高中沒畢業直接讀博，17歲少女推翻40年數學猜想后的下一步

時令 發自 凹非寺
量子位 | 公眾號 QbitAI

11歲學會微積分，14歲具備大學水平的數學能力，17歲推翻40年前數學猜想。

如今雖未高中畢業，卻已獲得馬里蘭大學博士的錄取資格。

在北大校友張瑞祥老師的指導下，漢娜·凱羅不斷突破極限。

今年2月份，年僅17歲的漢娜推翻Mizohata-Takeuchi猜想，震驚數學界。

Mizohata-Takeuchi猜想，誕生于上世紀80年代，是連接調和分析、偏微分方程和幾何分析的核心橋梁。

如果它被推翻，幾十年來關于傅里葉限制、PDE良性等核心問題的思考，也要重新更改思路。

這簡直是給整個學術界扔下一枚“重磅炸彈”！

怪不得數學家們接連感嘆：

• 哇！這可是我近40年最喜歡的問題，而這個結果讓我徹底震撼。
• 當我得知漢娜的年齡比我原先以為的還要小得多時，我更加驚訝。她寫這篇論文的程度，簡直非同凡響。
• 我可以肯定，從現在開始，每當我們遇到類似類型的問題時，都會嘗試用“漢娜式構造”來檢驗它。

漢娜徹底火了，關于她如何解決這一猜想的更多故事細節也逐漸曝光。

數學，帶她穿越孤獨，走向廣闊世界

漢娜在巴哈馬的首都拿騷長大，和她的兩個兄弟一樣，在家接受教育。

她最初接觸數學，是通過可汗學院的在線課程，沒過多久便完成了全部課程。11歲時，她已經學會了微積分。

很快，現有的網絡課程已無法滿足她的學習需求。

父母為此給她找了兩位數學教授進行遠程輔導，先是韋爾斯利學院的Martin Magid，后是克拉克大學的Amir Aazami。

雖然有老師指導，但她的大部分學習內容都是自學的，自己閱讀和消化了導師推薦的研究生數學教科書。

因此，Amir Aazami老師對收她的學費感到不好意思，因為他覺著沒有真正教漢娜，大多數時間都是她自己閱讀書籍并嘗試證明定理。

但漢娜很快發現，在家上學讓她感到束縛。

• 那種日子總是千篇一律，無法逃脫。不管我做什么，幾乎都是在同一個地方，重復著相似的事情。我感到非常孤獨，無論做什么都無法改變這種狀況。

這時，數學成了她的精神寄托，為她在日常生活中打開一片廣闊天地。

她欣喜地的說道：

• 數學是我可以探索的另一個世界，一個不受限制的世界，一個我只要思考就可以隨時進入的世界。

正是這種將數學視為可供探索的思想空間，讓她以不同于常人的方式看待數學。

2021年，新冠疫情改變了許多人的生活節奏，也意外地拓寬了漢娜的世界。

由于旅行限制，她和家人被迫滯留在芝加哥祖父母家中。

正是在那段時間里，她接觸到了芝加哥數學圈——一個由學生和導師組成的社區，大家聚在一起，一同思考和攻克數學難題。

這次經歷激發出她更深入地探索數學的渴望。次年，她申請了由伯克利數學圈舉辦的為期兩周的在線暑期課程。值得一提的是，這個項目被認為是全球最頂尖數學苗子的搖籃。

在申請材料中，她詳細列出了一整套自學課程，涵蓋內容之廣，已經相當于一個高級本科學位的水平。

那一年，她僅14歲。

伯克利數學家、伯克利數學圈創始人Zvezdelina Stankova贊賞道：

• 漢娜簡直超乎尋常。每次她申請學校或項目時，都已經遙遙領先好幾個層次。

然而這些經歷并未讓漢娜認定自己在數學方面有多么出眾的天賦。

她性格溫和、待人謙遜，對于自己的能力如何與他人相比似乎始終抱有疑問。

某種程度上，是因為多年來，她只能以自己為參照對象。

• 小時候，我并不確定自己是不是有天賦。
• 我喜歡彈鋼琴，身邊的人也常說我在數學和鋼琴方面都很有才華。現在回過頭來看，我確實覺得自己的鋼琴水平高于平均，但稱不上真正的優秀。至于數學嘛，好像……就那樣吧。

一份華人教授留的家庭作業，開啟破解猜想的大門

2023年，在伯克利數學圈度過了第二個夏天后，漢娜開始思考她的下一步該做什么。

她申請了幾所大學，盡管大多數學校以她尚未完成高中學業為由婉拒了她，但加州大學戴維斯分校向她拋來了橄欖枝。

是要提前三年開始大學生活？還是要在其他地方尋找機會？

這時，Stankova鼓勵她參加伯克利的并行注冊項目。通過這個項目，她可以直接修讀由頂尖學者開設的研究生數學課程。

漢娜采納了這個建議。

2023年秋天，她的家人搬到了距離伯克利約60英里外的戴維斯。在那里，她的哥哥就讀于加州大學戴維斯分校，父母則允許她每周二和周四前往伯克利上課。

不久后，她的學習節奏明顯加快。到了春季，她已經每周通勤五天，同時選修了更多課程。

回憶那段時光，她說，“那是她生命中開始感到充滿無限可能的時期。”

• 我開始交到朋友，心情也越來越好。

春季學期結束后，她的家人從戴維斯搬到了伯克利——她的哥哥決定轉學到那里。

而對漢娜來說，這次搬家也意味著她終于可以真正安定下來，融入這座她心之向往的學術之城。

盡管如此，這一切對她來說依然是個適應過程。

她坦言道，“我之前沒有太多社交經驗，所以還得學著如何與別人相處。”

