為什么學習幾何都要準備“標配”三角板？

《雅典學院》取材于柏拉圖公元前387年創立雅典學院的典故，畫面中心是柏拉圖和亞里士多德，柏拉圖手指向天，象征理念世界；亞里士多德手掌向地，象征經驗世界。其中，柏拉圖手中的《蒂邁歐篇》中提到的兩種特殊直角三角形，被其賦予了超凡脫俗的意義。

《雅典學院》是意大利文藝復興時期畫家拉斐爾·桑西于1510—1511年創作的一幅濕壁畫作品，這幅畫現收藏于意大利梵蒂岡博物館。畫作以柏拉圖創辦雅典學院的歷史事件為題材。畫面描繪了57位學者名人，分為11個群組。畫面中心是柏拉圖和亞里士多德，柏拉圖手指向天，象征理念世界；亞里士多德手掌向地，象征經驗世界。其他人物包括蘇格拉底、畢達哥拉斯、歐幾里得、托勒密等。

《格致丹青：美術作品中的科學與文化》一書創新性地采用了“圖像敘事”的新穎視角，借助美術作品作為史學研究的載體，重新審視科學與藝術、歷史與文化之間的深刻聯系。該書敘事的主線是人類文明中的科學、技術的發展，大致按時間順序依次呈現古希臘、中世紀歐洲、地理大發現、文藝復興、科學革命、啟蒙運動、工業革命乃至當代中國的演進脈絡。畫作涵蓋神話、史詩、歷史、考古、哲學、人生、運動、生命、疾病、身體、宗教，涉及商業與資本、戰爭與和平、陰謀與愛情、罪惡與神圣、時間與永恒、望遠鏡與蒸汽機等。

在此前舉辦的《格致丹青》新書發布會上，《格致丹青》作者、中國科學院自然科學史研究所原所長劉鈍，清華大學科學史系主任、清華大學科學博物館館長吳國盛，中國科學院自然科學史研究所研究員、華東師范大學紫江講座教授方在慶，清華大學科學史系副教授、科學博物館學術部負責人王哲然等參與了對該書的分享和討論，圍繞科學主題藝術作品的史學價值、科學著作中圖像的敘事功能、科學與藝術的相互影響等議題各抒己見。

本文選自《格致丹青》中對《雅典學院》這幅名作解讀（部分內容），文中所用插圖均來自該書。已獲得出版社授權刊發。

原文作者｜彭勇 潘岳

《格致丹青：美術作品中的科學與文化》

作者：劉鈍

版本：湖南科學技術出版社

2025年10月

還有亞里士多德和柏拉圖，一人手持《蒂邁歐篇》，一人手持《倫理學》，一群哲學家圍在他們周圍。而那些正用六分儀描繪著各種圖案的占星家和幾何學家更是具有不可言喻的美。……還有一個人蹲在地上，手握圓規，正在一塊木板上畫著什么。——瓦薩里《意大利藝苑名人傳》

柏拉圖是怎樣用幾何學

展示其宇宙構造圖景的？

《雅典學院》的場景設置在一座宏偉建筑內的數道拱門之間，很像是圣彼得大教堂的某個翼廊；不過當時大教堂尚未建成，拉斐爾很可能參考過布拉曼特的設計圖。第二道拱門的兩邊各有一尊大理石雕像，分別是光明與藝術之神阿波羅和智慧女神雅典娜。群像的中心是柏拉圖和亞里士多德，前者的原型是拉斐爾崇敬的前輩大師達·芬奇（1452―1519）。

梵蒂岡宮教皇簽字廳北面和東面墻上壁畫。

大約公元前387年，柏拉圖從非洲和意大利半島游學回來，在雅典城外西北方向的阿卡德米創辦了一所學院，成為早期西方最著名的高等學府，后世的學術機構如研究院、科學院就由“阿卡德米”這個地方得名。據說在學院的入口處有一塊牌子，上面寫著“不懂幾何者不得入內”的警句，可見幾何學（在古希臘與后世一段相當長的時間里通指數學）在柏拉圖及其追隨者們心目中的地位。

畫中的柏拉圖右手指向天空，左手拿著一本書，從書脊上可以看出那是他的著名對話錄《蒂邁歐篇》。書中借助一個名叫蒂邁歐的人，提出“巨匠造物主”的概念，講述了造物主借助幾何學“創造萬物和這個宇宙的根據”，兩種特殊的直角三角形則是構造完美幾何形體的基礎。

