東風-5C覆蓋全球，從火箭彈道學上來講是什么概念

在這次93閱兵的時候，有這么一句讓人十分提氣的講解“東風-5C的打擊能力可以覆蓋全球”。本身這就是對一型洲際彈道導彈的最高的夸耀，但最近很多粉絲在問W君，覆蓋全球是一個“偽命題”吧？畢竟我們早期以東風-5為原型發展出的長征系列運載火箭不早就可以發射衛星圍著地球轉圈了嗎？才堪堪“打一圈”是不是有點弱了？

之所以今天寫這個主題，是因為這是很多不懂火箭彈道的人的一個誤區。很多人下意識會覺得：長征火箭能把衛星送上天，繞地球一圈又一圈，那不就比“打全球”還牛嗎？這其實是兩個完全不同的物理邏輯。很多人根本不知道“覆蓋全球”在技術上的含金量是多高。

當火箭把衛星（載荷）推送到第一宇宙速度（約7.9 km/s）后，它就進入了一個自由落體狀態——不斷下墜，但因為地球是圓的，它始終“墜不到地面”，形成了繞地球飛行的軌道。這是很多人要去首先的航天軌道學的第一個門檻。

假設我們要沿著水平面開一炮，很不幸的是炮彈滾動到炮口后耗盡了所有水平方向的動能，炮彈的水平初速度為零，那么它就只受重力作用垂直下落，這時根本沒有拋物線，軌跡是一條豎直直線，曲率為零。只有在存在水平初速度的情況下，重力加速度才會把運動軌跡彎曲成拋物線。

炮彈的初速度如果大于0呢？這就是一個平拋運動了，速度越快落點就離炮口越遠，從運動方程上來看平射的射程就是炮口高度到地面自由落體所需要的時間X炮彈的初速度。

這時候我們就得出兩個結論炮口離地面越高，炮彈打得越遠；炮彈初速度越高，炮彈打得越遠。不過，這些推導的前提在于我們認為地面是一個無限展開的平面，重力的方向也是一直垂直于地面平面線下的。

但是，人嘛真的很渺小，我們以為的“平”只是我們的一個感覺。

現在都知道的是——我們的地球的確是一個球。

而且還是一個半徑達到6371公里的巨大球體。

這意味著三件事：第一、重力的方向并不是沿著地面展開的，而是時刻的指向地球的質心；第二、地面并不是一個水平展開的平面，而是一個彎曲的曲面；第三、當炮彈（或火箭）速度足夠大時，它的下落曲率會逐漸接近地球表面的曲率。如果某一瞬間這兩條曲線完全吻合，那么炮彈就再也“落不到地面”，而是以自由落體的形式永遠繞地球飛行——這就是我們所說的第一宇宙速度（7.9千米/秒），軌道運動由此誕生。

這是一種角動量守恒的產物，本質上衛星并沒有再耗費多少能量，只是“慣性滑行”。它能覆蓋全球，是因為它在幾十分鐘內繞地一圈，把地表的各個點“掃”過去。

為什么前面把“第一宇宙速度”標黑了呢？我們要考慮一個問題——如果速度大于7.9千米/秒會怎么樣？例如9.7千米/秒，多出去的這些速度會怎么樣存在或者說要怎么轉化？實際上會在動能和勢能之間相互轉化。這就是“軌道能量守恒方程（vis viva equation）”，也叫“活力公式”。

其中，v代表衛星在某一軌道點上的速度，r代表了衛星到地心的距離，a代表了軌道的長半軸長度。由于G和M也就是萬有引力常數和地球質量是不變的。因此這個公式有“玩崩了”的時候例如a=∞。這時候這個公式就變成了

