小樂數學科普：采訪數學家海曼·巴斯Hyman Bass（上篇）——譯自AMS Notices美國數學會通告202506

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海曼·巴斯 （Hyman Bass，1932 -）

海曼·巴斯（Hyman Bass）教授，是一位在純數學領域做出開創性貢獻（代數K理論的奠基人，研究交換同調代數和投射模，他也是樹上的群作用理論的共同創始人），并在數學教育領域發揮重要領導作用的杰出數學家（擔任AMS美國數學會主席和國際數學教學委員會主席），他的工作極大地豐富了我們對代數和數學教學的理解。

他是美國國家科學院、美國藝術與科學院、世界科學院的院士。曾獲得科爾代數獎、美國國家科學獎章。本文是Lisa Carbone和Yvonne Lai對其采訪內容，內容較長，分為上下篇。

作者：Lisa Carbone（羅格斯大學數學教授）

Yvonne Lai（內布拉斯加大學林肯分校數學教授）

2025-2-13

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-6-23

我和Yvonne Lai有幸采訪了我的博士生導師海曼·巴斯（Hyman Bass），了解他七十年來非凡而充滿活力的數學生涯。

海曼的數學研究領域是代數及其與代數幾何、數論、拓撲學和幾何群論的關系。他于2012年成為美國數學會首屆會士。2007年7月，他榮獲喬治·W·布什總統頒發的美國國家科學獎章。

1990年代，海曼開始研究數學知識在教學中的應用。他的教育研究目前涵蓋學校數學中的推理與證明、課程材料的分析、不同情境下的數學與教學實踐特征描述，以及以連接為導向的數學思維。

海曼已培養出25名數學博士生，174名數學后裔，3名數學教育博士生。

他曾當選美國國家科學院院士、美國藝術與科學學院院士、美國國家教育學院院士、第三世界科學院院士，同時也是美國科學促進會會士。

他的數學著作以其系統的優美性而聞名。他憑借《代數K理論》一書榮獲哥倫比亞大學范阿姆林格獎（Van Amringe Prize），并憑借發表于1973年《施普林格數學講義》第343卷的《酉代數K理論》榮獲美國數學會（AMS）弗蘭克·納爾遜·科爾代數獎（Frank Nelson Cole Prize in Algebra）。他的論文《數學與教學》（AMS 通告，2015年）被選入普林斯頓大學出版社出版的《2016年最佳數學著作》 [Pitici2017]。

他長期為數學教育事業做出杰出貢獻。他曾于1980 - 1981年擔任美國數學會（AMS）副主席，于2001 - 2003年擔任美國數學會主席，并于1998 - 2006年擔任國際數學教學委員會主席。2013年，他榮獲美國數學協會（MAA）頒發的“瑪麗·P·多爾恰尼獎”（Mary P. Dolciani Award），以表彰其對K-16學生數學教育的杰出貢獻；2006年，他榮獲美國數學協會（MAA）頒發的杰出數學服務獎（Yueh-Gin Gung and Dr. Charles Y. Hu Award），以表彰其對數學的杰出貢獻。1995年至2000年，他擔任美國數學會（AMS）教育委員會主席。

致謝

我們感謝研究生Em Stephen，在內布拉斯加大學林肯分校代數系（尤其是 Mark E. Walker）的支持下，他投入了大量時間將Zoom文字記錄整理成流暢的自然語言。我們還要感謝TY Lam對最終稿件的仔細審閱，以及Isaac Bass閱讀稿件并提供個人及家庭背景照片。

11930年代至1959年：成為數學家

在二戰中

采訪者：您出生時正值第二次世界大戰爆發。這對您有何影響？

巴斯：我在八個孩子中排行第七。我的家庭活躍、充滿活力、溫暖。

這就是我童年時期的世界。我第一次意識到更廣闊的世界的意識記憶，是在二戰期間。

圖1： 海曼的父親（阿斯里爾·巴沙凱維茨 Asriel Bashakevitz，在美國英語中名為伊薩多·巴斯 Isadore Bass）在俄羅斯軍隊服役，大約在1905年，立陶宛維爾紐斯。

我的父親1911年從立陶宛移民后，為一位在休斯頓擁有猶太肉店的叔叔工作。

后來我父親接手了這項業務，并進入了肉類批發行業，為休斯頓周圍的雜貨店和其他市場供貨。

圖2： 海曼的父母范妮·魏斯博德 (Fanny Weissbord) 和伊薩多·巴斯 (Isadore Bass) 的結婚紀念日，1917年，德克薩斯州休斯頓。

海曼的母親弗魯姆（范妮）·韋斯博德 Frume (Fanny) Weissbord于1910年從白俄羅斯移民。

我確信我父親一直盼望著養育兒子，幫他干這件體力活兒。后來，他和我母親很快就生了四個女兒。最后，四個兒子出生時，二戰爆發了。

我的兩個哥哥都去參加海軍了。我的姐姐們去了華盛頓。其中一個加入了女子陸軍部隊，并在諾曼底登陸后不久，前往法國服役。

小學的時候，我父親沒有哥哥們幫忙，所以我會在中午左右放學去幫他上卡車送貨。就這樣，我的第一次工作經歷就是把肉運到市場秤上稱重。我早期對“現實世界”的了解，就是用皮卡車運送肉，以及在一家宰殺、處理、裝進冷藏箱的牛肉加工廠工作。

