維格納——群論應用于量子力學的開拓者

|作 者：曹則賢?

(中國科學院物理研究所)

本文選自《物理》2025年第9期

思維鋒利如刃，神情和藹可親。1)

摘要維格納深刻認識到對稱性之于物理學的意義，對發展群論的量子力學應用做出了突出貢獻；特別地，他的工作解釋了為什么群論應用于量子力學會比應用于經典力學能得到更多的結果。1925年維格納甫一出道即提出量子能級必有自然寬度，其硬性假設的關系式

h

后來被當作能量—時間不確定性關系。維格納對物理學的貢獻是全面的，在數學物理、相對論、量子力學、粒子物理和固體物理方面都留下了個人印記。

關鍵詞對稱性，群論，分子譜，能級寬度，維格納定理，Wigner—Eckard定理，Wigner—Seitz單胞

0 維格納其人簡介

維格納(Eugene Paul Wigner，1902—1995)1902年出生于匈牙利布達佩斯。在5歲到10歲期間維格納念私塾，1912年到德語學校Lutheran gymnasium上學。維格納1920年中學畢業后，為了日后的掙錢大業，決定選擇讀化工專業。1920—1921年間維格納在布達佩斯大學學了一年化工，第二年轉學到德國的柏林技校(die Technische Hochschule Berlin)，因為那里的化學比較強。在柏林求學期間，維格納對數學和物理的熱情不減，在那里他試圖學到更多的理論物理，幸好不遠處就是柏林大學，當時那里有普朗克、愛因斯坦和勞厄等人。1924年，維格納從柏林技校畢業，本科論文(Diplomarbeit)是關于crystal structure of rhombic sulphur (硫的菱方晶體結構)。晶體是原子對稱排列的固體，維格納的本科論文工作奠立了他一生工作的基調：對稱性。

維格納大學畢業后在柏林技校接著跟Michael Polanyi(1891—1976)攻讀化工博士，論文題目為Bildung und Zerfall von Molekülen(分子的形成與分解)。他們在研究原子與激發態分子的平衡中注意到，量子能級不是絕對確切的，而是有一定的寬度。與此相對，角動量卻有確定的值(the electron’s angular momentum had its definite value)。1925年，維格納獲得工學博士學位，成了Dr. Ing. Wigner {Dr. Ing.是博士工程師的縮寫。1923年，Dr. Ing. Rudolf Plank為我國帶來了熵的概念，他被訛傳成了I. R. 普朗克。參見拙著《物理學咬文嚼字》卷一}。

圖1　維格納(1902—1995)

維格納博士畢業后回到布達佩斯，進了皮革廠(圖1)。不過，他訂了份德語物理雜志

Zeitschrift für Physik

。在這份雜志上，維格納讀到了玻恩和約當關于矩陣力學的文 章。{It was there that he first read the article by Born and Jordan on matrix mechanics. 這是我讀到的極罕見的忠實于史實的關于矩陣力學的描述！}維格納因為研究過晶體，懂矩陣，他輕松看懂了玻恩—約當的矩陣力學論文以及接下來的玻恩—海森堡—約當那一篇。他當時的知識可以計算(電子的)能級以及描述躍遷。

維格納的導師Polanyi惜才，把他推薦給了柏林技校的新任理論物理教授Richard Becker做助手。在接下來的一段時間里，他的三篇關于量子力學的論文讓他名聲鵲起。1927年底，維格納受邀到哥廷恩給希爾伯特當助手，對于技校畢業的年輕學者來說這得算是一步登天。{一剎那間，筆者覺得登堂入室有了具象}。不過此時希爾伯特已經病得很厲害了，和維格納沒有多少學術上的合作。在哥廷恩，維格納認識了玻恩、約當與弗蘭克等人，和約當成了親密的合作者。1928年，維格納回到柏林技校任私俸講師，1930年成了那里的編外教授(au?erordentlicher Professor)。在1929年底維格納就收到了普林斯頓大學的邀請，柏林技校也為他提供了半時聘任。維格納1930年到普林斯頓大學工作，1935年在威斯康星大學謀得全職教授的位，1937年加入美國籍。在1932年原子核的質子加中子模型被提出來后，維格納轉向原子核物理的研究，并做出了突出貢獻。維格納于1938年獲聘普林斯頓大學數學物理教授，此后參與了曼哈頓計劃，二戰后繼續研究相對論量子力學。

