從歐拉到人工智能：數(shù)學(xué)常數(shù)的統(tǒng)一公式——Tomer Raz等

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數(shù)學(xué)家們提出了一個(gè)自動(dòng)化框架，用于統(tǒng)一同一常數(shù)（如π）的多種表達(dá)形式迥異、但有深層關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)公式。

本文海報(bào)：

歷史上有關(guān)Π數(shù)值計(jì)算的著名數(shù)學(xué)公式：

守恒矩陣場(chǎng)（CMF，conservative matrix field）包含文獻(xiàn)中許多著名的公式：

作者：Tomer Raz（托默?拉茲，以色列理工學(xué)院）2026-3-17

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2026-3-28

摘要

數(shù)百年來，常數(shù) π 一直吸引著學(xué)者們的關(guān)注，催生出眾多用于計(jì)算它的公式，例如無窮級(jí)數(shù)和連分?jǐn)?shù)。盡管這些公式各具重要性，但許多公式之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)仍未被揭示，缺乏能夠帶來更深層次理解的統(tǒng)一理論。統(tǒng)一理論的缺失反映了數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)普遍挑戰(zhàn)：知識(shí)通常通過孤立的發(fā)現(xiàn)積累，而深層次的關(guān)聯(lián)往往隱藏不顯。在本研究中，我們提出了一個(gè)用于數(shù)學(xué)公式統(tǒng)一的自動(dòng)化框架。該系統(tǒng)結(jié)合了大語言模型（LLMs）用于系統(tǒng)性公式收集、LLM - 代碼反饋循環(huán)用于驗(yàn)證，以及一種新穎的符號(hào)算法用于聚類和最終統(tǒng)一。我們以 π 為標(biāo)志性案例展示了這一方法 ——π 是符號(hào)統(tǒng)一的理想測(cè)試平臺(tái)。將該方法應(yīng)用于 455050 篇 arXiv 論文后，我們驗(yàn)證了 385 個(gè)獨(dú)特的 π 公式，并證明了其中 360 個(gè)（94%）公式之間的關(guān)聯(lián)，其中 166 個(gè)（43%）可由單一數(shù)學(xué)對(duì)象推導(dǎo)得出 —— 該對(duì)象將歐拉、高斯、布龍克爾（Brouncker）的經(jīng)典公式與 “拉馬努金機(jī)器” 通過算法發(fā)現(xiàn)的新公式聯(lián)系起來。我們的方法可推廣至其他常數(shù)，包括 e、ζ(3) 和卡塔蘭（Catalan）常數(shù)，這表明AI人工智能輔助數(shù)學(xué)有望揭示隱藏結(jié)構(gòu)并實(shí)現(xiàn)跨領(lǐng)域知識(shí)的統(tǒng)一。

1 引言

對(duì) π 的首個(gè)嚴(yán)格近似可追溯至公元前 250 年左右的阿基米德，他確定了 π的取值范圍為223/71 < π < 22/7 [16]?，F(xiàn)代 π 近似計(jì)算采用了更復(fù)雜的公式。例如，源于拉馬努金公式 [48] 的楚德諾夫斯基（Chudnovsky）算法 [15]，至今仍是創(chuàng)造精度記錄的關(guān)鍵工具；同樣，BBP 公式 [6] 因能夠直接計(jì)算特定數(shù)位而無需先計(jì)算前面的數(shù)位，也具有重要意義。此類突破推動(dòng)了計(jì)算機(jī)科學(xué)的根本性進(jìn)步，如高精度算術(shù) [7]、進(jìn)化優(yōu)化 [35] 和橢圓曲線密碼學(xué) [39]。近年來，研究人員開發(fā)出能夠生成大量數(shù)學(xué)常數(shù)公式猜想，有時(shí)甚至能提供證明的計(jì)算機(jī)算法 [9, 17, 46]。

數(shù)百年來，與 π 相關(guān)的研究成果層出不窮，這引出了一個(gè)長期存在的問題：這些公式之間究竟存在怎樣的關(guān)聯(lián)？這個(gè)問題至關(guān)重要，不僅能避免重復(fù)發(fā)現(xiàn)（例如，蘭格Lange 1999 年提出的公式 [37]，實(shí)際上布龍克爾Brouncker勛爵早在 1656 年就已通過求積連分?jǐn)?shù)推導(dǎo)得出 [42]）。許多等價(jià)公式初看之下差異巨大，一個(gè)典型例子是歐拉的連分?jǐn)?shù)，它可提供無窮級(jí)數(shù)的等價(jià)表示 [23]。這種復(fù)雜情況凸顯了對(duì)這些關(guān)系進(jìn)行系統(tǒng)性統(tǒng)一的迫切需求。

迄今為止，人工智能在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用主要集中在自動(dòng)定理證明 [44, 56]、自動(dòng)猜想生成 [3, 24, 25, 40, 46]、回歸分析 [31, 32, 55]，以及近期興起的用于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的 LLM - 工具集成 [27, 29, 50, 59]。然而，截至目前，尚無研究致力于數(shù)學(xué)知識(shí)的符號(hào)統(tǒng)一問題。