裝卸碼頭上的同伴大多是非裔美國人，他們叫我“小巴斯”。我記得我和兩個兄弟成了好朋友。我一直對他們的名字很感興趣：拿破侖·吉布森和尤利西斯·吉布森。我花了一段時間才理解這兩個名字的含義。

我的哥哥曼努埃爾（Manuel，我們在家里叫他曼吉 Mangie）在海軍軍官訓練團，主要從事工程學方面的工作。通過這個訓練團，他學到了很多科學知識。這為我對科學的興趣埋下了一顆種子。

和我所有的兄弟姐妹一樣，他很聰明。他對世界充滿好奇，對學習充滿熱情，渴望分享他學到的一切。休假回家時，他會教我和弟弟艾薩克（Isaac）他正在學習的科學知識。這為我對科學的興趣埋下了一顆種子。我甚至還做過一個項目，可能是為西屋公司（Westinghouse）做的，研究果蠅（drosophila melanogaster） 。這可能也部分受到了我哥哥的影響。但最終，它并沒有像數學那樣深入我心。

戰后和人造衛星時代成為一名代數學家

采訪者：您從幾歲起就知道自己對數學十分熱衷？

巴斯：直到大學才有。

父親退休后不久，我們搬到了加州。我們的暑假通常要么在科羅拉多州的山區，要么在加州。父親很節儉，所以在加州，我們去了位于威尼斯海灘區和圣莫尼卡之間的海洋公園。我們住在瀝青停車場中央的一棟小房子里——但離海邊只有一個街區。

我父母搬家的時候，我的一個姐姐席爾瓦（Silva）已經在那里當作家了，她對電影行業很感興趣。她幫我挑選了父母買的房子。我在那里讀完了初中，然后去了洛杉磯的漢密爾頓高中。

在我讀高中的時候，對科學有追求的人自然而然地會去加州理工學院。那時，曼吉已經是加州理工學院地球物理科學的研究生了。我的大哥利昂（Leon）曾在太平洋戰區擔任無線電操作員，也在那里學習電氣工程。（我的弟弟艾薩克后來去了加州大學伯克利分校，在哥倫比亞大學獲得物理學博士學位，現在在勞倫斯·利弗莫爾實驗室從事激光研究。）

但我更想接受文科教育。我向曼吉咨詢這方面的問題時，他沒能立即給出答案，不過他咨詢了同學。他們說普林斯頓大學的文科專業不錯。我申請了，并獲得了所謂的地區獎學金，可能是因為地域多元化。

圖3： 1966年，巴斯兄弟姐妹從左到右依次為 Leon、Pearl、Manuel、Frances、Hyman、Sylva、Madeline和Isaac，攝于洛杉磯

我對普林斯頓一無所知，繼承了父母的節儉。我從加州去普林斯頓的時候搭便車。為了不給父母添麻煩，我就這樣跑了好幾趟橫跨美國的旅行。父母為我支付的教育費用總共只有500美元。我每年夏天都打工。高中畢業和去普林斯頓之間的那個夏天，我在俄勒岡州的一個伐木營地打工。后來營地因為火災隱患關閉了，我后來成了一名森林消防員。大一結束后的那個夏天，我在普吉特灣圣胡安群島附近的一艘鮭魚捕撈船上工作。

抵達普林斯頓后，我大吃一驚。我以前在加州，天空湛藍，色彩柔和，但現在這里卻充滿了泥土般的色彩和鉛條玻璃窗。起初，我感到很壓抑，但最終還是喜歡上了這里。

因為我早到幾天，那里沒人。所以我搭便車去了華盛頓特區。因為沒錢，我就在華盛頓紀念碑附近走了一圈，然后回到了普林斯頓。那時，人們已經開始聚集了。

你問我什么時候轉向數學的。答案非常明確：大一榮譽微積分，由埃米爾·阿廷（Emil Artin）教授。助教包括約翰·泰特（John Tate）和塞爾吉·朗（Serge Lang）。那門課的學生包括弗雷德·阿爾姆格倫（Fred Almgren）、邁克·阿廷（Mike Artin）、史蒂夫·蔡斯（Steve Chase）、李·紐維爾斯（Lee Neuwirth）、史蒂夫·沙努埃爾（Steve Schanuel）——許多人后來都成為了數學家。

埃米爾·阿廷是一位戲劇老師，面容嚴肅，風格像歌劇。有一次，一個學生在課堂上說了些什么。阿廷聳了聳肩，朝那個學生走去。這副模樣看起來十分咄咄逼人。但他隨即從口袋里掏出一枚五分硬幣，遞給學生，說道：“你這主意真不錯。”

當時高中還沒有教微積分。所以這對我來說是第一次接觸數學，也成為了我正式接觸數學的入門課。

我一直以為自己知道實數是什么。突然間，我被說服相信它是柯西有理數序列的等價類。這簡直是倒退。這種想法怎么可能行得通呢？

我并非熱愛實分析或微積分。我喜歡的不僅是教學中的數學思維，還有學生身上的那種思維。他們會提出各種想法，而我會想，究竟是誰會想到這些呢？ 我想，如果你足夠了解這些并且密切關注它們，最終你會學到其中的一部分，但不是全部。

