數(shù)論新理論及新發(fā)展方向

《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 054

054.數(shù)論新理論及新發(fā)展方向

概述：

我在2002年春天發(fā)現(xiàn)了“Ltg-空間理論”。Ltg-空間理論展現(xiàn)出一種獨特的研究視角，其通過“空間屏蔽”與“項數(shù)代數(shù)化”的方式重構整數(shù)結構，為哥德巴赫猜想、孿生素數(shù)等問題提供初等證明路徑。從這一角度看，它在?思想原創(chuàng)性與大眾可理解性?方面具有一定的價值，尤其強調(diào)用非解析工具處理經(jīng)典數(shù)論問題，契合“初等方法研究”的理想目標。

關鍵詞：素數(shù)空穴、孿生素數(shù)猜想證明、項數(shù)轉(zhuǎn)換定理、哥德巴赫猜想證明。

一、 Ltg-空間理論

由等差數(shù)列組構成正整數(shù)的空間結構理論，簡稱Ltg-空間理論。

Ltg-空間理論的定義：

所有正整數(shù)1,2,3,…均可由一組等差數(shù)列表示，這些等差數(shù)列按序1,2,3,…構成無限多空間。選定特定等差數(shù)列空間后，這個空間與其他空間自動屏蔽，其他數(shù)列不再進入這個空間，全部正整數(shù)（包括素數(shù)及合數(shù)）均獲得固定位置，并對應唯一項數(shù)N。因此，素數(shù)及合數(shù)的出現(xiàn)均遵循特定規(guī)律而非隨機離散發(fā)生。

設Zk為全體正整數(shù)空間，則有公式：

Zn=WN+A

其中：W表示維度，W=1,2,3…

N為各正整數(shù)對應的項數(shù)，N=0,1,2,3…

A為特定空間內(nèi)等差數(shù)列的順序號，A=1,2,3…

用代數(shù)式可以這樣表示：

N+1

2N+1,2N+2

3N+1,3N+2,3N+3

4N+1,4N+2,4N+3,4N+4

5N+1，5N+2,5N+3,5N+4,5N+5

許許多多……

在上述的每一組橫向等差數(shù)列（方程組）中，每一組都可代表所有整數(shù)。一旦選定特定的空間，其他空間內(nèi)的等差數(shù)列將不會進入該空間，從而實現(xiàn)了空間的隔離。

如下圖表示，

這個理論把等差數(shù)列與函數(shù)相連接，是等差數(shù)列與函數(shù)之間的一座橋梁。

二、N+A空間里面的正整數(shù)結構

1、正整數(shù)的誕生及其性質(zhì)

我們采用單位1這個概念，通過某種方式換取出一個線段。在原本什么都沒有的基礎上，開始構建起最基本的幾何元素，而這個單位1就是構建線段的關鍵要素，它決定了線段的長度等基本屬性。

零點實質(zhì)上代表的是“順序的起始之處”，這實際上體現(xiàn)了時空所具備的一種連續(xù)性特征，而這種特征并非由人類主觀規(guī)定出來的，而是時空本身固有的屬性。數(shù)量要想達到1這個數(shù)值，就必須要滿足構成一個單位（整體）的條件。我們利用這個作為基礎的單位1，才能夠朝著無窮遠的方向不斷擴展延伸。所以，在每一個格子之中，都隱含著1這個基本單位的存在意義。

第一個格子中所呈現(xiàn)的數(shù)量為1，也就是說，它僅僅包含一個“1”。那么，緊隨其后的第二個格子里，按照既定的規(guī)則，就應該包含兩個“1”了。這樣的設定仿佛開啟了一種獨特的序列模式，我們依據(jù)這樣的規(guī)則不斷地進行推演，這個序列便會如同潺潺流水一般，順著特定的順序持續(xù)不斷地延伸、擴展下去，并且沒有盡頭，展現(xiàn)出一種數(shù)量上無限無窮發(fā)展的態(tài)勢。為了能夠更加清晰、直觀地將這種序列的規(guī)律和內(nèi)容展現(xiàn)出來，我們完全可以用一個精心設計的表格來對這些格子中的內(nèi)容進行表示和梳理。

表格如下，

順序號我們可以使用項數(shù)N來進行替代，而正整數(shù)的數(shù)量則可以用等差數(shù)列N+1來表示。這是由于所有的正整數(shù)Z=1，2，3……這樣的數(shù)列本質(zhì)上就是一個等差數(shù)列。在這個等差數(shù)列當中，每一項與它的前一項之間的差是一個固定的常數(shù)值，并且這個數(shù)列是從1開始不斷地往后延伸的，包含了所有的正整數(shù)部分，當我們用項數(shù)N去替換順序號的時候，就能夠建立起一種對應的關系，從而更好地對整個數(shù)列的結構和特性進行分析研究，同時利用等差數(shù)列N+1來代表正整數(shù)數(shù)量也能夠更直觀地體現(xiàn)出正整數(shù)在數(shù)量上的規(guī)律性以及增長趨勢等情況。