圖 1：數(shù)個(gè)世紀(jì)以來的代表性 π 公式

公式來源包括：桑伽馬格拉馬的馬德哈瓦（Madhava of Sangamagrama，14/15 世紀(jì)，印度）、約翰?沃利斯（1656 年，英國）、卡爾?弗里德里希?高斯（1813 年，德國）、斯里尼瓦瑟?拉馬努金（1914 年，印度）、拉約尼Raayoni等人（《自然》，2021 年）

在本研究中，我們提出了一個(gè)用于大規(guī)模收集、識(shí)別和統(tǒng)一數(shù)學(xué)公式的系統(tǒng)（圖 2）。該研究利用了基于大語言模型的內(nèi)容理解最新進(jìn)展、新發(fā)現(xiàn)的守恒矩陣場(chǎng)（CMFs）概念 [21, 58]，以及一種名為 UMAPS 的新穎數(shù)學(xué)算法 —— 該算法通過符號(hào)結(jié)構(gòu)映射實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一，利用上邊緣等價(jià)性（coboundary equivalence）數(shù)學(xué)原理尋找并證明公式之間的關(guān)聯(lián)。為展示這一方法，我們選擇了 π 計(jì)算公式作為符號(hào)案例研究。我們從文獻(xiàn)中提取并驗(yàn)證了 385 個(gè)獨(dú)特的 π 公式，發(fā)現(xiàn)其中 43% 對(duì)應(yīng)于單一守恒矩陣場(chǎng)內(nèi)的不同軌跡 —— 我們推測(cè)，一個(gè)或少數(shù)幾個(gè)獨(dú)特的守恒矩陣場(chǎng)能夠統(tǒng)一所有與 π 計(jì)算相關(guān)的知識(shí)（見第 5 節(jié)）。

圖 2：數(shù)學(xué)知識(shí)統(tǒng)一的自動(dòng)化方法

收集大量數(shù)學(xué)公式語料庫，將每個(gè)公式轉(zhuǎn)換為可執(zhí)行代碼進(jìn)行驗(yàn)證；然后通過轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)公式進(jìn)行聚類，并使用新穎的符號(hào)計(jì)算算法證明它們之間的關(guān)聯(lián)，從而實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一。

據(jù)我們所知，本研究是首個(gè)將 LLM 與符號(hào)工具集成用于數(shù)論發(fā)現(xiàn)的工作，也可能是首個(gè)將 LLM 與專有研究級(jí)計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)集成的研究。該研究的成功凸顯了海量數(shù)學(xué)知識(shí)自動(dòng)化統(tǒng)一的前景。除 π 之外，我們還將算法應(yīng)用于 e、ζ(3)和卡塔蘭常數(shù)等其他數(shù)學(xué)常數(shù)，以及多種公式結(jié)構(gòu)，展示了其廣泛的應(yīng)用潛力。附錄 A 提供了全文關(guān)鍵術(shù)語表。

2 數(shù)學(xué)背景
2.1 作為數(shù)學(xué)常數(shù)公式通用表示的遞推關(guān)系

多種類型的公式（包括無窮級(jí)數(shù)、乘積和連分?jǐn)?shù)）均可轉(zhuǎn)換為遞推關(guān)系，為統(tǒng)一提供了連貫的框架。若函數(shù)u?
滿足 m 階遞推關(guān)系，則有

u?=a?,?u???+a?,?u???+?+a?,?u???

其可通過相關(guān)的友矩陣（ companion matrix，伴侶矩陣 ）表示為：

通過 n 步逐步乘以友矩陣，可得到以下矩陣：

其中p?,?, ..., p?,?是初始條件為p?,?=δ??時(shí)遞推關(guān)系的解，其他不同初始條件的解可表示為這些解的線性組合。

遞推關(guān)系可直接通過lim n→∞ u? = L（例如無窮級(jí)數(shù)）計(jì)算目標(biāo)常數(shù) L，或通過兩個(gè)遞推解的比值lim n→∞ p? / q? = L（例如連分?jǐn)?shù)）計(jì)算。在二階遞推關(guān)系的特殊情況下，u? =a? u???+b? u???，任意一對(duì)解都可表示為連分?jǐn)?shù)形式：

當(dāng)函數(shù)a?=a(n)和b?=b(n)為多項(xiàng)式時(shí)，上述公式被稱為多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)（PCF），記為 PCF(a(n), b(n))。詳見附錄 E。

2.2 描述每個(gè)公式的動(dòng)態(tài)度量

數(shù)學(xué)常數(shù) L 的公式提供了一個(gè)收斂的有理數(shù)序列p? / q? （稱為丟番圖逼近）。該公式可通過捕捉收斂速度等特性的動(dòng)態(tài)度量來表征。近期一篇論文 [52] 提出使用此類度量進(jìn)行公式發(fā)現(xiàn)和聚類。本文中，我們使用收斂速度和無理性測(cè)度這兩個(gè)度量指標(biāo)。收斂速度定義為：