采訪者：您學的什么專業？

巴斯：數學，默認的。我對很多科目都感興趣，但只有在數學方面我才覺得自己有能力。

采訪者：您還有其他興趣可能會挑戰您對數學的興趣嗎？

巴斯：我對很多事情都很好奇。但我從未覺得它們會挑戰我對數學的興趣，反而在很多方面增強了它，尤其是我對藝術的興趣。

順便說一句，當時普林斯頓大學全是男生。而且費用昂貴：如果有約會對象，就得安排他們住酒店。我發現融入社交圈的最好方式就是在橄欖球周末去酒吧當調酒師。社交表現就是大口喝酒。我并沒有刻意去跟他們較勁。

采訪者：您什么時候發現自己想讀研究生？

巴斯：自從我主修數學之后，這對我來說就成了理所當然的事。我喜歡數學思考，除了研究生院，沒有其他地方可以讓我進行這種思考。

當時的應用數學發展不如現在這么蓬勃。數學的主要應用出現在第二次世界大戰期間。事實上，塞繆爾·艾倫伯格（Samuel Eilenberg）和桑德斯·麥克萊恩（Saunders MacLane）的合作始于哥倫比亞大學的一個戰時項目，該項目致力于彈道學等研究。該計劃隸屬于應用數學小組（Applied Mathematics Panel），該小組成立于1942年，是美國科學研究與發展局下屬國防研究委員會的一個部門。[Rees1988]

許多參與曼哈頓原子彈研發計劃的人，比如馮·諾依曼（von Neumann）等人，大多是純數學家或物理學家。開闊的視野、概念性的思維和宏大的思維對這項工作至關重要。

應用數學等領域在飛機設計中當然至關重要，偏微分方程和動力學對高科技裝備的設計至關重要，尤其是某些戰爭武器。這些問題以及物流問題最終在戰后得到了應用數學領域的更充分的探討。

第二次世界大戰的一大影響是，由于雷達以及最終的原子武器和密碼學的重要性，軍方開始認識到基礎研究在國家安全中發揮著重要作用。

他們也明白實現這一目標需要什么，并希望戰后能夠繼續下去。他們的想法是建立某種制度來繼續支持這一目標。有人提議成立國家科學基金會，但被杜魯門否決，因為他反對該基金會高度獨立于聯邦政府的監督。

因此，支持基礎研究的努力仍在繼續，但這次是在海軍研究辦公室進行的。美國國家科學基金會（NSF）最終成立時，其文化借鑒了當時海軍研究辦公室的文化，真正支持基礎科學。

圖4： 海曼1958年就讀芝加哥大學博士生照片

照片源：保羅·哈爾莫斯 (Paul Halmos)

1951年至1955年，我在普林斯頓大學學習，之后在芝加哥讀研究生，直到1959年。1957年，蘇聯人造衛星“斯普尼克”（Sputnik）發射升空。很多人認為蘇聯過于落后，根本無法實現這樣的目標。這真是一次真正的覺醒和震撼。國家意識到需要認真對待這個問題，并在科技領域進一步發展，提升實力。

因此，他們制定了激勵措施，支持教育朝著這個方向發展。任何以任何方式表明自己對科學或數學感興趣的學生都會受到充分鼓勵。因此，在我讀研究生和博士期間，由于基礎科學和數學發展得到大力支持，我很容易獲得獎學金或助學金。

采訪者：您什么時候意識到自己擅長代數或者對代數特別感興趣？

巴斯：從一開始。在微積分課程中，思維就是代數的。我們不是在解決復雜的微分方程；實分析的核心是度量空間。

有一道題我至今還記得。那是課程考試里的一道題，所有考試都是帶回家的，我們得花好幾天時間才能做完。當然，那時候還沒有互聯網，也沒有現代計算器。

按如下方式定義函數f:?→?。當x∈?即x=p/q，其中p,q∈?，p和q既約時，取f(x)=1/q。當x??時，取f(x)=0。問f在哪里連續？

我對這個問題的第一反應是生氣。怎么會有人能回答這樣的問題？ 你無法畫圖。所以我不得不思考，我有什么工具可以回答這個問題？我有兩個工具：連續性的定義和f的定義。我不禁想， 僅僅用這些真的能推理嗎？

我花了幾天時間思考這個問題。我學到的與其說是答案，不如說是意識到，基于這樣的定義進行推理實際上是可能的，而且你能夠回答這個乍一看似乎不可能的問題。

乍一看，這個函數像是人為構造的。但實際上，這個問題蘊含了關于離散性、密度以及它們之間關系的實質性概念。這些概念一直縈繞在我的腦海里，并激發了我思考許多事物，例如離散群和格。

采訪者：為什么選擇芝加哥大學攻讀博士學位？

巴斯：我忘了為什么選擇芝加哥了。

應該說，現在難多了。我覺得在如今這個競爭激烈、考試導向太強的世界里，我根本不可能成為一名成功的學生。

在普林斯頓或芝加哥，我從未覺得自己是在和同學競爭。唯一的競爭是思想的競爭。數學是我的對手，但它并不卑鄙，規則也清晰明確。勝利不在于放倒什么，而在于精通，與思想融為一體。這是我從一開始就欣賞的數學文化之一。