1維格納的量子力學著作

維格納的“群論及其在原子譜量子力學中的應用”(Eugene P. Wigner, Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektren, Vieweg (1931). 有英文版 Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra) 一書是最早的那批量子力學著作之一，其對量子力學的推廣與應用具有重要的意義(圖2)。維格納的散文集 Symmetries and reflections (The MIT Press，1970)也有一些值得關注的相關內容。

圖2　維格納著

Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektren

維格納發表了眾多有價值的數學與物理研究論文，其中與量子力學有關的論文大致羅列如下：

(1) M. Polanyi, Eugene Wigner, Bildung und Zerfall von Molekülen (分子的形成與分解)，

Zeitschrift für Physik

33, 429 — 434 (1925).

(2) Eugene P. Wigner, über nicht kombinierende Terme in der neueren Quantentheorie (論新量子論中的非組合項), Zeitschrift für Physik 40，492—500(1926)；40, 883—892(1927).

(3) Eugene P. Wigner, Einige Folgerungen aus der Schr?dingerschen Theorie für die Termstrukturen (關于項結構基于薛定諤理論的一些推論)，

Zeitschrift für Physik

43, 624 — 652 (1927).

(4) Eugene P. Wigner, über die Erhaltungss?tze in der Quantenmechanik (論量子力學中的守恒律),

Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen

, Mathematisch-Physikalische Klasse

, 375— 381 (1927).

(5) John von Neumann, Eugene P. Wigner, Zur Erkl?rung einiger Eigenschaften der Spektren aus der Quantenmechanik des Drehelektrons (基于轉動電子的量子力學對譜性質的解釋), Zeitschrift für Physik 47, 203—220 (1928); 49, 73—94(1928); 51, 844—858 (1928).

(6) Pascual Jordan, Eugene P. Wigner, über das Paulische ?quivalenzverbot (論泡利的等價禁制),

Z

eitschrift für Physik

47, 631 — 651 (1928).

(7) Eugene P. Wigner, E. E. Witmer, über die Struktur der zweiatomigen Molekelspektren nach der Quantenmechanik (依據量子力學的雙原子分子譜結構), Zeitschrift für Physik 51, 859—886 (1928).

(8) John von Neumann, Eugene P. Wigner, über merkwürdige diskrete Eigenwerte (論值得關注的分立本征值), Physikalische Zeitschrift 30, 465—467 (1929).

(9) John von Neumann, Eugene P. Wigner, über das Verhalten von Eigenwerten bei adiabatischen Prozessen (論非渡越過程本征值的行為), Physikalische Zeitschrift 30, 467—470 (1929).

(10) Eugene P. Wigner, über die elastischen Eigenschwingungen symmetrischer Systeme (對稱系統的彈性本征振動)，Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen, Mathematisch Physikalische Klasse, 133—146 (1930).

(11) V. Weisskopf, Eugene P. Wigner, Berechnung der natürlichen Linienbreite auf Grund der Diracschen Lichttheorie (基于狄拉克光理論的自然線寬計算), Zeitschrift für Physik 63, 54—73 (1930).

(12) V. Weisskopf, Eugene P. Wigner, über die natürliche Linienbreite in der Strahlung des harmonischen Oszillators (論諧振子輻射的自然線寬), Zeitschrift für Physik 65, 18—29 (1930).

(13) Eugene P. Wigner, über eine Versch?rfung des Summensatzes (對求和規則的明確), Zeitschrift für Physik 32, 450—453 (1931).

(14) Eugene P. Wigner, über die Operation der Zeitumkehr in der Quantenmechanik (論量子力學中的時間反演操作), Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 546—559 (1932).