在考察兩個(gè)候選公式的關(guān)聯(lián)時(shí)，它們的 r 值之比可暗示其中一個(gè)公式是否是另一個(gè)公式子序列的變換（見附錄 E.5 的示例）。p? / q?的無理性測(cè)度定義為極限δ=lim n→∞ δ?，其中：

我們發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)公式具有相同的 δ 值是它們可能存在關(guān)聯(lián)的最強(qiáng)指示 —— 因?yàn)?δ 在多種變換和子序列選擇下具有不變性。下文將介紹，一旦兩個(gè)公式具有相同的r?和 δ 值，我們將使用 UMAPS 算法推導(dǎo)并證明它們之間的關(guān)聯(lián)。

2.3 守恒矩陣場(chǎng)（CMFs）

守恒矩陣場(chǎng)（CMF）是一種推廣特定常數(shù)公式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，最初通過推廣多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)（PCFs）發(fā)現(xiàn) [21]，后來被證實(shí)具有更廣泛的適用性（附錄 G）。為便于說明這一概念，我們重點(diǎn)關(guān)注 π 的守恒矩陣場(chǎng)。該守恒矩陣場(chǎng)為 3 維，即由三個(gè)矩陣Mx、My、Mz組成，其元素為變量(x,y,z)的有理函數(shù)，滿足：

Mx(x,y,z)My(x+1,y,z)=My(x,y,z)Mx(x,y+1,z)

Mx(x,y,z)Mz(x+1,y,z)=Mz(x,y,z)Mx(x,y,z+1)

My(x,y,z)Mz(x,y+1,z)=Mz(x,y,z)My(x,y,z+1)

這一性質(zhì)描述了 3 維格點(diǎn)中兩點(diǎn)間轉(zhuǎn)移的路徑無關(guān)性（格點(diǎn)示意圖見圖 5b），類似于守恒向量場(chǎng)。守恒矩陣場(chǎng)滿足離散平坦聯(lián)絡(luò)的性質(zhì) [11]。關(guān)于公式如何作為守恒矩陣場(chǎng)內(nèi)的方向存在，詳見附錄 G.1。守恒矩陣場(chǎng)的一個(gè)顯著特征是：若兩個(gè)公式被發(fā)現(xiàn)是具有不同初始點(diǎn)的平行軌跡，則它們對(duì)應(yīng)的矩陣是上邊緣等價(jià)的。

許多已知的 π 公式都可歸入單一守恒矩陣場(chǎng)（詳見附錄 G.2）：

3 公式符號(hào)統(tǒng)一的方法
3.1 收集：從文獻(xiàn)中大規(guī)模檢索公式

首個(gè)挑戰(zhàn)在于公式的自然語言處理。我們結(jié)合正則表達(dá)式和大語言模型（LLMs）分析了 455050 篇 arXiv 論文的 LATEX 源代碼，提取所有數(shù)學(xué)表達(dá)式，得到 278242506 個(gè)字符串。篩選包含 π 符號(hào)的表達(dá)式，檢索出 121662 個(gè)與 π 相關(guān)的方程。由于 π 符號(hào)在科學(xué)文獻(xiàn)中使用廣泛，大多數(shù)出現(xiàn)場(chǎng)景與計(jì)算該常數(shù)本身無關(guān)。為解決這一問題，同時(shí)考慮到先驗(yàn)情況下關(guān)于有效公式的 LATEX 格式數(shù)據(jù)極少，我們使用 GPT-4o mini [41]（選擇其是因?yàn)樾詢r(jià)比高）將每個(gè)潛在公式分類為 “計(jì)算 π” 或 “不計(jì)算 π”，將候選公式數(shù)量減少至 3367 個(gè)。隨后，GPT-4o 將公式按類型分類：級(jí)數(shù)、連分?jǐn)?shù)或其他類型，最終得到 1656 個(gè)公式候選。

收集流程

示例

arXiv 預(yù)印本

吉列拉?赫蘇斯 Guillera, Jesús ：《與拉馬努金型級(jí)數(shù)相關(guān)的雙邊級(jí)數(shù)》 Bilateral sums related to Ramanujan-like series. ，arXiv:1610.04839（2016）

455050 篇論文

(a) 爬取

278242506 個(gè)方程

(b) 檢索

\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \frac{(\frac12)_n (\frac14)_n (\frac34)_n}{(1)_n^3} \frac{21460n + 1123}{882^{2n}} = \frac{3528}{\pi}

121662 個(gè)方程

(c) 是否計(jì)算 π？

(c) 是級(jí)數(shù)還是連分?jǐn)?shù)？（分類）

級(jí)數(shù)

1656 個(gè)方程

(d) 提取

項(xiàng)：

(?1)? ? n ? RisingFactorial(1/2,n)? RisingFactorial(1/4,n)? RisingFactorial(3/4,n)/(RisingFactorial(1,n)? ? 3)? (21460? n+ 1123)/882? ? ( 2 ? n )

