2025年阿貝爾獎得主訪談：柏原正樹（Masaki Kashiwara）——歐洲數學會雜志

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本文是本公眾號推出的第三篇介紹柏原正樹（Masaki Kashiwara，2025年阿貝爾獎得主）的文章，授權譯自EMS Magazine歐洲數學會雜志（第137期），是頒獎前夕兩位采訪者代表挪威數學會和歐洲數學會對柏原正樹的專訪。另請參閱：

采訪者簡介

比約恩?伊恩?鄧達斯（Bj?rn Ian Dundas，下文簡稱BID），挪威卑爾根大學數學教授，研究領域包括代數K-理論、同倫類型論和代數拓撲。

克里斯蒂安?F?斯考（Christian F. Skau，下文簡稱CFS），挪威科技大學特隆赫姆校區的榮譽退休數學教授，研究領域包括 C*- 代數及其與符號動力系統的相互作用。他還對阿貝爾的數學著作抱有濃厚興趣，發表過多篇相關論文。

作者：比約恩?伊恩?鄧達斯（Bj?rn Ian Dundas）、克里斯蒂安?F?斯考（Christian F. Skau）EMS Magazine 2025-11-10

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-11-20

[BID/CFS]：柏原（Kashiwara）教授，祝賀您榮獲2025年阿貝爾獎！

2025年阿貝爾獎得主柏原正樹

圖源：Liwlig Norway AS / 阿貝爾獎

柏原正樹（MK）：非常感謝。

[BID/CFS]：阿貝爾獎委員會的頒獎詞如下：“…… 表彰他在代數分析與表示論領域的基礎性貢獻；尤其表彰他對D-模理論的發展以及晶體基（crystal bases）的發現。”明天，您將從挪威國王陛下手中接過這一獎項。

早年生活

您是首位獲得阿貝爾獎的日本公民，也是首位來自北美、歐洲或以色列以外地區的獲獎者。我們的第一個問題是：最初是什么點燃了您對數學的興趣？您何時發現自己在數學方面有特殊天賦？

MK：這個問題不太容易回答。我從小就喜歡數學，或許比其他孩子更擅長這門學科 —— 這是事實，但我并非像許多天才數學家那樣是神童，我和他們不一樣。我之所以走上數學之路，是因為我認為數學既極具邏輯性，又對人類有著特殊的吸引力。這就是我開始喜歡數學的原因。

[BID/CFS]：我們之前聊到過 “鶴龜算”（tsurukamezan，即雞兔同籠）問題。請您描述一下這個問題，以及它是何時、如何引起您關注的？

MK：正如你們所知，這是一個關于鶴和龜的問題：鶴有兩條腿，龜有四條腿，已知鶴和龜的總數量以及總腿數，求鶴和龜各自的數量。我學會了如何求解這個問題，但實際上它非常巧妙。第一次接觸這個問題時，我一點也不喜歡，因為它太繞了。

后來我發現，用 x 和 y（代數方法）可以輕松解決這個問題，根本不需要特殊技巧，解法非常自然。我認為這在某種程度上正是數學的目標所在。

[BID/CFS]：您是否因此被數學吸引？

MK：是的。

[BID/CFS]：在您進入大學之前的成長階段，有沒有人對您產生過影響？

MK：并沒有特別的人。但有一位老師讓我注意到一本射影幾何（projective geometry）相關的書，我可以從圖書館借來閱讀。我研究后發現，在三維以上的維度中，某個問題只有一個解，而在二維維度中卻有多個解。我記得這給我留下了深刻的印象。

2025年阿貝爾獎頒獎典禮

圖源：Thomas Brun (NTB) / 阿貝爾獎）

早期合作和1970年碩士論文

[BID/CFS]：您在大學時的潛在導師佐藤干夫（Mikio Sato，1928–2023）教授曾說，您在18、19歲時就自學了布爾巴基（Bourbaki，學派名，譯者注）、格羅滕迪克（Grothendieck）等人的理論，而且沒有老師指導。您為何早年就對這類抽象數學如此著迷？

MK：事情是這樣的：我當時正在上一門數學課，應該是代數課程。教授告訴我有《代數幾何基礎》（éléments de géométrie algébrique，簡稱 EGA）和布爾巴基學派的著作。我開始閱讀《代數幾何基礎》，發現這本書其實非常易懂 —— 撰寫非常出色，我很高興能讀到它。

