小樂數學科普：Tony Phillips教授的數學讀報評論2025-02

本月主題：

1. 數學：“兩種文化”之間的橋梁

2. 水波中的莫比烏斯帶

3. 埃米·諾特、對稱性和電荷守恒

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作者：Tony Phillips（紐約州立大學石溪分校教授）2025-3-20

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-3-22

1. 數學：“兩種文化”之間的橋梁

戈登·吉萊斯皮 (Gordon Gillespie) 認為數學可以幫助“彌合人文學科與自然科學之間的巨大鴻溝”。

在澳大利亞思想雜志《Aeon》最近發表的一篇文章中 https://aeon.co/essays/to-better-understand-the-world-follow-the-paths-of-mathematics ，吉萊斯皮首先勾勒出了知識分子思想的圖景。在他看來，知識分子思想有兩個主要群體，即人文學科和科學學科，C. P. 斯諾在1959年出版的書中將其稱為“兩種文化”。

吉萊斯皮寫道：“私下里，大多數自然科學家仍然認為人文學科是一門缺乏基本認識論標準的偽科學”，“與此同時，許多人文學科學者認為科學家是迂腐的自然勘測員，他們可能會產生實際和有用的結果，但卻對（文化）世界運作的真正深刻見解視而不見。”

吉萊斯皮設立了兩個極端原型。對于“天真的現實主義者”（naive realists）來說，現象只能通過追溯到機械論第一原理的因果鏈來解釋。他們相信“自然是按照規律排列的，無論是否有人類在場觀察。”

“天真的理想主義者”（naive idealists）相信，思想及其在數千年中產生的社會和文化機制是在一個獨立的領域中發展，有自己的規律。他們“堅持認為所有秩序都是概念秩序，完全基于個人或集體思想。”

數學確實處于這兩個極端立場之間的中間地帶：17永遠是素數，但其余大部分，盡管受到邏輯的約束，是一種文化構造。例如，我相信，一旦我們研究了仙女座星云中圍繞某顆恒星運行的行星上發展起來的數學，我們就會完全理解它，但那里發展出的概念可能與我們完全不同。

吉萊斯皮的讀者群是熟悉康德和維特根斯坦的，但他找到了一些很好的具體例子來支持他的論點，即現代科學對數學的使用迫使它背離狹隘的因果關系學說。其中之一是相對論中的雙胞胎悖論（twin paradox），其中一個年輕的雙胞胎花了幾年時間以接近光速的速度環游宇宙，回來后發現他的哥哥已經是個老人了。

正如吉萊斯皮所解釋的那樣，沒有“物理原因”決定他們的年齡差異：“真正的原因在于結構框架”，即發生這種現象的時空幾何結構。這種幾何結構可能在結構上是數學的，但它已經成為現代物理學的一部分。

他給出的另一個例子涉及中心極限定理（central limit theorem）。因果關系可以準確解釋一枚硬幣如何旋轉并落地，但如果拋出一千枚硬幣，結果的鐘形分布就沒有純粹的因果解釋。然而，正態分布，完全是人類構造的，是科學工具箱中不可或缺的一部分。

文章最后反思道，所有科學都“不可分割地根植于”我們外部的世界和人類的思想中，而這種二元性在數學中尤為明顯，超越了因果關系。

2. 水波中的莫比烏斯帶

過去幾年，研究人員開始從理論上研究水波中如何形成渦旋和莫比烏斯帶等拓撲結構。《自然》雜志上的一篇新論文 https://www.nature.com/articles/s41586-024-08384-y 描述了一種實現這些現象的實驗裝置。作者是一個由王波（音譯名，復旦大學和河南大學）和車志遠（音譯名，復旦大學）領導的八人國際團隊。

在提議的實驗中，拓撲現象的關鍵是波的角動量矢量場。角動量是方向向前的動量的旋轉類似物；它使陀螺保持旋轉。水波是否攜帶角動量并不明顯，但確實如此。當波浪經過時，漂浮在水面上的理想粒子會經歷圓形“軌道”運動 https://manoa.hawaii.edu/exploringourfluidearth/physical/waves/wave-energy-and-wave-changes-depth ：它被抬起、向前推、落下和拉回。

YouTube上有一個很棒的動畫 https://youtu.be/NShUBfJQEHk 演示了這一運動。粒子運動在垂直平面上描繪出一個圓圈，該圓圈朝向波的傳播方向，直徑大約等于波的高度。如果粒子有質量，則其圓周運動就會產生角動量。角動量由垂直于圓圈的矢量表示，其指向是螺旋如果朝該方向轉動就會移動的方向。該方向與質量無關，在下圖中由矢量場S表示。

