手腦并用，在折紙?bào)w驗(yàn)中建構(gòu)空間觀念|漢聲數(shù)學(xué)精讀⑥

在孩子們通過(guò)前面幾本書(shū)建立了基礎(chǔ)的數(shù)的概念后，我們將一同推開(kāi)另一扇數(shù)學(xué)的大門(mén)——幾何。

《折紙的幾何》這本書(shū)將向我們證明，最深刻的幾何原理并不只存在于課本的習(xí)題里，它們就藏在每一張普普通通的紙上，等待著我們一起，在動(dòng)手折紙的過(guò)程中建構(gòu)空間觀念。

在開(kāi)始共讀之前，我們依然可以問(wèn)自己兩個(gè)問(wèn)題：

1.當(dāng)孩子看到一個(gè)正方形時(shí)，是只知道它四條邊一樣長(zhǎng)，還是能通過(guò)折疊，自己發(fā)現(xiàn)它對(duì)邊平行、對(duì)角線垂直且平分這些隱藏的屬性？

2.他是否能理解對(duì)稱(chēng)不僅是一個(gè)美術(shù)概念，更是一個(gè)精確的數(shù)學(xué)思想，意味著圖形在對(duì)折前后能夠完全重合？

如果孩子對(duì)這些感到陌生，那么這本書(shū)的精讀將至關(guān)重要。我們一起，把折紙從一項(xiàng)手工活動(dòng)，升華為一場(chǎng)探索圖形本質(zhì)的思維實(shí)驗(yàn)。

我們引導(dǎo)孩子學(xué)習(xí)幾何，其意義遠(yuǎn)不止于認(rèn)識(shí)圖形的名稱(chēng)。在這個(gè)過(guò)程中，孩子將初步建構(gòu)起未來(lái)數(shù)學(xué)與科學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵能力：

1. 空間想象能力：在腦海中操作和旋轉(zhuǎn)圖形，這是將來(lái)學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)。

2. 邏輯推理能力：從操作、折疊出發(fā)，通過(guò)觀察結(jié)果，逆向推導(dǎo)出圖形的本質(zhì)。

3. 模型化思想：將復(fù)雜的圖形，理解為由對(duì)稱(chēng)、全等、相似等基本幾何關(guān)系構(gòu)成的模型。

掌握這些通過(guò)實(shí)踐獲得的思維能力，遠(yuǎn)比死記硬背各種定義重要得多。

一、低年級(jí)（1-2年級(jí)）：

從形到體，在折疊中初識(shí)圖形的基本屬性

對(duì)應(yīng)課本知識(shí)：

• 一下《認(rèn)識(shí)圖形》；

• 二上《觀察物體》；

核心任務(wù)：

通過(guò)折紙，直觀感知基本圖形（如正方形、長(zhǎng)方形、三角形等）的特征。

深度精讀活動(dòng)：

1

圖形魔術(shù)師

任務(wù)：通過(guò)折疊，將一個(gè)長(zhǎng)方形變成不同的圖形。

操作：發(fā)給孩子一張長(zhǎng)方形紙。引導(dǎo)其對(duì)折，觀察可以變成兩個(gè)什么圖形？（兩個(gè)長(zhǎng)方形或兩個(gè)三角形）。多次對(duì)折，還能變出什么更小的圖形？

討論：在折疊時(shí)，你是沿著哪里折的？（引導(dǎo)說(shuō)出邊、角、中間）。折完之后，兩邊的大小、形狀怎么樣？（引入一樣大的概念，為全等埋下伏筆）。

與課本鏈接：此活動(dòng)讓孩子在玩中熟悉圖形，理解圖形之間可以通過(guò)折這個(gè)動(dòng)作相互轉(zhuǎn)化，為未來(lái)學(xué)習(xí)圖形的分割與拼組打下基礎(chǔ)。

2

軸對(duì)稱(chēng)圖形

任務(wù)：為圖形找到它的對(duì)稱(chēng)軸。

操作：給孩子正方形、長(zhǎng)方形、圓形、等腰三角形的紙。讓他們通過(guò)折疊，找到能讓圖形兩邊完全重合的折痕。

深度討論：哪些圖形只有一條對(duì)稱(chēng)軸？哪些有很多條？為什么圓形這么特別？（有無(wú)數(shù)條）。這條神奇的折痕，在數(shù)學(xué)上就叫對(duì)稱(chēng)軸。

與課本鏈接：這是對(duì)軸對(duì)稱(chēng)圖形最直觀、最深刻的理解方式，遠(yuǎn)超課本上的圖片觀察。

二、中年級(jí)（3-4年級(jí)）：

從屬性到推理，探索折疊中的數(shù)學(xué)規(guī)律

對(duì)應(yīng)課本知識(shí)：

• 三上《長(zhǎng)方形和正方形》；

• 四上《平行四邊形和梯形》；

核心任務(wù)：

從直觀的折疊，過(guò)渡到理性的測(cè)量與推理，探索圖形角度、平分等規(guī)律。

深度精讀活動(dòng)：

1

角度偵探

任務(wù)：不用量角器，用折紙?zhí)骄拷嵌取?/p>

操作：將一張正方形紙對(duì)角折，展開(kāi)后問(wèn)：

這條折痕把原來(lái)的直角分成了兩個(gè)多大的角？（45°）

將圓形紙對(duì)折兩次，展開(kāi)后問(wèn)：這個(gè)扇形的角是多少度？（90°）

深度討論：你是怎么推理出這個(gè)角度的？（一個(gè)平角是180°，對(duì)折分成兩份，每份是90°；一個(gè)周角是360°，對(duì)折兩次分成四份，每份是90°）。折紙，就是我們身邊的量角器。

