特級教師張宏偉：復習課怎么設計怎么上——全景貫通式教學例談

數(shù)學教學需要隨時引導學生貫通不同年級、不同領域，探尋更一般的通用策略、通用方法、通用思想觀念，看見更多的一致性，發(fā)掘、感悟和打通更數(shù)學深層的本質，構建一個更豐富、立體的、數(shù)學網(wǎng)絡結構系統(tǒng)，形成更具“遷移力”的核心素養(yǎng)；即：歸宗。為此，全景式數(shù)學教育團隊創(chuàng)生了全景式數(shù)學貫通課。同時，全景團隊在通過貫通的達成“歸宗”的基礎上，還試圖引導孩子學會“打破”課本和自我認知的限制，打開更多的窗，看見數(shù)學更多的可能、更豐富的世界，豐富學生智力背景、毓養(yǎng)更有想法的人。本文實錄的《另類的分數(shù)比較》就是其中的一個范式，以此為例，演繹了如何貫通、歸宗和更多地打開。

前言：什么是數(shù)學貫通課

聯(lián)系觀，是唯物辯證法的一個總特征和最基本的認識方法論。聯(lián)系具有普遍性、客觀性、多樣性、條件性和可變性。

全景式數(shù)學教育團隊主張用“聯(lián)系觀”看待每一項教學內容、每一次的數(shù)學學習活動，努力做到讓學生日常習得的都是“渾身長滿鉤子的知識”， 即：向前→勾連貫通以往所學；向后→勾連貫通未來要學，向周圍→勾連貫通其他領域、其他學科、社會生活和大千世界……同時，我們還創(chuàng)生了很多的貫通不同年級、不同領域，探尋更一般的通用策略、通用方法、通用思想觀念，看見更多的一致性，發(fā)掘、感悟和打通更數(shù)學深層的本質，構建一個更豐富、立體的、數(shù)學網(wǎng)絡結構系統(tǒng)，形成更具“遷移力”的核心素養(yǎng)，專項研究課，即：全景式數(shù)學貫通課。

筆者以前在中國教師報課博會、課改中國行研討會上執(zhí)教的《口訣暢想》《看透運算的真相》，以及上屆課博會執(zhí)教的《另類的分數(shù)比較》等都屬于全景式數(shù)學貫通課。以下，是《另類的分數(shù)比較》這節(jié)課的教學實錄和各個教學環(huán)節(jié)的教學意圖以及核心素養(yǎng)聚焦的詳細闡釋。

教學實錄與解析

一、課前暖場

（一）師生簡單了解彼此

師生彼此大致了解后，教師拋出：我還有一個外號，叫“三胡老師”，想知道為什么不？（生：想！）

師：因為，在張老師的課堂上，對數(shù)學，你可以天馬行空，胡思亂想，因為只有敢于胡思亂想，才會產生奇思妙想；二是，只要讓你發(fā)言了，對數(shù)學，你可以胡說八道，因為你只有今天敢胡說八道，未來才能能說會道；三是只要你不違法、不違規(guī)、不打擾別人，在數(shù)學學習上你可以胡作非為，想怎么干就怎么干，因為你只有敢于對數(shù)學“胡作非為”，未來才會在數(shù)學上有所作為。

（二）贈給孩子課本上沒有的禮物——看見不一樣的算法（印度算法等）

【教學意圖：好的教與學始于良好的師生關系。因為借班上課，師生在上課之前，未曾謀面，互不認識，先通過暖場活動，可以拉近師生關系，為課中學習建立良好的情感和心理的基礎。】

二、課中研究

活動（一）：課前自修的分享和交流

1.老師昨天給同學們發(fā)了一封信，誰來給聽課的老師們讀一讀（教師隨學生的閱讀相應板書：分類——舉例）。

附：提前一天與參與課博會公開課的六（10）班教師溝通，轉達我致同學們的一封信。

2.組內交流各自的想法并匯總提煉出自己小組都認同的分類方案。

3.分類、舉例與比法分享

教師根據(jù)學生反饋，相應板書：

【教學意圖與素養(yǎng)聚焦：課前建立師生連接，同時讓學生對小學已習過的分數(shù)大小比較的類型、方法進行自主回顧、梳理和建立知識結構；同時點明和強調“分類、舉例”的策略和方法，增強學生的思想方法意識。】

