貝葉斯量子振幅估計 Bayesian Quantum Amplitude Estimation

貝葉斯量子振幅估計
Bayesian Quantum Amplitude Estimation

https://www.researchgate.net/publication/395424691_Bayesian_Quantum_Amplitude_Estimation

我們提出了一種針對量子幅度估計問題的量身定制且具有噪聲感知能力的貝葉斯算法BAE。在容錯場景下，BAE能夠達到海森堡極限；如果存在設備噪聲，BAE可以動態地對其進行表征并自我適應。我們進一步提出了aBAE，這是BAE的一個退火變體，借鑒了統計推斷中的方法，以增強魯棒性。我們的提議在量子和經典部分均可并行化，提供快速噪聲模型評估的工具，并且能夠利用預先存在的信息。此外，它們能夠適應實驗限制和首選的成本權衡。我們提出了一種用于幅度估計算法的魯棒基準測試方法，并用它來測試BAE與其他方法相比的表現，在有噪聲和無噪聲的情況下均展現出具有競爭力的性能。在兩種情況下，它都能在成本函數下實現比其他任何算法更低的誤差。在存在退相干的情況下，它能夠在其他算法失敗時進行學習。

1 引言

量子幅度估計（QAE）是一種用于估計與給定子空間相關的測量概率的程序，這些子空間對應于某些波函數。其顯著應用包括蒙特卡洛積分和估計任務，在金融、化學-和機器學習-領域也有應用。

最初的QAE提議通過在量子幅度放大（QAA）算子上執行相位估計來實現二次量子優勢。然而，相應電路的復雜性對于目前可用的量子設備來說是難以承受的，因為這些設備容易受到噪聲的影響且規模有限。文獻中提出了替代方案，通常是混合量子經典算法，其中更簡單的電路嵌入到經典反饋回路中。這些更簡單的電路通常由一系列非受控的放大算子應用組成，應用次數為m，m是一個實驗自由度，由經典處理單元控制，可能以自適應的方式進行。

在這種表述中，QAE與超導量子比特相關的常見表征任務非常相似。這些任務與進動動力學有關，例如拉莫爾、拉比和拉姆齊振蕩。同樣，在光量子計算中，馬赫-曾德爾干涉儀也產生了類似的框架。

所有這些動力學都允許平方正弦描述，就像格羅弗電路一樣。應用于其中一種動力學的技術很可能會轉移到其他動力學上，從而將QAE算法的適用性擴展到諸如傳感或量子門實現和校準等任務；反之，QAE也可以借鑒為這些任務設計的算法。

重要的是，與許多混合近期量子算法不同，這些方案可以證明為QAE實現完整的二次優勢。然而，實現細節仍然是一個開放性問題。它們決定了性能因素，如量子成本偏移、經典處理成本、并行性和抗噪聲能力。

盡管上述替代算法需要更簡單的電路，但其中大多數仍然假設理想執行，最多將采樣噪聲視為限制。更重要的是，它們的性能通常是在這一假設下進行評估的，這使得它們在存在噪聲的情況下行為不可預測。

能夠推廣到噪聲情況的一個框架是貝葉斯推斷，它自然適用于QAE的迭代表述。然而，涉及的處理成本很高。電路長度預計會隨著迭代次數呈指數增長，更高的精度需要更多的迭代。在一個簡單的策略中，搜索范圍以及因此每次迭代的優化成本預計會隨著總迭代次數呈指數增長。另一方面，一個簡單的（確定性的）統計近似的成本會隨著參數數量呈指數增長。為了確?？尚行?，更有效的近似是至關重要的；重要的是，必須小心謹慎，以免危及可擴展性或正確性。在中，提出了一種基于貝葉斯推斷的噪聲感知QAE方法，該方法基于正態性假設。盡管這是一種對簡單案例成本效益較高的方法，但預計它不會很好地推廣到更復雜的情況，即涉及更復雜的噪聲模型的問題。此外，這一提議需要推廣格羅弗算子，并在大量參數上進行優化，這會產生相當大的成本開銷。

1.1 貢獻

在本工作中，我們提出了BAE，這是一種用于量子幅度估計的近似貝葉斯算法，能夠在不做出限制性假設或承擔過高成本的情況下處理噪聲。我們采用了針對問題定制的啟發式方法來降低優化成本，同時保留量子優勢，將每次迭代的優化成本降低到常數。通過使用可擴展且高度并行化的統計方法和其他近似方法，我們進一步降低了經典處理成本，同時不影響量子優勢。

