老何早年數理研究札記（7）：四則運算本質乃是二則運算

——何新關于乘法除法的簡明新定義

乘法（適用于非負整數）本質是復化（連續性）的加法：

將同一個數重復相加，相加的次數由乘數指定，其總和即稱為積。[當乘數為 0 時，結果為 0。]

（例：4 x3 = 12，即4 + 4 + 4 = 12）

除法（適用于正整數）本質是連續的減法，結果歸于零或者得到余數。

從被除數中不斷減去除數（非零），直到余數小于除數，減去的次數即為商，余下的數為余數。

（例：17 ?5 = 3余2，即17 - 5 - 5 - 5 = 0+2。 ）

【有必要指出，前人無此表述，這是老何早年數理研究的一項發現，何新乘除新定義。 】

這是一份關于數學運算本質的哲學性探討文本。根據您的要求，我為您提供英文和日文兩個版本的翻譯。

英文翻譯 (English Translation)

Lao He's Early Mathematical Research Notes (7): The Four Fundamental Operations are Essentially Two

— He Xin's Concise New Definitions of Multiplication and Division

Multiplication (applicable to non-negative integers) is essentially repetitive addition:

Adding the same number repeatedly, where the number of repetitions is specified by the multiplier; the total sum is called the product. [When the multiplier is 0, the result is 0.]

(Example: 4 x 3 = 12, which is 4 + 4 + 4 = 12)

Division (applicable to positive integers) is essentially repetitive subtraction, resulting in zero or a remainder.

Continuously subtract the divisor (non-zero) from the dividend until the remainder is less than the divisor. The number of subtractions is the quotient, and the remaining number is the remainder.

(Example: 17 ÷ 5 = 3 R2, which is 17 - 5 - 5 - 5 = 0 + 2.)

[It is necessary to point out that predecessors have not expressed this view; this is a discovery from Lao He's early mathematical research, known as the "He Xin New Definitions of Multiplication and Division."]

我在翻譯時做了一些處理：
1. 老何 (Lao He)：保留拼音，加注釋（Old He / Veteran He）或直接作為署名。
2. 札記：翻譯為“Notes”或“Research Notes”。
3. 本質乃是：使用“are essentially”或“are in essence”來表達。
4. 復化：這是一個比較生僻的詞，我翻譯為“Repetition”或“Repeated”，意指“重復”。

日文翻譯 (Japanese Translation)

老何の初期數理研究ノート（7）：四則演算の本質は二則演算である

— 何新による乗法?除法の簡明な新定義

乗法（非負整數に適用）の本質は重加（連続的な加法）である。

同一の數を繰り返し加えることであり、加える回數は乗數によって指定される。その総和を積という。[乗數が0の場合は、結果は0となる。]

（例：4 x 3 = 12 とは、4 + 4 + 4 = 12 である）

除法（正整數に適用）の本質は重減（連続的な減法）であり、結果は零に帰するか、あるいは余りを生じる。

被除數から除數（非零）を不斷に減じ、余りが除數より小さくなるまで続ける。減じた回數が商であり、余った數が余りである。

（例：17 ÷ 5 = 3 余り 2 とは、17 - 5 - 5 - 5 = 0 + 2 である。）

【前人はこのような表現をしなかったが、これは老何の初期數理研究における発見であり、「何新乗除新定義」と呼ばれるものである。】

詞匯對照表 (Vocabulary Reference)
中文 英文 日文
老何 Lao He / Old He 老何（ローホー）
札記 Notes / Research Notes ノート (Note) / 研究ノート
四則運算 The Four Fundamental Operations 四則演算 (しそくえんざん)
二則運算 The Two Fundamental Operations 二則演算 (にそくえんざん)
復化 (連續性) Repetition (Continuity) 重加 (ちょうか) / 連続性 (れんぞくせい)
乘法 Multiplication 乗法 (じょうほう)
除法 Division 除法 (じょほう)
被除數 Dividend 被除數 (ひじょすう)
除數 Divisor 除數 (じょすう)
商 Quotient 商 (しょう)
余數/余り Remainder 余り (あまり) / 余數 (よすう)
非負整數 Non-negative integers 非負整數 (ひふせいすう)
正整數 Positive integers 正整數 (せいせいすう)