金觀濤：第一次數學危機的啟示｜雙體實驗室

大家好，我是船長。

我們習慣用自然數丈量世界，卻鮮少追問：為何“1、2、3…”既能描述蘋果的數量，又能推導出質數分布的規律？讓我們重新審視一個始于古希臘的認知框架——自然數，其具有貫通經驗真實與數學真實的雙重結構。

金觀濤老師通過思想史溯源闡明：自然數是首個自洽的雙重結構符號系統。皮亞諾公理體系構建了純數學的邏輯骨架，而“三個蘋果”的經驗結構則賦予其現實錨點。兩種結構的重合，使數學推理得以穿透經驗世界。但這一優勢在空間測量中遭遇挑戰：古希臘人證明，正方形對角線與邊長的比值無法表達為整數比，該發現摧毀了“一切皆可度量”的直覺，卻意外催生出科學真實的奠基范式。

歐幾里得幾何學將作圖動作抽象為公理，使定理證明對應于受控實驗的符號化組織過程。邏輯推導的本質，是實驗可重復性在符號結構中的傳遞。當公理表征的測量操作被驗證為普遍有效，定理的真實性便由符號邏輯與經驗結構共同擔保——幾何學由此成為第一塊“拱頂石”，在經驗真實與數學真實間建立穩定聯結。

自然數靜默承載著理性文明的基因符碼，幾何公理驀然鏈接著抽象的數學世界與我們身處的經驗世界。重溯這座被現代哲學淡忘的認知橋梁，能幫助我們在虛實交融的時代，重新校準“真實”的尺度。

圖：《最后的晚餐》

第一次數學危機的啟示

文/金觀濤

在數“數”的背后：自然數的雙重結構

在《消失的真實》一書中，我就指出現代科學理論就是橫跨數學真實和經驗真實的拱橋。為了剖析這座拱橋的結構，我首先要指出，從真實性本身的擴展來講，科學（經驗）真實和數學（符號）真實的展開都只能依靠自身的真實性結構。如前所述，純粹數學圍繞提出定義（命題）、公理化、定理的推導和證明猜想展開，其發展必須基于數學真實自身的“邏輯”；科學（經驗）真實通過普遍可重復的受控實驗確立，其擴展依賴受控實驗的自我迭代和組織。

雖然科學（經驗）真實和數學真實各自都可以獨自發展，但在歐幾里得《幾何原本》出現之前，數學真實從來沒有根據自身的真實性結構順利地拓展過；同樣，現代科學理論尚未形成之時，科學（經驗）真實的進展亦是緩慢的，其發現也沒有通過受控實驗自我迭代和組織呈不斷加速的趨勢。這時，數學真實和科學（經驗）真實的展開大多出于偶然事件。雖然技術與受控實驗之間的關系十分密切，但技術的進步所依靠的受控過程之迭代和組織也不是經常發生的。這一切導致傳統社會科學和技術發展的緩慢。

科學技術史和數學史都表明，古希臘哲人發現幾何學是數學真實和科學（經驗）真實在互動中擴張的第一步。隨著歐幾里得《幾何原本》建立了從公理導出所有（幾何學）定理的公理化思維模式，幾何學就成為橫跨數學真實和科學（經驗）真實拱橋的第一塊拱頂石。從此以后，通過對歐幾里得《幾何原本》的模仿，在各個領域把科學（經驗）真實和數學真實互相聯系起來的架橋工程開始了。

17世紀之后，《幾何原本》的公理化結構通過數理天文學進入力學，形成了第二塊拱頂石，那就是以牛頓命名的經典力學。以實數為符號系統的現代力學理論形成之后，數學真實和科學（經驗）真實的擴張開始呈加速發展趨勢。我們看到新拱頂石的不斷出現與互相整合，其后果是橫跨科學（經驗）真實和數學真實的拱橋越來越寬。在《消失的真實》中，我已簡述過現代科學形成的歷史。現在必須從新的視角，再一次檢討這一過程。我先分析拱橋的第一塊拱頂石是如何發現的，然后敘述一塊塊拱頂石如何互相整合，最后形成現代科學理論神奇的整體結構。

