老何早年數(shù)理研究札記（7）：四則運算本質(zhì)乃是二則運算

——何新關(guān)于乘法除法的簡明新定義

乘法（適用于非負(fù)整數(shù)）本質(zhì)是復(fù)化（連續(xù)性）的加法：

將同一個數(shù)重復(fù)相加，相加的次數(shù)由乘數(shù)指定，其總和即稱為積。[當(dāng)乘數(shù)為 0 時，結(jié)果為 0。]

（例：4 x3 = 12，即4 + 4 + 4 = 12）

除法（適用于正整數(shù)）本質(zhì)是連續(xù)的減法，結(jié)果歸于零或者得到余數(shù)。

從被除數(shù)中不斷減去除數(shù)（非零），直到余數(shù)小于除數(shù)，減去的次數(shù)即為商，余下的數(shù)為余數(shù)。

（例：17 ?5 = 3余2，即17 - 5 - 5 - 5 = 0+2。 ）

【有必要指出，前人無此表述，這是老何早年數(shù)理研究的一項發(fā)現(xiàn)，何新乘除新定義。 】

這是一份關(guān)于數(shù)學(xué)運算本質(zhì)的哲學(xué)性探討文本。根據(jù)您的要求，我為您提供英文和日文兩個版本的翻譯。

英文翻譯 (English Translation)

Lao He's Early Mathematical Research Notes (7): The Four Fundamental Operations are Essentially Two

— He Xin's Concise New Definitions of Multiplication and Division

Multiplication (applicable to non-negative integers) is essentially repetitive addition:

Adding the same number repeatedly, where the number of repetitions is specified by the multiplier; the total sum is called the product. [When the multiplier is 0, the result is 0.]

(Example: 4 x 3 = 12, which is 4 + 4 + 4 = 12)

Division (applicable to positive integers) is essentially repetitive subtraction, resulting in zero or a remainder.

Continuously subtract the divisor (non-zero) from the dividend until the remainder is less than the divisor. The number of subtractions is the quotient, and the remaining number is the remainder.

(Example: 17 ÷ 5 = 3 R2, which is 17 - 5 - 5 - 5 = 0 + 2.)

[It is necessary to point out that predecessors have not expressed this view; this is a discovery from Lao He's early mathematical research, known as the "He Xin New Definitions of Multiplication and Division."]

我在翻譯時做了一些處理：
1. 老何 (Lao He)：保留拼音，加注釋（Old He / Veteran He）或直接作為署名。
2. 札記：翻譯為“Notes”或“Research Notes”。
3. 本質(zhì)乃是：使用“are essentially”或“are in essence”來表達(dá)。
4. 復(fù)化：這是一個比較生僻的詞，我翻譯為“Repetition”或“Repeated”，意指“重復(fù)”。

日文翻譯 (Japanese Translation)

老何の初期數(shù)理研究ノート（7）：四則演算の本質(zhì)は二則演算である

— 何新による乗法?除法の簡明な新定義

乗法（非負(fù)整數(shù)に適用）の本質(zhì)は重加（連続的な加法）である。

同一の數(shù)を繰り返し加えることであり、加える回數(shù)は乗數(shù)によって指定される。その総和を積という。[乗數(shù)が0の場合は、結(jié)果は0となる。]

（例：4 x 3 = 12 とは、4 + 4 + 4 = 12 である）

除法（正整數(shù)に適用）の本質(zhì)は重減（連続的な減法）であり、結(jié)果は零に帰するか、あるいは余りを生じる。

被除數(shù)から除數(shù)（非零）を不斷に減じ、余りが除數(shù)より小さくなるまで続ける。減じた回數(shù)が商であり、余った數(shù)が余りである。

（例：17 ÷ 5 = 3 余り 2 とは、17 - 5 - 5 - 5 = 0 + 2 である。）

【前人はこのような表現(xiàn)をしなかったが、これは老何の初期數(shù)理研究における発見であり、「何新乗除新定義」と呼ばれるものである。】

詞匯對照表 (Vocabulary Reference)
中文 英文 日文
老何 Lao He / Old He 老何（ローホー）
札記 Notes / Research Notes ノート (Note) / 研究ノート
四則運算 The Four Fundamental Operations 四則演算 (しそくえんざん)
二則運算 The Two Fundamental Operations 二則演算 (にそくえんざん)
復(fù)化 (連續(xù)性) Repetition (Continuity) 重加 (ちょうか) / 連続性 (れんぞくせい)
乘法 Multiplication 乗法 (じょうほう)
除法 Division 除法 (じょほう)
被除數(shù) Dividend 被除數(shù) (ひじょすう)
除數(shù) Divisor 除數(shù) (じょすう)
商 Quotient 商 (しょう)
余數(shù)/余り Remainder 余り (あまり) / 余數(shù) (よすう)
非負(fù)整數(shù) Non-negative integers 非負(fù)整數(shù) (ひふせいすう)
正整數(shù) Positive integers 正整數(shù) (せいせいすう)