[BID/CFS]：書中的法語內容對您來說沒有障礙嗎？

MK：有障礙的。我進入大學后學過一些法語，除了英語，還必須學習另一門外語，我選擇了法語。但我的法語并不太好。

[BID/CFS]：佐藤干夫（Mikio Sato）教授被描述為一位富有遠見的數學家。您1970年（當時23歲）的碩士論文發展了佐藤的D-模思想，被稱為具有劃時代意義。請您談談這一點，以及您是如何、為何選擇佐藤教授作為導師的？

MK：那時候，佐藤教授在數學界已經很有名氣，而且他是一位極具個人魅力的數學家。小松彥三郎（Hikosaburo Komatsu，1935–2022）是一位年輕教授，剛從美國回來，我參加了他和佐藤教授組織的研討會。當時佐藤教授正著手創建所謂的微局部分析（microlocal analysis）。微局部分析不僅研究空間上的函數，還研究帶有余方向的空間 —— 也就是余切叢（cotangent bundle）上的函數。

這是他的想法，一個非常新穎的想法。佐藤認為可以從微局部的角度研究函數，他開始創建這一理論，而幸運的是，我當時恰好在場。我參與了他的研討會，并開始與他合作 —— 這對我來說非常幸運。我還與另一位學生河合隆裕（Takahiro Kawai，1945–）合作，共同構建微局部分析理論。那是一段非常愉快且順利的時光。正是因為佐藤教授，我學到了許多寶貴的知識，這在某種程度上促成了我獲得阿貝爾獎。

[BID/CFS]：您曾經說過 “佐藤希望將等式世界帶入分析領域”。這是否意味著代數與分析的結合？

MK：是的，可以這么說，還包括幾何。眾所周知，數學通常分為幾何、代數和分析三大主要分支，而我認為D-模理論在某種程度上融合了這三者。佐藤教授正是出于這個原因開始研究D-模的。所以，我很幸運能從D-模理論開始我的研究。

[BID/CFS]：這真是幸運的機遇！您說過是大學的一位講師建議您閱讀《代數幾何基礎》，這是讓您為跟隨佐藤教授學習做準備嗎？

MK：不，完全不是。我當時根本沒有考慮過這件事。佐藤教授以他獨特的方式發展了同調代數（homological algebra）—— 當然，同調代數早已存在，由格羅滕迪克等人開創，但我認為佐藤教授當時并不知道這一點，他是獨立發現這些內容的。

[BID/CFS]：您1970年的碩士論文包含了許多基礎性內容。例如，您證明了柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理（Cauchy–Kovalevskaya theorem），該定理與局部解的存在性有關。但您提出了自己的版本，當然，這個版本契合我們現在討論的理論框架。您能給我們描述一下嗎？

MK：其中一些內容已經包含在佐藤的思想中。佐藤開創了D-模理論，但遺憾的是他沒有進一步發展它。我認為他擅長開創理論，但自己從未完成過任何一個理論。所以我確實是從他的思想出發，但一旦掌握了核心思想，后續的推進就變得非常容易 —— 這就像爬山：你知道山的位置，只需尋找一條路線，總能找到。情況就是這樣，佐藤教授指出了那座山的存在，在這一點上，他的影響非常大。

[BID/CFS]：用您的話來說，您的成果是 “如果函數是非特征的，那么相關的逆像函子與解函子可交換”。

MK：是的，沒錯。

[BID/CFS]：我們之后會更詳細地討論D-模，但您能否用更基礎的術語，將您的成果與原始的柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理聯系起來，讓我們看到其中的關聯？微分方程及其解體現在哪里？

MK：我認為這很難說清楚。我們存在于實世界中，對應著實流形（real manifold）。但佐藤的一個核心思想是，這并不是一個理想的視角 —— 理想的視角是，實世界被一個復世界（complex world）包圍，而實世界是由這個包圍它的復世界所決定的。我認為這是佐藤的主要思想，而且復世界實際上比實世界更重要：了解了復世界，就能了解實世界。這正是佐藤超函數理論（hyperfunction theory）的起點。而柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理的核心部分，就與復世界有關。接下來的想法是將復世界與實世界聯系起來。佐藤、河合隆裕和我成功構建了微局部分析，這對于我們通過復世界理解實世界至關重要。

