費曼失傳的演講延伸：線段中垂線包絡出的奇妙世界

在理查德·費曼一場鮮為人知的演講中，他帶領學生用中學數學證明行星的軌道是橢圓。其中我們可以提取出這樣一個有趣的幾何問題：想象一個圓，從其內部任意一點向圓周發(fā)出無數條射線。這些射線與圓相交，形成一系列線段。

接著，將每條線段繞其自身的中點旋轉90度——這實質上就是作出該線段的中垂線。那么，這一族無限多條中垂線，它們所共同描繪出的輪廓（數學上稱為“包絡線”）會是什么形狀？

令人驚訝的是，這個輪廓恰好是一個橢圓。這個從簡單圓和旋轉操作中浮現出的橢圓，仿佛一個隱藏的寶藏，揭示了圓與橢圓之間深刻而優(yōu)美的內在聯系。

從圓到橢圓：形狀的變形記

一個自然的追問隨之而來：如果我們一開始的“舞臺”不是圓，而是一個橢圓呢？從橢圓內一點出發(fā)，重復上述過程，其中垂線的包絡線又會形成何種曲線？

這引向了更為復雜的圖景。當發(fā)射點位于橢圓較“尖”的一端附近時，包絡線會收縮，呈現出類似水滴的輪廓，線條圓潤而凝聚。若將發(fā)射點置于橢圓的中心附近，包絡線則可能向兩側舒展，形成一道宛如微笑的寬闊弧線，仿佛一個“笑口常開”的形狀。

這些圖案的千變萬化，取決于原始橢圓的形狀和發(fā)射點的精確位置。若再推廣至任意一條閉合曲線，其可能性與復雜性將超乎想象，這無疑是一片值得深入探索的幾何沃土。

多邊形的簡化世界：拋物線浮出水面

為了在復雜中尋找清晰，我們不妨退一步，考察更簡單的多邊形情形。以三角形為例：從一個點向三角形的三條邊發(fā)射射線并作其中垂線，其整體包絡線會是什么？我們或可推測，它可能由三段不同的曲線平滑連接而成。

聚焦于其中一條邊，問題便簡化了：固定直線外一點，連接該點與直線上所有點，再作出這些連線的中垂線族。那么，這一族直線的包絡線是何形狀？

根據一些基于幾何軟件和算法的初步研判（常被通俗地稱作“人工智能研判”），這個包絡線很可能是一條經典的圓錐曲線——拋物線。這個猜想頗具直覺之美：直線外一點，與直線上動點連線中垂線的掃掠輪廓，恰是拋物線這種兼具對稱與開放特性的曲線。到底是不是呢？需要讀者親自動手去證明，你得到的將比結論更多。