活動(二)：追溯本質、追根歸宗（其一）

1.回到學生的舉例1：1/3 ＜ 2/3 ，追溯同分母分數(shù)比較的本質

師：這兩個分數(shù)的分母相同，就是這兩個分數(shù)的什么相同？生：單位相同。

師板書“單位相同”后，問：分數(shù)單位相同，比分子，其實就是比什么？

生：比單位的個數(shù)。

師邊板書“比個數(shù)”邊問：個數(shù)多的就……？生：大！

師：分母相同，比分子本質上是……？生：單位相同，比個數(shù)。

2.回到學生的舉例2：4/5 ＞ 4/6，追溯同分子分數(shù)的比較的本質。

師：“分母相同，比分子”本質上“單位相同，比個數(shù)”；那“分子相同，比分母”本質上是……？

生：“個數(shù)相同，比單位！”（教師板書的同時，追問：單位越大就……？）

學生齊道：“就越小！”（眾聽課老師笑。）

師再追問：個數(shù)相同，比……（單位），單位越大就……？

學生再齊道：“就越小！”（眾聽課老師大笑!）

師三追問：個數(shù)相同，比……（單位），單位越大就……？

這時候有的學生說大，有的說小，有的學生公開聲明自己已經凌亂了。

活動(三)：繼續(xù)“歸宗”、四次“打通”

1.第一次打通，第一次覺悟比較大小的數(shù)學通法

師：之所以凌亂了，有一個重要的原因就是在學習知識時，沒有注意隨時和前面學過的內容打通，前后打通是學習數(shù)學、研究數(shù)學最重要的學法之一（教師板書：打通）。下面，我們就嘗試把一到六年級六年的比較一起打通一下：

師：一年級比較1元和1角，這是什么相同，比什么？單位大的就（大）

師：二年級比較2分米和2米，這是什么相同，比什么？單位大的就（大）

師：三年級比較3千克和3噸呢？

生：這也是個數(shù)相同，比單位，單位大的就大。

師：四年級比較0.4和0.04呢？

生：也是個數(shù)相同，比單位，因為0.4是4個0.1，0.04是4個0.01，個數(shù)同樣是4個，但是0.4的單位0.1大，所以0.4就大！

師：六年級我們還要學習百分數(shù)和千分數(shù)，10%和 10‰呢？（學生解釋略）

師：拿我們回到分數(shù)這里來：五年級（回到學生舉的例2：4/5 ＞ 4/6），你會從單位及其個數(shù)的角度理解和解釋嗎？

生：也是個數(shù)相同，比單位，因為4/5是4個1/5，4/6是4個1/6，個數(shù)同樣是4個，但是4/5 的單位大，所以4/5就大！

師：分子相同，比分母中的比法中“分母大的小，分母小的大”其實是說……？

生：分母大的小，其實就是說分數(shù)單位小的小。分母小的大，其實就是分數(shù)單位大的大。

教師板書：

【學生此時深度認識了分子相同比分母這種方法的本質！】

2.回到學生的舉例3: 5/6 ＜ 6/7,追溯通分比較大小的本質，感悟轉化思想，及其與打通思想的聯(lián)系。

1

師：第三種情況“分子、分母都不同”屬于哪種比較情況呢？

生：單位不同，個數(shù)也不同（教師在例3后面板書）

2

師：通分本質是把……？

生：把單位不同，變成單位相同。

師：你們說的變，就是數(shù)學的轉化。這樣就把“單位不同、個數(shù)也不同”“單位相同，比個數(shù)”怎樣了？生：打通了。

教師強調：轉化就實現(xiàn)了？（生：打通）；打通就可以實現(xiàn)？（生：轉化）。

3

還有別 的打通方法嗎？

這時候，很多學生一片茫然，于是教師板書出這樣一組特別分數(shù)啟發(fā)學生：1/350○2/711，通分母很麻煩耶！

這時候，學生恍然大悟：還可以通分子→2/700○2/711，立刻比較出了它們的大小；繼而，學生們感悟到：這是把“單位不同，個數(shù)也不同”轉化為“個數(shù)相同，比單位”。