我們所使用的量子電路是文獻中呈現的最簡單類型；它們不需要受控或廣義的格羅弗算子版本，也無需與格羅弗搜索相比的任何其他定性復雜性。

我們的方法能夠以極少的額外成本對模型的優劣進行量化，可以納入可用信息（例如過去的實驗數據），并且在涉及的成本權衡方面具有靈活性。例如，人們可以將部分量子優勢換取更低的經典成本，或者換取量子子程序中更高的并行性。

為了對我們的算法進行基準測試，我們將其與文獻中介紹的其他量子幅度估計算法一起進行了數值測試，并提出了全面、與問題無關且具有成本效益的方法來評估和分析它們的性能。BAE實現了海森堡極限估計，在所有測試算法中具有最低的成本偏移，并且能夠在其他算法失敗的噪聲場景中進行學習。

此外，受到統計學中一種廣泛使用方法的啟發，我們提出了aBAE，這是BAE的一個變體，其量子電路是基于與誤差或不確定性沒有直接關系的統計效率度量來引導的。這進一步突出了這一組成部分的重要性，并為處理具有挑戰性的模型或數據提供了一種穩健且系統化的方法。我們稱這個變體為退火貝葉斯幅度估計，以它所受啟發的方法——退火似然估計命名。

本文所用的代碼和數據集可在處獲取。

1.2 文檔結構

本文的其余部分安排如下。第2節介紹相關背景，包括原始量子算法、經典對應物以及替代混合算法。BAE在第3節中介紹。第4節描述了用于基準測試的數值方法。這些測試的結果在第5節中展示。最后，第6節討論并總結了結果，以及未來研究的方向。關于算法、數據處理和背景的補充細節在附錄中給出。

2 背景 2.1 幅度估計

量子幅度估計（QAE） 是一個估計形如以下波函數中的參數 a 的過程：

對于足夠小的幅度和足夠低的 m，這個算子的效果是增加幅度；因此，它也被稱為幅度放大算子。在格羅弗搜索中，m 被選擇為在測量時獲得好狀態的概率最大化。

更一般地說，這可以被視為一種幅度振蕩算子；一旦超過最優的 m ，概率就會降低，然后以周期性的方式變化：

2.2 量子算法

結果對于兩個特征值來說是相同的，因為正弦函數關于 是對稱的。這是一個關鍵點，因為否則測量結果將是模糊不清的。還要注意，雖然方程（6）中的算子上的負號對于量子搜索來說是無關緊要的，但在幅度估計中并非如此，其缺失將導致計算 a 的補數而不是 a 本身。

文獻[5]中的一個重要理論結果表明，以上述方式估計 a 使用次預言機查詢，并實現一個誤差上界為：

2.3 經典算法

我們現在想要將方程（13）與表現最好的經典算法進行比較。在經典方法中，我們通過對原始分布進行采樣并評估每個樣本的函數 f 來估計 a。一個樣本或函數評估對應于一次查詢。然后我們對這些評估結果取平均值，以獲得 f(x) 期望值的估計，即幅度。

因此，公式（13）表示了二次加速：在量子情況下，估計 a 的誤差隨著查詢次數的增加而呈二次方速度更快地減小。

2.4 替代量子算法

第2.2節中描述的量子算法為幅度估計提供了一個最優且直接的解決方案。然而，所需的量子電路既深又復雜，涉及受控操作的梯子和大量的量子比特。這使得它對于當前的量子設備來說不切實際，這些設備受到噪聲的影響，并且與此相關的是，它們的規模有限且計算時間連續。

特別是，該算法使用了相位估計，就像Shor算法一樣——盡管它提供了更小的復雜性優勢（二次方而非指數級）。這引發了一個問題，即相位估計是否真的是解決這個問題所必需的。對此給出了否定的回答，其中提出了一種簡化的幅度估計方法。這種替代算法實現了與相同的（最優的）漸近復雜度，但用一組更簡單的量子電路以及經典處理和控制來替代QPE電路。