圖：0-3 符號真實性和經驗真實性之間的拱橋

幾何學源于經驗測量。空間測量是人類最早掌握的受控實驗之一，但是在古希臘人發現幾何公理之前，它從來沒有和數學真實建立真正的聯系。橫跨科學（經驗）真實和數學真實拱橋的最初形態是幾何學，其出現是一件令人驚異的事情。幾何學一方面聯系經驗世界，另一方面立足于數學世界（具有真實性結構的純符號系統）。

數學真實的運行可以通過原始拱橋傳遞到經驗真實，幫助其擴張。經驗真實對數學真實的推動亦如此，而傳遞這種推動力的正是拱頂石。因此分析古希臘幾何學出現的各種前提，就成為研究建立橫跨符號真實和經驗真實拱橋的拱頂石的最佳案例。如前所述，橫跨經驗真實和符號真實之拱橋必須是具有雙重結構的符號系統。不可思議的是，這樣的符號系統自從人類學會數“數”以來就已經存在，那就是自然數。

至今我們仍不知道自然數是如何起源的，但只要會用自然數進行各種計算，第一個具有雙重結構的符號系統已經擺在人類面前了！我在“皮亞諾公理和科學真實的結構”一節指出，自然數可以視為一個和經驗無關的純符號系統，因為它具有皮亞諾—戴德金公理給出的結構。該結構最大的問題是很難用于數學計算。讓我們試想在該純符號系統中做加、減、乘、除等運算，其過程如下：先在符號系統中定義什么是加、減、乘、除等運算。就純符號系統本身而言，任何一種運算實為從集合中任意兩個元素找到其他一個元素的映射，該映射必須滿足一組法則。

用這一組法則來做加、減、乘、除等運算不僅復雜而困難，而且要讓這些法則對集合內所有元素有效，自然數集必須進一步拓展。學過初等數學就知道，只有擴大到復數集合，加、減、乘、除等計算才對其所有元素都是有效的。換言之，當自然數作為一個非經驗的純符號系統時，它很難用于進行計算。

表： 早期記數系統

為了計算，必須從另一個角度定義自然數。該定義人人皆知。先定義什么是1，它既是計數的單位，又是起始元素。然后把兩個1定義為 2，2是1的后繼元素，接著把三個1稱為3，3是2的后繼元素，如此等等……該定義實際上是把自然數視為其序號等同于大小之集合。請注意，給出計數單位必須立足于經驗（計數的單位），對后繼元素的定義也離不開經驗（計數的單位），故這是自然數的經驗定義。

我后面將證明，用經驗定義符號（即符號系統符合經驗），實際上是用符號關系表達經驗對象的結構。比如2是兩個1，3是繼2之后用單位數目數三次，這些都是數“數”的經驗（結構）的符號表達。一旦理解了自然數的經驗結構，我們就有一個驚人的發現：在自然數定義中符號系統的經驗結構和其作為純符號之真實性結構完全重合！

圖：皮亞諾公理

簡而言之，實際上，作為數學起點的自然數本身就具有雙重結構：一重結構是皮亞諾—戴德金公理，它具有純符號的真實性；另一重是和經驗對象的結構相同的符號結構，“數”的大小代表數“數”經驗的結構。在《消失的真實》和本書“經驗的真實性和邏輯的真實性”一節，我指出可以用符號之間一一對應來數“數”，這種表達集合大小的方法是非經驗的，而先規定數“數”單位，用單位的倍數表達經驗對象的大小，這種數“數”方法是經驗的，得到的符號系統的結構是經驗對象之間的關系。

“自然數為真”不僅表明其為普遍可重復受控實驗之符號結構，還在于它表達了數“數”的經驗結構。它是第一個將經驗世界和數學世界加以整合的具有雙重結構的符號系統！為什么自然數有如此神奇的結構？我們不知道。然而，正因為自然數的雙重結構，由自然數純符號的真實性（自然數的公理）推出的定理在經驗上一定是正確的。數論研究的不斷拓展就是符號真實和經驗真實互相促進的結果。

