洞穴之外 | 怎樣從LEO運力換算SSO運力？

從LEO運力換算SSO運力

問題

解析模型

一次加速模型1——近地點加速模型

二次加速模型1——霍曼變軌模型

二次加速模型2——有限時長變軌模型

總結

01

問題

知道LEO運力，SSO運力大約為多少？我們經常會碰到這種問題，標準答案是不知道，每種火箭不一樣。譬如CZ-2C，LEO運力是4t，700kmSSO為1.3t，而加了遠程上面級可達到2.5t，不同火箭不一樣，沒有標準換算方法。

除了彈道計算，能否通過半定量分析得到？高軌運力如何優化？本文對此進行了研究。

02

解析模型

設火箭LEO運力為m，為了發射其它軌道，假設先發射到LEO，然后變軌到對應軌道，最終軌道運載能力為λm。那么發射到LEO時的重量仍然為m，此時剩余推進劑量為m-λm，不考慮蒸發、預冷、排放、沉底等損失時，剩余推進劑就是用于變軌的推進劑（假設變軌在短時間完成，無重力損失）。

設火箭末級結構質量為M0，比沖為Isp，則

令 得到

因此知道末級結構干重，就可以折算出新軌道運力。

當然，這個公式有成立的前提：

推進劑足夠多，否則不足以產生足夠的速度增量。如CZ-2CSMA，它的固體末級只裝了120kg推進劑，考慮末級自身840kg的干重，以及600kmSSO能力為1.9t，只能提供2814*log(2.86/2.74)=120m/s的速度增量，恰好提供200x600km橢圓軌道遠地點112m/s的變軌速度，如果大于這個速度增量，公式就已經不再適用了。

如果涉及二次變軌，第二次變軌的工作時間可調才可使用此公式，否則如采用固體推進劑，或固定二次工作時間，則無法很好匹配兩次速度增量，造成運力損失。

圖 運力換算系數與末級結構衛星質量比等關系圖

從公式可以看出：

1）ν更小，即速度增量更小或發動機比沖更大，換算系數更大；

2）末級結構干重與衛星重量比ξ更小，換算系數更大；

3）當ξ為0時，折算系數取最大值(1-ν)/(1+ν)。

如果查不到其它火箭的結構末級干重，可以通過一些經驗參數組合進行估計。設火箭基礎級質量為M1，末級濕重為M，結構系數為η，假設M1/M=k，火箭運載效率為ε。則

可以求得

這些參數有經驗值，如一般η在0.03-0.15之間，ε在0.02到0.04之間，對于二級火箭k在3到5之間，對于三級火箭k在10到100之間。因此可以估計得到ξ。

由于ξ更小，換算系數更大，因此結構系數η更小，或者末級質量比k或運載系數ε更大，折算系數更大。

此處取一個基本工況：η=0.1，ε=0.02，k=4，可以計算得到ξ=1。在Isp=3000，dv=600時，λ=0.6411。在基本工況附近對η、ε、k、Isp和dv進行遍歷，可以得到運力折算曲線見下圖。

圖 不同參數組合下運力折算系數曲線

03

一次加速模型1

——近地點加速模型

拿幾個型號進行驗證。獵鷹9號的LEO運力為22.8t，GTO運力為8.3t，MTI運力為4.02t。

對于橢圓軌道，近地點速度公式為 。對于GTO軌道，帶入可以計算出185x36000km橢圓軌道近地點速度為10256m/s，相對于185km圓軌道的7793m/s，增量為2462m/s，MTI計算復雜一些，大約為4000m/s。

因此獵鷹9的ε為22.8/545=0.0418，k大約為4，它的二級結構很輕，結構系數為0.04，從而ξ=0.19。發動機比沖為3413m/s，可計算出GTO和MTI折算運力為8.94t和4.18t，與8.3t和4.02t接近，誤差7.7%和4.0%。

繼續使用這個公式。在《世界航天運載器大全》中，有CZ-4C不同軌道高度的運力信息。

圖 CZ-4C運載能力曲線

從圖中可以查出近地點分別為300km、500km和800km處的運力，計算出不同橢圓軌道處的速度增量，再利用大全里給出的末級質量為1.83t，從發動機比沖Isp=2971m/s可以換算得到運力見下表。

表 CZ-4C不同遠地點高度運力換算

近地點高度300km

遠地點高度(km)

運力(t)

速度增量(m/s)

換算運力(t)

誤差

1000

3.45

2000

3.02

234

3.04

0%

3000

2.67

434

2.72

1%

4000

2.40

607

2.46

2%

5000

757

2.24

近地點高度500km

遠地點高度(km)

運力(t)

速度增量(m/s)

換算運力(t)

誤差

1000

3.18

2000

2.80

233

2.80

0%

3000

2.49

432

2.49

0%

4000

2.24

604

2.24

0%

5000

2.03

754

2.04

0%

近地點高度800km

遠地點高度(km)

運力(t)

速度增量(m/s)

換算運力(t)

