“圓”來如此！三百年數學難題，復旦、北大、上智院聯手破解！

滿月懸空，萬家燈火。今日正值元宵節，家家戶戶煮湯圓。

煮湯圓的時候，若稍作觀察就會發現，煮熟后的湯圓浮在水面上，中間的那顆湯圓周圍最多會有6個湯圓和它緊密相貼。

水面可以看作一個二維平面。如果把這個場景放進一個理想的三維空間里，讓所有的湯圓都是同樣大小的完美球體，不給任何變形或擠壓的機會，那么，一個湯圓的周圍最多能有多少個湯圓與其緊緊相貼，形成盡可能大的“團圓”的小圈子？

這個聽起來像是廚房里才會發生的無聊想象，其實是一個困擾了數學家數百年的幾何難題。1694年，牛頓（isaac newton）和大衛·格雷戈里（david gregory）在劍橋大學的一間講堂中提出了一個樸素的問題：在一顆中心球周圍，最多能緊貼放置多少顆相同的球？牛頓認為是12，格雷戈里堅持是13。直到1952年，數學家才最終證明牛頓是對的。

這就是三維空間的親吻數問題。

然而，當維度提升到8維、12維甚至更高時，人類的幾何直覺開始失效。過去50年，親吻數構造僅有7次實質性進展，而且每次依賴完全不同的方法，作用于臨近維度，難以遷移與復用。

如今，這道難題迎來了方法論層面的轉折。

復旦大學、北京大學、上海科學智能研究院（以下簡稱“上智院”）組成的聯合團隊，通過自主研發的packingstar強化學習系統，在12、13、14、17、20、21、25–31維等多個維度刷新親吻數與廣義親吻數紀錄，實現數學結構領域罕見的多維度、系統性突破。

這不僅是數字的更新，也是ai在高維組合幾何和編碼理論中的首個系統性突破，標志著ai for math的范式遷移。ai不再只是工具，而是科學家的合作伙伴，共同探索數學宇宙的未知邊疆。

重新定義問題，

回應牛頓三百年前之問

kissing number

作為希爾伯特第十八問題（球體堆積）的核心子命題，親吻數問題與幾何、數論、信息論等多個基礎學科緊密相關。在工程領域，球體最優排列本質上與通信信號在高維空間中的最優分布是一以貫之的，衛星通信、量子編碼、數據壓縮等關鍵技術都離不開這一問題。換言之，理解親吻數，就是理解信息壓縮與傳輸的極限。

過去幾十年間，人們嘗試用ai解決親吻數問題，但只產生過一次突破。deepmind的alphaevolve通過修補11維構型，將最優值從592提升到了593，但依然存在諸多不足，無法應用于其他維度。與之相比，packingstar則不再局限于個別維度的優化或僅基于已有幾何構造做簡單拓展，而是將高維球體堆積問題轉化為余弦矩陣上的多智能體博弈學習問題，給出了跨維度系統性的求解方案。

具體來看，團隊將“加球”問題重構為余弦矩陣的填充問題，并設計了一套多智能體強化學習架構來求解該問題，在求解性能和擴展能力上實現了跨越式提升。系統由填充智能體（player 1）與修剪智能體（player 2）協同博弈，在“生成—篩選—優化”的循環中持續逼近最優結構。

player 1負責快速生成結構的初步形態，并通過學習不斷優化生成策略，就像alphago在圍棋棋盤中落子一樣，不斷地填充矩陣，好比在巨大的構型空間中尋找球體的排列方式。然而，由于高維探索空間異常龐大，且在早期階段矩陣信息有限，不可避免地會產生大量次優填充。因此，player 2對填充后的矩陣對應的結構進行幾何分析，學習如何識別并去除次優的填充條目，即那些不夠合理的球體排列。然后將矩陣交由player 1重新填充，從而反復打磨結構。

在合作博弈的框架下，這兩個智能體共同探索如何更高效地進行矩陣填充游戲。每一輪游戲結束后，系統都會重新解構當前矩陣對應的幾何結構，從龐雜的整體結構中提取出精煉的子結構，并將其用于下一輪游戲。通過這種“填充—修剪—解構—再填充”的協同機制，高維空間的探索難度被顯著降低。原本高不可攀的數學難題被轉化為一場有趣的“多智能體游戲”，并進一步成為可訓練、可優化的人工智能任務。

通過這一方式，packingstar實現跨維度連續突破：在25—31維刷新人類已知最佳結構；打破14維與17維長期保持的“兩球親吻數”紀錄，以及12維、20維、21維“三球親吻數”紀錄；在13維發現優于1971年以來所有有理構造的新結構，并在多個維度發現6000余個新構型。

