早上好，分析學！

我在1936年4月成了一名數學家。或者在3月？

來源 | 《我想當數學家》

作者 | [美]保羅·哈爾莫斯

譯者 | 張十銘

01

我不喜歡分析學

在那一天之前，我還是個學生，有時很出色，有時不太行。

符號并不能困擾我，我可以很靈巧地“耍弄”它們，而且我理解代數的干凈、有限的推理。

我仍然覺得，我生來就是一名代數學家，只是環境的偶然性阻止我成為一名成熟的代數學家。

我不理解（甚至做夢也沒有想到）“結構”的思想，后來，布爾巴基使用了這個詞，我被ε分析的無窮小的細微之處難住了。

我讀得懂分析證明，如果我努力的話，能記住它們，還能在某種程度上寫下來，但我真的不知道這是怎么回事。

此前一年，當斯泰姆利指導我學習“高等分析”時，悲傷的日記遠遠超過了愉快的日記。日記里經常有“斯泰姆利的分析讓我擔心”“分析又讓我失望了”“分析失去了控制”，只有很少的內容提到“正確地解決了一些傅里葉級數的問題！”，以及“分析得A，40題做對39題”。

當我開始讀研究生時，情況并沒有立即好轉。皮爾斯·凱徹姆（Pierce Ketchum）試圖教我一些分析知識，但我就是沒聽懂。凱徹姆會說，讓我們考慮一個定義在單位圓上的函數，而特德·王（Ted Wang）——一個在課堂上愛表現的人——會問：“是開的還是閉的？”我看不出這個問題有什么意義，也看不出有什么區別，也不知道誰在乎，我因被打斷而惱火。

另一次，凱徹姆給我布置了一道閱讀題目，讓我在全班同學面前報告，這道題目與一致收斂性有關。他告訴我要讀什么內容：哈代（Hardy）的《純數學教程》（A Course of Pure Mathematics）中的某些特定頁和蒂奇馬什（Titchmarsh）的《函數論》（The Theory of Functions）中的某些特定頁。

我硬記住了我的報告，當我不得不從哈代轉到蒂奇馬什時，我幾乎不知道其中有什么關聯，我輕率地把記號從哈代的改為蒂奇馬什的。對我而言，我講的不是一個概念，而是兩組書頁上的符號。

我不喜歡分析學。

我還記得當時的情景，天未明，我和安布羅斯在數學樓二層一間研討室里交談，他說的一些話是我這只瞎駱駝所需要的最后燭光。我突然明白了ε和極限，一切都清楚了，一切都完美了，一切都令人興奮。我興高采烈地花了一小時把格蘭維爾、史密斯和朗利編的教材翻檢了一遍，既焦躁又開心地點著頭。

是的，是的，當然，我能證明這個！沒錯，這顯然成立。他們怎么可能把事情搞糟到這種地步？一切都豁然開朗，順理成章。我在這世上還有很多東西要學，沒有什么能阻止我去學。

我就知道我可以。我已成為一名數學家。

02

為什么學幾何？

20 世紀30年代，伊利諾伊大學數學專業研究生學習大綱的設計者們似乎堅信，他們確切地知道每位數學家都必須知道什么。

矩陣、置換群和伽羅瓦理論入圍，豪斯多夫空間和同倫理論出局。“出局”的科目有時也會出現，在最后一年，當時我正在撰寫學位論文，我利用這個機會修了一般拓撲學的基礎課程。一致收斂性和柯西定理入圍，巴拿赫空間、希爾伯特空間和概率論出局。

但是公平地說，別忘了，巴拿赫的書和斯通的書出版于1932年，科爾莫戈羅夫的書出版于1933年。這個大綱最稀奇的地方是，19世紀的意大利代數幾何被納入其中。要想在伊利諾伊大學獲得數學專業的博士學位，你必須對三次曲面上的27條直線了如指掌。

我從阿諾德·埃姆什（Arnold Emch）那里學習了幾何課程，他是個肥胖的小個子瑞士人，留著白色的山羊胡子，操著濃重的德國口音。在精神上，他絕對屬于意大利學派。根據一些評論家的觀點，那個學派所發展的代數幾何是數學中唯一把定理的反例看作對該定理的美麗補充的。埃姆什提到了所有該提到的名字，比如克萊布什和塞韋里，并試圖教我們如何數一切事物，這門課有時被稱為計數幾何。

有一段時間，我覺得這很有趣（我的日記上寫著“塞韋里非常值得一讀”）。我們計數二重點、尖點、交點和重數，需要“交易”的組合技巧：首先，兩個整數相乘，但這并不是答案，因為有些項在乘積中出現了兩次，所以必須減去；但是，這樣做很明顯導致一些項被不止一次減去，所以必須把它們加回去。我們很難知道什么時候做完，什么時候可以停下來。

我們都不敢問，當費利克斯·韋爾奇（Felix Welch）問起時（你怎么知道什么時候該停止呢？），埃姆什很不高興。埃姆什給我們講了泛點，他非正式地使用了這個詞，卻希望我們能理解它的含義。當他知道我們沒有理解的時候，到了下一節課開始，他就告訴我們：“泛”，沒有什么特別的意思。

曲線和曲面是實的，一定如此，因為我們畫出了它們的圖形（其中一些包含不止一個分量）；曲線和曲面是復的，一定如此，因為它們作為多項式方程總是有解的。

在任何情況下，像“域”和“理想”這樣的詞都沒有被提及。我們認為要使這門學科嚴謹起來，唯一的辦法就是折騰ε分析，但我們并不真正知道該怎么做。我和班上的其他人一樣困惑，但是，也和其中幾位一樣，我把這門課當作游戲。你必須學會，然后按照你猜的規則來玩。我們中的一些人已經很擅長了。

安布羅斯玩不好，他堅持要知道這些語句的意思。在一次重要考試前的幾個星期，他放棄了，向我尋求幫助。

我們一起溫習功課，我把自己知道的一切都告訴了他。在考試的時候，（我以為）我理解了所有的問題，寫下了它們的答案。安布羅斯不理解這些問題（他后來承認了），他只寫下了他從我這里學到的一切。我得了B，他得了A。

《我想當數學家》

作者：[美]保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos）

譯者：張十銘

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