這個表格所表示的其實就是Ltg - 空間里面的N + A（在這里A等于1）這樣的一個特殊空間。當這個表格被構建形成之后，它就會自動地與其他的各類空間相互屏蔽隔離開來。通過這樣的一種方式，每一個正整數(shù)，這其中當然也包含了那些素數(shù)在內(nèi)，都擁有了唯一的一個項數(shù)N與之相對應。如此一來的話，我們就可以把這里的項數(shù)N視為是一個直線方程，這個方程表達為f(N) = N這樣的形式；與此同時，我們同樣可以把正整數(shù)Z也看作是一個直線方程，這個方程則表達為Z(N) = N + 1這樣的形式。

當數(shù)值N等于1的時候，對應的Z值為2。在這個情況下，我們觀察到一個規(guī)律，那就是以2作為周期的一系列正整數(shù)，例如4、6、8等等，這些數(shù)字都存在一個共同的特點，即它們都能夠被2整除，也就是說，這些數(shù)都含有因子2。基于這樣的發(fā)現(xiàn)，我們可以進一步地推斷出，這一系列的數(shù)字實際上可以通過某種特定的數(shù)學表達方式來描述，具體而言，就是可以借助所謂的“合數(shù)項等差數(shù)列”或者是一個“函數(shù)直線方程”來進行表示。這種方法不僅能夠清晰地展示出這類數(shù)字的排列規(guī)律，同時也為進一步的數(shù)學分析和研究提供了便利。

N2=2k+1用這個方法我們可以得到一系列合數(shù)項等差數(shù)列，

N3=3k+2

N5=5k+4

N7=7k+6

N11=11k+10

Ns=Sk+n…… 其中，k=1,2,3,4……

這些被稱為“合數(shù)項等差數(shù)列”的數(shù)學結構，與所謂的空間屏蔽概念實際上并不相互沖突或矛盾。

這些“合數(shù)項等差數(shù)列”其實就是“合數(shù)項公式”解。

合數(shù)項公式：

Nh=a(b+1)+ba,b≥1

這是一個包含二元一次方程的雙曲線族方程組，我們可以進一步將其中的項數(shù)N視為一條直線。在這個方程組中，當這條代表N的直線與雙曲線族方程組相交時，這些交點所對應的項即為合數(shù)項Nh，通過這種方式我們能夠確定一個合數(shù)。而另一方面，如果某些項并沒有與N產(chǎn)生交點，那么這些項就被稱為素數(shù)項Ns，通過這種方法就可以確認一個素數(shù)。從這個公式本身來看，即便不進行額外的證明，我們也能夠直觀地理解到，素數(shù)的數(shù)量是無窮無盡的。

借助于公式Ns = N - Nh，我們能夠?qū)崿F(xiàn)對素數(shù)在特定區(qū)間內(nèi)所處位置的精準定位，并且可以明確得出該區(qū)間內(nèi)素數(shù)的準確數(shù)量。這一成果具有非凡的意義，與以往用于研究素數(shù)的傳統(tǒng)方法相比，展現(xiàn)出了令人驚嘆的巨大進步。在過去，研究素數(shù)時所采用的方法往往存在著諸多局限和不足之處，而如今這個公式的出現(xiàn)，就像是一把神奇的鑰匙，打開了更為精準、高效研究素數(shù)的大門，使得我們在探索素數(shù)奧秘的道路上邁出了極為重要的一步。

2、關于孿生素數(shù)的有關問題

首先，我們需要明確的是，N+A表格之間形成了一種特定的函數(shù)關系。在這里，無論是函數(shù)表達式f(N)等于N本身的情況，還是f(Z)等于N加1的情形，又或者是Nh等于a乘以(b+1)再加上b這樣的關系式，它們都屬于初等函數(shù)的范疇。而對于這些初等函數(shù)而言，在區(qū)間（0，∞）這個特定的范圍內(nèi)，它們所具有的性質(zhì)是始終保持不變的，不會因為某些因素而發(fā)生改變。并且，這些函數(shù)性質(zhì)的恒定性是顯而易見的，不需要我們再花費精力去進行額外的證明來加以確認。