(15) E. Wigner, F. Seitz, On the Constitution of Metallic Sodium, Physical Review 43, 804—810 (1933).

(16) R. D?pel, K. Gailer, Eugene P. Wigner, über die experimentelle Prüfung des Spinerhaltungssatzes (自旋守恒定律的實驗驗證), Physikalische Zeitschrift 35, 336—337 (1934).

(17) Pascual Jordan, John von Neumann, Eugene P. Wigner, On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism, Annals of Mathematics 35, 29—64 (1934).

(18) J. O. Hirschfelder, Eugene P. Wigner, Separation of Rotational Coordinates from the Schrodinger Equation for N Particles, PNAS 21, 113—119 (1935).

(19) Eugene P. Wigner, On Unitary Representations of the Inhomogeneous Lorentz Group, Annals of Mathematics 40, 149—204 (1939).

(20) Eugene P. Wigner, On Representations of Certain Finite Groups, American Journal of Mathematics 63, 57—63 (1941).

(21) Eugene P. Wigner, Relativistische Wellengleichungen (相對論波方程), Zeitschrift für Physik 124, 665—684 (1948).

(22) V. Bargmaim, Eugene P. Wigner, Group Theoretical Discussion of Relativistic Wave Equations, PNAS 34, 211—223 (1948).

(23) T. D. Newton, Eugene P. Wigner, Localized States for Elementary Systems, Reviews of Modern Physics 21, 400—406 (1949).

(24) Eugene P. Wigner, Do the Equations of Motion Determine the Quantum Mechanical Commutation Relations? Physical Review 77, 711—712(1950).

(25) Eugene P. Wigner, On a Class of Analytic Functions from the Quantum Theory of Collisions,

Annals of Mathematics

53, 36 — 67 (1951).

(26) Eugene P. Wigner, Derivative Matrix and Scattering Matrix, Revista Mexicana de Fisica 1, 91—101 (1952).

(27) E. In?nü, Eugene P. Wigner, Representations of the Galilei Group, Il Nuovo Cimento 9, 705—718 (1952).

(28) Eugene P. Wigner, Application of the Rayleigh-Schrodinger Perturbation Theory to the Hydrogen Atom, The Physical Review 94, 77—78 (1954).

(29) Eugene P. Wigner, Conservation Laws in Classical and Quantum Physics, Progress of Theoretical Physics 11, 437—440 (1954).

(30) Eugene P. Wigner, John von Neumann, Significance of Loewner’s Theorem in the Quantum Theory of Collisions, Annals of Mathematics 59, 418—433 (1954).

(31) Eugene P. Wigner, Relativistic Invariance in Quantum Mechanics, Il Nuovo Cimento (X) 5, 517—532 (1956).

(32) Eugene P. Wigner, Relativistic Invariance of Quantum-Mechanical Equations, Helvetica Physica Acta, Suppl. 4, 210—226 (1956).

與外爾、馮·諾伊曼的數學物理成就相比，維格納的研究更偏物理一些，特別是后期的一些工作，然而終不脫用數學這種小無相功催動相對論、量子力學招式的窠臼。

2維格納對量子力學的貢獻

2.1 分子的形成與分解

維格納1925年的博士論文同年由導師Michael Polanyi與維格納聯名發表在

Zeitschrift für Physik

雜志上，這讓我們有幸一睹這篇歷史性文獻的面目。

碰撞單元之間的相對能量恰好是待形成的分子的量子許可能量值，這是無限不可能的(undlich unwahrscheinlich ist)。若一個原子或分子吸附在固體上，其允許具有的能量值是一個連續的流形(eine kontinuierliche Mannigfaltigkeit von Energiewerten)，就沒這個問題了[見Max Born, James Franck, Bemerkungen über die Dissipation der Reactio nsw?rme ( 關于反應熱耗散的說明 ),