正弦水波沿x方向從左向右傳播，在z方向上振幅不變，在y方向上保持恒定。波谷中有一個粒子，它沿順時針方向的圓傳播。

平面波（此處從左向右移動）的示意圖，兩個漂浮粒子的圓周運動以及相應的角動量矢量。粒子（黃點）在垂直平面上順時針旋轉；紅色角動量矢量場S與y軸平行。

圖源：Tony Phillips

為了利用這種角動量，作者建造了一個邊長為16厘米的六邊形水池。邊 1、3和5（下圖紅、藍、綠）由正弦信號驅動，產生波長約為4厘米的水波。邊2、4和6是靜止的。這會產生三道波浪，它們以120°的角度相互傳播。驅動信號也經過調整，使得波浪彼此之間也存在120°的相位差。

裝置示意圖：

a. 六邊形水池的三條邊受到正弦激發產生波浪。

b. 三組波具有相同的頻率和振幅，但方向和相位相差120°。

圖源：Tony Phillips

當波不再是單波，而是三波干涉時，表面粒子的運動會變得更加復雜。下圖顯示了相應的S場。矢量根據其方向進行顏色編碼，顏色強度表示其振幅。

圖形顯示以下區域（順時針移動）：粉色、黃色、藍色、粉色、黃色、藍色。圖形中心附近顏色交匯處布滿了三角形，中間點綴著黑色三角形（低振幅區域）。

角動量矢量場S由三個頻率和振幅相同但方向和相位相差120°的平面波疊加而成。S矢量的振幅和相位由顏色編碼的強度和色調表示。

圖源：王波

對于三波，激發模式因點而異。粒子并非總是按圓形運動，而是可以按橢圓形運動或靜止不動。在運動為非圓形橢圓的點處，可以沿橢圓的長軸畫一條線。作者指出，在角動量場S的奇點周圍，這些線可以描繪出一條莫比烏斯帶。

上圖中心的放大圖（見下圖頂部）。在放大的正方形內，我們可以分析自旋方向場。坐標給出了水池表面的位置。

上圖底部：沿著圍繞S場奇點的虛線圓，波位移矢量描繪出的橢圓主軸形成一條莫比烏斯帶。因為在這幅圖中這些軸顯示為定向的，所以在奇點周圍圓的某個點，指示的方向必須翻轉。這些點以黃色高亮顯示。

圖源：王波，經過部分編輯

作者繼續展示，在具有24個干涉水波（而不是3個）的裝置中，可以控制干涉圖案，從而將漂浮粒子從一個地方移動到另一個地方。由此他們的論文標題為：“拓撲水波結構操縱粒子”。

Miragenews.com 上發布的新聞稿中 https://www.miragenews.com/topological-structures-found-in-water-1408118/#google_vignette 提供了一些附加信息。

3. 艾米·諾特、對稱性和電荷守恒

2月4日，《新科學家》雜志發表了一篇關于數學家埃米·諾特（Emmy Noether，1882 - 1935）的文章《至今仍在改變物理學的百年對稱定理》 https://www.newscientist.com/article/2466657-the-100-year-old-symmetry-theorem-that-is-still-changing-physics-today/ 。

埃米·諾特因將所有代數的力量釋放到后來成為代數拓撲學的領域而受到拓撲學家的尊敬。我推薦弗里德里希·希策布魯赫（Friedrich Hirzebruch，1927 - 2012）對她的影響的描述 https://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/id/eprint/98/6/preprint_1997_34.pdf 。

該文作者（John Gribbin和Mary Gribbin）關注另一項成就，即“諾特定理”，該定理至今仍是理論物理學的基礎。他們這樣描述：“諾特定理證明了，如果物理定律無論何時都保持不變，換句話說，即如果它們是時間不變的（time-invariant），那么在任何理論中，能量都必須守恒。”

他們進一步闡述了諾特定理不僅適用于時不變性：只要物理系統具有連續對稱性，諾特定理就表明必定存在相應的守恒量。例如，在量子力學中，只有相位差才重要。如果量子力學系統中的所有相位都以相同的角度向前或向后移動，則物理完全相同。這種對稱性對應的守恒量是電荷。

諾特定理適用于動力學可以用拉格朗日函數（Lagrangian，拉格朗日量，或在經典力學中，也可以等價地，使用哈密頓函數Hamiltonian https://www.physics.rutgers.edu/~shapiro/507/book3.pdf ）來描述系統。拉格朗日函數由約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736 - 1813）提出，純粹是為了數學上的方便。它使推導復雜力學系統的運動方程變得容易得多。