我們分析“合數(shù)項等差數(shù)列”2N+1和“素數(shù)項等差數(shù)列”SK+n聚會引進一個概念“素數(shù)空穴”。

定義：“素數(shù)空穴”，就是指正整數(shù)中未能被已知素數(shù)及其合數(shù)占據(jù)的位置。

見下圖，

由于合數(shù)項數(shù)列N2 = 2k + 1在空間中占據(jù)了形如2N + 1的所有位置，例如3、5、7、9等這樣的奇數(shù)位置，這就使得未來可能出現(xiàn)的新素數(shù)以及它們對應的合數(shù)Ns =Sk + n，只能被安排在諸如2K +2和2K + 4這樣的偶數(shù)項位置上。因為剩余下來可供使用的都是像2、4、6……這樣的偶數(shù)位置，而新產(chǎn)生的素數(shù)卻始終是3、5、7……這類奇數(shù)形式，所以無論出現(xiàn)多少個新的素數(shù)，都無法完全填滿正整數(shù)序列中存在的那些“素數(shù)空穴”。因此，基于這種無法填滿所有空缺的特性，可以推斷出素數(shù)的數(shù)量必然是無窮無盡的。

實際上，我們完全可以將數(shù)列2K+2和2K+4視作是兩個相互獨立且互不干擾的直線方程組。這兩個數(shù)列中的元素各自按照其特定的規(guī)律進行排列，并且在它們各自的數(shù)列之中，所包含的素數(shù)的數(shù)量都是無窮無盡的。當我們令K取相同值的時候，就可以把這兩個數(shù)列中的對應元素組合起來看成是一個數(shù)對。在這種情況下，這樣的數(shù)對只可能出現(xiàn)四種不同的組合情況，分別是：合數(shù)與合數(shù)、合數(shù)與素數(shù)、素數(shù)與合數(shù)、素數(shù)與素數(shù)。

假如在這四種可能的情況當中，有任何一種情況是不存在的，那么就會引發(fā)一系列的問題。因為從數(shù)學原理上來說，合數(shù)和素數(shù)在自然數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)量都是無窮多的，這是已經(jīng)被證明過的數(shù)學事實。如果某種情況不存在，就意味著要么合數(shù)的數(shù)量不是無窮多，要么素數(shù)的數(shù)量不是無窮多，這顯然與我們已經(jīng)知曉的數(shù)學現(xiàn)實相互矛盾。所以，基于這樣的邏輯推理，在空間N+A之中所存在的孿生素數(shù)（也就是相差為2的素數(shù)對），它們的數(shù)量也必然是無窮多的。

三、2N+A空間里面的正整數(shù)結構

1、2N+A空間的性質(zhì)

這個空間表格如下

這個表格包含了全部正整數(shù)，并且與其他正整數(shù)空間屏蔽，形成成一個獨立的體系，與其他“數(shù)論理論”無關，我們的研究就針對這個表格的現(xiàn)實。

1） 項數(shù)轉(zhuǎn)換定理

分析2N+A空間，有項數(shù)分解原理、奇數(shù)分解原理、偶數(shù)分解原理和空間項數(shù)轉(zhuǎn)換定理（即k=m+n=N），其中，k,m,n,N都是項數(shù)。

項數(shù)分解原理

如，項數(shù)N = 8，且8 = 0 + 8 =1 + 7 = 2 + 6 = 3 + 5 = 4 + 4

即，k=m+n= N

奇數(shù)分解原理

當取項數(shù)N = 8時，存在奇數(shù)J = 17。

我們發(fā)現(xiàn)，17 = 1 + 16 = 2 + 15 = 3 + 14 = 4 + 13 = 5 + 12 = 6 + 11 = 7 + 10 =8 + 9。

J=(2m+1)+(2n+1)= (2n+1) +(2m+1)=2(m+n)+2=2k+2=2N+2

也就是說，一個奇數(shù)等于小于它的所有整數(shù)首尾交叉兩兩相加的和。

即，k=m+n= N

偶數(shù)分解原理

當取項數(shù)N = 8時，存在偶數(shù)O = 18。

我們發(fā)現(xiàn)18 = 1 + 17 = 3 + 15 = 5 + 13 = 7 + 11 = 9 + 9。

18=2+16=4+12=6+10=8+8=10+6=12+4=14+2。

O=(2m+1)+(2n+1)= (2n+2) +(2m+2)=2(m+n)+2=2k+2=2N+2

也就是：一個偶數(shù)等于小于它的全部奇數(shù)或偶數(shù)的首尾相加。

這就有了一個非常重要的發(fā)現(xiàn)：在2N + A這樣一個特定的空間里面，任何一個被特指的項數(shù)k，它都處于區(qū)間[0，N]這個范圍之內(nèi)。這就意味著，在此特定的空間內(nèi)部，那個被特指的項數(shù)k的數(shù)值是與區(qū)間的項數(shù)N的數(shù)值相等的，也就是k = N這樣的一個等量關系成立。基于這一獨特的性質(zhì)，我們將其定義為“項數(shù)轉(zhuǎn)換定理”，這一發(fā)現(xiàn)對于理解該空間的結構和特性有著極為關鍵的意義。

