天才數學家的煩惱

1970年代末，天才數學家威廉·瑟斯頓提出“幾何化猜想”，極大推進了三維流形的拓撲與幾何研究，并因此獲得1982年菲爾茲獎。但他并沒有選擇繼續攻克這個偉大的猜想，轉而廣泛探索新領域。為什么？

撰文 | 春日真人

翻譯 | 武曉宇

在1983年的菲爾茲獎頒獎典禮上，瑟斯頓（William Thurston）博士因其提出的幾何化猜想“使三維空間的研究重新回歸數學的主流”，而受到了極高的贊譽。那么，博士最終是否證明了這個猜想呢？

要證明瑟斯頓的幾何化猜想，必須先找到一種方法，將宇宙優雅地分解為八種幾何結構。然而，這種分解極為困難。在嘗試分解時，往往會遭遇形狀突然崩塌的現象。這種導致計算無法繼續的狀態被稱為“奇點”。幾何化猜想的證明因此遇到了巨大的障礙。

瑟斯頓博士作為幾何化猜想的提出者，盡管面對外界的高度期待，但他還是放棄了證明這一猜想的挑戰。

事實上，從采訪開始，我們就對瑟斯頓博士放棄證明幾何化猜想的原因充滿疑問。這是一個巨大的謎團。但是，回想那些將畢生精力奉獻給解決龐加萊猜想的數學家們的生活方式，我們不得不覺得，博士選擇放棄或許是一種明智之舉。

一些數學家認為，瑟斯頓博士對證明幾何化猜想本身并沒有太大的興趣。通常來說，數學家可以粗略地分為兩類：“提出概念型”和“解決問題型”。前者善于從無到有地創造出前所未有的新概念傾向于不斷提出冠以“×× 猜想”的新想法。亨利·龐加萊就是這類數學家的典型代表。而后者則擅長邏輯性地驗證這些猜想是否正確，他們擁有工匠般的特質，善于使用各種數學技巧。帕帕基里亞科普洛斯（ChristosPapakyriakopoulos；編者注：通常稱為帕帕）可以被視為這類數學家的典型。當然，也存在極少數兼具兩種特質的“全能型”數學家。

如果按照這種分類，瑟斯頓博士顯然屬于“提出概念型”的數學家。他提出了幾何化猜想，為龐加萊猜想的研究開辟了廣闊的前景，但對是否要親自完成嚴密的證明并不執著。

然而，也有不少數學家對瑟斯頓博士沒有繼續嘗試證明幾何化猜想感到難以理解，認為這種選擇非常不尋常。其中之一盛贊瑟斯頓博士為“魔術師”的法國數學家瓦倫丁·波埃納魯（Valentin Poénaru）博士。他評論道：“瑟斯頓在某個時刻突然停止了自己的‘魔術’。沒有人知道具體原因，但從那以后，他再也沒有發表任何數學研究成果。他當時還很年輕，也沒有跡象表明他的能力有所減退，但不知為何，他的數學研究就此止步。”

幾何化猜想被認為是超越龐加萊猜想的“偉大猜想”。博士是否因為畏懼挑戰而放棄？這似乎也不太可能。

也許有一篇論文可以幫助我們更深入地了解瑟斯頓博士復雜的內心世界，那就是他于1994年發表的《數學中的證明與進展》（On Proof and Progress in Mathematics）。在這篇論文的后半部分，瑟斯頓博士記述了一個重要事件如何促使他對數學的看法發生了重大改變。

以下是論文中相關部分的內容。

在研究生時期，我選擇“葉狀結構理論”作為研究主題。葉狀結構理論當時是一個備受關注的領域，吸引了許多從事拓撲學、動力系統以及微分幾何學研究的學者。我迅速證明了葉狀結構理論的分類定理，還提出了許多其他重要的定理，在這一領域取得了顯著成果。當時，我的腦海中不斷涌現出證明的靈感，甚至幾乎沒有時間將它們整理成論文。