即使在普林斯頓，那間屋子里也有各種各樣的性格和體型的人。他們受到的待遇只與他們的思維方式有關。

我發表的第一篇論文[Bass58]出自芝加哥大學Halmos教授的一門“代數邏輯”課程。Halmos引入了“單子代數”（Monadic algebra）的概念。他提到，有限多個生成元的自由單子代數是有限的還是無限的，這是一個懸而未決的問題。我證明了它是有限的，并給出了它的基數。那是我的第一篇論文。它并不艱深。

科學中的數學教學和數學語言

采訪者：如果您年輕時可以從攻讀博士學位的年代穿越到現在，您會對周圍的哪些變化感到最驚訝？

巴斯：作為一名研究生，我以為數學有著悠久而輝煌的歷史，它或多或少會繼續延續下去。我沒有預見到，受該領域進步（尤其是格羅滕迪克的成就）以及科技進步的影響，數學發生了如此根本性的變革。我在不同時期思考過數學作為一個整體、作為一種文化的動態。人口規模帶來了巨大的變化。

在我是學生的時代，美國數學正開始蓬勃發展。在此之前，美國數學起步緩慢。即使是像麥克萊恩這樣的人，也得去哥廷根大學攻讀學位。但后來，隨著美國數學在科學和數學領域地位的提升，它蓬勃發展起來。如今，從事數學研究的人數已大幅增長。并非每個人都能成為學者。但長期以來，學術職位一直空缺。數學領域之所以聲名鵲起，不僅是因為人們欽佩它，還因為它對國家安全、經濟以及許多其他領域日益增長的影響。甚至技術和應用領域也高度依賴數學。

以非侵入性醫學診斷為例。該領域的重大突破很大程度上依賴于19世紀末的數學成果。這些成果早被準備好，隨時可供化學家或醫生使用。例如，假設你取一個三維物體，進行平行切片，并從這些切片中獲取數據。你能重建原始的三維物體嗎？這是微分幾何中一個自然的問題。或者，如果你從多個方向截取線段，你能根據這些數據重建它嗎？這些幾何問題在19世紀末基本得到解決。它們是CAT（計算機軸向斷層掃描，現稱CT掃描）和MRI（磁共振成像）的基礎。

數學中存在一個有益的悖論，尤金·維格納（Eugene Wigner）稱之為“數學的不合理有效性”（1960，第1頁[Wigner1960]）。人們一次又一次地出于求知欲去追求數學思想。但事實證明，我們的好奇心和審美本能會引導我們找到與大自然為許多問題準備好的相同的答案。這些事物可能需要很長的時間才能得到潤色修整，但關鍵在于，當修整它們時，他們會產生一些想法，而那些執著于只關注應用的人永遠不會想到這些。他們永遠不會想到數學發展過程中所考慮的抽象和概念發展階段。

正如伽利略所說，我們必須理解自然的語言，也就是數學的語言。

“哲學被寫在這部宏大的書籍——宇宙之中……[若]未能先學會理解其語言、讀懂構成它的文字，便無法參透這部書。它是以數學的語言寫就的……”——伽利略/德雷克，1623/1957，第237-238頁[Galileo1623]

這是一個深邃的洞見，且其真理性不斷被重新驗證。歷史的巧合在此重現——這一學科的美學理念始終與現實世界緊密相連。

我認為數學的學術途徑已經在某種程度上飽和了。越來越多接受過數學訓練的人不得不從事金融、數據科學、計算機科學和其他應用領域的工作。這很好，因為優秀的批判性思考者在這些領域至關重要。所謂的現實世界越來越需要善于思考和解決問題的人；數學可以培養這些技能。

采訪者：您認為自從您成為博士后以來，數學領域有哪些進步？哪些方面變得更具挑戰性？

巴斯： 總的來說，這個領域在不斷進步，我認為只要我們不毀滅文明，這個領域就永遠不會停止，不幸的是，我們不能再排除這種可能性了。

舉個例子，學術數學以及一般科學的經濟基礎是什么？

在科學領域，關鍵在于實驗室的運營。如果你是科學系主任，你任命了一位新教員，你負責組建團隊，發放薪水，此外，以前僅僅為了建立實驗室，就需要投入五十萬美元，現在可能更多。實驗室不僅需要學術支持，還需要人員、管理和行政技能，甚至需要科學家的幫助，才能維持項目的正常運轉。因此，科學領域的研究經費通常比數學領域的要多得多。

另一方面，數學家的經濟基礎不同。我認為對數學家來說，實驗室就是教室——尤其是高級研究生課程，它們充當著該學科思想的苗床。數學文化的結構與科學文化不同。在一個活躍的數學系，研討會的安排在其他領域是獨一無二的。大量的時間和智力投入到這些研討會中。教師通常不會因為舉辦研討會而獲得正式的榮譽。

數學系通常擁有STEM領域規模較大的師資隊伍之一。是什么讓數學系擁有如此規模的師資隊伍？其經濟基礎在于教育：教學使命。數學是一門賦能科學技術的學科。在教授微積分、線性代數和微分方程等基礎學科時，數學在教學領域占據主導地位。隨著大學越來越依賴學費作為收入來源，教學成為一種日益重要的資源。它維持著合理的師資規模，而且非常寶貴。