書中的蒂邁歐說道：“首先這一點是大家都會認同的，即水、火、土、氣都是立體。一切立體都有厚度，并被許多面包圍。由直線所圍的面乃由三角形構成；所有的三角形都可以歸到兩種直角三角形中。”“歸結起來，它們是：一種是等腰的；一種是其長邊的平方四倍于短邊的平方。”

蒂邁歐接著說，4個等腰直角三角形可以構成一個正方形，6個正方形的面可以圍成一個正六面體即立方體；2個第二類直角三角形可以構成一個正三角形，而4個、8個、20個正三角形可以分別圍成一個正四面體、正八面體和正二十面體。

剛進入中學的孩子可能都有這樣的經歷，數學老師說不要再用小學生那種帶有刻度的直尺了，每個人都要準備一副三角板：無論材質如何，其中一個是兩個銳角均為45°的等腰直角三角形，另一個是銳角分別為30°和60°的直角三角形，任何一家文具店都有出售。至于為什么，老師沒有講，也沒有人追問過，直到今天似乎還沒見到有什么人給出有說服力的理由。

當然可以做出多種解釋，比方說能夠方便地作垂線、平行線，畫直角和一些特殊角，有助于記憶特殊角的三角函數，等等，不過細究下來都不能令人滿意。不同于后世的工匠與畫師，古希臘人在作圖中只允許使用沒有刻度的直尺與圓規。在他們那里，尺規作圖是一種與歐幾里得（約公元前325―公元前265）公理體系高度匹配的思想操練。為什么全世界學習幾何學的學生，需要這樣一種貌似反歐幾里得傳統的“標配”呢？

讀了柏拉圖的《蒂邁歐篇》，這一疑問或許可以解開。原來，這兩種特殊的直角三角形，正是柏拉圖展開其宇宙構造圖景的基礎，其思想源頭可以追溯到認為“萬物皆數”的畢達哥拉斯（約公元前570―約公元前495）那里去。因為《蒂邁歐篇》是柏拉圖闡述其宇宙觀的代表作，書中提到的這兩種特殊直角三角形就被賦予了超凡脫俗的意義。

現在讓我們離開中學生的“標配”三角板，來看柏拉圖是怎樣用幾何學展示其宇宙構造圖景的。據說他或他的學派已經知道只有五種（凸的）正多面體并給出了證明，這正是歐幾里得《幾何原本》最后一個命題（卷13命題18）的推論。這一事實令某些人“鼓吹這樣一種觀點，即由希臘人創立并在歐幾里得的《幾何原本》中奉為圣典的幾何學演繹體系的主要目的就是要構成這五個正立體”。

楊振寧對此進一步評論道：“希臘人發現了五種規則立體，它們是高度對稱的。這使某些權威認為，歐幾里得匯編《幾何原本》實際上就是為了證明這五種規則立體是僅有的規則立體。盡管這一理論可能正確，也可能不正確，但是我們的確知道，希臘人因這個發現，甚至于把宇宙結構的基本元素與這五種對稱的立體聯系起來。”說得更直白一些，如果這一論點成立，不啻說歐幾里得匯編《幾何原本》的最終目標，就是為柏拉圖的宇宙圖景提供一個堅實的數學基礎。

《雅典學院》（局部）。

將柏拉圖學派珍視的幾何學說與古代愛奧尼亞學派的元素學說結合起來，展開世界生成與變化的圖景，可以說是《蒂邁歐篇》中最精彩的內容。書中提到構成世界的四大元素對應四種正多面體：火對應正四面體，土對應正六面體，氣對應正八面體，水對應正二十面體；又將不同的物理屬性賦予這些元素或立體，如火（與正四面體）對應小、輕、熱、尖銳，水（與正二十面體）對應大、圓、柔、流動，土（與正六面體）對應重、穩、冷、堅硬，氣（與正八面體）居于火、水之間，以此來解說地上萬物的生成與變化。

書中又提到“還有第五個立體，造物主用它來作為整體的模型”，但是沒有言及這種立體的形狀。考慮到柏拉圖學派已經知道只有五種正多面體，一般人認為這里的“第五個”指具有12個正五邊形面的正十二面體。《蒂邁歐篇》蘭博英譯本對此注釋道：“神如何‘用它’是含糊的：這里也許指黃道十二宮。”如果這一猜測正確，第五種立體就對應天上的元素，因為古希臘人通常以黃道十二宮代表廣袤無垠的星空，這一傳統可以追溯到古代巴比倫。