早期職業生涯：SKK論文與指標定理

[BID/CFS]：這些研究最終促成了1973年那篇具有開創性的 “SKK 論文”（與佐藤、河合隆裕合著）。余切叢 —— 或者用物理學家的話說，相空間（包含位置和動量）—— 在這一理論中占據著核心地位。您提到了波前（wave front），也剛剛談到了實世界與復世界之間的關聯。您能解釋一下為什么余切叢會扮演如此重要的角色嗎？

MK：當然，這個想法早已存在，例如在傅里葉分析（Fourier analysis）中。我們可以說它是辛幾何（symplectic geometry）的某種體現，正如您所提到的，在物理學中也有應用。余切叢的重要性不在于全局意義，而在于局部意義。在此之前，我們認為 “辛幾何” 的思想只適用于全局，而佐藤的偉大想法是，它也可以以余切叢的形式應用于局部世界。

[BID/CFS]：我們可以插入一個有趣的事實嗎？您23歲時手寫完成了這篇碩士論文，而且是用日語寫的。這份重要的手稿過了25年才被翻譯成英文，這非常引人注目。

2025年挪威國家劇院招待會

圖源：Thomas Brun (NTB) / 阿貝爾獎

MK：現在再看我的碩士論文，我能發現其中蘊含著一個思想的萌芽，這個萌芽對后續的理論發展至關重要。

[BID/CFS]：這些思想產生了深遠的影響，但由于它們最初只以日語手寫稿的形式存在，是如何傳播開來的？是通過1973年的SKK論文嗎？

MK：我的碩士論文中，微局部視角的內容并不多。但在SKK論文中，微局部理論得到了充分發展。我與佐藤、河合隆裕合作了大約五年，在那段時間里，微局部視角被完全確立。

[BID/CFS]：在1973年的論文中，您、佐藤和河合隆裕證明了微微分系統特征的對合性（involutivity of characteristics of microdifferential systems）。1970年，吉勒明（Guillemin）、奎倫（Quillen）和斯特恩伯格（Sternberg）曾觸及這一問題，1981年，加伯（Gabber）通過純代數方法完成了證明。請您解釋一下：什么是微微分系統特征的對合性？

MK：這部分內容非常重要。在余切叢內部存在一些子空間，但并非任意子集都重要，只有對合子集才是關鍵 —— 它們是與辛結構相容的 “良好” 子集。另一個相關的術語是可積性（integrability）。

[BID/CFS]：同樣在1973年 —— 對您來說一定是非常棒的一年！您證明了一個指標定理（index theorem），我們了解到這是您特別引以為傲的成果。您多次重新研究這個定理，例如1985年，以及2014年與皮埃爾?沙皮拉（Pierre Schapira）合作的研究。您為什么如此喜歡這個成果？

MK：我們最好稍微回顧一下。我在碩士論文中證明了一維情形下的指標定理，但對于高維情形，我當時不知道該如何處理，這讓我很困擾。指標定理是一個全局定理，表面上看，你似乎需要知道每個點的局部信息，但我的指標定理并非如此 —— 只需知道一些通有部分（generic part）就足夠了。當我意識到這一點并證明了這個定理時，感到非常驚訝。當然，由于對合性的存在，這在某種程度上是可以預料的：不會出現任意子集，只有對合子集才會出現，而不存在小型的對合子集，這意味著通有部分決定了整體。事后回想起來，或許這是可以預料的，但當時仍然令人意外。

黎曼-希爾伯特對應

[BID/CFS]：讓我們轉向您的另一項重大成就。1980年，您證明了黎曼-希爾伯特對應（Riemann–Hilbert correspondence），在您的框架中，它建立了特定D-模的導出范疇（derived categories）與可構造層（constructible sheaves）之間的等價關系。

十年前，皮埃爾?德利涅（Pierre Deligne）完成了代數情形的證明；佐格曼?梅布胡特（Zoghman Mebkhout）與您同時取得了非常相似的成果；此外，亞歷山大?貝林森（Alexander Beilinson）和約瑟夫?伯恩斯坦（Joseph Bernstein）也值得一提。