然而，沒過多久，一個奇怪的現象發生了。在短短幾年內，研究這個領域的學者人數急劇減少。一些數學同仁告訴我，學術圈內竟然傳出了“最好不要再碰葉狀結構理論”的議論。意思是我已經快要將這個領域“蠶食殆盡”了。甚至有朋友對我表示贊賞時，還特意用反話調侃道：“你簡直快把這個分支徹底終結了。”于是，研究生們紛紛放棄葉狀結構理論作為研究方向，而我自己也很快轉向了其他領域。
但這一領域的研究者減少，絕不是因為其研究價值已經耗盡。事實上，這個分支依然存在許多有趣的問題，拓展的空間也依然廣闊。
通過這一事件，我開始自我反省，找出了自己研究工作中的兩個問題。
首先，我的論文通常以一種過于陳舊和晦澀的數學論文格式呈現，令人生畏。我缺乏對自己所述理論之背景的詳細說明（當時也沒有充裕時間寫這部分），導致論文變成“只有懂的人才看得懂”的狀態。例如，有一篇論文的標題為“Godbillon-Vey 不變量度量葉狀結構的螺旋擺動程度”（Godbillon-Vey invariant measures the helical wobble of a foliation），這種表述對許多數學家來說既難以理解也難以接受。
其次，我誤以為學術界熱切期待“答案”的出現。我天真地認為，如果自己能夠提出許多有力的證明成果，那一定是對其他數學家的極大幫助。但實際上，大家所追求的并不是答案本身，而是思考的過程。

與瑟斯頓博士有深厚交情，并曾邀請他到訪日本東京工業大學的小島定吉（Sadayoshi Kojima）教授指出，這次幾乎導致整個研究分支被廢棄的事件，可能對瑟斯頓博士的數學研究態度產生了重大影響。

小島教授認為：“對于敢于迎接一切挑戰的瑟斯頓來說，這次經歷或許是非常痛苦的。在20世紀 70 年代后期，他開始重視將三維流形、克萊因群和雙曲幾何這些原本相互獨立的領域結合在一起的研究。他放緩了腳步，把精力投入到改善學術研究環境中。”

小島教授還提到：“不斷證明優秀的定理未必一定能推動數學的發展，反而在某些情況下可能會削弱其他學者的研究熱情。這種認識或許促使瑟斯頓博士逐漸轉變了想法，他開始意識到‘數學是一門在人與人的交流對話中得以存在的學問’。”

實際上，在20世紀70年代后期，瑟斯頓博士的研究態度確實發生了顯著轉變。他開始將更多精力投入到數學教育和與同行的交流之中，不再將重點放在撰寫論文上。他在普林斯頓大學以“三維空間的幾何與拓撲學”為主題開設的講座，以其獨特的講解方式和簡明易懂的內容廣受好評。其講義的復印件更是在全球范圍內廣泛傳播。

到了20世紀90年代，作為美國國家數學科學研究所的主任，瑟斯頓博士經常熱心前往各地初中和高中進行講座，通過這些活動努力向公眾推廣拓撲學的魅力。

關于幾何化猜想，瑟斯頓博士是因困難而放棄了證明，還是有意停止了研究？為了解答這個疑問，我們在采訪的最后直接向他提出了問題。

記者：“許多數學家都疑惑，作為幾何化猜想的提出者，為什么您沒有堅持完成證明工作呢？”

瑟斯頓博士：“我嘗試過努力證明它，但我所設想的方法最終都行不通。繼續下去也看不到成功的希望。在這種情況下，我認為退出是更為明智的選擇。畢竟，人生的目標并不只有一個。”

記者：“您是否舍棄了獨自證明的執念，選擇通過與其他數學家的交流來共同推進研究呢？”

瑟斯頓博士：“如今，許多數學家正在學習我曾經獨自思考的內容，這不是很棒嗎？有那么多人正在為幾何化猜想和雙曲幾何等領域做出貢獻，這些都是我曾經肩負的研究方向。理解我的理念的人越來越多，我不再像過去那樣孤獨。當你最初提出一個全新的想法時，孤獨是無法避免的，這種感受讓我銘刻在心。”

對于這個話題，瑟斯頓博士僅談及此。

盡管他并未親自完成幾何化猜想的證明，但他始終致力于將“宇宙有八種形狀”的理念普及到大眾中去。他與弟子杰弗里·威克斯（Jeffrey Weeks）合作開發了一款名為“彎曲空間”（Curved Spaces）的計算機軟件（網址：
https://www.geometrygames.org/CurvedSpaces/）。不妨打開計算機，親身體驗一下“彎曲空間”這款軟件。無論是否能完全理解其中的深意，至少可以切身體會到瑟斯頓博士那宏偉而奇妙的“魔術”。

本文經授權節選自《龐加萊猜想：追尋宇宙的形狀》（新星出版社，2025年8月版），第6章“20世紀80年代 天才瑟斯頓的光與影”，有刪減。

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