師：通分子可以實現(xiàn)誰和誰的打通？（生反饋略）

師：通分母呢？（學生反饋略），

然后強調：通常說的通分指的是通分母。

3.總結三種情況、兩種方法

（1）以前三種分數(shù)比較的分類，本質看其實是分成了哪三類？

學生總結出三種情況：①單位相同、比個數(shù)；②個數(shù)相同，比單位；③個數(shù)、單位都不同。

（2）但是基本的比較方法其實是幾種？

學生總結的結果是兩種基本方法：①②，因為③要轉化成①或②去比。

4.第二次打通，再次覺悟比較大小的數(shù)學通法

（1）乘“盛”類比，跟進推想

師：同學們，研究到這里，你發(fā)現(xiàn)了沒？個數(shù)相同比單位，單位相同比個數(shù)，只是比較分數(shù)大小的本質方法嗎？

學生們：不是，它也是小數(shù)、百分數(shù)的比較方法。

學生們：還是比較量的方法。

師：還有嗎？（學生默然）

師：繼續(xù)個數(shù)相同比單位，單位相同比個數(shù)，能比小數(shù)、能比分數(shù)、能比百分數(shù)。繼續(xù)往下類推著想，那它還能比……？

學生猶疑地猜測到：整數(shù)？

（2）貫通整數(shù)的大小比較

師：再回到一年級，現(xiàn)在你能用這兩個更本質的比較方法，解釋一下為什么 40比4大嗎？

學生1：個數(shù)相同，比單位：“4個十”比 “4個一”大。

學生2：單位相同，比個數(shù)：40個1 比 4個1大。

師問：還有不同想法嗎？全體學生此時都認為沒有了。

5.第三次打通，從分數(shù)到數(shù)學的躍升

再匯通綜合地看：“個數(shù)相同比單位，單位相同比個數(shù)”，這個方法都能比什么的大小

生1：小數(shù)、分數(shù)、整數(shù)、百分數(shù)都能比

生2：還有量，數(shù)和量都能比。

師：你發(fā)現(xiàn)一到六年級的比較其實是……？

學生1：可以打通的。

學生2：方法是一樣的，都是……

師：不僅各年級打通了、一致了，而且當單位是正數(shù)的時候，比較大小的最后一步也一致了：個數(shù)大的就大，單位大的就大。（注：這里強調正數(shù)，保證目前生活中的通常比較和小學中的數(shù)學比較正確的同時，又為未來的數(shù)學比較的正確和課后延伸探究埋下了伏筆，如單位是負數(shù)等。）

師：那我們的課題是不是要改一下？

生：應該改成“數(shù)學的大小比較”。（教師把課題改成：數(shù)學的比較。）

6.第四次打通，從數(shù)學到萬物的躍升

只有數(shù)學是這樣比大小（多少）嗎？我們隨便找?guī)讉€生活實例，你看看分別屬于這兩種基本比較策略的哪一種：

①A、B用同樣的碗吃飯，A吃了兩碗，B吃了三碗。

②A語文老師讓一個字寫5遍，B語文老師讓一個字寫7遍。

③A月薪5千，B月薪5萬。

④A國約有1400枚普通導彈，M國約有1400枚核導彈，哪個國家對人類的潛在危險更大，為什么？

學生反饋（略）

師指著課題激發(fā)學生：這還僅僅是數(shù)學的比較嗎？

學生情不自禁地呼喊到：還是生活的比較；萬物的比較……

師動情地：是啊！也就是說“個數(shù)相同，比單位；單位相同，比個數(shù)”是……？

生：比較萬物多少的通用方法！

【活動二、三的教學意圖與素養(yǎng)聚焦：引導學生透過表面的“同分母比分子、同分子比分母、子母都不同通分”，看見數(shù)學比較的本質，探尋數(shù)學中比較大小的通法，乃至比較萬物大小（多少）的基本通法——即悟到數(shù)學一道——比較大小（多少）之道。】

活動四：兩度打破——突破課本和自我認知的限制，看見更多的可能

1.整數(shù)比較的打破——看見無數(shù)種“單位”

師：你們現(xiàn)在認識了打通、會把比較打通、實現(xiàn)了比較的打通，很不錯，但是你們說用證明40比4大的方法只有這兩種，讓我為你們感到遺憾，難道單位只能是“一”和“十”嗎？

過了一會兒，一個學生驚喜、機動地分享了他想法：40是10個4，而4只是1個4，它們單位相同都是4，但是10個比1個多得多，所以40大（全班同學自發(fā)喝彩！）。

師：你是這節(jié)課上第一個實現(xiàn)整數(shù)計數(shù)單位突破，太牛了，此刻你就是我們班的數(shù)學家！請同學們?yōu)樗o我們帶來的單位突破再次掌聲鼓勵！——學生的思維一下大開了，接著，同學們又類推想到了：40是20個2，而4是2個2；40是5個8，而4是半個8；40是80個0.5，4是8個0.5等等。