誤差

1000

2.84

2000

2.54

231

2.49

3000

2.28

429

2.20

4000

2.05

600

1.97

5000

1.84

749

1.78

04

一次加速模型2

——初速度補償模型

同樣高度軌道，LEO和SSO的換算呢？CZ-2C用戶手冊給出了在酒泉發射中心運力如下。

圖 CZ-2C運力曲線

表 CZ-2C不同軌道高度和傾角下運力(讀圖獲得)

軌道高度(km)

200

300

400

SSO運力(t)

2.61

2.28

1.88

50°傾角運力

3.62

3.25

2.83

63°傾角運力

3.37

3.00

2.59

86°傾角運力

2.88

2.52

2.10

地球赤道自轉速度6378e3*2*pi/24/3600=464m/s，200、300和400kmSSO軌道的軌道傾角分別為96.32°，96.67°和97.03°，則對不同傾角，如50°傾角軌道，需要的速度增量分別464*cosd(50)-464*cosd([96.3296.6797.03])=[349.3352.1355.0]。

注：火箭在不同發射場，射向公式為sin(μ)=cos(i)/cos(φ)，其中i為軌道傾角，φ為發射場緯度，因此地球自轉提供角速度為dv=464*cos(φ)*sin(μ)=464*cos(i)僅與軌道傾角有關，而與發射場無關。

假定這個速度增量完全由末級提供，則采用之前計算公式就可以進行計算。這里CZ-2C游機比沖為2834m/s，二級重量按5t計算。

表 CZ-2C不同傾角下運力到SSO換算

50°傾角

軌道高度(km)

200

300

400

運力(t)

3.62

3.25

2.83

速度增量(m/s)

換算SSO運力(t)

2.62

2.28

1.91

誤差

0.10%

0.27%

1.18%

63°傾角

軌道高度(km)

200

300

400

運力(t)

3.37

3.00

2.59

速度增量(m/s)

換算SSO運力(t)

2.63

2.29

1.91

誤差

0.53%

0.31%

1.15%

86°傾角

軌道高度(km)

200

300

400

運力(t)

2.88

2.52

2.10

速度增量(m/s)

換算SSO運力(t)

2.65

2.29

1.88

誤差

1.46%

0.64%

-0.05%

05

二次加速模型1

——霍曼變軌模型

上述軌道，只需要使用末級直接加速即可，如果需要變軌到更大直徑圓軌道，將需要末級二次加速?？紤]霍曼變軌中間軌道（圖中紅色），近地點和遠地點速度分別為

圖 霍曼變軌

如土星5的運載能力：卡納維拉爾角發射場發射，軌道傾角28.5°，185km圓軌道的有效載荷運載能力為120t，地球同步轉移軌道為60t，地球同步軌道為30t。土星5號三子級S-IVB干重為11.5t，比沖為4217m/s。計算兩次變軌需要速度增量見下表所示。

表 霍曼變軌速度增量

近地點

遠地點

速度增量

高度(km)

185

近地點圓速度(m/s)

橢圓軌道速度(m/s)

2462.49(GTO)

遠地點圓速度(m/s)

變傾角速度增量(m/s)

總速度增量

4723.02(GEO)

其中，由于卡角緯度為28.5°，進入GEO軌道需改變軌道傾角，改變軌道傾角所需的速度增量與軌道速度成正比：

由于大橢圓中間軌道的遠地點速度最小，為1588m/s，在此處改變傾角效率最高，所需速度增量為2*1588*sin(28.5/2)=782m/s。

利用上述信息，從LEO運力可以換算出GTO和GEO運力分別為61.8t和31.4t，誤差3%和5%。

06

二次加速模型2

——有限時長變軌模型

從CZ-4C運力圖上可以查出太陽同步軌道運力見下表，從400km高度運力計算其它運力。從計算結果看，隨著軌道高度增加，誤差越來越大。

表 400km軌道處變軌換算速度增量

軌道高度(km)

運力(t)

變軌速度增量(m/s)

換算運力(t)

誤差

400

3.48

600

3.11

3.29

6%

800

2.79

3.11

11%

1000

2.52

2.94

17%

1200

2.29

2.79

22%

1400

2.08

2.64

27%

1600

1.90

2.51

32%

針對這個差異，可以直接排除發動機比沖因素，首先懷疑是末級質量不準，譬如末級會預留防旋防塌量、晃動量、安全余量，以及滑行段沉底等，實際使用的末級質量比結構質量要略大一些。但簡單計算發現，末級重量增加10%，折算運力影響不大，除非增大到5t，換算運力與實際才接近，但一個16t的起飛重量，最后留下5t的死重，假設基本不合理，計算表格很簡單，這里就不貼出了。

排除起飛重量因素，還剩下速度增量，對于GTO軌道和MTI軌道，可以從低軌直接加速，對于土星5號，三子級滑行時間可長達6h，對于地球附近圓軌道可以采用霍曼變軌。但有些火箭無法滑行這么長時間，只能在到達遠地點之前切進大圓。