既然自然數是第一個具有雙重結構的符號系統，它為什么不能成為科學真實中橫跨符號和經驗拱橋最早的拱頂石呢？因為數“數”所表達的經驗似乎不是受控實驗。下面我將證明：受控實驗的基本結構可以包含在自然數中，但發現這一點極為困難。直至把自然數和線段（角度等）測量結果等同，才可能用自然數結構表達受控實驗。

理由很清楚，空間測量是最基本的普遍可重復的受控實驗，如果我們能用自然數代表測量結果，自然數就能將自己的經驗定義給予測量，自然數的雙重結構立即轉移到空間測量這一類獨特的受控實驗之符號表達中。

空間測量一旦成為具有雙重結構的符號系統，科學真實中受控實驗和數學之間的拱橋就有了第一塊拱頂石，經驗真實和符號真實在互動中的擴張就可以開始了。奇怪的是，每一個文明都知道空間測量可以用自然數來表達，但只有古希臘文明才孕育出了歐幾里得公理系統。這又是為什么呢？

關鍵在于，我們在直覺上感受到每一條線段都有一確定的測量值（兩個自然數之比），但這個直覺是錯的。只有先認識建立自然數之比和測量結果不可能一一對應，即發現存在著不可測量（比）的線段，我們才能找到第一塊拱頂石。在所有軸心文明中，只有古希臘文明發現了不可測量（比）線段 的存在。

圖：牛河梁三重圓祭壇（中）直徑比例接近根號二

“哲學之死”及其回光返照

測量是求兩條線段的比例，如果以a線段作為尺，用它來測量另一個線段b，得到比例是b/a，它的意義是b和多少個a重合。當不能重合時，把a分為n等份，用a/n作為尺來數不重合的部分。通常認為當n相當大時，用其來數b是多少個a/n總是可能的。所謂測量結果，是指b/a=m/n。這里，n和m是自然數。換言之，測量作為求兩條線段a和b的比例，就是去尋找相應的n和m，一旦找到，就建立了測量過程和自然數集的對應關系。這也是用數“數”經驗定義了線段的長度。為了分析上述對應是否可能，我們必須對測量過程做出更為細致的描述。

事實上，用數“數”經驗結構定義線段的長度，其前提是它可以用數“數”來測量。所謂用自然數來測量是指用如下受控過程（實驗）來比較兩條已經給出的線段。先將任何一條（可控過程規定的）線段分為n等份，用該線段的1/n作為單位長度（即尺）來數自己和另一個（可控過程規定的）線段，看它們是尺的多少倍。

當尺的m倍做不到和被測長度重合時，選比n更大的整數n+1將第一條線段再做等分，得到更精確的尺，看其若干倍能否和另一條線段相重合。用這樣的方法一直做下去，使得到的尺的若干倍和被測量線段重合為止。通常認為，上述方法是可行的，即只要將n一點點變大，總可以找到一種測量單位即尺，使第一根線段是尺的n倍，第二根線段是尺的m倍。

圖： 古巴比倫人用六十進制計算根號二

顯而易見，n和m不能同時是偶數。為什么？因為如果n和m均為偶數，則可用第一條線段的2/n作為尺再次測量，這兩條線段長度分別為n/2和m/2。如果這兩個數仍然都是偶數，則用第一條線段的4/n作為尺進行測量，一直到其中一個為奇數為止。因此，整個測量過程如下：我們從1開始增加n的數目，用第一條線段a的1/n當作尺來數第二條線段b，看尺的m倍能否和b重合；當n為偶數時，m必定為奇數。

這里，一個自然數如n首先是指某一種測量方法，其為將第一個線段a分為n等份，得到尺。與此同時，自然數還代表了測量結果，如對第一個線段a數了n次，對第二個線段b數了m次。由此可見，測量結果和自然數一一對應，是指對于任意兩個由受控過程得到的線段a和b，都能用上述測量方法找到兩個最小的自然數n和m與其對應，這就是線段的可測量（比）性。

