何新《數學手稿》札記（2）

馬克思論笛卡爾及解析幾何的偉大發明

《數學手稿》（復旦版）p.144
“由于笛卡兒把代數應 用到幾何上去 , 也就是 通過解析幾何或高 等 幾何, 函數概念獲得 了新的發展和重要性未知量x，y等等變成了變量 , 而 已知量變成了常量 。
一個變量的函數是 另 一個變量 , 它的值隨著第一個的值的變化而變化 , 也就是說它 依賴于第一個變量。
它和不定等式 中的函數具有這樣一個 共 同 點 ,即 當給變量一個特定值時 , 它的函數就得到一個確定的相應的值。”

（北大版）p.190
“D ） 由 于 笛 卡 爾 把 代 數 應 ? 于 ? 何 ， 也 就 是 由 于 解 析 ? 何 或? 等 ? 何 ， 函 數 的 概 念 獲 得 了 新 的 發 展 和 重 要 意 義 。未 知 量 x ， Y等 等 變 成 了 變 量 ， ? 已 知 量 成 了 常 量 。
? 個 變 量的 函 數 是 另 外 ? 個 變 量 ， 它 的 值 隨 著 前 者 的 值 ? 變化 ， 也 就 是 依 賴 于 前 者 。
它 與 不 定 ? 程 中 的 函 數 具 有 共 同 點 ： 如果 給 變 量 以 ? 個 特 定 的 值 ， 那 末 ， 這 變 量 的 函 數 就 得 到 ? 個 確 定 的相 應 的 值 。”

【何新札記】我的解讀——什么是函數和解析幾何？

簡單來說，馬克思手稿這段話的核心意思是：笛卡爾通過將代數與幾何結合，創立了解析幾何，從而讓人們開始用“變量”和“函數”的眼光來看待世界，根本性地推動了數學的發展。

沒有函數和解析幾何，不可能有后來微積分的發明。

1/解析幾何是笛卡爾的偉大發明：

“由于笛卡爾把代數應用于幾何，也就是由于解析幾何或高等幾何，函數的概念獲得了新的發展和重要意義。”

在笛卡爾之前，代數（研究數字和方程）和幾何（研究圖形）是分離的獨立的。
（幾何學主要研究圖形的性質和關系，通過邏輯推理和幾何證明來解決問題；代數學則側重于研究數的運算和方程的求解。）
笛卡爾創立解析幾何（即坐標幾何），將二者聯系起來：
笛卡爾將代數方法引入幾何學，通過建立平面直角坐標系，把平面上的點與有序實數對一一對應起來，從而可以用代數方程來表示幾何圖形，用代數方法來研究幾何問題。
? 用坐標系將點與數對 (x, y) 對應。
? 將曲線看作滿足某個方程的所有點的集合。
這使得“變化”和“關系”成為數學研究的中心，函數（函套）概念也因此變得至關重要。

（何案：中國古代數學無函數概念，不必牽強附會。最早發明中文函數概念據說是李善蘭，取函套，一組數關聯著一組數的意思。
“函數”一詞源于清朝數學家李善蘭對英文“function”的翻譯。他將“函”解釋為“包含”，意思是若一個變量中包含另一個變量，那么前者就是后者的函數。
——也就是《數學手稿》常談的自變量因變量的關聯概念。）

2/從“未知數”到“變量”

“未知量 x，y 等等變成了變量，而已知量成了常量。”

? 無函數概念解應用題：例如在方程 3x + 2 = 11 中，x 被看作是一個確定的“未知數”，解出來的解，是唯一確定的值 x = 3。

? 解析幾何理念：在方程 y = 2x + 1 中，x 和 y 被視為變量——它們代表坐標平面上可以自由變動的點，其關系由方程決定。固定的數（如 2 和 1）則被稱為常量。

3/如何理解“函數”概念

“一個變量的函數是另外一個變量，它的值隨著前者的值而變化，也就是依賴于前者。”

這句話定義了函數：一個變量（因變量）的值，完全由另一個變量（自變量）的值決定。

? 例如：在 y = 2x + 1 中：

? x 是自變量（可自由變化）。

? y 是因變量（函數），它的值“依賴”于 x。

? 每當 x 取一個值，y 就有唯一確定的值與之對應。

這種“一個量隨另一個量變化”的核心思想，正是“函數”（函套）概念的精髓。

4/與“不定方程”的關聯

“它與不定方程中的函數具有共同點：如果給變量以?個特定的值，那末，這變量的函數就得到?個確定的相應的值。”

“不定方程”指未知數個數多于方程個數的方程，通常有多個解。

? 例：方程 x + y = 5。

這里 x 和 y 都是變量，可以自由取值，只要滿足 x + y = 5 即可。

如果我們指定 x 的值（如 x = 2），那么 y 的值就被唯一確定為 3。

函數的核心特征是給定自變量的一個具體取值，其函數值便被唯一確定。這與解析幾何中變量之間的依賴關系是一致的。在解析幾何中，通過代數方程描述的變量之間的關系，保證了對于自變量的每一個取值，因變量都有唯一的對應值，這正是函數概念的本質體現。
因此，解析幾何中的曲線（由方程定義）可以看作是“函數關系”的一種幾何體現。