數學家們沒有充分認識到本科教學質量對他們的重要性。這關乎經濟學基礎。其他人，尤其是工程師，常常覬覦這塊領地，這當然沒錯。他們覺得自己更適合教工程師微積分，因為他們知道微積分的用途。這種說法并非毫無道理。

艾倫伯格當時擔任哥倫比亞大學數學系主任，當時正值這一挑戰發生之際。他繞過了正常的程序，沒有去找院長辯論，而是直接去找校長。校長表示，哥倫比亞大學是一所一流的研究型大學，沒有一流的數學系的研究型大學是無法生存的。一流的數學系需要合理的師資規模，能夠涵蓋足夠多的領域，并擁有深厚的數學實力。

哥倫比亞大學數學系規模不大，但就其規模而言，與大學和學院的規模相比，其教學職能相對較大。如果他們失去這些教學資源，就意味著系規模的大幅縮減，從而導致教學質量的下降。這是一個“臨界規模”的問題。這個論點很有說服力。

但這種爭論并非純粹關乎數學本身的價值。它還傳達了一個信息：教學質量必須與規模相符。遺憾的是，這一點并不總是能夠充分傳達給進入系里的年輕數學家們，他們并沒有意識到數學系規模以及教學質量對他們有多大的影響。

隨著時間的推移，這種情況正在緩慢地向好的方向改變。你不能再說，只要某人的數學成績非常優秀，無論他作為老師多么不稱職都無所謂。進一步的論證是，事實上，提高教學質量將提高數學的質量和生產力。這項承諾必須成為數學系文化的一部分，并且必須得到系領導層的培育和支持。

21960至1990年代：主要是交換同調代數、投射模、泛函和樹

采訪者：在1960到70年代，您的工作主要集中在同調代數和投射模上。您記憶中最深刻的是什么？

巴斯：為了準備這次采訪，我翻閱了我65歲生日會議[LamMagid1997]上寫的那本書。我記得有幾次我讀到了一些我欽佩的結果，于是我問了那些證明了這些結果的人，他們說：“你做到了。” 這就是我讀完那本書的感受。很多事情已經從我的記憶中淡去，只剩下一些非常普通的印象。

我確實記得，進入一個新鮮的領域總是令人欣喜，當時的同調代數就是這樣的。這片土地還沒有完全被開發，所有低垂的果實都還沒有被采摘。它提出了許多新的問題。同調代數是以拓撲學中發展起來的同調理論和上同調理論為模型的。

桑德斯·麥克萊恩（Saunders MacLane）有一篇關于自然變換的論文，它本質上是函子之間的態射。例如，一個有限維向量空間同構于它的對偶。它們具有相同的維度。但它以一種自然的方式同構于它的第二個對偶，因為你可以將它等價于它的第二個對偶。在這兩個同構中，一個是典范的；它是自然的。于是，范疇論的概念開始出現。

同調代數（homological algebra）蘊含著范疇論（category theory）的種子，它剛剛開始發展成為一種將代數拓撲的思想公理化的全新理論。拓撲學研究的是復雜的連續對象。離散的事物更容易處理，更容易計算，也更容易發現差異。例如，（上）同調理論將離散的代數對象與空間聯系起來。

因此，這些理論是強大的工具，因為它們可以將復雜的幾何對象代數化。同調代數將這些理論方法公理化。因此，這些公理可以應用于拓撲空間以外的其他范疇，例如環、群、李代數等等。

笛卡爾在代數和幾何之間架起了一座重要的橋梁。這發展成為將空間X與X上的函數環R(X)關聯的實踐。這支持了將許多與X相關的幾何對象轉化為與R(X)相關的代數類似物的部分詞典。例如，X上的向量叢對應于投射R(X)-模。

投射模（projective module）對于任何環都具有純代數意義，不一定是R(X)的形式。因此，投射模和環的同調代數是純代數理論，它們與幾何學有著重要的聯系，也與代數中的經典問題有著一些意料之外的聯系。

新的環同調代數為其應用打開了大門。環R的第一個同調不變量是它的全局維數。我記得艾倫伯格在環論發展最為成熟的領域，也就是當時的有限維代數中研究了這一點。它們有一個冪零根，模為半單的。事實證明，如果R是半單的，則R的全局（整體）維數為零，否則該維數為無限。因此，令人失望的是，同調代數并沒有帶來任何新的啟示。

但更有成效的應用領域是交換代數，它與代數幾何緊密相關。同調代數在其中有何意義？在這方面，它帶來了巨大的回報。這些成就源于讓-皮埃爾·塞爾（Jean-Pierre Serre）、莫里斯·奧斯蘭德（Maurice Auslander）、大衛·布赫斯鮑姆（David Buchsbaum）以及當時其他代數學家的發展。例如，全局維度的有限性等同于正則性。從幾何學上講，它等同于對應簇的光滑性。這就是交換同調代數的誕生，它至今仍是一個充滿活力的研究領域。

歐文·卡普蘭斯基（Irving Kaplansky，巴斯的博士生導師，作者注）在一系列講座中開始揭示交換代數中的同調方法，這啟發了我的論文方向。對我來說，卡普蘭斯基是一位非常輕松的老師。他不會試圖面面俱到。他會挑選一些關鍵定理，然后嘗試沿著測地線（意即局部最短路徑的方式，zzllrr小樂譯注）推導這些定理，不讓技術細節和枝節問題妨礙教學。