我們如果代入地球半徑r、萬有引力常數G和地球質量M就可以很方便的得出11.19千米/秒的速度，在這速度下——這就是地球第二宇宙速度的來歷。

當然了，你也以用動能和勢能的轉換公式來平攤掉衛星相對于地球的勢能。也可以得出一樣的結果，速途同歸嘛，或者用第一宇宙速度直接乘以根號2也能得出這個結果。

這些都是軌道飛行的計算方法。但是如果是亞軌道飛行，例如洲際彈道導彈這事情就復雜得多了。真的，別以為亞軌道飛行因為有個“亞”字就比軌道飛行簡單。軌道飛行最主要的控制實際上是控制了“速度的窗口期”，以不同的速度來區分和設定軌道形態。軌道飛行計算簡單就簡單在了將地球當作一個質點來計算。

在軌道計算中你只要假設地球是一個點質量（或者一個完美球體），就完全不妨礙你后期的任何計算。原因很簡單：一旦衛星離開稠密大氣層，飛行高度達到幾百公里以上，空氣阻力已經衰減到可以忽略的程度。此時軌道運動的主導因素就是萬有引力，空氣的擾動幾乎不再扮演任何角色。

誠然，地球表面確實并不光滑，我們人眼看到的喜馬拉雅山高達八千多米，馬里亞納海溝深達一萬一千米，這在直觀感受上是“極端的高差”。可一旦和地球半徑 6371 公里對比，你會發現這點起伏幾乎微不足道：8/6400 ≈ 0.00125，11/6400 ≈ 0.0017，這只是千分之一到千分之二的量級，換算到小數點后幾位而已。而且這玩意還經常放在根號里面，所以這點差異對軌道計算來說，它們帶來的引力場擾動遠遠小于一顆衛星上某個小零件偏心安裝所引發的姿態誤差。

換句話說，在數百公里乃至數萬公里的尺度上，地球的“凸起與凹陷”不過像一個光滑鋼球表面的微小劃痕，而衛星本身的結構偏差反而可能帶來更直接的擾動。比如一顆螺絲如果擰歪了，造成質心輕微偏移，它對姿態控制的影響要比珠穆朗瑪峰的存在還要立竿見影。

所以，把地球簡化為點質量或完美球體并不是偷懶，而是“抓大放小”。這正是軌道力學的魅力所在：只要掌握主要支配力（引力），其他一切細節修正都可以在后續逐層疊加，而不會影響核心模型的成立。

但是當我們把話題從衛星軌道轉向彈道導彈時，情況就完全不同了。

短程導彈的彈道設計和炮彈幾乎一樣，只需要考慮初速、仰角、大氣阻力，就能用經典的拋物線近似去描述。這一階段的計算還算簡單，和物理課本上的“斜拋運動”差別不大。大部分短程彈道導彈也可以在飛行過程中依靠各種導航設備進行彈道修正。這件事對于一般的國家來說都不叫事。即便是W君自己在家里依靠萬能的某寶上能買到的電子部件也可以手搓一枚性能還算不錯的短程彈道導彈，這并不是吹牛，而是短程彈道導彈技術就是這么簡單。

可一旦進入中程、遠程導彈、洲際彈道導彈的領域，難度就呈指數級提高。

先說彈道的設計。作為一枚真正能發揮軍事價值的彈道導彈，地球的自轉就成了必須考慮的因素：地球不是一個靜止的點質量，而是一個不停旋轉的球體。緯度不同，發射方向不同，地轉偏向效應就會讓落點差之千里。打個比方，從赤道向東發射，地球自轉還能“贈”你幾百米每秒的初速；可如果從高緯度甚至朝西發射，你就得自己“倒貼”速度去補償。

很多人以為所謂打半個地球（全球覆蓋）的彈道導彈，軌跡是這樣的——從地球的一端發射，彈頭劃出一道完美的弧線，繞過半個地球后輕輕落到另一側。聽起來像是衛星繞行的簡化版，甚至像一個優美的拋物線覆蓋整整半個地球。

從地球的一端發射，繞過半個地球打到地球的另面。但這個事情對嗎？？？典型的彈道導彈再入是這樣的場景：

很多人覺得半圈軌跡就是“從地球一端飛到另一端”的優美大弧線，仿佛彈頭會像飛機一樣繞半個地球飛過來。但如果真是這樣，落點處看到的場景就不是“從天而降”，而是一輛迎面撲來的大卡車。