最后學生自發(fā)得到這個結論：其實 一個數(shù)的單位可以是除0以外的任何數(shù)。

【教學意圖與素養(yǎng)聚焦：打破了教材上只把“一、十、百…0.1、0.01…看作單位的局限和桎梏，在數(shù)的單位上又撕開了一道口子，打開了一扇窗，讓學生對“單位”的思考更多元、想法更多、視野更廣闊。】

2.分數(shù)比較的再打破——研究分數(shù)大小比較的另類N種方法

教師進一步激發(fā)：數(shù)的單位可以打破，分數(shù)，除了以上的比較方法，也可以打破嗎？還有不一樣的比法嗎？比如：4/5 和3/5 ，還可以轉化成什么比較？

生：轉化成小數(shù)比，4/5=0.8，3/5=0.6，因為0.8＞0.6，所以4/5 ＞3/5。

教師板書：

另類比法1：與小數(shù)打通，轉化成小數(shù)和小數(shù)比

師板書的同時追問：這其實是聯(lián)系學過的哪種知識，和誰進行打通？

生：聯(lián)系除法和分數(shù)的關系，和小數(shù)打通。

師板書“聯(lián)系 ? 轉化”并再激勵：非常棒！還能不能想出不一樣的比法？

于是，產生了下面的比法：

另類比法2：比它們的倒數(shù)，倒數(shù)大的反而小。

教師根據(jù)學生的闡述、板書后，在大力表揚的基礎上，再次“逼”問：還有不一樣的比法嗎？

這時候，有的學生會說沒有了，有的學生在靜默深思，最終還是沒有人發(fā)現(xiàn)新的比法。于是，教師開始啟發(fā)：分數(shù)既然可以和小數(shù)的比較打通，那么依此類推，可以猜想分數(shù)是不是還可以……？

有個別學生猶疑地自言自語到：整數(shù)？

師：給這些敢于猜整數(shù)的同學喝彩、鼓掌！

師：大膽暢想一下分數(shù)的比較如何轉化成整數(shù)的比較？

另類比法3：與整數(shù)打通，轉化成整數(shù)和整數(shù)比

有學生提出了這樣的猜想：

4/5 ○ 3/5，都乘5，變成4 ○ 3，因為4＞3，所以4/5＞3/5，道理：前數(shù)的5倍數(shù)，比后數(shù)的5倍數(shù)大；所以前數(shù)更大（本質上是：個數(shù)相同，哪個單位大的就大。）

驗證性練習：學生用這種方法比5/6和6/7，學生很快想到“乘分母的最小公倍數(shù)”，轉化成了35比36。

另類比法4：與整數(shù)打通，交叉相乘比

有學生在 5/6 ＜6/7 變成35比36的基礎上，創(chuàng)生了這樣的比較猜想：

用第一個分數(shù)的分子去乘第二個分數(shù)的分母，積是35；再用第一個分數(shù)的分母去乘第二個分數(shù)的分子，得36，因為第一個積小于第二個積，所以第一個分數(shù)就比第二個分數(shù)小（全體同學和聽課的老師主動為這個孩子的猜想喝彩）。

師：這個方法是不是適用于所有的分數(shù)比較呢？我們用這些已經比過、知道結果的題目來驗證，這種方法叫“執(zhí)果索因或執(zhí)果索法”，就是利用已經證實的結果，去探索得到這種結果的其他原因和方法。

所有學生都有一種發(fā)現(xiàn)新大陸的意外和驚喜。

師：你們能給這種比法取個名稱嗎？生：交叉相乘法。

注:此時應補充一個相等分數(shù)例子，以完善歸納類型，如：

另類比法5：與整數(shù)打通，轉化成分數(shù)和整數(shù)比

教師進一步激發(fā)：非要兩個分數(shù)都變成整數(shù)嗎？比如，5/6 ○ 6/7還可以？

孩子經過深思后欣喜發(fā)現(xiàn)：只要乘6或者7就可以了。

另類比法6：與整數(shù)打通，將其一變1

教師再激發(fā)：其中的一個能否變成一個更簡單、特殊的整數(shù)呢？（生：1）

于是有了：

另類比法7：直除看商

師：以上都是通過運算，實現(xiàn)了分數(shù)、整數(shù)、小數(shù)的打通。那它能不能和運算直接地打通呢？

學生通過計算很快發(fā)現(xiàn)：用前面的分數(shù)直接除以后面的分數(shù)，如果商大于1，前面的數(shù)就比后面的數(shù)大；商小于1，前面的數(shù)就比后面的數(shù)小。如：