這些電路包括與格羅弗量子搜索中使用的相同的放大電路，其中格羅弗算子在初始狀態上作用m次。這個參數化的電路族的輸出分布由方程（9）給出，其中m=0恢復了經典情況。量子情況的額外自由度可以在經典處理框架內使用，以實現完整的二次加速。

所使用的唯一量子資源是格羅弗測量。我們可以將量子設備視為一個黑盒，它接收一個整數 m 并根據方程（9）輸出一個二進制結果 D。在這種情況下，幅度估計可以被視為一個計量問題。我們可以說 m 是一個實驗控制，而 D 是一個實驗結果，或者說是一個數據（或者，也可以將 m 吸收進 D 中）。

顯然，量子優勢源于放大過程，并可以歸結為這個基本動機。然而，如何最好地利用這一點是一個懸而未決的問題。雖然文獻[11]中的算法具有最優復雜度，但它會產生不切實際的成本開銷。此外，盡管所使用的電路更簡單，但它們仍被期望是完美的——不僅為了結果的正確性，甚至為了確保算法按提議完成。特別是，需要一定程度的放大來完成算法，這在存在退相干的情況下可能是不可行的。

文獻中提出了其他替代方案，其中大多數使用了相同的電路族。通常，這些方案由混合量子經典算法組成，其中量子電路被嵌入到具有經典反饋的迭代方案中。也就是說，指定量子電路的參數 m 在每次迭代中根據前幾步自適應地選擇。圖1展示了這種類型算法的通常工作流程。

經典處理部分通常是區分不同算法的關鍵因素，也是導致算法性能差異的原因。最常用的成功度量標準是復雜度優勢，這可以通過理論或/和數值研究進行分析。然而，在實踐中，其他特性也可能相關——即最大電路深度、經典處理成本、量子成本偏移、抗噪聲能力、在線處理成本和并行性。

遵循這種結構的一些值得注意的算法包括無相位估計的幅度估計，或最大似然幅度估計（MLAE）、更快的幅度估計（FAE）、迭代幅度估計和魯棒幅度估計（RAE）。第2.6節提供了這些算法的概述。

2.5 量子增強估計

在考慮QAE的替代算法時，將其問題視為起源于計量學是有用的，以便正確評估它們的優劣。在本節中，我們簡要討論量子增強估計。

對于本工作的范圍，我們感興趣的是將估計誤差與資源計數相關聯的表達式，分別稱為 ε 和。前者是均方根誤差，它量化了不確定性，可以通過標準差來估計。后者量化了成本；例如，測量次數、探測次數或查詢次數，或（累積）演化時間。

在經典情況下，對于幅度估計的誤差在最優策略下的行為的基本限制由標準量子極限（SQL）給出：

這個限制是由于采樣噪聲：任何測量的分辨率都受到測量次數或重復次數的限制。因此，這也被稱為射擊噪聲限制。盡管它被稱為“噪聲”，我們在整篇論文中并不將其視為噪聲，而是用“噪聲”來指代與理想行為的偏差（外在噪聲）。

雖然這是在獨立測量下可達到的最佳性能，但人們可以利用量子效應來改進方程（16），以表征量子力學性質的系統?？梢栽诳臻g（糾纏）和/或時間（適應性）中引入測量之間的相關性，以提高估計精度。

更具體地說，量子控制允許達到海森堡極限：

方程（17）代表了計量學的最終界限，也是估計任務的黃金標準。

當使用不一定是最優的算法時，這些界限提供了對性能的洞察，即它們保留了多少量子優勢。這可以觀察為介于經典和量子界限（分別是方程16和17）之間的一個縮放比例。

2.6 文獻概述

如第2.4節所述，第一個不使用QFT的QAE算法是在2019年由Aaranson和Rall提出的，他們用純幅度放大的順序方案替代了QFT——即格羅弗型電路，其中唯一的變量是格羅弗迭代的次數。他們將該算法稱為“量子計數，簡化版”；更普遍地，我們使用術語“幅度估計，簡化版”（AES）。

盡管這個算法實現了預期的加速，但涉及了一個較大的常數因子；這意味著盡管幅度的不確定性按預期速度縮小，但它的起始值不利。更重要的是，該算法需要精確的測量結果才能按預期工作，使其特別容易受到噪聲的影響。