同時，物理定律不允許這種“卡車式”再入。按照這種軌跡，再入角度太淺了，彈頭會被大氣層像水漂一樣彈開，根本落不到地面。真實的洲際導彈再入，如前面照片所示，都是在十幾度的再入角窗口內，以近乎垂直的姿態砸下來。這才是既能穿透大氣，又能確保打擊的軌跡。

這里就涉及到了另外的一個窗口，再入角選擇窗口，彈道導彈的軌跡也就不是經典的拋物線軌跡了。而是需要計算偏心率的橢圓軌道，只不過這個軌道被地平線剪切了。

根據不同的再入窗口選擇，實際上洲際彈道導彈的飛行軌跡也就成了下面的樣子。

洲際彈道導彈被遠遠的拋出地球表面，在經過了一段地球自轉周期時間后恰好以最佳的角度落入再入窗口。

為什么這樣做，不僅僅是因為再入窗口太淺會導致彈道導彈被大氣層彈開，太深實際上也會導致彈道導彈彈頭和大氣劇烈的撞擊超過了彈道導彈自身能承受的動壓直接被大氣層摧毀。

討論到這個階段，其實我們還是在把地球當作一個二維對象來討論，并沒有涉及到發射點位和目標點位的關系，也并沒有考慮到不同緯度上的地球自轉線速度，也沒有討論科里奧利力對非赤道方向飛行物體的影響。如果放大到這些參數，W君自己家里的服務器計算出一枚洲際彈道導彈的飛行參數要比這枚導彈真正飛一遍的時間還要長，為了寫一篇文章還真不值當的浪費那么多電費。

彈道導彈飛行軌跡這件事在彈道導彈部隊中的工作叫做“彈道設計”，這是一個技術兵種所承擔的工作任務。但彈道設計中所設計出來的彈道就只是一個理論上的飛行軌跡。導彈之所以叫做“導彈”是因為這些武器具有歸航（Homing）特性。

在導彈發射前，會根據彈道設計結果進行“數據裝訂”和“歸零”。所謂數據裝訂，就是把目標坐標、預計彈道參數一股腦兒寫進導彈的大腦里；所謂歸零，則是把所有傳感器和導航平臺的初始狀態統一到一個基準點上。只有這樣，導彈在起飛后才能把自己感受到的每一絲加速度、每一度偏航，都和事先的“理想彈道”進行對比。

自這一刻起，導彈的飛行就進入了一個動態閉環：傳感器捕捉擾動，計算機做差分，控制舵機輸出修正。每一次擾動都會被處理成“歸航動作”，讓導彈一步步把自己拉回（保持）到預定軌道上。

不過，在導彈真正飛行的過程中，來自于環境的擾動以及導彈結構、工藝、發動機動力輸出偏差等形成擾動的因素主要要分為軟硬兩種截然不同的擾動方式。對于“軟”擾動往往出現在導彈發射的初期以及上升段飛行的過程中。這里面有橫風、地球的重力偏差、火箭發動機的設計、加工缺陷等一系列微小而不容易察覺的加速度。往往一些加速度只有0.0幾個G的量級。

單次看似無關緊要，但它們在數千公里甚至上萬公里的飛行中不斷積累，如果沒有導航系統的動態修正，落點可能會偏離目標數百公里。正因為如此，慣性導航系統要在上升段不斷進行高速積分和反饋，把這些細小的擾動逐步消解。

與“軟擾動”相對的，就是“硬擾動”。如果說軟擾動像是蚊子在耳邊嗡嗡叫，讓你不得不時不時揮揮手，那么硬擾動就是迎面一拳，瞬間讓整個彈體偏離既定姿態。

最大的一次“硬擾動”來自于再入體再次進入大氣層所面臨的氣動加速過程。當再入體以數千米每秒的速度重新“砸”進稠密大氣，它面對的不是輕描淡寫的空氣阻力，而是一堵實實在在的“空氣墻”。此時的再入體等效馬赫數往往在20以上，空氣被壓縮成熾熱的等離子體，瞬間在頭錐周圍形成高溫高壓的激波層。