值得關注的是，系統在12至15維等多個維度發現持平紀錄的非對稱構型。這類結構不依賴傳統對稱群操作，卻能夠達到最優條件，突破了長期以來以高度對稱性為核心的構造思路，為高維幾何研究提供了新的視角。

相關成果獲得麻省理工學院教授、離散幾何領域權威亨利·科恩（henry cohn）的高度評價。在科恩的邀請下，團隊還針對特定的廣義親吻數展開了研究。目前，packingstar取得的多個突破已被收錄于維基百科及科恩維護的權威榜單中。而這些成就的取得，離不開底層工程能力的強力支撐。

人機協同+智算護航，

共探未知之境

kissing number

如果說packingstar的數學設計是探索高維宇宙的導航儀，那么復旦和上智院團隊打造的工程系統就是驅動這艘宇宙飛船的強勁引擎。當維度提升到18維、19維時，龐大的搜索空間和急劇增長的計算量讓ai學習效率明顯下降，就像一道高墻，阻擋在團隊面前。在此階段，工程能力已從輔助手段上升為科研能否持續突破的核心支撐。

由復旦大學、上智院和無限光年共同建設的星河啟智科學智能開放平臺（以下簡稱“星河啟智平臺”）讓團隊看到了希望。工程團隊通過自研底層算子，針對搜索流程中最上游的大規模候選集生成部分，重寫了定制化的cuda kernel。新算子直接在gpu上計算并原位寫入數據，徹底消除了大量中間變量的顯存拷貝與冗余讀寫，使核心計算鏈路的端到端吞吐效率提升了數倍，讓大規模高維結構搜索變得可行。

同時，團隊構建了高魯棒的自動容錯機制。對于千卡規模下的長周期任務而言，任何中斷都可能導致進度丟失。針對這個問題，團隊開發了自動checkpointing系統，實現定時滾動存檔與故障后自動回溯恢復，確保數據零丟失、任務斷點可續傳，為長期穩定的數學探索提供了堅實基礎。

依托星河啟智平臺的強大科學智算基礎設施和技術創新能力，親吻數研究取得多項突破性進展，搜索效率提升2-3倍，累計節省超10萬gpu卡時。

這一系列工程成果并未止步于親吻數問題。復旦大學人工智能創新與產業院副院長、上智院科研副院長、星河啟智平臺負責人程遠表示，新材料設計、藥物發現等領域和數學結構一樣面臨高維組合優化與指數級搜索挑戰。通過packingstar項目的探索，相關科學智算能力進一步沉淀在了星河啟智平臺上，服務廣大科學家、加速科學新發現。這套方法已成為可復用的跨學科智能計算范式，許多曾經因算力門檻而被視為“不可計算”的科學難題，現在可以被系統化探索。

而更重要的是，這種工程與數學、ai的深度協作，是科學智能進入2.0階段的一個側影。數學問題幾乎沒有現成訓練數據，ai必須通過搜索、生成與合成數據，在“無中生有”中逼近未知結構。這要求ai專家、數學家、工程團隊深度協作，任何一方都無法單獨完成。

在packingstar項目中，工程團隊與上智院和北大的ai math聯合研究團隊緊密配合，形成“ai—科學—工程”三位一體的協同攻關機制。研究者提出直覺與邊界，人工智能進行高速構造與搜索，再由人類對結果進行驗證與抽象。

復旦大學校長助理、上智院理事長吳力波指出，上智院致力于為青年學者打造開放協作的創新平臺，將前沿科學問題細化為可執行項目，由人工智能與研究人員聯合攻關，確保重大課題持續、穩定推進。日前，星河啟智平臺新增以超級科研合伙人“大圣”為核心載體的、面向科學探索的高能動性智能體，進一步推動科研范式新變革。

正如菲爾茲獎得主威廉·保羅·瑟斯頓?（william paul thurston）所言：“數學不是數字、方程、計算或算法，數學是理解的藝術。”在人工智能加速進入基礎科學領域、驅動科研范式變革的當下，科學研究正呈現新的探索路徑。這艘由科學直覺、人工智能與算力系統共同驅動的飛船，正載著人類駛向更深邃的科學宇宙，在那里，未知不再是邊界，而是每一次探索的起點。

上海科學智能研究院

組 稿

校融媒體中心

文 字

郭宋立

編 輯

邱潔心

責 編

雷蕾

上觀號作者：復旦大學