17種平面對稱群的拼花游戲

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

瓷磚地板，馬賽克墻壁，鑲嵌的邊界，連鎖的拼布設計一直吸引著我。從古代開始，鑲嵌圖案就被用來創造幾何表面設計。雖然埃舍爾的具象圖像令我驚訝，但更傳統的聯鎖幾何設計最吸引我。我一直渴望創造這些類型的圖案，這激發了我對鑲嵌的興趣。實驗，從最簡單的形狀開始，導致了許多發現，我將在本章分享。我們不僅將探索如何通過將對稱性應用于各種形狀來制作鑲嵌，還將探索如何增加價值和對比度來為幾何圖案添加全新的維度。

圖9.1 古埃及鑲嵌式建筑裝飾

適用于所有表面設計者的鑲嵌

由于我的大部分設計工作都與拼布和絎縫有關，我第一次通過絎縫者的眼睛來看鑲嵌圖案。我很快發現，我發現的技術對我來說是印花面料設計的寶貴一課。事實上，控制鑲嵌創建的原則適用于曲面設計的所有領域。從令M. C .埃舍爾著迷的西班牙阿爾罕布拉復雜的馬賽克瓷磚設計，到玻璃、紡織品和平面設計的當代藝術，馬賽克無處不在。

這里將討論創建傳統幾何鑲嵌的兩種方法。第一種方法是從單個形狀開發設計，第二種是從現有的傳統圖案開發鑲嵌圖案。

從簡單形狀創建幾何鑲嵌

要創建完全正方形的幾何鑲嵌，必須從正方形、矩形或直角(半正方形)三角形開始。訣竅是保持兩邊不變，這樣當你制作的多個單元聚集在一起時，它們總是形成一個完美的正方形。只能對單側或相鄰的兩側進行更改。這些改變，就像它們被做成的形狀一樣，必須是有角度的和幾何的。從正方形中取出一條曲線段不會產生我們在本章中討論的幾何設計類型。

使用任何底層網格都會使角度和線條變得更加均勻，并幫助您根據形狀進行相應的修改。網格還將提供一個指南，以更大的尺寸重新創建設計。

使用正方形

只有兩種操作可以在正方形上執行，這兩種操作將得到也是正方形的瓷磚。第一個是圍繞其中一個角的旋轉，第二個是在其中一個邊上的中點旋轉。

繞角旋轉

首先，從正方形的一邊切下一塊，然后繞著其中一個角旋轉。然后圍繞同一個角旋轉四個最終圖案，形成一個更大的正方形。在這一點上，瓷磚可以作為一個線條畫或交替單元可以著色深和淺。嘗試這兩種方法，看看不同的效果。

接下來，可以將該瓷磚視為基本單元，并且可以應用所有不同的對稱性來產生幾個附加的鑲嵌設計。由于瓷磚是由四個具有旋轉對稱性的單元組成的，如果沒有重復的部分，就沒有那么多的圖案可能性。許多對稱會給出相同的結果。圖9.3顯示了幾種可能的模式。平移(p1)、中點旋轉(p2)和風車旋轉(p4)都會產生相同的圖案(1)。鏡面(pm)、滑動(pg)和滑動交錯鏡面(pmg)都創建了第二個圖案(2)。同樣，雙鏡面(pmm)、雙滑動(pgg)、鏡面風車(p4g)和交錯鏡面(cm)都會產生第三種圖案(3)。

前三種圖案都產生單一的鑲嵌圖案，但接下來的三種圖案特別有趣，因為它們產生了兩個或更多完美互鎖的圖案。交錯的雙鏡像對稱(cmm)產生了第四個圖案，它結合了圖案(2)和(3)中的兩個圖案。第五個圖案也包含兩個不同的主題，一個出現在(2)中，另一個出現在(1)中。為了達到這個設計，四個旋轉的正方形被鏡像。第六個圖案包含三個鑲嵌圖案，第一個來自圖案(1)，第二個來自圖案(2)，第三個來自圖案(3)。