我們的理解是否正確：其中最困難的部分是確定如何限制條件，使您的解函子成為完全忠實的（fully faithful）？這是核心問題嗎？

MK：看待這個問題的角度有很多，但我認為最困難的部分是正則性（regularity）。黎曼-希爾伯特對應是拓撲部分與代數部分之間的對應：代數部分對應D-模，拓撲部分對應單值化（monodromy）。這里的代數部分并非針對所有D-模，而是特指所謂的正則型D-模（regular type D-modules）—— 這是一個非常復雜的概念。

事實上，正則性很難處理，這部分工作極具挑戰性。我花了很長時間才正確定義出正則和樂D-模（regular holonomic D-modules， holonomic譯為和樂或完整，請注意與單詞holomorphic全純的區別，譯者注）。

[BID/CFS]：或許我們可以回到希爾伯特第21問題，并將其與您的成果聯系起來。希爾伯特第21問題中的哪一部分對應D-模，哪一部分對應可構造層？希爾伯特第21問題具體是什么？

MK：原始問題與所謂的單值化有關。線性常微分方程的解并非單值的，而是多值的。因此，當你圍繞奇點繞行時，就會出現所謂的單值化。原始問題關注的是單值化與具有正則奇點的線性常微分算子之間的聯系。其中，D-模對應微分方程，可構造層對應單值化。

[BID/CFS]：這么說，如果 x 是您的流形，?是微分算子代數，這就解釋了控制微分方程的D-模。但可構造層究竟如何與單值化聯系起來？

MK：它們完全是一回事！局部結構很簡單，而層正是將局部簡單結構連接起來形成全局圖景的工具。我認為如今人們正是通過層來理解單值化的——層將各個部分拼接起來，從而實現繞奇點的環路。

[BID/CFS]：黎曼-希爾伯特對應被稱為德拉姆上同調（de Rham cohomology）與貝蒂上同調（Betti cohomology）或奇異上同調（singular cohomology）之間等價關系的平行推廣，這種觀點是否合理？

MK：不，不，不，我不這么認為。我覺得換一個稍微不同的視角會更好。德拉姆層（de Rham sheaf）確實占據重要地位，但背景設定有所不同。雖然德拉姆上同調與貝蒂上同調之間存在對應關系，但D-模與之截然不同，而黎曼-希爾伯特對應本身才是關鍵。格羅滕迪克曾希望將這些統一在motive（動機）理論中：存在一種名為 motive 的概念，貝蒂上同調與德拉姆上同調是它的兩個方面，你可以從不同角度看待它們，看到兩種不同的東西。但我認為這與你提出的觀點略有不同。

[BID/CFS]：但就像德拉姆上同調與奇異上同調之間的對應一樣，黎曼-希爾伯特對應一方面與微分相關，另一方面與可構造層形式的拓撲相關，對嗎？

MK：在某種程度上，你說的是對的，但在另一種程度上又不對。當然，如今它們已經相互融合，例如在齋藤盛彥（Morihiko Saito）的工作中，他們將兩者聯系起來，從而獲得了更多信息。

安德烈亞?達尼奧洛（Andrea D’Agnolo）—— 意大利帕多瓦大學教授，與柏原正樹共同出席了在奧斯陸大學舉辦的阿貝爾獎講座。

圖源：Thomas Eckhoff / 阿貝爾獎

[BID/CFS]：后來 ——2016年發表的研究中，您與安德里亞?達尼奧洛（Andrea D’Agnolo）成功移除了正則性條件，代價是用歸納層（Ind-sheaves，其中Ind表示Inductive limit歸納極限，譯者注）替代了層。那么，歸納層如何幫助您 “解決”—— 如果可以這么說的話 —— 奇點問題？

MK：現在，這一理論不僅適用于正則情形，也適用于非正則情形（irregular case）。在正則情形下，解在奇點處的行為相對容易理解，但在非正則情形下則復雜得多，我花了很長時間才弄清楚如何控制非正則情形下函數的奇點 —— 這是一個相當棘手的部分，花了20年才找到解決方案。