隨著2024-2025學年的臨近，漢娜開始思考自己將選修哪些課程。

其中有一門課尤其吸引了她——傅里葉限制理論研究生課程，這是一門屬于調和分析領域的高級課程。

她說，“這是那學期開設的最頂尖的分析課程之一，我想，干脆就去試試吧。”

這門課程的教授是張瑞祥，一位成就卓著的數學家。

2008年，他獲得了國際數學奧林匹克競賽金牌；隨后，取得了普林斯頓大學的博士學位；之后在高等研究院完成了博士后研究；如今，他在世界頂尖的伯克利大學數學系擔任終身教職。

一份家庭作業推翻40年前數學猜想

漢娜給張教授發了一封郵件，表達了自己想報名這門課程的愿望。“漢娜非常專注，對這個課題充滿熱情，”張教授回憶道，“光憑這一點，我就決定批準她的申請。”

幾周后，在做作業中的一道習題時，漢娜遇到了一個令她無法停止思考的問題。

這個問題是Mizohata-Takeuchi猜想的簡化版本。張教授將其作為熱身題放在作業里，希望鼓勵學生們在這一深奧數學領域練習高級技巧。

作業中還附帶了一個選做的拓展題，邀請學生們思考能否將簡化版的證明推廣到更復雜的問題。

漢娜完成了這份習題，并繼續深入思考下去。對她來說，沿著一個想法一直探索到底，是再自然不過的事了。

Mizohata-Takeuchi猜想屬于調和分析領域，該領域專注于研究函數如何由波動成分構成。

具體而言，任何函數都可以拆解成一系列更簡單的波形，這些波形稱為正弦波。每一個正弦波都有對應的頻率。數學家們常常希望理解那些僅由特定頻率的正弦波構成的函數的性質。

在這種情況下，允許出現的頻率必須滿足一定的方程，從而限定在特定的曲面上，比如球面。

這是因為許多物理波動（如光波、聲波以及量子波）的函數，其頻率都被限制在這類特定的曲面范圍內。

簡單來說，這就像是在一個形狀奇特的房間里演奏音樂。有時候，音樂會在房間的某些角落回響、放大，聲音變得非常響亮。但這種現象只能出現在特定的位置，而不會在房間的每個角落發生。

幾十年來，數學家們僅在Mizohata-Takeuchi猜想的幾個特殊情況下取得了有限的進展，而整體問題始終未被攻克。所有常見的數學工具似乎都無能為力。

這種“不可觸碰”的狀態，讓一些數學家懷疑這個猜想根本不成立，但也有人覺得，正因為它陳述得如此簡潔，反而更有可能是真的。

愛丁堡大學的數學家Tony Carbery回憶道，他花了幾十年研究這個問題。

• 有些早上，我醒來時會覺得，它那么簡潔、那么廣泛，到最后一定是真的。但也有些早上，我醒來時會說……它根本不可能以任何簡單方式成立。

在尋找這個難題證明的路上，數學家們陷入了僵局。

他們懷疑自己的方法，懷疑直覺，懷疑當下看似有希望的想法是否真的能走到底。

對于漢娜來說，這些懷疑更是被放大了。她是該領域的新人，最初試圖證明整個猜想的努力，往往只是一些零碎、尚不成熟的嘗試。

她不確定自己是否走在正確的道路上，張教授也有同樣的疑慮。

漢娜在答疑時間問他：“這些思路行得通嗎？”結果張教授告訴她，“不行，因為太天真了。”

• 我不斷地去找他，帶著新的想法問他：“這個可以嗎？”他又會說：“不行。”

盡管如此，漢娜沒有停下腳步，她繼續閱讀文獻、不斷思考。

最終，她找到了一個辦法，構造出一個奇怪而復雜的函數，這個函數由一些頻率落在特定曲面上的波組成，正是猜想所描述的那類曲面。

通常來說，把這類波疊加起來，它們會互相干擾——有些地方相互抵消，有些地方相互增強。

但漢娜發現，在她構造的函數中，這些波并沒有如預期那樣互相抵消。相反，它們的干涉產生了不均勻的圖案，使得函數的能量在一些區域擴散，而在另一些區域聚集，呈現出一種分形式的結構——而這恰恰是Mizohata-Takeuchi猜想所禁止的現象。

起初，她并不確信。她說，“這種情況我經常遇到，我以為自己找到了一種證明，看起來像是對的，但后來會發現其實是錯的。”

但接下來，兩件事改變了一切。

首先，她意識到，可以用一個更簡單的構造替代原來的復雜結構，依然得到相同的結論。

其次，她終于說服了自己，也說服了張教授：這個結果是對的。

在完成那個長達40年無人攻克的猜想后，她做出了一個大膽的決定——直接申請博士，跳過本科，甚至沒有高中文憑。

在她看來，自己早已過著類似研究生的生活，進入博士階段只是順理成章的下一步。

她一共申請了10個博士項目，其中，6所學校因她沒有本科學歷直接拒絕了她，另外兩所雖然錄取了她，但最終被校方高層否決。

只有馬里蘭大學和約翰斯·霍普金斯大學愿意破格錄取她，直接進入博士階段學習。

今年秋天，漢娜將正式在馬里蘭大學開始她的博士之旅。

而當她畢業時，這將是她人生中的第一個正式學位——博士學位。

參考鏈接：https://www.quantamagazine.org/at-17-hannah-cairo-solved-a-major-math-mystery-20250801/