起始值：0

變量：n

660 個(gè)公式

(e) 通過 PSLQ 驗(yàn)證

1122.99727845641348 == 3528 / π

385 個(gè)公式

(f) 轉(zhuǎn)換為遞推關(guān)系

(-14681/1695923712 - (1946417*n)/89035994880 - (1366829*n^2)/66776996160 - (46871*n^3)/5564749680 - n^4/777924)*f[n] + (-71386776899/8479618560 - (1836628904911*n)/89035994880 - (1222951171699*n^2)/66776996160 - (39244403773*n^3)/5564749680 - (777923*n^4)/777924)*f[1 + n] + (45166/5365 + (110669*n)/5365 + (196509*n^2)/10730 + (151343*n^3)/21460 + n^4)*f[2 + n] = 0

385 個(gè)公式

圖3：公式收集流程及示例

(a) 從 arXiv 平臺(tái)的論文中提取方程。

(b) 對(duì)LATEX字符串運(yùn)用正則表達(dá)式，檢索出僅含 π 作為唯一無理數(shù)的級(jí)數(shù)和連分?jǐn)?shù)模式（詳見附錄 I.3）。

(c) 采用 OpenAI 的 GPT-4o mini 模型進(jìn)行零樣本分類，識(shí)別出計(jì)算常數(shù) π 的公式；隨后，利用 OpenAI 的 GPT-4o 模型判定公式類型（級(jí)數(shù)、連分?jǐn)?shù)或兩者皆非）。

(d) 借助 GPT-4o 模型提取級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，或連分?jǐn)?shù)的部分分子與部分分母；再將公式轉(zhuǎn)化為代碼。

(e) 運(yùn)用整數(shù)關(guān)系查找算法 PSLQ 對(duì)公式進(jìn)行計(jì)算與驗(yàn)證。

(f) 利用RISC的遞推擬合工具 [33]，將公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)遞推式。

3.2 收集：提取與驗(yàn)證

提取和驗(yàn)證階段依賴于一個(gè) LLM - 代碼反饋循環(huán)，該循環(huán)為 PSLQ 算法提供輸入。每個(gè)表示為 LATEX 字符串的方程都必須解析為計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)（CAS）（本文使用 SymPy [38]）以進(jìn)行進(jìn)一步處理。由于 LATEX 格式多樣，難以通過預(yù)定義邏輯系統(tǒng)地轉(zhuǎn)換為可執(zhí)行代碼，因此從 LATEX 字符串中自動(dòng)提取代數(shù)形式尤為復(fù)雜 [14, 47]。大語言模型（LLMs）通過上下文處理文本并關(guān)注相關(guān)部分，幫助我們克服了這些障礙，解決了可能需要復(fù)雜規(guī)則才能完成的自然語言處理任務(wù)。具體而言，我們使用 OpenAI 的 GPT-4o 將相關(guān) LATEX 轉(zhuǎn)換為可執(zhí)行的數(shù)學(xué)代碼 [22, 43, 61]（詳見附錄 I 中的具體提示詞）。為修正 LLM 生成公式代碼中（常見的）錯(cuò)誤，我們應(yīng)用 LLM - 代碼反饋循環(huán)進(jìn)行代碼驗(yàn)證：將錯(cuò)誤與有問題的代碼一起反饋給 LLM 以進(jìn)行修正，最多可修正三次（詳見附錄 I.6.3）。

我們通過運(yùn)行公式代碼獲取數(shù)值近似值，然后應(yīng)用整數(shù)關(guān)系算法 PSLQ [26]，驗(yàn)證每個(gè)提取的公式是否計(jì)算常數(shù) π。由于我們發(fā)現(xiàn) GPT-4o 在某些情況下會(huì)錯(cuò)誤提取極限值（見表 14），因此不會(huì)直接從 LATEX 字符串中提取極限值進(jìn)行驗(yàn)證。相反，PSLQ 方法能夠修正這些關(guān)鍵的 GPT 錯(cuò)誤，并重現(xiàn)預(yù)期的公式。在 660 個(gè)候選公式中，385 個(gè)被驗(yàn)證為 π 公式，并進(jìn)入標(biāo)準(zhǔn)化階段（詳見附錄 I.5）。

3.3 聚類：使用標(biāo)準(zhǔn)形式

統(tǒng)一的第一步是將每個(gè)公式轉(zhuǎn)換為其標(biāo)準(zhǔn)形式：最簡(jiǎn)單的帶多項(xiàng)式系數(shù)的線性遞推關(guān)系（附錄 E.4.1）。自動(dòng)化代數(shù)工具在解決此類任務(wù)時(shí)的表現(xiàn)具有不確定性。因此，我們采用一種計(jì)算方法將公式轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式遞推關(guān)系：使用 RISC 的 Mathematica 包 [33]，為每個(gè)有理數(shù)序列擬合帶多項(xiàng)式系數(shù)的線性遞推關(guān)系。生成的遞推關(guān)系經(jīng)過數(shù)值驗(yàn)證后，再傳入 Maple 包以確保階數(shù)最小化 [57, 60]，從而找到可證明的最小多項(xiàng)式遞推關(guān)系。在 385 個(gè)驗(yàn)證后的公式（第 3.1 節(jié)）中，380 個(gè)可表示為二階遞推關(guān)系，5 個(gè)為三階遞推關(guān)系（附錄 B.6 和附錄 C.3 將展示如何處理三階遞推關(guān)系）。