同年，其他作者提出了他們自己的替代方案，以實用性換取嚴謹性。在中，Suzuki及其合作者提出了一種最大似然幅度估計（MLAE）方法。他們的策略依賴于簡單的格羅弗電路的啟發式序列，并基于從中提取的測量數據推斷幅度。

提出了兩種啟發式方法：LIS和EIS；其中m分別線性和指數增加。作者證明了估計誤差的下界，但沒有證明上界。EIS的下界是海森堡極限，而LIS在最佳情況下表現更差（但仍然是量子增強的）。數值分析顯示了良好的性能，盡管這兩種策略都沒有達到下界。

一些作者研究了該算法在噪聲存在下的行為，并提出了改進。

兩年后，考慮從另一個角度重新設計這個最大似然算法，通過定期用變分量子近似替換部分格羅弗迭代來減少電路深度。盡管由于變分量子電路優化而產生了成本開銷，但他們展示了有趣的數值結果。

同年，重新設計了的方案，以涵蓋經典和量子方法之間的領域——目標是明智地利用近期設備的有限量子性。除此之外，作者還開發了另一種算法，實現了相同的目標，同時提供了更強的形式保證。這兩種方法都展示了穩健的數值性能。

在之后不久，引入了一種基于哈達瑪測試的簡單方法，作者稱之為更簡單的量子計數（或更簡單的幅度估計，SAE）。經過幾次執行后，通過反轉結果分布模型來獲得感興趣的參數。然而，理論和數值分析并沒有直接涉及感興趣的性能指標。

不久之后，提出了迭代幅度估計（IAE），這是一種結合了形式嚴謹性、堅實的數值性能和適度成本偏移的算法。盡管它未能達到理想的漸近復雜度，但它接近了，兩者之間只有一個雙對數因子的差距。更重要的是，（無噪聲）實驗表明它的競爭力，沒有被任何其他考慮的算法超越。

這個算法引起了其他作者的注意，促使他們修改版本。特別是，通過在迭代過程中重新排列其失敗概率來增強它——成功地消除了不需要的對數因子，以獲得最優的漸近性能。這一發展進一步鞏固了該算法作為既嚴謹又實用方法的重要性。然而，它對噪聲的無視可能使其在近期使用中不切實際，更謹慎的策略可能會帶來優勢。

后來在中提出了另一種算法。它同樣未能實現海森堡縮放，但同樣接近，差異再次是一個雙對數因子。它依賴于直接反轉電路，直到被冗余阻止；在這一點上，它轉變為需要額外測量以消除歧義的更復雜的反轉。與一樣，數值測試顯示了相當滿意的結果，盡管偏移不太有利。

所有這些算法都被認為是硬件友好的——在所需電路比原始算法更淺的意義上——但假設了容錯計算。換句話說，電路更簡單，但仍然期望在執行時產生理想的結果。

這不僅支撐了大多數或所有正確性證明，而且在構建測量時間表時也被假設。更具體地說，為了提高知識，算法通常依賴于深度逐漸增加的電路。如果這種情況無限期地持續下去，那么執行所需的時間超過設備的相干時間是不可避免的，這在實踐中總是有限。

因此，我們最終將在輸出端測量經典噪聲；顯然，在這種嘈雜的狀態下，不太雄心勃勃的測量可能更有信息量。更重要的是，對精確結果的過度依賴使對噪聲無視的算法無法從異常測量中恢復。

這些要點強調了需要能夠適應嘈雜場景的幅度估計算法。2021年，朝這個方向邁出了一步，提出了一種名為魯棒幅度估計（RAE）的算法。它不依賴于由精心制作的分析基礎支撐的嚴格時間表和細致計算，而是依賴于基于貝葉斯推斷的更靈活框架。這個框架不僅能夠減輕噪聲，這些能力還可以與互補技術結合或增強。這種豐富性立即開辟了許多有趣的途徑，試圖使QAE更接近實際應用。

RAE依賴于具有工程化似然函數的貝葉斯推斷，這是通過推廣格羅弗算子實現的。在中提出了類似的想法，以使格羅弗搜索確定性。在這種情況下，目標是進一步定制用于數據收集的電路模型。此外，一個簡單的噪聲模型被納入似然中，這進一步增強了算法的能力。