柏拉圖沒有給第五種立體命名，也沒有為它指定對應的元素。亞里士多德繼承了柏拉圖的幾何―元素學說，明確指出土、水、氣、火屬于地上元素，因其自身性質占據不同的天然位置，沿著直線運動，不斷變化著并構成人類能夠感知的世界；此外，還有一種超凡脫俗的天上元素，構成天體與星空。這種天上元素不生不滅，沒有重量，沒有冷熱與干濕變化，沿著圓周運動。亞里士多德將它稱為以太。亞里士多德又將四種兩兩對立的性質賦予地上元素，即冷與熱、干與濕，認為它們才體現了世界的本原，不同的元素正是由這些性質按不同比例組合而成的：火是熱加干，氣是熱加濕，水是冷加濕，土是冷加干。

因而元素之間可以相互轉化，如把水加熱，內中的冷被熱取代就變成了氣；火上澆水，干被濕取代也變成了氣。后來經過眾多學者的評注和解說，五種元素對應五種正多面體，以及宇宙組成與變化的思想，成了希臘古典時代自然哲學和宇宙論的一個重要理論模型。

五種正多面體及其對應的五大元素。

很長時間以來，柏拉圖和亞里士多德闡述的宇宙生成演化圖景主宰著西方數理科學的發展，一幅流傳很廣的宇宙構造圖，出自德國學者阿皮亞努斯（1495―1552）的《宇宙志》（1524）。當時哥白尼的《天球運行論》（1543）還沒有出版，這幅圖給出的宇宙模型是建立在亞里士多德―托勒密地心說基礎上的，其中也可看到《蒂邁歐篇》的影響。圖的中心可見幾塊土地，上面依稀可辨樹木、村莊等景物，代表構成地球的主要成分土元素，環繞大地的是對應水元素的海洋，外面布滿云朵的一圈對應氣元素，再外一圈對應的是火元素，至此都是人間世界，自下而上由土、水、氣、火這四種元素構成；火上的同心圓依次為月亮、水星、金星、火星、木星、土星與恒星圈，月上世界是純凈永恒的星空，由天上元素以太構成。

廣為人知的開普勒（1571―1630）構想的宇宙模型，發表在《宇宙的神秘》（1596）一書中：他已經拋棄了地心說，設想地球和五大行星的軌道分別位于大小不等的6個球面上，從里到外按照正八面體、正二十面體、正十二面體、正四面體、正六面體的順序依次套切，太陽居中心。

阿皮亞努斯書中的插圖（左）和開普勒書中的插圖。

亞里士多德是古代世界的

百科全書式學者

亞里士多德的父親是馬其頓國王的御醫，他自幼受到良好教育，18歲那年被送到雅典跟隨柏拉圖學習，在柏拉圖的眾多弟子中表現優異，被人稱為“學院之靈”。但是他并不盲從權威，經常與老師爭辯，“吾愛吾師，吾更愛真理”的名言就出自亞里士多德。針對柏拉圖提出的“理念論”，他提出實體才是純粹之存在的“實體說”，拉斐爾畫中兩位大師的手形就暗示了這一點。亞里士多德拿著他的《尼各馬可倫理學》并向大地示意，代表他對現實存在的關注。英國哲學家羅素說：“西方的思辨倫理無論在什么方面興旺發達，其背后都徘徊著柏拉圖和亞里士多德的影子。”

柏拉圖于公元前347年去世，亞里士多德也離開了學院，那一年他37歲。公元前342年，亞里士多德回到家鄉色雷斯，不久成為馬其頓王子的教師，這個王子就是后來的亞歷山大大帝，一道學習的貴族子弟中還有后來成為托勒密王朝建立者的托勒密一世（約公元前367―公元前282）。亞歷山大征戰的結果大大促進了環地中海地區與亞非大陸的文明交流，開啟了希臘化時代科學繁榮的新篇章，他的部將在埃及建立的托勒密王朝延續了希臘古典文明的香火，其首都亞歷山大里亞（遺址在今埃及首都開羅西北方的地中海南岸）成為雅典之后西方最重要的科學文化中心。

法國查爾斯·拉普蘭特的插圖版畫，《亞里士多德教導青年亞歷山大》（1866）。

有一個關于托勒密一世與歐幾里得的傳說，說的是托勒密一世希望知道有無學習幾何學的捷徑，歐幾里得回答道：“陛下，幾何學中無王者之路。”年輕時親承亞里士多德教誨的托勒密一世想必了解這個回答的深意：歐幾里得幾何學是建立在一套公理體系基礎上的演繹結果，不透徹了解其根基就無法欣賞它的宏大與壯美。