相同的標(biāo)準(zhǔn)形式可涵蓋多種類型的公式，包括連分?jǐn)?shù)和無窮級(jí)數(shù)。因此，轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式可自動(dòng)實(shí)現(xiàn)不同公式的統(tǒng)一：從 385 個(gè)公式中得到 149 個(gè)不同的二階標(biāo)準(zhǔn)形式和 4 個(gè)三階標(biāo)準(zhǔn)形式，共 153 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式（部分示例見表 1）。

表 1：標(biāo)準(zhǔn)形式表示

將公式轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式可揭示不同形式表達(dá)式的等價(jià)性（例如 1、2），而更復(fù)雜的關(guān)聯(lián)則留待算法后續(xù)步驟解決。詳見附錄 C.4。

3.4 聚類：使用動(dòng)態(tài)度量

聚類階段是一種啟發(fā)式方法，用于指導(dǎo)應(yīng)嘗試通過 UMAPS 證明哪些公式等價(jià)。具有相同度量的公式可能與同一常數(shù)相關(guān) [52]。這些度量還能指示更復(fù)雜的關(guān)聯(lián)，使公式能夠以系統(tǒng)的方式統(tǒng)一，證明它們之間的解析變換關(guān)系。首先，通過無理性測(cè)度 δ（圖 4a）比較標(biāo)準(zhǔn)形式公式 ——δ 是潛在等價(jià)性的最可靠指標(biāo)。每個(gè)新公式首先與守恒矩陣場(chǎng)中具有相同 δ 的遞推關(guān)系對(duì)應(yīng)的方向進(jìn)行比對(duì)。由于 δ 具有連續(xù)性 [21]，可通過對(duì)方向參數(shù)進(jìn)行梯度下降來優(yōu)化搜索。

我們發(fā)現(xiàn)僅靠 δ 不足以暗示等價(jià)性，因此補(bǔ)充使用收斂速度比r?:r?。將標(biāo)準(zhǔn)形式 A 按r?折疊（附錄 E.5），標(biāo)準(zhǔn)形式 B 按r?折疊（圖 4b），使它們以相同的速度收斂。下一步通過 UMAPS 找到它們之間精確的代數(shù)關(guān)聯(lián)。

3.5 統(tǒng)一：使用 UMAPS 算法實(shí)現(xiàn)上邊緣等價(jià)

圖 4：匹配算法：連接多項(xiàng)式線性遞推關(guān)系

該算法以多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)（PCFs）為例進(jìn)行演示，但可推廣至任何線性多項(xiàng)式遞推關(guān)系。

（a）計(jì)算兩個(gè) PCF 的動(dòng)態(tài)度量 [52]（無理性測(cè)度δ?、δ?和收斂速度比r?/r?）。δ 度量用于識(shí)別潛在關(guān)聯(lián) —— 僅當(dāng)δ?=δ?（實(shí)際應(yīng)用中，我們測(cè)試兩者差值是否在 0.06 以內(nèi)）時(shí)，PCF 才可通過上邊緣關(guān)聯(lián)。

（b）將PCF?按r?折疊，PCF?按r?折疊（附錄 E.5）。

UMAPS 流程（c）-（e）：

（c）求解一般莫比烏斯變換（2×2 矩陣U(1)），將其應(yīng)用于PCF?的極限可使其與PCF?的極限相等。

（d）將 PCF 表示為矩陣形式A(n)和B(n)，通過關(guān)系U(n+1)=A(n)?1?U(n)?B(n)傳播上邊緣矩陣至U(N)（本研究中 N=40 已足夠，詳見附錄 D）。

（e）假設(shè)U(n)的一般形式為有理函數(shù)，其分子分母多項(xiàng)式次數(shù)不超過?(N?1)/2?，并使用標(biāo)準(zhǔn)化的U(1,...,N)求解其系數(shù)。若找到并驗(yàn)證此類解，則 PCF 是上邊緣相關(guān)的。詳見附錄 C。

我們提出的通過符號(hào)結(jié)構(gòu)映射實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一的算法（UMAPS）基于已確立的上邊緣等價(jià)概念（附錄 E.4），但在本研究之前尚無專門的上邊緣求解器。若存在矩陣U(n)，使得

A(n)?U(n+1)=U(n)?B(n)（7）

則A(n)、B(n)∈PGL?(?(n)) 是上邊緣等價(jià)的。

當(dāng)遞推關(guān)系的友矩陣——式（1）是上邊緣等價(jià)時(shí)，這一定義可推廣至遞推關(guān)系（圖 5a、d），此時(shí)有

由于任何帶有理函數(shù)系數(shù)的矩陣都可縮放為帶多項(xiàng)式系數(shù)的矩陣，因此可定義：若存在矩陣U(n)∈GL?(?[n])和多項(xiàng)式p?(n)、p?(n)∈?[n]，使得

p?(n)?A(n)?U(n+1)=p?(n)?U(n)?B(n)（8）

則A(n)、B(n)∈GL?(?[n])是上邊緣等價(jià)的。

由于未知多項(xiàng)式p?、p?與未知上邊緣矩陣 U 的乘積，尋找兩個(gè)多項(xiàng)式矩陣之間的上邊緣等價(jià)本質(zhì)上是一個(gè)非線性問題，且每個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)未知。盡管存在非線性，我們?nèi)蕴岢隽艘环N適用于一般 m 階的上邊緣求解器算法（附錄 C.3）。