這種方法的主要缺點是計算成本和可擴展性之間的權衡。為了使問題可處理，作者在高斯假設下工作。這被證明對于他們測試的案例不會顯著影響數值結果。雖然這種近似對于幾個參數（如本例）通常是靈活的，但它們對于更高維度的情況并不具有良好的擴展性，這在考慮更復雜的噪聲模型時會出現。統計表示可以說是貝葉斯推斷中最關鍵的實現細節。因此，找到既高效、通用又可擴展的方法是很重要的。如果做不到這一點，肯定會阻礙推斷過程，不僅影響最優性的準確性，還會影響正確性本身。

此外，RAE需要將格羅弗算子（6）的反射推廣到任意旋轉，而原本它們是固定的，等于π。這增加了經典優化成本，因為現在我們處理的是2m個參數（其中m是電路層數/格羅弗算子的應用次數），而不是1個（m本身）。

此外，與單個由兩個反射組成的常數算子相比，使用由兩個連續旋轉組成的m個不同的算子為實驗設置帶來了額外的復雜性。這種定制使得電路更難實現、校準，甚至可能更難編譯；應用錯誤校正變得更加昂貴。

由于這些原因，定制格羅弗算子可以被認為是與其他混合QAE方案相比的一個劣勢。

在本文中，我們提出了一種不推廣格羅弗算子的方法，而是使用標準的固定算子幅度放大。我們利用QAE特定的洞察來減輕經典處理成本，同時保留量子優勢，并采用在嘈雜場景中表現良好的成本效益高的統計方法。

表1提供了所討論算法的簡要概述。

3 貝葉斯幅度估計

我們提出貝葉斯幅度估計（BAE），這是一種基于貝葉斯推斷的算法，遵循圖1中的混合方案。在每次迭代中，經典地選擇一定數量的格羅弗步驟m，然后執行相應的量子電路。測量結果被送入經典處理單元，并且根據需要重復此循環以實現預期的不確定性。

貝葉斯框架允許我們通過概率分布來完善我們對幅度的（可能為零的）初始知識。這種描述允許我們以預期效用（方差）的方式評估任何m的前瞻性，并因此優化m或m序列。我們選擇一種貪婪算法——單元前瞻，一次優化一個m——以最小化優化成本。出于相關原因，我們在信息稀缺的初始階段執行經典預熱階段。

工作流程在圖2b中以圖示表示，算法1中提供了偽代碼。貝葉斯推斷和貝葉斯實驗設計的概述分別在附錄A和C中提供。貝葉斯更新和估計器計算是我們基于推斷的協議的支柱；為了有效地表示概率分布，我們使用帶有馬爾可夫鏈蒙特卡洛轉換的序貫蒙特卡洛（SMC），詳見附錄B。

算法的關鍵部分是選擇m的子程序。貪婪策略將涉及對無限域的離散優化，因為m是無上界的。為了解決這個問題，我們開發了一種啟發式策略，根據窗口擴展（附錄C.1）自適應地定義搜索范圍。我們從一個較低的搜索范圍上限開始；每次在優化中選擇窗口允許的最高可能控制之一時，我們記錄一次命中。當命中次數達到預定閾值時，就會觸發窗口擴展：前者的上限成為新的下限，而上限加倍。然后我們將命中計數器重置為零，并重新開始。

這依賴于海森堡極限QAE算法的放大計劃，其中m隨著迭代次數呈指數增長。雖然窗口寬度仍然呈指數增長，但我們通過在其中的評估呈指數稀疏來實現恒定成本。

重要的是，這個貝葉斯框架可以很容易地適應嘈雜的場景，通過調整生成模型。我們將貝葉斯框架擴展到學習幅度之外的噪聲參數，獲得一個可以實時表征設備噪聲并適應的算法。關于噪聲定制的詳細信息在附錄D中提供。

我們的算法能夠利用先驗知識，例如如果幅度已知很?。ǜ戒汚）；可以以微不足道的額外成本評估噪聲模型（附錄B.4）；非常適合并行執行，具有可以分布在量子和經典設備上的任務（附錄I）；并且具有可調參數，可以根據實際權衡進行調整（附錄J）。