大約兩千年后，一位中國皇帝在學習幾何學時產生了類似想法，結果卻大相徑庭。從1689年年底開始，康熙皇帝（1654―1722）開始向法國傳教士學習幾何，后者先以歐幾里得《幾何原本》為教材，剛講了幾次就被康熙叫停，要求他們在盡可能短的時間內講述歐洲最實用、最新鮮的幾何學。傳教士們心領神會，于是改用法國耶穌會數學家的《實用和理論幾何學》作教本。就這樣，明末就傳入中國的歐幾里得《幾何原本》（前六卷），逐漸為巴蒂（1636―1673）系統的《幾何原本》替代；后者與歐幾里得的最大區別，就是忽略或極大簡化了公理體系的作用，而增加了立體求積、繪圖、測量等實用內容，而歐幾里得的完整中譯直到1865年才在中國出現。

回過頭來說亞里士多德。公元前336年，亞歷山大在馬其頓繼承王位后，亞里士多德回到雅典，在城東郊外一個叫呂克昂的地方建立了自己的學院，由于喜歡和弟子們一邊散步一邊討論問題，他們被人稱作“漫步哲學家”或“逍遙學派”。亞里士多德沒有回到柏拉圖創建的學院而另立門戶，一是他與學院的掌門人觀念不合，二是隨著馬其頓在雅典和整個希臘世界的地位日隆，慕名前來向他學習的青年越來越多，而城中已容不下他這個外鄉人新開道場。

亞里士多德是古代世界的百科全書式學者，幾乎對當時的每門知識（或學科）都做出了貢獻，其著作涉及倫理學、心理學、經濟學、政治學、修辭學、教育學、詩學、美學、法學、神學、形而上學等；對自然的研究則包括我們今日稱為物理學、天文學、動物學、解剖學、地理學、地質學和氣象學等諸多門類的知識。他似乎沒有專門的數學著作，甚至對柏拉圖及其嫡傳弟子過分強調數學的抽象性有些反感；不過他做出了一個對數學發展極為重要的貢獻，那就是邏輯學理論的建構。盡管在他之前，柏拉圖等人都曾討論過邏輯問題，但都是些零散的論述，正是亞里士多德建立起了系統的形式邏輯理論體系，從他生前到中世紀拉丁和伊斯蘭世界，一直到近代科學誕生之后的17、18世紀，亞里士多德的形式邏輯一直是演繹推理的基礎。

19世紀中葉，數理邏輯發展起來之后，人們對數學與邏輯的關系才有了更深刻的認識。亞里士多德與柏拉圖的最大區別在于：后者認為數學是屬于理念世界的，高于和先于邏輯；而亞里士多德堅持認為數學的抽象概念來自實物的屬性，邏輯不僅獨立和優先于數學，而且能應用于一切推理。亞里士多德關于邏輯學的著作共有六篇，即《范疇篇》《解釋篇》《前分析篇》《后分析篇》《論題篇》和《辯謬篇》，公元1世紀被人整理統編，總稱為《工具論》。

除了經典的三段論與反證法的精確表述之外，亞里士多德邏輯學與數學關系密切的還有以下一些方面：①明確定義必須用具有確定意義的存在物來表述；②指出定義了的東西是否存在需要證明；③區分公理與公設，強調越少越好，只要足夠證明所有結果（類似于現代公理體系的獨立性和完備性）；④通過點和線的關系討論連續問題，認為算術先于幾何；⑤區分潛無窮和實無窮；⑥闡述矛盾律和排中律對數學證明的意義。

歐幾里得生平不詳，可以確定的只是他生活在公元前300年左右的亞歷山大里亞，他的《幾何原本》匯集了前人的許多成果，如柏拉圖學院的泰阿泰德（約公元前417―約公元前369）、歐多克斯（公元前408―公元前355）等人的工作。然而《幾何原本》的偉大不在于記錄了多少個幾何學定理與推論，而是把這些紛雜繁復的內容整理安排在一個邏輯嚴整的公理體系之中。《幾何原本》出現的時間距亞里士多德完善邏輯學體系不到半個世紀，歐幾里得的工作受到亞里士多德的影響是毋庸置疑的。

本文經出版社授權刊發。原文作者：劉鈍；整合：何也；編輯：王銘博；校對：劉軍。未經新京報書面授權不得轉載，歡迎轉發至朋友圈。

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