UMAPS 無需求解非線性方程即可找到解，而是利用遞推極限計(jì)算經(jīng)驗(yàn)上邊緣矩陣序列，其元素?cái)M合為有理函數(shù) [53]。該算法基于以下引理：

引理 1（上邊緣等價(jià)矩陣的必要條件）：設(shè)L?=lim n→∞ PCF(a(n),b(n))和L?=lim n→∞ PCF(c(n),d(n))是收斂的 PCF，其相關(guān)友矩陣為A(n)、B(n)∈PGL?(?(n))。若A(n)與B(n)是上邊緣等價(jià)的，則L?和L?通過有理莫比烏斯變換相關(guān)聯(lián)；此外，若 U(n) 是上邊緣矩陣，則L?=U(1)(L?)（U(1) 作為莫比烏斯變換應(yīng)用于L?）。

高階遞推關(guān)系的推廣證明（引理 4）以及上邊緣矩陣的唯一性證明（引理 5）詳見附錄 F。這些證明共同表明，如推論 1 所述（證明見附錄 C.3），UMAPS 足以求解上邊緣矩陣。

推論 1（UMAPS 的充分性）：若兩個(gè)矩陣存在上邊緣矩陣，且上邊緣矩陣的每個(gè)有理函數(shù)元素的多項(xiàng)式次數(shù)不超過 d，則運(yùn)行 N≥2d+1 的 UMAPS 足以恢復(fù)該上邊緣矩陣。

圖 4 總結(jié)了兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式公式的匹配流程。使用該方法，我們發(fā)現(xiàn)表 1 中的公式 1、2、5 是等價(jià)的，公式 3、4 也是等價(jià)的。附錄 B.1 描述了該算法在這些公式上的應(yīng)用，附錄 C 列出了相關(guān)算法。附錄 D 提供了算法對(duì)超參數(shù)的敏感性研究。該流程適用于每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式公式：計(jì)算其 δ 值，利用 δ 作為守恒矩陣場(chǎng)中方向的連續(xù)函數(shù)這一特性，定位可能產(chǎn)生公式對(duì)的上邊緣算法的有效方向。然后，在公式與守恒矩陣場(chǎng)的代表性遞推關(guān)系之間應(yīng)用匹配算法。若公式與守恒矩陣場(chǎng)的代表性遞推關(guān)系匹配，則證明該公式由該守恒矩陣場(chǎng)生成。完整結(jié)果列表見附錄 J，π 的部分結(jié)果詳見第 5 節(jié)。

圖 5：上邊緣等價(jià)：公式轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式后連接不同公式的數(shù)學(xué)框架。

（a）上邊緣條件A(n)?U(n+1)=U(n)?B(n)將公式重塑為守恒矩陣場(chǎng)中的平行軌跡（b、c）。

（d）兩個(gè)上邊緣等價(jià)的著名公式示例，展示了它們的上邊緣矩陣和極限，構(gòu)成了新等價(jià)性的證明。

4 基準(zhǔn)測(cè)試
4.1 與其他符號(hào)統(tǒng)一方法的比較

本研究首次大規(guī)模解決符號(hào)統(tǒng)一問題，因此尚無標(biāo)準(zhǔn)基準(zhǔn)用于性能比較。主流大語言模型（LLMs）通常無法應(yīng)對(duì)這一完整挑戰(zhàn)。例如，我們將算法的等價(jià)性檢測(cè)和證明能力與 LLMs 進(jìn)行了比較：我們讓兩個(gè)領(lǐng)先的 LLMs（GPT-4o 和 Gemini 2.5 Pro Preview）識(shí)別并證明 10 對(duì)由我們的算法證明等價(jià)的公式（表 2）。所選公式對(duì)在折疊后具有相同的動(dòng)態(tài)度量（r, δ)—— 這是守恒矩陣場(chǎng)中平行軌跡的較簡(jiǎn)單證明場(chǎng)景。即使對(duì)于這些較簡(jiǎn)單的任務(wù)，LLMs 的表現(xiàn)也僅有限成功。我們未發(fā)現(xiàn)任何 LLM 能在沒有相同動(dòng)態(tài)度量的公式對(duì)之間找到關(guān)聯(lián)。

4.2 LLM 模型性能比較

我們以兩種不同方式利用 LLMs 進(jìn)行分類和提取。表 3 比較了三種提取器 LLM 的性能 —— 我們發(fā)現(xiàn)提取器 LLM 的選擇更為關(guān)鍵，因?yàn)樗糜诟呒?jí)的 LLM - 代碼反饋循環(huán)。通過合并三個(gè)對(duì)比 LLMs 發(fā)現(xiàn)的驗(yàn)證公式（第 3.2 節(jié)）建立基準(zhǔn)真值。