事實證明，這是一種很有吸引力的教學方式。它勾勒出該學科的宏大思想，同時也揭示了當時許多懸而未決的問題。例如，考慮一個正則局部環（一個光滑點處的局部環）是否為一個唯一分解整環。這是一個非常自然的代數問題，其答案可以用同調方法得到證明。塞爾用同調術語構建了相交重數理論框架。

同調代數在其早期階段，將投射分解和內射分解，尤其是投射模，帶到了人們的視野中。投射模非常棒。自由模類似于向量空間，但標量來自環而不是域。因此，我們的想法是，模仿線性代數或主理想整環的初等因子理論，看看能將其推廣到何種程度。

在我的論文中，我研究了與內射維數相關的內容。當時，這方面的研究并不活躍，所以對我來說，這是一個鮮有涉獵的領域。我認為，它之所以沒有受到太多關注，原因之一是內射模往往不是有限生成的。例如，對于阿貝爾群，一個重要的內射模是?/?，它肯定不是有限生成的。

因此，內射模和內射維數的發展將我引向了一個看似很自然地可以同調地看待的方向。與此同時，我并不清楚它在更廣泛的數學領域中究竟有多有趣。當時我并沒有為此擔心。但我那篇所謂的“泛在性”（Ubiquity）論文，最終成為了我在這個主題上工作的巔峰，并成為我被引用次數最多的論文之一[Bass1963]。

鑒于我的方法，研究滿足自身作為A-模的環A具有有限內射維數是很自然的。我發現了幾個與此等價的條件，尤其是當A是交換諾特環時。當我向塞爾證明這一點時，他指出，當A是仿射環（就像在代數幾何中一樣）時，其中一些與對偶相關的條件已被格羅滕迪克（Grothendieck）研究過，他根據Gorenstein關于平面曲線奇點的論文將它們稱為Gorenstein環。其他例子包括有限阿貝爾群的積分群環，這與我對有限群積分表示的興趣相關。

這篇關于泛在性的論文試圖將一系列看似毫無關聯的結果連貫地整合在一起，之后我才將注意力轉向其他方向。這有點像“房屋清掃”；我的目標并非解決什么大問題。因此，這篇論文為何能引起如此大的關注，我感到頗為好奇。

為了使情況更近一步，我們可以研究樹上的群作用。該領域源于對同余子群問題的研究，該問題探討的是，對于全局域上的算術群，有限指標子群在多大程度上可以用同余子群“解釋”。在分裂簡單代數群G中，當rank?(G)≥2時可以得到有效結果。人們早就知道，對于秩為1的群，例如S?L??(?)，這不成立。

塞爾繼續分析了S?L??(A)的情況，其中A是S-算術環，例如??[1/p]，p是素數。他證明了，如果A的單位群為無限，則同余子群性質本質上得以保留。他的方法涉及研究S?L??(F)的離散子群Γ，其中F是局部域。關于此研究的一個顯著結果是Ihara定理：如果Γ不具有撓率，則Γ是一個自由群。塞爾通過使用Γ對Bruhat-Tits廈（building，秩為1時是一棵樹）的作用，系統化了這項研究。

1968年，塞爾在法國學院開設了一門關于這些思想的課程。當時我在巴黎休假一年，塞爾邀請我準備他的講座筆記。我很樂意做這件事，盡管我當時的重點是代數K-理論。塞爾發起了一項關于群Γ作用于樹X的普遍研究。除了恢復Ihara定理之外，他還證明了，例如，如果Γ\X是一條邊，那么Γ允許合并自由積分解。

在一次關于課程筆記的咖啡館討論中，塞爾指出這些結果應該是樹上群作用的一般組合理論的片段，并建議我可以在筆記中闡述細節。我照做了，將其表述為一種分支覆蓋空間理論的類似物，其中Γ表示為商“群圖”Γ\\X的“基本群”。這項工作現在被稱為“Bass-Serre理論”，被納入塞爾的《樹》

Trees

完成這些之后，我的注意力又回到了代數K-理論。在IHéS法國高等科學研究所，我和泰特一起研究了全局域的K?。大約十年后，Peter Shalen（彼得·沙倫）問了我一個關于G?L??(?)的有限生成子群的具體問題，他懷疑這個問題可以用樹上的群作用理論來解答。我證明了一個小定理，證實了他的懷疑。

當瑟斯頓（Thurston）來哥倫比亞大學做學術報告時，我給他看了這個定理，并問他是否知道沙倫的興趣所在。他說他不知道，但這個結果可以幫助證明史密斯（Smith）猜想，即關于三維球面周期微分同胚的固定圓的結可解性。瑟斯頓的沖動被證明是正確的，但它的實現必須動員幾位數學家的努力，這些研究最終匯集在了《史密斯猜想》[MorganBass1984]一書中。

這項工作使得Morgan和Shalen深化并推廣了樹的群作用理論。特別是，他們引入了Λ-樹的概念，其中Λ是任意全序阿貝爾群。組合樹屬于Λ=?的情況。他們建立了?-樹的幾何重要性[MorganShalen1984]。這些事件重新激起了我對樹作用的興趣，包括與Roger Alperin合作研究Λ非阿基米德的情況。