一個系統的拉格朗日量是相關位置（我們可以將其寫成向量X）、速度v和時間t的函數。通常的表示法是(x,v,t)。這個想法是，系統將在時間t?和t?之間演變，以使的積分最小化。這個積分被稱為作用量（action），但沒有直接的物理意義。

一般來說，對于像這樣的函數，要成為這類積分最小化問題的解，它必須滿足一個稱為歐拉-拉格朗日方程的微分方程（這是變分法的一部分 https://www.ucl.ac.uk/~ucahmto/latex_html/pandoc_chapter2.html ）。對于力學系統，歐拉-拉格朗日方程給出運動方程（見下文）。

諾特定理的工作原理可以從一個質量為m的物體的例子看出，物體放在一個無摩擦水平桌子上，被彈簧拴在墻上。當彈簧從靜止位置拉伸或壓縮時，它會施加一個與變形x成比例的指向相反方向的恢復力F = -kx。對于像這樣的一維力學系統，拉格朗日量為

(x,v,t) = mv2/2 - kx2/2

這里，式子中的量mv2/2是質量物體的動能（kinetic energy），kx2/2是勢能（potential energy）：將彈簧從靜止位置拉伸（或壓縮）到x所需的功。

一個簡單的力學系統：一個質量塊m在無摩擦的桌面上滑動，與一個彈性常數為k的彈簧耦合。當彈簧從其靜止位置拉伸（或壓縮）一定距離x時，它會以與x成比例的力拉回（或推回）。

圖源：Tony Phillips

這個拉格朗日量具有非常特殊的時不變性。如果時鐘前進無窮小量?，則x 無限更新為x + ? dx/dt = x + ?v，而v更新為v + ? dv/dt，我們將其寫為v + ? v`（這里v`表示v上面有一點的字符，即按時間t對v求導，因為沒有合適的Unicode字符代替LaTeX代碼，采用這種寫法，因此與原文有細微差別，譯者注）。新的拉格朗日量' = m(v+?v`)2/2 - k(x+?v)2/2 。忽略?的高次冪（丟棄掉），則有

mv2/2 + m?vv` - kx2/2 - k?xv

= mv2/2 - kx2/2 + ?（mvv` - kxv）

= (x,v,t) + ?（mvv` - kxv）

變化量為?（mvv` - kxv） ，即?乘以由K(t)=mv2/2 - kx2/2定義的函數K(t)的時間導數。這意味著，如果我們將'從t?積分到t?來計算新的作用量，我們將得到

根據微積分基本定理，這變成

由于它們相差一個常數，一個積分的最小值與另一個積分的最小值相同：物理學沒有改變。一般來說，在諾特定理的背景下，關于坐標s的不變性意味著s的一個無窮小的變化，會根據某個函數的時間導數改變拉普拉斯量（因此產生相同的作用量最小值）。這種情況特別簡單，因為參數s就是時間本身。

諾特定理應用于這種情況，指出由于拉格朗日量是時間不變的，因此量v ?/?v - K必須守恒。在這種情況下?/?v = mv，因此mv2 - K = mv2 - (mv2/2 - kx2/2) = mv2/2 + kx2/2，即動能和勢能之和：如果拉格朗日量是不隨時間變化的，則系統的總能量必須守恒。

最后說明一下：此類問題的歐拉-拉格朗日方程為

因為在我們的例子中?L/?x = -kx，?L/?v = mv，歐拉-拉格朗日方程是 -kx - m dv/dt = 0 即 -kx = m d2x/dt2，即我們熟悉的質量物體與彈簧耦合的牛頓方程 F = ma 。

感謝我的同事 Martin Ro?ek 對本條目的幫助。

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-february-2025/

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-february-2025/

https://aeon.co/essays/to-better-understand-the-world-follow-the-paths-of-mathematics

https://www.nature.com/articles/s41586-024-08384-y

https://www.linkresearcher.com/theses/707504ff-c602-406f-a223-d9edb1a1e248

https://manoa.hawaii.edu/exploringourfluidearth/physical/waves/wave-energy-and-wave-changes-depth

https://youtu.be/NShUBfJQEHk

https://www.miragenews.com/topological-structures-found-in-water-1408118/#google_vignette

https://www.newscientist.com/article/2466657-the-100-year-old-symmetry-theorem-that-is-still-changing-physics-today/

https://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/id/eprint/98/6/preprint_1997_34.pdf

https://www.physics.rutgers.edu/~shapiro/507/book3.pdf

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