如下圖所示，從r1圓軌道變軌到r2圓軌道，最省能量的路徑為圖中紅色軌道，但此軌道耗時較長，如一般近地軌道衛星旋轉一圈90min，則變軌需要45min，約合2700s，滑行時間較長，給測控、熱控、能源、推進劑管理帶來較大困難。

圖 加速變軌和切入變軌圖

一種方式是走圖中藍色軌道，即開始加速更大，抬高遠地點，這樣，軌道可以提前與r2相交（圖中藍色五角星），在交點變軌到r2軌道，以損失能量的方式來減小滑行時間。

將CZ-4C從400km圓軌道按藍色變軌方式變到600km，在不同滑行時間下換算運力見下表。

表 CZ-4C按藍色軌道變軌換算運力(400km->600km)

滑行時間(s)

變軌需要速度增量(m/s)

換算運力(t)

誤差

2838

3.29

6%

2000

3.16

16%

1000

2.57

-17%

550

1.46

-53%

CZ-4C真實滑行時間約550s，此時換算軌道運力遠小于實際運力，因為這種變軌方式不是最優的。

最優軌道如圖中綠色所示軌道，它并不和r1軌道相切，而是直接掠過此軌道往更高軌走，這時候主動段軌道的近地點可以為負值，從而節約了能量。與相切變軌相比，掠過變軌的速度增量很難通過半定量計算，這里僅給出一條變軌圖見下。

圖 掠過變軌圖

07

總結

至此，我們可以完成文中開頭提出的命題，怎么從LEO運力換算SSO運力，總結換算方法如下。換算公式為：

， 其 中

這里λ為運力折算系數，ν=exp(dv/Isp)-1，ξ為末級干重與衛星重量之比，η為末級結構系數，ε為運載效率，k為基礎級與末級起飛重量之比。

LEO換算SSO軌道，需要速度增量dv由兩個部分疊加得到：

1）地球自轉提供的速度增量，這個增量與兩個軌道傾角相關，如從19.6°傾角的LEO換算97°傾角的SSO，需要的速度增量為6378e3*2*pi/24/3600*[cosd(19.6)-cosd(97)]=354.7m/s；

2）從低軌到高軌需要的速度增量，最低需求為霍曼變軌的速度增量，如從200km到500km、700km、1100km分別為172m/s,280m/s,483m/s；

3）上述公式要求滑行段達到霍曼變軌所需時間，火箭實際飛行時，受滑行時間限制，在變軌時無法采用霍曼變軌，只能加速更快地掠過軌道，速度增量需求進一步增加，這部分暫未找到半定量計算方法，只能通過彈道計算分析得到。

從上述過程，可以得到高軌運力優化的方向：

1）結構系數η更小，折算系數更大；

2）運載效率ε更大，折算系數更大；

3）末級重量k占比更小，折算系數更大；

4）末級比沖Isp更大，折算系數更大；

5）滑行段時間更大(直至達到霍曼變軌時間)，折算系數更大。

>End

本文轉載自“理念世界的影子”，原標題《洞穴之外|怎樣從LEO運力換算SSO運力？》。

為分享前沿資訊及有價值的觀點，太空與網絡微信公眾號轉載此文，并經過編輯。

未按照規范轉載及引用者，我們保留追究相應責任的權利

部分圖片難以找到原始出處，故文中未加以標注，如若侵犯了您的權益，請第一時間聯系我們。

HISTORY/往期推薦

充滿激情的新時代，

充滿挑戰的新疆域，

與踔厲奮發的引領者，

卓爾不群的企業家，

一起開拓，

一起體驗，

一起感悟，

共同打造更真品質，

共同實現更高價值，

共同見證商業航天更大的跨越！

——《太空與網絡》，觀察，記錄，傳播，引領。

·《衛星與網絡》創始人：劉雨菲

·《衛星與網絡》副社長：王俊峰

·微信公眾號（ID：satnetdy）團隊

編輯：艷玲、哈玫，周泳、邱莉、黃榕、娜娜

主筆記者：李剛、魏興、張雪松、霍劍、樂瑜、稻子、趙棟

策劃部：楊艷、若?、李真子

視覺總監：董濘

專業攝影：馮小京、宋偉

設計部：顧錳、潘希峎、楊小明

行政部：姜河、林紫

業務部：王錦熙、瑾怡

原創文章轉載授權、轉載文章侵權、投稿等事宜，請加微信：15910858067

商務合作；展覽展廳設計、企業VI/CI及室內設計、企業文化建設及品牌推廣；企業口碑傳播及整體營銷傳播等，請加微信：13811260603

雜志訂閱，請加微信：wangxiaoyu9960

·衛星與網絡各分部：

成都分部負責人：沈淮

長沙分部負責人：賓鴻浦

西安分部負責人：郭朝暉

青島分部負責人：江偉

·衛星與網絡總部負責人：農燕

·會議活動部負責人：喬顥益、許克新、董今福

· 投融資及戰略層面合作：劉雨菲

·本平臺簽約設計公司：一畫開天（北京）文化創意設計有限公司

· 航天加（深圳）股權投資基金管理負責人：楊艷