圖9.2 圍繞一個角旋轉以創建方形瓷磚。

圖9.3 來自同一個旋轉單元的六個圖案。

正如你所看到的，當你對一個正方形做一個簡單的改變時，就會出現各種各樣的圖案。

一側中點旋轉

中點旋轉是第二個操作，它將產生一個正方形的鑲嵌瓷磚。首先，一個簡單的中點旋轉到正方形的一邊將產生一個矩形圖案。要回到正方形，該形狀必須被鏡像或平移(插圖9.4)。然后可以將各種對稱應用于該圖塊。我發現用這種方法，最有趣的鑲嵌是通過將風車(p4)對稱應用于任一瓷磚而實現的(圖9.5)。

圖9.4 .通過中點旋轉重新制作方形單幅圖塊。

圖9.5。風車(P4)對稱應用于正方形瓷磚。

使用矩形

可以對矩形進行的唯一操作是在其中一條長邊上進行中點旋轉，以生成方形圖塊。這個長方形的長度必須是寬度的兩倍。一旦完成，這兩個部分被著色為淺色和深色，11種對稱中的9種可以應用于總共5種不同的一個主題圖案。因為正方形內具有對稱性，所以一些對稱運算會產生相同的圖案。有些圖案比其他圖案更傳統。圖9.6和圖9.7中顯示了五個一個主題的圖案，以及幾個用不同顏色值著色的圖案，首先是線條畫，然后是單元著色。值得注意的是，交錯的雙面鏡(cmm)和鏡面紙風車(p4g)創造了具有一個以上鑲嵌圖案的設計。

圖9.6 通過將對稱性應用于由矩形的中點旋轉形成的正方形來創建五個圖案。

圖9.7 通過以不同的方式給圖案加陰影，可以產生各種不同的鑲嵌圖案。

使用直角三角形

直角三角形(或半直角三角形)也可用于創建形成正方形瓷磚的幾何鑲嵌圖案。可以用兩種不同的方式改變三角形:第一，沿長邊中點旋轉，第二，用c4旋轉90度角。

中點旋轉

插圖9.8和9.9展示了長邊中點旋轉的直角三角形如何產生傳統風格的幾何鑲嵌圖案。

圖9.8 通過將對稱性應用于由直角(半直角)三角形構成的正方形而產生的五種圖案。

圖9.9 通過以不同的方式給圖案加陰影，可以產生各種不同的鑲嵌圖案。

從三角形的長邊切下一塊，中點旋轉到另一邊。兩個最終的圖案連接在一起形成一個正方形。接下來，可以應用于正方形的所有11種對稱可以應用于該瓷磚，以創建幾個設計(圖9.6和9.7)。

五種模式可以用11種對稱中的9種來創建，這11種對稱適用于從直角三角形創建的正方形。這些都將產生單一的鑲嵌圖案。另外兩種對稱，鏡像風車(p4g)和交錯鏡像(cmm)產生具有不止一個鑲嵌形狀的圖案。

繞90°角旋轉

從直角三角形創建幾何鑲嵌圖案的第二種方法是繞90°角旋轉。僅僅從線條畫的角度來看，九種對稱產生了四種不同的圖案。然而，當瓷磚以兩種不同的方式著色，并再次應用對稱時，您可以看到圖案看起來有多么不同。插圖9.10和9.11中各線條畫的三個彩色示例具有相同的基礎設計。增加色彩價值只是改變了它們的外觀。

圖9.10 將不同的操作應用到著色的瓷磚上會產生各種各樣的設計。

圖9.11 通過將不同的對稱操作應用于從直角三角形創建的陰影瓷磚來創建更多的設計。

價值和對比的神奇效果

從我第一次開始絎縫，傳統的聯鎖設計，如銀河和弗吉尼亞卷軸引起了我的興趣。我想不出看似復雜的形狀是如何如此完美地連在一起的。我想知道如何才能創造出類似的設計。當我開始研究鑲嵌時，我意識到這個概念非常簡單，可以分為兩步:用明暗對比給圖案著色，然后應用對稱性。正如我們將看到的，價值增加了一個全新的維度，允許鑲嵌從以前似乎不存在的模式中出現，就像變魔術一樣。

從傳統被子圖案中創造鑲嵌圖案

當看到弗吉尼亞卷軸積木的單個單元的線條畫時，很難看出這種看似復雜的設計是如何從如此簡單的圖案中產生的。大多數人傾向于用一種非常傳統的方式給線條畫上色，創造出如圖9.12所示的設計。然而，為了創造互鎖的弗吉尼亞卷軸圖案，積木被涂上了完全不同的顏色。