3.1 退火貝葉斯幅度估計

BAE是一種貪婪地最小化方差的推斷算法。在本節中，我們提出一種不同的方法——退火BAE（aBAE），借鑒自退火重要性采樣，這是統計文獻中一種著名的算法。

分布的連續冪形成了可以使用序貫蒙特卡洛采樣的分布序列。注意，以前，分布序列由累積數據集給出，數據集的大小逐漸增加。

SMC算法可以應用于任何分布序列。有關詳細信息，請參閱附錄B.1。

系數序列的選擇決定了算法的性能。一種選擇是自適應地選擇系數以保持有效樣本大?。‥SS）在目標值附近。ESS是SMC中粒子退化的度量。一組K個樣本可能對應于少于K個有效樣本，這是由于相關性；如果處理加權“網格點”，如在SMC中，不均勻的權重意味著代表性低。ESS量化了一組加權樣本對應于多少均勻樣本。

因此，保持ESS在目標值附近有助于確保穩定的表示。直觀上，確保ESS不太低保證了信息被正確捕獲；而確保它不太高則保證了攝取了大量信息。

在標準BAE中，我們通過在ESS低于某個閾值時刷新點位置來控制ESS。對于退火BAE，我們反而在每次迭代中選擇實驗控制，以最小化與目標ESS的預期距離。注意，貝葉斯和SMC框架保持不變，除了效用函數的選擇。ESS的期望可以像方差或其他效用函數一樣以前瞻性方式計算。

實驗設計隨后承擔了選擇系數的角色。雖然它們的行為不如前者，但由于似然函數的結構，它們可以實現類似的效果。

這種方法的優勢是統計魯棒性，我們期望在更高維度中尤其顯著，在那里充分探索空間更具挑戰性。此外，在多維估計中，方差成本函數必須推廣到協方差的標量表示。這引發了新的考慮點，如參數的相對尺度。使用ESS消除了這些問題。最后，計算與協方差相關的度量復雜性隨著維度的增加而增加，而計算ESS的復雜性則不會。

4 方法 4.1 處理和基準測試

為了評估QAE算法的優點，必須找到結果相對于計量學基本限制的位置。

為了圖形化地描述這種評估，我們將根均方誤差（RMSE）表示為查詢次數的函數。在先前的QAE提議中，測試是針對作者選擇的固定幅度進行的。這樣的選擇可能導致評估有偏見，以及過擬合。

相反，我們以一種與問題無關且通用的方式來測試這些算法，通過隨機采樣幅度，并取歸一化后的RMSE值的歸一化平均值，即NRMSE：

同樣，我們使用平均標準差的歸一化版本。這允許進行更徹底的性能評估，揭示某些算法中的行為不規則性，并允許對算法的超參數進行通用調整。

請注意，算法的成本計算為其執行過程中使用的查詢次數的總和。這些查詢可能分布在多個電路中。這種全面的成本定義允許與量子計量學的限制（第2.5節）進行直接比較，后者不涉及資源分配的具體細節。

盡管如此，這種劃分會影響算法的行為，因為電路中的查詢次數與它的深度成正比，這決定了結果受退相干影響的程度。這反映在算法在噪聲存在下的性能上。

這結束了對要繪制的數量的討論?，F在我們討論如何繪制它們。首先，我們將使用雙對數刻度。我們表示方程（16）和（17）中的極限以供參考；它們分別以-0.5和-1的斜率呈現為直線，便于視覺評估。

其次，我們根據數據集自定義y截距，以便于視覺分析。詳細信息在附錄G中提供。注意，仍然需要注意垂直比例偏移：在實踐中，它是相關的成本度量，取決于精度范圍?？赡懿幌Ｍ麖囊婚_始就要求算法需要更高的量子資源數量，即使其擴展是海森堡限制的。最終，這樣的算法的性能將超過另一個具有較小偏移但擴展速度不利的算法，但這種情況是否發生取決于目標分辨率。

另一個挑戰來自于適應性的應用。在量子計量學中，由于統計噪聲，性能指標傾向于尊重平均結果。對于確定性算法，這些平均值是直接的，但對于自適應算法則不是。在這種情況下，由于x坐標不匹配，粗暴的平均將需要丟棄大多數數據點，并使用與最大查詢數成指數增長的不成比例的執行次數。為了避免這種情況，我們找到并采用了一種良好的近似方法，允許我們使用所有數據點，同時仍然可靠地描繪統計數據。我們分析了多種可能的策略，并發現表現最好的是按照它們的x坐標對點進行分組，并獨立地平均它們的坐標。模擬數據的結果在圖3中顯示。這些數據被生成以再現理想的海森堡限制行為，以便可以驗證結果。通過上述策略，每個組中相同顏色的點由一個點總結：星形標記。理想的處理將使這些標記無偏地位于虛線上。詳細信息可以在附錄E中找到；附錄F顯示了使用其他策略的結果，證明了我們的結果對于任何對虛擬數據表現良好的處理策略都是成立的。