歸納層的雛形早已出現在我關于正則情形下黎曼-希爾伯特對應的論文中。在那篇論文中，我引入了某種運算，能夠從可構造層出發構造正則和樂D-模。沙皮拉注意到我們可以進一步發展這種運算，于是我們提出了歸納層的概念，以捕捉 “層” 無法捕捉的現象。為了解決非正則黎曼-希爾伯特對應，我們還需要一個額外的想法：增加一個變量。

[BID/CFS]：用歸納層替代層似乎并不是什么戲劇性的變化，但移除正則性條件在我們看來是非常重大的突破。您是否感到驚訝，這樣一個 “微小” 的擴展竟然能解決這個問題？

MK：是的，但這有著漫長的歷程。起初，我與沙皮拉合作，是為了控制函數的奇點 —— 這是歸納層的起點，但它逐漸發展壯大，過程相當漫長。

[BID/CFS]：另一方面，黎曼-希爾伯特對應和D-模在幾何朗蘭茲綱領（geometric Langlands conjecture）中占據著核心地位；最近，蓋茨戈里（Gaitsgory）及其合作者提出的證明中也涉及到了它們。您對此有何看法？它們為何能處于如此核心的位置？

MK：對于幾何朗蘭茲綱領來說，D-模當然是必不可少的 —— 它是一個非常基礎的工具，但僅靠它來解決幾何朗蘭茲綱領是不夠的，還需要更多其他理論。

Kazhdan-Lusztig卡茲丹-盧斯提格猜想（及合作的作用）

[BID/CFS]：您與約50位合作者共同發表了超過250篇論文，這對數學家來說是一個異常龐大的數字。您能談談這一點嗎？尤其是1979年您與讓-呂克?布里林斯基（Jean-Luc Brylinski）的合作，最終證明了卡茲丹-盧斯提格猜想（Kazhdan–Lusztig conjecture）。

MK：盡管D-模理論在1970年代就已建立，但我一直沒有機會將其直接應用。1979年我在巴黎時，數學家讓-呂克?布里林斯基給我打電話，提議見面，因為他有一個與D-模相關的想法。我們見面后，他談到了前一年提出的卡茲丹-盧斯提格猜想，并建議可以應用D-模來證明這個猜想。這個最初的建議極具成果，D-模在我們證明卡茲丹-盧斯提格猜想的過程中起到了關鍵作用。

值得注意的是，證明中還運用了黎曼-希爾伯特對應的一個重要應用。貝林森和伯恩斯坦也通過不同的方法獨立證明了這一猜想。該猜想本身指出，所謂的卡茲丹-盧斯提格多項式（Kazhdan-Lusztig polynomials）提供了關于典范表示分解為不可約表示的完整信息。關于你提到的“有許多合作者” 這一更普遍的問題，我認為自己很幸運能有這么多聯合發表的論文。通過這些合作者，我學到了很多數學其他領域的知識。

晶體基與量子群

[BID/CFS]：大約在1990年，盧斯提格的名字再次出現。他為有理函數域?(q)上向量空間中量子群（quantum groups）的表示引入了典范基（canonical basis），而您引入了晶體基（crystal basis）的概念 —— 這是當參數 q（溫度）趨于零時的基。這一成果通過您所謂的 “晶體圖”（crystal graph）給出了組合描述，是一項非凡的組合壯舉，被稱為 “大環論證”（grand loop argument），包含約20個相互關聯的步驟。您能談談這一點嗎？

MK：我曾與佐藤合作研究微局部分析，后來他開始研究數學物理中所謂的可積模型（exactly solvable models，也稱精確可解模型），并與三輪哲二（Tetsuji Miwa）和神保道夫（Michio Jimbo）合作。我與他們兩人都很熟，有時也會合作。神保道夫獨立于德林費爾德（Drinfeld）引入了所謂的量子群。

量子群理論涉及一個參數 q，它對應溫度。我認為當q等于零時，情況應該會簡化 —— 事實確實如此：當 q 趨于零時，會出現理想的結果。我花了至少幾個月的時間才讓這個想法得以實現。由此產生了 “晶體基” 的概念 —— 類比物理學中物質在低溫下結晶的現象。我們可以通過純組合的方法對其進行分析，并描述表示本身。表示的分析相當困難，但組合層面的分析并不復雜。