圖9.12 弗吉尼亞卷軸圖案的線描設計和傳統的明暗處理設計。

明暗陰影四分之一部分

兩個完全相同且相對的四分之一截面為深色，其余兩個四分之一截面為淺色。設計現在互鎖，因為那些四分之一部分現在混合在一起，以超出每個區塊中嚴格的四分之一正方形。當四個方塊圍繞其中一個角旋轉時，弗吉尼亞卷軸的圖案就完成了，這樣就產生了重復的方塊，如圖9.13所示。一旦我發現了遮蔽弗吉尼亞卷軸的秘密，我意識到同樣的技術可以應用于任何傳統的被子設計。一個全新的鑲嵌圖案世界出現了。

圖9.13 這里的設計被明暗相對的四分之一部分所遮蔽。然后旋轉其中的四個方塊以產生重復的方塊。

圖9.14 弗吉尼亞卷軸上的一、二、三主題圖案。

此外，這種給一個區塊的兩個相對的四分之一區域加上黑色和另外兩個顏色的技術令人興奮的部分是，你不必僅僅停留在一個設計上。理解了方塊的對稱排列，就很容易做進一步的實驗。通過將其他對稱應用到同一塊積木上，更多的鑲嵌圖案出現了。因為單元本身在單元內具有對稱性，所以可以應用于正方形的11個對稱性中的幾個將產生相同的結果。但仍然有幾種不同的模式的可能性，可以創造，一些形成一個主題鑲嵌模式和其他明多主題模式。插圖9.14顯示了一個、兩個和三個主題的圖案，這些圖案可以由與弗吉尼亞卷紙設計中所用的相同顏色的布料制成。

明暗陰影半剖面

圖9.14中的例子都是基于將傳統風格的區塊分成四個相等的部分，然后對交替的部分進行明暗著色。對于更多的設計可能性，可以應用相同的原理，但不是將塊分成四個部分，而是可以分成兩個部分，然后將它們著色為亮和暗。插圖9.15用同樣的弗吉尼亞卷紙圖展示了這種技術的幾種可能性。有趣的是，同樣的積木設計可以產生如此多的連鎖圖案。

圖9.15 不要把相對的四分之一部分涂成同樣的顏色，試著把相對的一半涂成淺色和深色。

選擇要轉換的圖案

任何基于正方形的對稱設計都可以用這種方式重新著色，以產生鑲嵌圖案。主要考慮的是設計必須能夠被分成四分之一或一半。例如，下一頁的圖案實際上是從傳統的絎縫塊攪動虛線衍生而來的。然而，為了創建四個精確的四分之一截面，中心正方形被分成四個較小的正方形(圖9.16)。兩個相對的四分之一部分是淺色的，另外兩個是深色的；該單元旋轉四次以獲得重復的圖塊。再一次，額外的對稱性可以應用于塊以實現其他模式。

圖9.16 Churn Dash的各種顏色。

在試驗這些類型的鑲嵌時，有幾個額外的因素要記住。首先，在每一個彩色部分，確保有一個黑暗或明亮的部分之間的整體連續性。換句話說，設計的黑暗部分必須總是與另一個黑暗部分重疊。如果你只有角的形狀滿足，設計就變得太忙了。第二，使用相當簡單的設計；它們比復雜的更有效。

圖9.17顯示了使用傳統的Churn Dash的一些可能性。關鍵是要實驗。你會發現，一旦你開始給非常傳統的圖案上色，你就能獲得一些奇妙的效果。

轉化晚星

在這里，一個傳統的被子塊，晚星，已經如文本中所描述的那樣被遮蔽，相對的四分之一部分明暗交替。這種設計的傳統版本與使用這種技術可以創建的許多可能的互鎖模式中的三種一起顯示。在嘗試其他被子模塊之前，研究這些設計和上一頁的設計。用不同的方法為每一個畫出不同的效果。

確保在每個彩色部分中，設計的深色或淺色部分之間有連續性。換句話說，一個黑暗部分必須總是與另一個黑暗部分重疊。如果只有角相交，設計就變得過于繁復。當你試驗時，選擇簡單的設計，因為它們比更復雜的模塊能給出更有效的結果。

青山不改，綠水長流，在下告退。

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