4.2 量子模擬

我們希望數值模擬BAE、其他混合QAE方法以及經典QAE算法（用作參考）。為了測試目的，這些算法的量子部分可以通過解析計算和多項式采樣高效地模擬。這并不意味著這些電路可以由經典計算機高效模擬，因為生成這些數據需要知道 a 的值。更多細節參見附錄H。

除了理想行為外，我們還想觀察算法在外部噪聲（即非射擊噪聲）影響下的行為。因此，我們在方程9中增加了一個額外的參數 T —— 相干時間 —— 并假設一個指數衰減同樣影響基態。獨立于 θ 的因子確保了這種對稱性（和適當的歸一化）。結果是表達式4.2。

這個模型已在其他工作中使用過，并且在考慮量子設備中的常見噪聲源時會出現類似的指數衰減：去極化、去相位、能量弛豫和門失調。

為了實用性，我們將一個時間單位定義為應用一次格羅弗算子所需的時間。然后可以使用這些單位來表示 T。

有了由方程4.2給出的封閉表達式，就可以像往常一樣引入采樣噪聲。

5 結果

本節以圖形方式展示了根據第4節描述測試我們的BAE算法的結果。統計數據是基于100次執行取的。在比較圖中，我們考慮了中位誤差的演變，以便于視覺分析。為了完整性，平均結果在附錄F中提供。

所有測試中都存在射擊噪聲；在小節5.1中不考慮其他噪聲源，而在第5.2節中施加了有限的相干時間。第5.3節提供了一個比較分析，將BAE與最新技術進行基準測試。

用于這些模擬的代碼和數據集在GitHub上公開可用，以及一個演示筆記本。

5.1 BAE的無噪聲性能

圖4a顯示了BAE的數值模擬結果。我們可以看到誤差的演變是平滑的，并且與海森堡極限平行。

圖4b顯示了采用附錄C中提到的節省成本措施的結果：序貫蒙特卡洛的重采樣步驟在效用計算中被抑制，并且每個m實現了10次射擊。偏移量僅略有變差，我們仍然觀察到海森堡極限估計。經典處理的運行時間減少了5倍。在所有其他模擬中，我們采用這些節省成本的措施。

請注意，通過減少預熱射擊次數和每次測量的射擊次數，或放寬觸發窗口擴展的標準（附錄C和J），可能會獲得稍微更好的成本偏移，但行為可能不太規律。

我們還根據小節3.1測試了退火BAE。圖5顯示了結果，估計仍然與海森堡極限平行。在相同情況下，對于單維估計，成本偏移與BAE相似。這是有希望的，因為預計其優勢將在更高維度的問題中顯現。例如，多參數噪聲模型可能會產生多模態，在這種情況下，這種方法預計將優于基于方差的原始BAE。

5.2 BAE在退相干情況下的性能

為了展示BAE在噪聲存在下的估計潛力，我們進行了相同的模擬，考慮了一個具有有限相干時間的去極化信道。在這些測試中，我們假設隨機的相干時間在區間 [2000, 5000[ 內，時間單位如第4.2節所述。每次運行時隨機選擇時間，并假定在此過程中保持不變。BAE使用500次射擊來估計相干時間。

圖6顯示了估計過程。我們可以看到，演變最初與海森堡極限平行，隨著查詢次數的增加而減緩，達到了介于量子和經典極限之間的中間斜率。

在無噪聲的情況下，隨著誤差的縮小，選擇更深的電路以最佳方式改善估計誤差。在這種情況下，由于相干性受到限制，存在一個權衡：更深的電路更容易受到退相干的影響。因此，BAE選擇電路深度，以在這兩者之間實現最佳平衡，盡管存在噪聲，仍然保留了部分量子優勢。