LLM

成功檢測(cè)數(shù)

正確證明數(shù)

GPT-4o

1/10

2/10

Gemini 2.5 Pro Preview

8/10

5/10

表 2：LLM 在 10 對(duì)隨機(jī)選擇的具有相同動(dòng)態(tài)參數(shù)的公式對(duì)中檢測(cè)和證明等價(jià)性的性能（附錄 H）。所有 LLM 證明均經(jīng)過人工驗(yàn)證。

LLM 分類器

LLM 提取器

成功提取數(shù)

代碼錯(cuò)誤數(shù)

符號(hào)錯(cuò)誤數(shù)

GPT-4o mini

GPT-4o

289（97.6%）

2（0.7%）

5（1.7%）

GPT-4o mini

Claude 3.7 Sonnet

266（89.9%）

21（7.1%）

9（3.0%）

GPT-4o mini

GPT-4o mini

206（69.6%）

70（23.6%）

20（6.8%）

表 3：不同提取器 LLM 在成功收集公式方面的性能。LLM 錯(cuò)誤分為 “代碼錯(cuò)誤”（無法運(yùn)行的代碼）和 “符號(hào)錯(cuò)誤”（錯(cuò)誤識(shí)別公式成分，如連分?jǐn)?shù)多項(xiàng)式）。加粗行標(biāo)記為本研究其余結(jié)果所使用的 LLM 選擇。

5 結(jié)果
5.1 著名公式之間的等價(jià)性示例

我們的自動(dòng)化系統(tǒng)證明了公式之間此前未知的等價(jià)性。其中包括著名的例子，如拉馬努金 1914 年提出的一個(gè)公式，以及 17、18、19 世紀(jì)布龍克爾勛爵、歐拉和高斯的多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù)（PCFs）[23, 28, 42]。例如，拉馬努金 1914 年發(fā)現(xiàn)的以下級(jí)數(shù) [48]：

被證明與 2020 年發(fā)表的一篇論文 [54] 中的新級(jí)數(shù)等價(jià)（附錄 B.4）：

這一等價(jià)性表明，兩個(gè)相隔一個(gè)多世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的、看似截然不同的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如今通過自動(dòng)化過程被證明是等價(jià)的。

圖 5d 證明了另一對(duì)著名公式的等價(jià)性：（1）PCF (2n+3, n (n+2))——2021 年首個(gè)由計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)的 π 公式 [46]；（2）PCF (2n+1, n2)—— 高斯 1813 年發(fā)表 [28]，當(dāng)時(shí)是計(jì)算 π 數(shù)位的高效方法。

5.2 由守恒矩陣場(chǎng)（CMF）統(tǒng)一的公式

π 的守恒矩陣場(chǎng)（式（6））涵蓋了大部分收集到的公式（表 4），部分示例及其對(duì)應(yīng)的軌跡如圖 6 所示。

發(fā)現(xiàn)的關(guān)聯(lián)

同一 守恒 矩陣場(chǎng)

發(fā)現(xiàn)的關(guān)聯(lián)（標(biāo)準(zhǔn)形式）

同一 守恒 矩陣場(chǎng)（標(biāo)準(zhǔn)形式）

360/385（94%）

166/385（43%）

136/153（89%）

81/153（53%）

表 4：統(tǒng)一結(jié)果摘要。左列針對(duì)所有驗(yàn)證公式，右列針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式。公式來自 140 篇 arXiv 論文（表 15），其中 137/140（98%）的論文至少有一個(gè)公式通過標(biāo)準(zhǔn)化和 UMAPS 被證明存在關(guān)聯(lián)（金色或青色），70/140（50%）的論文有一個(gè)公式被守恒矩陣場(chǎng)統(tǒng)一（青色）。

守恒矩陣場(chǎng)涵蓋的完整標(biāo)準(zhǔn)形式列表見表 16。UMAPS 的改進(jìn)可能會(huì)將更多公式（表 17）納入同一守恒矩陣場(chǎng)。

5.3 超越 π 的公式統(tǒng)一

除 π 之外，我們自動(dòng)識(shí)別了 e、ζ(3) 和卡塔蘭常數(shù)的等價(jià)公式 —— 這展示了該方法的通用性。以阿佩里Apéry常數(shù)（黎曼 ζ 函數(shù)值 ζ(3)）的兩個(gè)公式為例：

第二個(gè)公式 [36] 的收斂速度比 ζ(3) 的經(jīng)典定義更快，盡管兩者均為多項(xiàng)式收斂。我們的自動(dòng)化流程通過上邊緣變換證明了它們的等價(jià)性，并將其統(tǒng)一在 ζ(3) 的守恒矩陣場(chǎng)中（詳見附錄 B.2）。

另一個(gè)例子是卡塔蘭常數(shù)的兩個(gè)多項(xiàng)式連分?jǐn)?shù) [13]，也通過 UMAPS 被證明等價(jià)（附錄 B.5）：