這項工作的成果之一是我與Alex Lubotzky合著的《樹格》

Tree Lattices

圖5：從左到右J. - P. Serre、Alex Lubotzky和Hyman Bass，耶路撒冷希伯來大學愛因斯坦數學研究所，1998年

照片源：Lisa Carbone

Ihara的論文是所有這些工作的關鍵來源，它不僅證明了S?L??(?p)中無撓率的離散子群Γ是自由的，而且它還附加到Γ一個zeta函數[Ihara1966]。雖然我之前沒有怎么研究過zeta函數，但為了自我啟發，我決定理解Ihara論文的這一部分。

我將Ihara的構造推廣到任何均勻格，不一定無撓率，也不一定是正則樹上的格，并使用了來自投射模和表示論工作的非交換行列式思想，例如在我的論文“離散群的歐拉示性數和特征”[Bass1976]中。雖然我將這篇論文視為自學練習，但令人驚訝的是，它成為了我被引用次數最多的論文之一。

31960年代中期至80年代中期：代數K理論和同余子群問題

采訪者：您最為人熟知的可能是在1960年代到80年代對代數K理論和同余子群問題的研究。您對這項工作有什么印象？

巴斯：有趣的是，事物具有連續性。我一直在思考塞爾猜想，即多項式環上的投射模是自由的。作為一名代數學家，我心中一直存在的模型是初等因子理論（elementary divisor theory），即主理想整環（PID - Principal Ideal Domain）或戴德金整環上的模。

令我大開眼界的是塞爾在杜布雷爾-皮索（Dubreil-Pisot）研討會上發表的一篇論文，他證明了秩足夠大的投射模有一個自由直和項（free direct summand）[Serre1958]。這個結果與我之前見過的任何結果都截然不同。因此，我仔細研究了這個證明。

他的證明讓我意識到，拓撲方法和代數方法之間存在著一道巨大的壁壘。這道壁壘類似于光滑性和解析性之間的壁壘。對于解析性，如果你知道一個函數的芽（germ）——如果你知道它在某個點的一個小鄰域內——它就被全局確定了。兩個在一個小的開集上一致的解析函數是相同的。如果它只是可微的，甚至是無限可微的，那就不再成立了。

這意味著，有了光滑性——而不是解析性——你就可以進行單位分解。你可以將函數的各個部分組合成在不同位置表現良好的函數，然后將它們光滑地拼接在一起。

單位分解是拓撲方法的基操。如果把投射模看作向量叢，得到一個自由直和項意味著可以得到一個處處非零的截面，因為這樣它就能生成一個一維直和項。

塞爾的結果是一個簡單的拓撲定理的代數類似物：如果向量叢E的秩超過了基的維數，那么E有一個（連續的）非零截面。那么，如何構造一個處處非零的截面呢？你可以在基空間的骨架上進行歸納構建。歸納地講，在t-骨架，你想將其擴展到(t+1)-骨架的一個單元內部。該單元已在邊界上構造，你想將其擴展到不帶零的內部。設向量叢秩為r，基空間維數為d，則此擴展的障礙幾乎同義反復地位于π_t?(S??1)，如果r?1>d?1≥t，則障礙消失。

代數中的函數表現得像解析函數。如果有兩個多項式，即使它們包含多個變量，并且它們在一個開集上一致，那么它們就是相同的。所以你不能拼接局部給定的多項式函數。

在秩為r的投射模P中，塞爾試圖構建一個元素（“截面”）s，模每個極大理想都非零。因此，我們處理的是環極大理想空間X。s的零軌跡Z?(s)在X中閉合。選擇一個截面t，它在Z?(s)上非零，并且與用于構建s的所有截面“線性無關”。如果r很大，并且Z?(s+t)?Z?(s)維度較低，則是可能的。這就是塞爾的方法。這與我之前見過的論證完全不同。

令?(R)為秩為r的投射R-模的同構類集，并定義通過將P發送到P⊕R，?(R)????(R)成立。塞爾定理指出，對于d=dim?(R)，r≥d，則這些映射是滿射的（surjective）。受拓撲類似物的啟發，我證明了它們對于r>d是內射的（injective）。這引起了人們對代數中“穩定范圍”現象的更多關注。

隨后，格羅滕迪克提出了黎曼-羅赫（Riemann-Roch）定理，幸運的是，它發表在了波雷爾（Borel ）和塞爾的一篇開創性論文中[BorelSerre1958]，后來被發表在SGA 6 [Grothendieck1957]。格羅滕迪克想等到這些想法得到進一步發展，但這些想法太過豐富，以至于無法拖延發表。

其中一個想法是K-函子，即代數簇（algebraic variety）或概形（scheme）X上的向量叢的“格羅滕迪克群”K?(X)，它被處理成類似于上同調理論的東西。阿蒂亞（Atiyah）和希策布魯赫（Hirzebruch）以此為基礎，創立了拓撲空間X的拓撲K-理論，將K??(X)定義為“X的n次懸垂（suspension）的K群”。

圖6：從左到右，Lisa Carbone、Peter Kropholler、Elizabeth Schneider、Hyman Bass、Sal Liriano和Ilya Kapovich，奧爾巴尼群論會議，1993年

