，該猜想本質(zhì)上是說存在更復(fù)雜的方法來恢復(fù)原函數(shù)，而不會(huì)像費(fèi)弗曼的例子那樣崩潰。但這一修復(fù)取決于掛谷猜想的正確性。

如果這是真的，“截?cái)囝l率只會(huì)導(dǎo)致小誤差，”威斯康星大學(xué)麥迪遜分校的貝齊·斯托瓦爾（Betsy Stovall）說?！斑@意味著小誤差不會(huì)擴(kuò)大?！?/p>

層級(jí)結(jié)構(gòu)就這樣開始了。后來，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了另一個(gè)重要的聯(lián)系：如果為真，Bochner-Riesz猜想也蘊(yùn)含著一種稱為“限制”猜想的說法。這個(gè)猜想指出，如果你從傅里葉變換的有限版本開始——將你查看的值“限制”為僅存在于特定表面上的值——這仍然可以為你提供有關(guān)原函數(shù)的重要信息。事實(shí)證明，如果限制猜想成立，那么掛谷猜想也成立。（這將掛谷猜想和Bochner-Riesz猜想之間的限制猜想置于塔中。）

層級(jí)結(jié)構(gòu)中的最高問題稱為局部光滑猜想，它不直接處理傅立葉變換，而是對描述波行為的方程解的大小施加限制。

你也可以根據(jù)掛谷集的線條幾何形狀來想到這一點(diǎn)。你可以將波動(dòng)方程的一般解分解為一堆朝向不同方向移動(dòng)并以不同方式交互的部分。這些部分在數(shù)學(xué)上都類似于掛谷集。

掛谷猜想斷言這種配置不會(huì)有太多重疊。在這種物理背景下，重疊將對應(yīng)于解中不規(guī)則和意外行為的持久性。例如，在許多不同的時(shí)間，聲波可以在許多區(qū)域放大。

局部光滑猜想指出，這種不規(guī)則性應(yīng)平均消失。“這就像利用金融市場的平均值，”印第安納大學(xué)布盧明頓大學(xué)的Ciprian Demeter說。“可能在這里和那里發(fā)生崩潰，但是如果你在40年內(nèi)投入資金并退休，很有可能會(huì)獲得一些良好的投資。”

但與層級(jí)結(jié)構(gòu)中的所有猜想一樣，這取決于掛谷猜想的正確性?！拔覀兊南敕ㄊ?，如果你排除了掛谷集里面的大量交集，那就意味著你可以排除解的各個(gè)部分共同造成某種爆破的情況，”斯托瓦爾說。

這個(gè)猜想是其中最困難的：雖然掛谷、限制和Bochner-Riesz問題的二維情況在幾十年前就已經(jīng)解決，但二維局部光滑猜想在幾年前才被證明。（在更高的維度中，所有這些問題仍然懸而未決。）

盡管證明局部光滑猜想進(jìn)展緩慢，但它的工作卻在其他方面取得了巨大進(jìn)展。1999年，數(shù)學(xué)家托馬斯·沃爾夫在試圖解決這個(gè)猜想時(shí)，引入了一種稱為解耦（decoupling）的方法。從那時(shí)起，這項(xiàng)技術(shù)就獲得了自己的生命：它不僅在調(diào)和分析方面取得了重大突破，而且在數(shù)論、幾何和其他領(lǐng)域也取得了重大突破。

約翰·霍普金斯大學(xué)的克里斯托弗·索格（Christopher Sogge）在1990年代首次提出了局部光滑猜想，他說：“利用解耦結(jié)果，你現(xiàn)在可以在非常著名、重要的問題上創(chuàng)造世界紀(jì)錄。”例如，解耦已被用來幫助計(jì)算一個(gè)整數(shù)可以用多少種方式表示為平方和、立方和或其他冪的和。

正如Demeter所說，這些結(jié)果是可能的，因?yàn)椤拔覀兛梢詫?shù)字視為波?！彼a(bǔ)充說，所有這些問題都鏈接到掛谷針集合，“令人著迷”。“你不會(huì)想到，這么多美麗、困難和重要性可以隱藏在可以使用線段產(chǎn)生的東西中?！?/p>

參考資料

https://www.quantamagazine.org/a-tower-of-conjectures-that-rests-upon-a-needle-20230912/

https://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set

小樂數(shù)學(xué)科普：掛谷猜想專題系列——新證明穿針引線到一個(gè)粘性幾何問題上——譯自Quanta Magazine量子雜志

https://www.quantamagazine.org/new-number-systems-point-geometry-problem-toward-a-real-solution-20220726/

https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/

https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-moves-the-needle-20230929/

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