5.3 比較分析

最后，我們測試了文獻中提出的其他算法，并將它們與BAE進行比較。結果在圖7中展示。

從理想情況（圖7a）開始，我們觀察到BAE在復雜度和偏移量方面都具有競爭力：其學習速率（斜率）與表現最佳的方法相匹配，而其偏移量優于其他所有方法。BAE不僅達到了海森堡極限，而且還能隨著資源數量的增加，比其他任何算法更快地縮小誤差。這表明，盡管它可以適應嘈雜的設備，BAE并不僅僅是一個NISQ算法：它能夠在容錯場景中實現完整的量子優勢。

轉向嘈雜的情況（有限相干性 - 圖7b），BAE仍然是表現最佳的算法，與其他算法的差距更大。在所有測試的算法中，BAE在給定查詢次數下實現了最低的估計誤差。事實上，無論成本如何，它都實現了最低的估計誤差，因為其他算法似乎由于學習速率的停滯，無法將誤差降低到 以下。即使對于更高的查詢次數，BAE也能可靠地執行，這對應于更長的執行時間和更高的精度，而其他具有類似成本的算法則因噪聲而停滯或表現出不穩定的行為。

在其他算法中，有些只有在查詢次數較高時才顯示出這種趨勢：FAE、SAE和MLAE（LIS）。這是由于它們的偏移量更大和/或學習速率更慢；它們使用的電路比最優電路短，這增加了量子成本并延遲了退相干的影響。這并不構成優勢：我們感興趣的是給定誤差幅度下的噪聲影響，而不是成本。（否則，人們可能通過無益地增加成本來“改善”算法的抗噪聲能力，導致圖中向右移動。）

出于類似原因，MLAE-LIS在高查詢次數時由于涉及大量小項（數萬個電路的可能性）的產品優化而遇到運行時和數值穩定性問題。

同樣，我們注意到查詢總數可能與退相干的影響沒有直接關系，也不是存在噪聲時不穩定行為的唯一預測指標。這些查詢是累積的，并不一定與最大電路深度成正比（盡管對于某些算法來說大約如此，例如MLAE-EIS的幾何級數電路）。

這些是我們工作的主要結果。我們已經證明BAE：

1. 在無噪聲的情況下實現了海森堡極限估計，斜率與最佳算法一樣好；

2. 與所有其他測試算法相比，偏移量更小；

3. 與其他算法不同，能夠適應嘈雜的場景。

最后一點與來自靈活且廣泛框架的其他優點有關：BAE能夠適應實驗限制或偏好，評估噪聲模型的優點，利用先前可用的信息，并利用各種權衡。

6 結論和未來工作

我們提出了BAE，這是一種QAE算法，能夠實現海森堡極限估計；高度可定制，能夠在涉及的多重成本之間進行權衡；可并行化和可擴展；并且對噪聲具有彈性。數值模擬顯示，我們的算法與最先進的算法相比具有穩健的性能，無論是在有噪聲還是沒有噪聲的情況下。這使得它在NISQ和容錯時代之間的過渡中特別有趣，因為它可以在這些體制之間進行插值。

特別是，BAE能夠表征噪聲并相應地自我適應。這使得它比未能考慮外部噪聲源的算法更適合有缺陷的量子設備。雖然噪聲仍然可以減慢學習速率，但正確處理它可以在保障正確性的同時最小化這種減速。我們觀察到，即使在其他算法因噪聲而飽和后，我們的算法仍然繼續學習。

我們還提出了aBAE，這是BAE的一個退火版本，它僅基于統計簡并性的度量來指導推斷。這使得評估效用函數的成本與參數數量無關，并有助于在多維場景中確保穩定的數值表示，如詳細描述噪聲時所帶來的場景。

相關的，未來工作的一個有趣方向是使用更復雜的噪聲模型來測試算法。這樣的模型預計將從所提出方法的魯棒性中獲益最多，即高效的多維采樣和BAE的退火變體。這一改進是未來工作目標的關鍵一步：在真實的量子設備上執行量子幅度估計，而不是依賴數值模擬。

其他可能的研究方向包括對BAE算法特定部分的修改，即效用函數、控制優化程序和數值表示。這可能進一步提高性能或降低經典成本。

最后，BAE算法可以直接應用于介紹中提到的表征任務，在量子技術中有許多潛在應用——即超導和光子量子計算以及傳感。

原文鏈接：https://www.researchgate.net/publication/395424691_Bayesian_Quantum_Amplitude_Estimation