通常導彈在這個階段大氣密度隨高度的非線性變化會導致氣動力呈指數級上升。導彈再入體往往在十幾秒內從近似“真空運動”直接進入“超大氣動載荷”區間。再入體哪怕外形上只存在微小的幾何偏差，都會在極端速度下被成倍放大，導致橫向氣動力驟然傾斜，讓彈頭猛然偏離設計軌跡。再入階段再入體承受的過載常常高達幾十個G。對于舵機和微小的姿態修正機構來說，這就是生死考驗：動作慢一拍，就意味著徹底喪失穩定性，讓導彈大幅度的偏離目標。

這里就有兩個矛盾了，對于軟擾動要求的是陀螺儀有穩定的細致的分辨率，而對于硬擾動則要求陀螺儀具備更大的值域和更快的響應速度。

最簡單的方式就是在彈道導彈中安裝多個陀螺儀，以滿足不同航段的導航精度要求。這也就是為什么有的人說高端的彈道導彈里面都有3-6個價值幾十萬美元的陀螺儀的基本原因。

其實導航在導彈中的技術相當硬核，不過至于很多人認為的北斗導航或者GPS導航反而和彈道導彈的導航關系并不大，這些基于衛星信號的定位方式最多是幫助彈道導彈在發射前進行精確的地理定位，在飛行過程中，這些信號很難滿足彈道導彈的工況——飛行速度太快了，北斗/GPS刷新間隔就顯得過長了。

彈道的設計能讓一枚導彈真正切實可行的飛半個地球的距離，高精密度的導航設備可以讓導彈遵循預定彈道飛行。但只有這些還不夠！

洲際彈道導彈最大的考驗，其實是在最后階段：再入。按照彈道導彈的設計彈道公式來說，并不是因為是洲際導彈，它就必須刻意追求馬赫 20 甚至馬赫 25 的末端速度；而是由于射程增加，中段彈道高度抬升、飛行時間延長，最后在重力勢能和軌道能量轉化的作用下，彈頭再入時自然會“附帶”上這個速度。換句話說，末段的高超聲速不是人為目標，而是射程的物理必然結果。

問題也正出在這里：這份“副產品”帶來的速度，讓再入成為導彈全程里最危險的考驗。大氣層在彈頭面前不再是稀薄的空氣，而是接近固體壁障的阻力壁壘。沖擊波把空氣壓縮成高溫等離子體，溫度飆升到幾千度，外殼材料必須在極端燒蝕中維持結構完整。同時，幾十個 G 的減速度加上極強的氣動擾動，會考驗再入體的氣動外形、熱防護系統和末制導機構。

例如咱們這次展示的東風-5C飛行距離可以達到“全球覆蓋”，這就證明了這枚導彈可以至少飛行12000–15000 公里，在100公里的高度越過卡門線的速度是9.42 千米/秒。按照傳統的大氣模型來計算，大約在71公里的高度上，一枚再入體彈頭將迎來動壓峰值55609 kP。這個時候再入體的相對于大氣的速度大約在馬赫28左右。

這時候再入體彈頭上的承壓點大約承受的壓力相當于一臺40噸級液壓機輸出在壓力盤上的壓力。從結構設計上來說，再入體必須要承受的住如此巨大壓力。這其實是很多洲際彈道導彈的一個技術難點。所以，從結構設計的角度，這就是洲際導彈的真正門檻。能把衛星送上天不等于能讓彈頭活著再入。衛星進入軌道后只需“慣性滑行”，而導彈必須從真空一路穿越到稠密大氣，還要保證外殼、隔熱層、舵機在“空氣墻”里不被直接撕碎。正因如此，許多國家哪怕能造出能把衛星送上天的長征型運載火箭，卻依舊難以邁過“洲際導彈”的門檻。

所以——現在知道“覆蓋全球”的概念和含金量了吧？