表面上看，線段的可測量（比）和線段存在長度等同，因為人在經驗上可感知線段的大小即其有長度，故想當然地認為任何線段都是可測量（比）的。然而，這不成立！也就是說，存在著某些可控過程規定的兩條線段是不可能用上述方法和自然數n、m對應的。下面就是一個例子。

圖2-1是一個正方形，其作圖是一個普遍可重復的受控過程。我們可以用正方形作圖得到兩條線段，一條是正方形的邊AB=BC，另一條是正方形兩個頂點對角線AC。我們來尋找“尺”測量這兩條線段的長度，即將AB分為n等份，用AB/n作為“尺”來數AC。下面可以證明，無論怎么選n，都不可能使尺的m倍和AC重合。為什么？因為作圖可以證明：直角三角形ABC斜邊之平方是另兩條邊平方的和。也就是說，AC2=2AB2,如果可以找到自然數n、m和AB及AC對應，必定有m2=2n2。

根據前面測量的定義，n和m不能同為偶數，因為m2是偶數，m必定是偶數。這樣，n只能是奇數。然而，基于自然數公理可推知：當m是偶數，n是奇數時，m2=2n2是不可能的。為什么？因為m是偶數，它可以表達為m=2p，于是有m2=4p2=2n2,則有n2=2p2。這樣，n只能是偶數，這與線段測量要求n為奇數矛盾。

圖：2-1 直角三角形斜邊的不可測比性

不可測比線段的存在，表明不能將線段測量這類受控實驗和自然數一一對應起來。原來，對那些不可測比的線段，用兩個自然數之比來表達測量結果，這只是一種近似，充其量為數學（用自然數來數“數”）的應用，并不是發現了自然數經驗結構和線段長短之間存在著必然的聯系。這時，數學真實和測量結果之間存在著鴻溝，空間測量和線段及角度關系之研究不可能運用自然數結構所蘊含的數學推理（公理化推導）。這一切表明，即使在空間測量這種最單純的受控實驗中，找到橫跨科學（經驗）真實和數學真實鴻溝拱橋的第一塊拱頂石也并不容易，這正是除古希臘外其他軸心文明沒有發現幾何學的重要原因。

如何克服不可測比的困難？一個辦法是改變數的定義，把每一條線段的長度和一個數對應。這就是把數的定義從自然數擴大到實數集，自然數只是實數集的子集合。從經驗上定義實數很容易。這就是把線段等經驗對象視為有大小的，其大小就是長度，長度對應著數。定義經驗對象的大小如長度，這和自然數的經驗定義類似，運用序號等于其大小的原則。

但如何使每一個實數（連續量的序號）在不指涉經驗對象時也是真的？這極為困難。自然數的最奇妙之處在于，它既具備數“數”的經驗結構，又具備純符號真實性的皮亞諾—戴德金結構。把實數和線段長度對應，只是其經驗結構，如何讓實數集具有純符號的真實性，這涉及引進新的表達符號真實之公理。本章后文會談到實數的公理化結構，這是19世紀下半葉才確立的。

由此可見，要找到橫跨經驗世界和數學世界的拱橋的第一塊拱頂石，一開始只能用另一個辦法，那就是先用邏輯語言陳述測量過程及其結果，它符合經驗，使相應符號串具有經驗世界的結構，然后再將這些符號串和自然數建立對應關系，使整個符號系統具有純符號真實的結構。這樣一來，測量就成為具有雙重結構的符號系統。下面我們來證明這樣的符號系統就是幾何學。

本文系摘選自《真實與虛擬》一書第二編第一章節1-2兩節。為便于閱讀，部分段落做了拆分和刪減，推文標題為編者所擬，學術討論請以原文為準。文中部分配圖來源于網絡，如有侵權請聯系公眾號后臺刪除。

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內容編排：夢丹

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