2025年5月21日，柏原正樹在奧斯陸大學發表演講

圖源：Thomas Eckhoff / 阿貝爾獎

[BID/CFS]：這種性質如何從 q（溫度）等于零的情況推廣到正溫度下的基？

MK：之后是可以推廣的。我是從 q=0 開始的，在這一點上存在一個理想的基，然后再考慮擴展的情況。

[BID/CFS]：您多次回到這個主題。例如，2018年，您與Seok-Jin Kang（姜錫真，音譯）和Myungho Kim（金明浩，音譯）合作，發現了量子仿射代數（quantum affine algebras）與某些箭圖赫克代數（quiver Hecke algebras）之間的對偶性。您預計會繼續研究這個方向嗎？

MK：是的，我仍在從事這方面的研究。

[BID/CFS]：這是您目前的主要研究方向，還是您還有其他正在探索的想法？

MK：這是我正在研究的方向之一，此外還有所謂的簇代數（cluster algebras）。簇代數由謝爾蓋?福明（Sergey Fomin）和安德烈?澤列維奇（Andrei Zelevinsky）引入，這是我目前最感興趣并正在研究的領域。事實上，這也是我將在周三的阿貝爾獎演講中要闡述的內容。

[BID/CFS]：我們非常期待！

工作風格、展望與遺產

[BID/CFS]：我們知道這樣問可能不太公平，但如果一定要讓您選擇，您最引以為傲的數學成就是什么？

MK：我想應該是黎曼-希爾伯特對應和晶體基的相關成果。

[BID/CFS]：另一個問題：您更喜歡獨自工作還是合作研究？

MK：簡短的回答是：兩者都喜歡。不過，現在合作的意義與我年輕時有所不同。如今我與一些年輕的數學家合作，從他們身上獲得了不少能量。

[BID/CFS]：2006年阿貝爾獎得主倫納特?卡爾松（Lennart Carleson）在接受阿貝爾獎訪談時說：要證明一個難題，堅信什么是對、什么是錯至關重要。你不能在兩者之間搖擺不定，因為這種信念是必不可少的。您同意這種觀點嗎？

MK：我部分同意。我可以舉一個例子：我曾與佐藤合作研究微局部分析，后來與皮埃爾?沙皮拉合作研究層理論的微局部方面。與佐藤合作時，我認為微局部分析只能應用于函數的奇點 —— 這個假設并不好，限制了想象力。后來與沙皮拉合作時，我們發現微局部分析還可以應用于其他領域。

與皮埃爾?沙皮拉（Pierre Schapira）合影

圖源：Liwlig Norway AS / 阿貝爾獎

數學之外

[BID/CFS]：在訪談的最后，我們通常會問：除了數學，您還有其他特殊愛好嗎？

MK：沒有太多，但我喜歡音樂。

[BID/CFS]：您喜歡哪種類型的音樂？

MK：現在，我非常喜歡印度音樂。印度音樂主要分為兩種：卡納提克音樂（Carnatic）和印度斯坦音樂（Hindustani）。印度斯坦音樂來自北方，卡納提克音樂來自南方。西塔琴（sitar）在印度斯坦音樂中使用較多，而在卡納提克音樂中則不常用。我是在金奈（Chennai）時開始喜歡印度音樂的。金奈有一個音樂季，長達一個月。整個12月都是音樂節，每天晚上我都會去各個劇院聽音樂（必須說一下，那里有很多蚊子！）。

[BID/CFS]：還有傳言說您乒乓球打得相當好。您現在還打乒乓球嗎？

MK：不打了，我的膝蓋不好。

[BID/CFS]：但您曾經有一段時間經常打乒乓球，對嗎？

MK：是的，有一段時間。順便說一下，我曾經和讓-皮埃爾?塞爾（Jean-Pierre Serre）打過乒乓球，他打得很好，我輸給了他。

[BID/CFS]：代表挪威數學會、歐洲數學會以及我們兩人，感謝您接受這次非常有趣的訪談。

與現任及未來的阿貝爾獎采訪者合影

從左至右：克里斯蒂安?斯考、比約恩?伊恩?鄧達斯、柏原正樹、凱瑟琳?赫斯（Kathryn Hess）、湯姆?林斯特倫（Tom Lindstr?m）

圖源：Liwlig Norway AS / 阿貝爾獎

MK：非常感謝。

參考資料

https://ems.press/content/serial-article-files/51839

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