此時，該下課了。

教師：算上前面的方法，我們已經研究了10多種不同的比較分數(shù)大小的方法，可遺憾的是該下課了，我們沒有時間繼續(xù)研究了，你覺得還有其他不一樣的比較方法嗎？全體學生堅定地：有！

師：有幾種？

生：很多種。

師：這些方法，課本有嗎？

生：沒有！

師：也就是說，數(shù)學要遠比你課本看見的？（多得多），課本上沒有，你們怎么研究？

生：查資料、上網(wǎng)……

師：還可以看看數(shù)學百科全書、數(shù)學讀物，加上上網(wǎng)，這是學習數(shù)學、看見很多不一樣的數(shù)學、不一樣的方法的重要路徑。

【教學意圖和核心素養(yǎng)聚焦：全景式數(shù)學教育的核心理念之一是“開更多的窗，播更多的種，留更多的芽，點更多的燈，永遠不要輕易給孩子設限，讓他們擁有更多的可能……”。以上的活動三就是在貫徹和落實這個教育主張，是在引導學生跳出課本，嘗試猜想和創(chuàng)生更多的不一樣的比法（想法），讓學生體驗到數(shù)學猜想、不斷追問、深度思考的力量，感受到數(shù)學的神奇、親歷學習數(shù)學和數(shù)學創(chuàng)造的快樂，看見比課本上更多的比較方法，看見不一樣的數(shù)學，豐富智力背景，聚焦核心素養(yǎng)，打開更多的窗，毓養(yǎng)更有想法的人。】

活動五：本節(jié)課的學習回顧和總結

師：該下課了，誰愿意來給大家聊聊你的收獲，或者談談和你上課前相比，你對比較、乃至對數(shù)學等看法上發(fā)生了哪些改變？

學生總結知識、技能收獲（略），有幾個學生的發(fā)言，引人深思：

一是數(shù)學不僅僅是課本上學的那些，數(shù)學比課本多得多，豐富得多！

老師可這樣引導和激發(fā)：是的，數(shù)學不止你看見的樣子，世界也不止你看見的樣子。

二是數(shù)學也有很多可能。

三是一位學生說“你改變了我的三觀”。

【解析：從孩子的感受和總結看：這節(jié)課孩子成長的不止于數(shù)學知識、技能，還有孩子的比較觀、課堂觀、學習觀、數(shù)學觀等，還有超越數(shù)學的一般的思想、更核心的素養(yǎng)。】

三、課后探究作業(yè)設計

教師在鼓勵學生把今天學習另類的比分數(shù)大小的方法，數(shù)學比較的三種基本情況兩大基本方法分享給家人、伙伴的同時，激勵課后繼續(xù)思考和繼續(xù)探究：今天學習的兩種基本方法中，如果單位是0或者是負數(shù)，那要怎么比，為什么？

【設計意圖：讓學生再帶著問題走出課堂，在課后續(xù)用的同時，又繼續(xù)進行新的思考，完善通法最后一步比的結果，看見未來的數(shù)學學習（中學、乃至大學），看見更多的數(shù)學、更完整的數(shù)學。】

四、板書設計

結 語

隨時把前后學習的知識進行打通不僅是學生學習的須要、數(shù)學本身的須要，也是新課標強調的教學要求（新課標中與打通有關的關鍵詞竟然出現(xiàn)了95次，其中數(shù)學的一致性18次、統(tǒng)一13次、整體和整體性32次、聯(lián)系34次）。

平時學習的隨時打通和這樣的專項打通課，不僅可以讓學生發(fā)掘、探究到各年級同類知識背后的共通、一致、更深刻的數(shù)學本質，共通、一致的思想方法，更重要的是它能讓學生學會打開數(shù)學知識間的壁壘、清除數(shù)學知識間通道上的障礙，更多地建立、密切和強化知識、思想、方法之間的聯(lián)系，使得學生內化的知識的整體性、系統(tǒng)性、結構性更強，理解得更通透（打通則通透）、掌握更扎實、提取更快捷、啟智生慧、增強遷移和解決的能力；同時，也能更好地毓養(yǎng)學生梳理、打通的意識、能力和習慣，更有利于培養(yǎng)學生數(shù)學的、乃至超越數(shù)學的、一般的通用核心素養(yǎng)。

總之，筆者認為數(shù)學教學應注意隨時打通，多研究和創(chuàng)生一些這樣的專項打通課，也期待和同仁就此進一步地溝通和探討。

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來源 | 全景式數(shù)學

作者 | 張宏偉 南京赫賢學校

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