不論項數(shù)N如何變化，增大或變小，甚至趨向無窮大，這些關聯(lián)性質(zhì)都不會改變。

2）2N+A空間里面的公式

合數(shù)項數(shù)列是

3k+1

5k+2

7k+3

11k+5

Sk+N

合數(shù)項公式是

Nh=a(2b+1)+ba,b≥1

這是一個二元一次雙曲線族方程，顯然與項數(shù)N的直線方程f(N)=N不會重合，所以素數(shù)項Ns也是有無窮多的。

還有公式

2N+2=q+p q和p是數(shù)列2N+1里面的素數(shù)。

2Z= q+p 與 Z=(q+p)/2

空間2N+A本身就是一個極為特殊的函數(shù)表達形式，這一特性實際上與素數(shù)分布所呈現(xiàn)出的復雜性并沒有直接關聯(lián)。在這里，我們主要關注的是區(qū)間（0，N]自身所具備的獨特性質(zhì)。當數(shù)值N逐漸趨向于無窮大這一極限狀態(tài)時，表格所展現(xiàn)出的各類性質(zhì)并不會隨之發(fā)生改變，而是會始終保持原有的狀態(tài)和特征。也就是說，無論N如何增大，區(qū)間（0，N]在表格中體現(xiàn)出來的那些本質(zhì)屬性都會穩(wěn)定不變，這與空間2N+A這個特殊函數(shù)式是獨立存在的事實相一致，不會受到素數(shù)分布復雜性的干擾。

2、哥巴赫猜想的證明

依據(jù)目前權威對素數(shù)的定義，我們必須限定一些條件。1 不是素數(shù)，4 = 2 + 2，偶數(shù)大于或等于 6。

在奇數(shù)數(shù)列2N+1上任選兩個素數(shù)q和p它們的項位分別是m和n，這個我們可以做到。

把這兩個素數(shù)相加，有

（2m+1）+(2n+1) = 2(m+n)+2=2K+2

2K+2是一個偶數(shù)，他的項位是K，依據(jù)空間轉(zhuǎn)換定理

2K+2=2N+2

所以有，q+p = 2N+2

哥德巴赫猜想得證！

注：我們的證明過程完全獨立于其他理論中關于素數(shù)分布復雜性的相關論述，二者之間并無關聯(lián)。我們僅僅是基于2N + A表格所呈現(xiàn)出的現(xiàn)實情況以及它本身具備的性質(zhì)來進行推導的。需要強調(diào)的是，我們得出的這些結論并非出于人為的主觀編造，而是基于客觀存在的現(xiàn)實情況。當我們聚焦于局部區(qū)間（0，N]時，2N + A所具有的性質(zhì)是清晰可辨的，并且經(jīng)過嚴謹?shù)臄?shù)學推導可以發(fā)現(xiàn)，當N逐漸增大并趨近于無窮大時，2N + A在之前局部區(qū)間所具備的那些性質(zhì)依然會存在，并不會因為N的無限增大而發(fā)生改變。

總結：

在前面的內(nèi)容里，我們僅僅針對N+A空間以及2N+A空間中的狀況展開了研究。然而，在這之后還存在著諸如3N+A、4N+A、6N+A、8N+A等眾多空間形式，直至延伸到無窮無盡的空間范圍。我在此過程中的角色，就好比是一個推開未知領域大門的人，也可以被看作是一塊為后繼者鋪設道路的基石。

我懷著殷切的期望，希望廣大的數(shù)學研究工作者、熱愛數(shù)學的愛好者，還有正在成長學習中的中小學生，都能夠投身于我這種運用“初等方法研究”數(shù)論的事業(yè)當中。通過大家的共同努力，把那些真實且簡潔的數(shù)論思想，以及嚴謹而富有邏輯的數(shù)學思維方式傳播給社會大眾，從而推動中國的數(shù)論事業(yè)不斷向前發(fā)展，最終能夠在世界的這一領域中占據(jù)巔峰之位，引領全球數(shù)論研究的方向與潮流。

這是數(shù)論研究領域的“數(shù)論新發(fā)展方向”。

2026年2月28日星期六