1/3等于0.333（除不盡），那么1米長的繩子能否分成三等份？

這種問題經(jīng)常在網(wǎng)絡(luò)上出現(xiàn)，很容易讓人陷入某種誤區(qū)，甚至讓人患上“強(qiáng)迫癥”，看到無理數(shù)就會(huì)產(chǎn)生某種說不清道不明的“歧視”心理，就好像無理數(shù)真的“無理”一樣，“無理數(shù)”這三個(gè)字確實(shí)蒙蔽了很多人的雙眼！

事實(shí)上無理數(shù)一點(diǎn)也不“無理”，無理數(shù)和有理數(shù)完全是平等的，都是一個(gè)再普通不過的數(shù)，而且是真實(shí)存在的數(shù)，一個(gè)非常確定的數(shù)。

無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別只有一點(diǎn)：無限不循環(huán)，僅此而已。

但你不能因?yàn)闊o限不循環(huán)就對(duì)無理數(shù)“另眼看待”，甚至?xí)乱庾R(shí)地認(rèn)為“無限不循環(huán)就不是確定的數(shù)”！

不少人總是下意識(shí)習(xí)慣性地強(qiáng)迫無理數(shù)必須用小數(shù)完全寫出來，寫不出來心里就憋得慌。但一個(gè)非常現(xiàn)實(shí)的問題是：為何一定要用小數(shù)寫出來呢？用其他形式寫出來不行嗎？

這就是不少人認(rèn)識(shí)山的誤區(qū)！

比如說圓周率π就是π，就好比“1就是1”一樣，都是一個(gè)確定的數(shù)。我可以很輕松地把π寫出來，它就是：π。

明白了這點(diǎn)，再回到問題中。

1/3等于0.333......，永遠(yuǎn)寫不完，但寫不完不代表1/3就不存在，事實(shí)上你可以非常輕松地在數(shù)周上畫出1/3長度，不但如此，你可以在數(shù)周上畫出任何一個(gè)數(shù)（包括無理數(shù)）的長度，比如說π，√2等。

下圖一眼就能看出如何在數(shù)軸上畫出√2：畫一個(gè)直角邊為1的等腰直角三角形，然后以斜邊為半徑畫一個(gè)圓形，與數(shù)軸的交點(diǎn)就是√2。

確實(shí)，在人類數(shù)學(xué)史上，尤其是在微積分思想產(chǎn)生之前，無理數(shù)的概念困惑了很多人。就好題目中的問題一樣，0.333永遠(yuǎn)寫不完，怎么可能分成三等份呢？

首先1/3是一個(gè)確定的數(shù)，非常確定，是一個(gè)實(shí)數(shù)。只要是實(shí)數(shù)，都會(huì)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)。我們經(jīng)常用到的圓周率π是無理數(shù)，它也對(duì)應(yīng)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，π是一個(gè)確定的長度。

不少人認(rèn)為無理數(shù)是不那么確定的數(shù)，其實(shí)只是一種錯(cuò)覺，一種心理暗示罷了，或者說是一種“強(qiáng)迫癥”！

肯定有人會(huì)這樣質(zhì)問：1米長的繩子分成三等份，一份的長度就是0.333......，那么三份的長度應(yīng)該是0.999......，也不等于1啊！

這就是誤區(qū)所在，其中也牽扯到極限的思想。

最簡(jiǎn)單的解釋就是：不要總是在0.333......（一直循環(huán)）上面較真，你直接認(rèn)為1/3不就行了嗎？1/3乘以3不正好等于1嗎？為什么非要把任何數(shù)都要寫成小數(shù)的形式才甘心呢？

但總會(huì)有人不甘心，一定要用小數(shù)寫出來才罷休。所以問題的關(guān)鍵就在于：0.999......是否等于1？

0.999......等于1，0.999......等于1，0.999......等于1。

重要的事情說三遍！

可以用反證法來證明，首先假設(shè)0.999......不等于1，由于兩個(gè)不相等的數(shù)之間肯定會(huì)存在無數(shù)多個(gè)數(shù)，這意味著0.999......和1之間存在無數(shù)多個(gè)數(shù)，但事實(shí)上不要說找到無數(shù)多個(gè)數(shù)了，你能找到哪怕一個(gè)數(shù)嗎？

如果能找到，0.999......當(dāng)然不等于1，如果找不到，0.999......必然等于1。最后的結(jié)果是：你不得不承認(rèn)0.999......等于1。雖然你可能還是那么不甘心！

還有人經(jīng)常會(huì)這樣問：0.999......不是比1要小0.00000......1嗎？極限屬于一種抽象概念，非具體的，所以我們不能用具體數(shù)值的加減來理解。

再舉個(gè)通俗的例子。

自然數(shù)與偶數(shù)哪個(gè)更多？

如果沒有極限的思想概念，很容易得出“自然數(shù)比偶數(shù)多”的結(jié)論，畢竟自然數(shù)包括偶數(shù)和奇數(shù)。但事實(shí)上自然數(shù)與偶數(shù)一樣多。自然數(shù)與偶數(shù)都是無窮多個(gè)，無窮也是有大小的。最簡(jiǎn)單的比較無窮大小的方式就是兩個(gè)無窮的合集是否能一一對(duì)應(yīng)。

自然數(shù)雖然看起來比偶數(shù)多（好像多出來的都是奇數(shù)），但每一個(gè)自然數(shù)都有偶數(shù)與之對(duì)應(yīng)：自然數(shù)乘以2不就是偶數(shù)嗎？

所以自然數(shù)與偶數(shù)一樣多！

如果你按照剛才的思想來較真：自然數(shù)-偶數(shù)=奇數(shù)，那就完全脫離了極限的思想。

最后還要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，純理論上分析，一根一米長的繩子可以分成三等份，但現(xiàn)實(shí)中你永遠(yuǎn)做不到。這與科技發(fā)達(dá)與否沒有關(guān)系，科技再發(fā)達(dá)也不可能做到，誤差是永遠(yuǎn)存在的。

而且“一根一米長的繩子分成三等份”僅僅是從數(shù)學(xué)概念來分析的，也就是說數(shù)軸上長度為1的線段可以分成三等份。但數(shù)學(xué)并不等同于現(xiàn)實(shí)，數(shù)學(xué)可以說是抽象的概念，帶有絕對(duì)性。而測(cè)量屬于具體的，具有相對(duì)性。

同時(shí)，數(shù)學(xué)上不存在最小的數(shù)，你永遠(yuǎn)找不到大于0的最小的數(shù)，但現(xiàn)實(shí)中存在最小的長度單位，它就是普朗克長度，任何小于普朗克長度的單位都沒有意義！