與課本鏈接：此活動(dòng)將角的概念與分?jǐn)?shù)思想結(jié)合，為學(xué)習(xí)角的度量和分?jǐn)?shù)乘法做了絕佳的鋪墊。

2

平分大師

任務(wù)：僅通過(guò)折疊，將一個(gè)矩形紙片分成面積相等的8份。你能想出幾種方法？

操作：引導(dǎo)孩子嘗試橫向?qū)φ邸⒖v向?qū)φ邸?duì)角線折等不同策略。

深度討論：這些不同的分法，雖然形狀不同，但為什么面積都是相等的？（因?yàn)樗鼈兌际峭ㄟ^(guò)平均分得到的）。這讓你對(duì)分?jǐn)?shù)表示平均分有了什么新的理解？

與課本鏈接：此活動(dòng)深刻揭示了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，并將幾何分割與分?jǐn)?shù)意義完美融合。

三、高年級(jí)（5-6年級(jí)）：

從推理到證明，感悟幾何不變性

對(duì)應(yīng)課本內(nèi)容：

• 五上《多邊形的面積》；

• 六下《圖形與幾何》；

核心任務(wù)：

運(yùn)用折紙中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決面積、體積問(wèn)題，并初步接觸“幾何證明”的思想。

深度精讀活動(dòng)：

1

無(wú)字證明面積公式

任務(wù)：通過(guò)折紙，自己證明三角形面積公式。

操作：剪下兩個(gè)完全一樣的三角形，通過(guò)折疊和拼接，將它們組合成一個(gè)平行四邊形或長(zhǎng)方形。

深度討論：這個(gè)新圖形的面積你會(huì)算嗎？（底×高）。那么，其中一個(gè)三角形的面積是多少？（底×高÷2）。我們通過(guò)操作，自己就發(fā)現(xiàn)了這個(gè)偉大的公式！

與課本鏈接：此活動(dòng)將三角形面積公式從需要記憶的結(jié)論，轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢酝ㄟ^(guò)實(shí)踐推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)的真理，這是對(duì)孩子思維方式的革命性提升。

2

幾何不變量偵探

任務(wù)：探究一張紙?jiān)谛螤顒×易兓螅裁磶缀瘟扛淖兞耍渴裁礇](méi)有改變？

操作：將一張長(zhǎng)方形紙反復(fù)折疊成鋸齒形并剪開(kāi)。測(cè)量并對(duì)比剪開(kāi)前后圖形的周長(zhǎng)和面積。

深度討論：為什么面積沒(méi)有改變？（因?yàn)檫€是原來(lái)那張紙，面積是守恒的）。為什么周長(zhǎng)會(huì)大大增加？（因?yàn)槲覀儎?chuàng)造了大量新的邊）。

這個(gè)發(fā)現(xiàn)讓你對(duì)周長(zhǎng)和面積這兩個(gè)概念有了什么新的認(rèn)識(shí)？（它們是圖形兩個(gè)獨(dú)立的屬性，形狀改變時(shí)，一個(gè)可以劇烈變化，而另一個(gè)可以保持不變）。

與課本鏈接：此活動(dòng)是對(duì)周長(zhǎng)與面積概念的深度學(xué)習(xí)與辨析，是等積變形思想的直觀體現(xiàn)。它讓孩子感悟到，在千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)世界中，尋找那些不變的性質(zhì)，往往是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

當(dāng)我們合上《折紙的幾何》這本書(shū)，我們希望孩子帶走的，不僅是幾個(gè)圖形的名稱(chēng)和屬性。

更希望的，是這三顆種子的進(jìn)一步生長(zhǎng)：

第一顆是“動(dòng)手驗(yàn)證”的種子——讓他們堅(jiān)信，真理可以通過(guò)自己的雙手去探索和證實(shí)。

第二顆是“空間想象”的種子——讓他們能夠在大腦中構(gòu)建、旋轉(zhuǎn)和拆解圖形，獲得一雙數(shù)學(xué)家的眼睛。

第三顆是“邏輯貫通”的種子——讓他們看到，圖形的數(shù)（角度、邊長(zhǎng)）與形（對(duì)稱(chēng)、全等）是如此和諧統(tǒng)一。

從認(rèn)識(shí)圖形，到探索屬性，再到邏輯證明，對(duì)幾何的認(rèn)知深度，將決定孩子是僅僅學(xué)會(huì)了辨認(rèn)，還是真正獲得了構(gòu)建和理解我們所處空間形式的能力。這便是我們?yōu)楹⒆哟罱ǖ模瑥亩S平面邁向三維空間的思維橋梁。

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