對我來說，嘗試構建這些發展的代數類似物似乎是自然而然的。對于環R，我們首先從K?(R)開始，即有限生成（左）R-模的格羅滕迪克群。當R滿足交換律、Noether環和正則律時，格羅滕迪克證明了一種“同倫不變性”：K?(R)?K?(R?[t])是一個同構。

因此，有限生成的投射R?[t]-模與P?[t]“穩定同構”，其中P是R-模。結合穩定性定理，這部分證實了“塞爾猜想”，即當R為域（field）時，投射R?[t?, t?, … , t_d]-模P是自由的；如果rank?(P)≥d+2，則這可由同倫不變性和穩定性定理推導出來。大約十年后，Quillen和Suslin完全證明了塞爾猜想。

圖7：海曼，1960年代中后期

尋求高等代數K-群K_n?(R)，n≥0的構造是很自然的，但沒有令人滿意的懸垂集的代數類似物。我直接研究了n=1的情況。拓撲上，K?(X)=K?(S?X)，即X的懸垂集S?X上的向量叢的格羅滕迪克群。S?X可以看作是X上兩個錐的并集，沿它們公共基X粘合。

設E是S?X上的秩n向量叢。由于錐是可收縮的，E可以等價于每個錐上的平凡秩n叢。則E由平凡叢在S?X的“赤道”X上的“粘合”自同構定義，換句話說，由元素α∈G?L_n(C?(X))定義，其中C?(X)是X上的連續實函數環。達到同構，E由α的同倫類確定，即α模G?L_n(C?(X))的恒等分量G?L_n?(C?(X))的像，因此K?(X)=lim_n G?L_n(C?(X))/G?L_n?(C?(X))=G?L?(C?(X))/G?L??(C?(X))。

要定義一個代數類似物，需要用任意環R代替C?(X)來表示G?L_n?(C?(X))的代數代理。由于各種原因，使用由初等矩陣I+t?e_{i?j}生成的群E_n?(R)是合理的，其中t∈R，i≠j，且e_{i?j}，(1≤i,j≤n)是n×n矩陣空間的標準基。此外，定義K?(R)=G?L?(R)/E?(R)。我證明了K?的一些穩定性定理，類似于K?的穩定性定理。

我們與Alex Heller和Dick Swan一起證明了K?的同倫不變性的類似物。在我的著作《代數K-理論》中，我構造了一些與K?和K?相關的正合序列（exact sequences）[Bass1968]。此外，米爾諾（Milnor）還撰寫了一篇精彩的代數K-理論導論，將該理論擴展到K??(R)[Milnor1969]。

盡管環C?(X)介導了代數與拓撲K理論的聯系，但事實證明，拓撲學中一個完全不同的分支，更早之前就對K?(R)的一個細微變體產生了興趣，其中R是群π中可能非交換的整群環Z?π。這就是“簡單同倫理論”，它探究同倫等價關系X?Y是否“簡單”。J. H. C. Whitehead（懷特海）定義了一個障礙，它存在于我們現在稱之為Whitehead群W?h?(π)中，其中π是X和Y的共同基本群。我們可以寫成W?h?(π)=K?(Z?π)/[±π]，其中[±π]表示元素屬于±π的對角矩陣類。

懷特海建立了初等矩陣的基本代數，例如證明了E?(R)是G?L?(R)的交換子群。他的學生格雷厄姆·希格曼（Graham Higman）對有限阿貝爾矩陣π進行了W?h?(π)的首次實質性計算。這個代數為K?的計算提供了基本工具。

對于R可交換，行列式分解為K?(R)=R^×⊕S?K?(R)，R^×是R的單位群，后者來自特殊線性群。此外，對于R的理想J，還定義了相對群S?K?(R,J)。對于R=?，計算群S?K?(Z,J)時已經遇到了S?L_n?(?)，n≥3的百年之久的“同余子群問題”。這引起了幾位數學家的努力，尤其是米爾諾和塞爾，最終形成了我們關于同余子群定理的論文[BassMilnorSerre1967]。這解決了算術環的S?L_n同余子群問題（n≥3），并將其與數論中的互反律聯系起來。

這些多元的聯系（與代數、代數幾何、拓撲K-理論、簡單同倫理論、泛函分析和數論）表明，這些代數K-理論尚且不溫不火的發展，其數學前景遠超我的預期。這更激發了我對構建“好的”高等代數K-理論的興趣。因此，代數K-理論似乎擁有許多引人入勝的觸角，其中一些甚至超出了我的專業范圍，但卻缺乏數學核心。這促使我組織了一場會議，將這一新興學科的所有不同研究對象聚集在一起。

在提交給美國國家科學基金會的會議提案中，我曾這樣寫道：“有很多人有著類似的興趣，但他們的領域截然不同。只要把他們聚集在一起，就能產生人與人之間的化學反應。”會議取得了巨大的成功，這要歸功于奎倫，他帶來了一套完整的高等代數K-理論（兩個版本）的構建以及一些基本的計算工具。這讓他獲得了菲爾茲獎。會議論文集出版于三卷厚厚的施普林格數學講義[Bass1973one][Bass1973two][Bass1973three]中。

- 上篇完 -

參考資料

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