自然的下一步是對(duì)其他知名常數(shù)以及物理和計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域的基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面搜索。e 的示例見附錄 B.3。

5.4 由守恒矩陣場(chǎng)（CMF）生成的公式

我們從 π 的守恒矩陣場(chǎng)中生成了 1693 個(gè)獨(dú)特的 π 公式樣本（見附錄 C.5）。守恒矩陣場(chǎng)提供了一種新的公式比較方法 —— 使用標(biāo)準(zhǔn)化收斂速度，定義為r/?1(t)，其中 r 是式（4）中的收斂速度，t 是軌跡，?1是?1范數(shù)。在我們生成的公式中，57 個(gè)具有最佳標(biāo)準(zhǔn)化r值 1.76，例如軌跡 (-1, -1, 0) 對(duì)應(yīng)的公式：

相比之下，我們的守恒矩陣場(chǎng)統(tǒng)一的現(xiàn)有最佳公式的標(biāo)準(zhǔn)化收斂速度為 0.88（方向 (1, 1, 2)，見表 16）。詳見附錄 G.6。

圖 6：通過守恒矩陣場(chǎng)（CMF）實(shí)現(xiàn)的公式統(tǒng)一。從文獻(xiàn)中收集的眾多 π 公式被自動(dòng)排列為三維守恒矩陣場(chǎng)中的軌跡，包括高斯、歐拉和布龍克爾勛爵的著名公式。統(tǒng)一公式及其標(biāo)準(zhǔn)形式的完整列表見表 16。每個(gè)聚類（大虛線圓圈）表示通過上邊緣關(guān)聯(lián)的公式，代表平行軌跡或重疊軌跡。每個(gè)聚類中心的數(shù)字是該聚類中所有公式的 δ 值。箭頭表示軌跡方向。注意，多個(gè)公式聚類可能具有相同的 δ 值但并非上邊緣相關(guān)，這表明 δ 相同是公式上邊緣相關(guān)的必要條件而非充分條件。

6 討論
6.1 局限性

目前，收集階段依賴于 LLM 解釋和上下文理解數(shù)學(xué) LATEX 字符串的能力，這一階段可能導(dǎo)致公式分類中的數(shù)據(jù)丟失和假陰性。提示詞工程和驗(yàn)證技術(shù)的改進(jìn)將增強(qiáng) LLM 應(yīng)用的穩(wěn)健性。隨著更先進(jìn) LLM 的出現(xiàn)，這一階段將變得更加可靠。

公式中通常包含求和指標(biāo)以外的其他符號(hào)，例如公式周圍文本中定義的變量，這些變量應(yīng)被提取并代入公式求值。我們手動(dòng)進(jìn)行了若干此類替換，以測(cè)試這些特殊情況下流程的其余部分。未來統(tǒng)一流程的改進(jìn)可通過更先進(jìn)的 LLM 應(yīng)用和自動(dòng)化驗(yàn)證來解決這一局限性。

本研究分析的大多數(shù)公式是級(jí)數(shù)或連分?jǐn)?shù)。然而，UMAPS 以及收集和聚類過程中的所有其他步驟具有更廣泛的適用性（適用于為給定常數(shù)生成有理逼近序列的任何公式，例如更高階遞推關(guān)系）。擴(kuò)展系統(tǒng)以適應(yīng)更多情況是未來工作的一個(gè)有前景的方向。

本文展示的統(tǒng)一流程可通過找到相應(yīng)的守恒矩陣場(chǎng) [58]，應(yīng)用于源自 D - 有限函數(shù)的大量常數(shù)。

6.2 展望

增加 π 的守恒矩陣場(chǎng)的維度和秩，以及進(jìn)一步改進(jìn) UMAPS [2]，有望在不久的將來提高公式的統(tǒng)一比例。計(jì)劃中的未來研究將利用守恒矩陣場(chǎng)系統(tǒng)搜索快速收斂和無理性證明公式。

展望未來，這種收集、分析和組織數(shù)學(xué)知識(shí)的方法有助于建立數(shù)學(xué)不同分支之間的嚴(yán)格關(guān)聯(lián)。本文提出的方法有助于開發(fā)更通用的框架，通過數(shù)學(xué)表示識(shí)別不同科學(xué)理論之間的關(guān)聯(lián)。隨著信息體量的加速增長，找到自動(dòng)化的知識(shí)統(tǒng)一方法將變得越來越重要，尤其是在為復(fù)雜概念提供更直觀理解的目標(biāo)下。

將 LLMs 與現(xiàn)有的和新穎的符號(hào)及數(shù)值數(shù)學(xué)工具相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了本文中的自動(dòng)化發(fā)現(xiàn)。我們相信，這種 LLM - 工具集成方案將在未來幾年推動(dòng)人工智能在數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。

致謝

本研究得到施密特科學(xué)有限責(zé)任公司的支持。

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參考資料

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https://neurips.cc/virtual/2025/loc/san-diego/poster/117099

https://github.com/RamanujanMachine/euler2ai

https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-find-one-pi-formula-to-rule-them-all/

https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2321440121

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