Annalen der Physik

76, 225—230(1925)]。維格納的這篇文章則是就著分子形成之結合過程加上接下來的自發衰減過程自身討論問題。為此引入的觀點是，量子態有有限的寬度(die Quantenst?nde eine endliche Breite haben)，因此具有量子化能量的碰撞單元也會有有限的概率碰到一起形成分子。所謂自發衰減過程{如今會用弛豫過程這個概念}是受不久前發現的俄歇(Pierre Auger, 1899—1993)過程的啟發。一個被X射線撕去一個，比如

K

層的，電子的原子，會從比如

L

層發射出一個電子，而為此所需的能量是另一個電子自

L

層向

K

層躍遷所獲得的能量提供的{萬幸筆者玩過多年的俄歇譜}。

為了湊出原子結合形成分子的熱平衡圖像，用前述的被撕去一個

K

層電子的原子(一價離子)作為研究對象，研究的是電子和二價離子同一價離子之間的熱平衡問題。二價離子同電子相遇時，假設相對動能(die Energie der Relativbewegung)落在(二價離子的)量子允許能量的?

大小的范圍內，則會發生結合。

是表征一價離子分解成二價離子與電子的特征時間，表征分解的速率。計算時取

h

以便和線寬理論吻合(für

setzen wir nun in übereinstimmung mit der Theorie der Linienbreite

h

)。{此處關于線寬理論維格納引用的是Niels Bohr, über die Anwendung der Quantentheorie auf den Atombau ( 論量子論在原子構造上的應用 ) ，

Zeitschrift für Physik

13, 117—165(1923)一文。}

與此類比建立起分子形成過程的圖像。必須強調一下，結合過程中的角動量(守恒)律要求要取消。量子理論允許所產生的單元可擁有的角動量只能是

h

/2

的整數倍(Es mu? hervorgehoben werden, da? hierdurch der Drehimpulssatz bei Rekombinationen aufgehoben wird. Die Quanten theorie erlaubt für den Drehimpuls des entstandenen Gebildes nur ganzzahlige Vielfache von

h

/2

). 關于分子形成的 假設如下：當原子間具有的相對能量在

Q

+?

Q

之間，角動量在與 之間，它們的復合就形成內能為

，角動量為 的分子 {

Q

是分子的分解熱，現在一般稱為結合能}。此處?

通過方程?

ετ

h

相聯系(Dabei h?ngt ?

durch die Gleichung ?

ετ

h

mit

zusammen)，見圖3。

圖3 Polanyi—Wigner 1925年論文p.432上的截圖，有關系式?

ετ

h

關于維格納的這篇論文，容筆者斗膽評論幾句。這篇文章的意義在于注意到，若原子、分子所具有的是作為算符本征值那樣的分立能量與分立角動量(0測度的存在)，如果還要求過程滿足能量守恒與動量守恒，那么原子結合成分子這種事情就不會發生(0概率事件)。0測度的存在對應0概率的事件，沒毛病。顯然，世界不是這樣的。為了調和這個矛盾，可以假設反應前的能量在目標能量的一定偏差范圍內反應即可以一定的概率發生，然后生成物中有個能量調節的過程，反正要使得能量守恒是滿足的。這是個很聰明的、也符合實際的模型。打個不太恰當的比方。設想你帶了98塊錢試圖購買一件標價100元的商品，嚴格的計劃經濟下這筆交易成功的概率為0。但是，靈活的私營經濟就能允許它以一定的概率發生，比如賣家通過適當降價的方式讓交易發生，且賣家通過后續的調賬(弛豫過程)讓賬面上是嚴格地能平賬的(滿足守恒律)。

這個工作的一個引人注意的地方是關系式?

ετ

h

，它后來被詮釋為海森堡的不確定性原理之能量—時間不確定性關系的前驅。然而，我們注意到，這里?

是反應前的相對動能與目標能級之差，而不是有一個真實的能量寬度；

是表征分子分解為原子之速率的特征時間。用概率談論分解速率，就不得不引入壽命的概念。關系式?

ετ

h

(注意是等式！)是維格納硬寫出來以便同玻爾的線寬理論相一致的。當然，等到海森堡1927年的被當作提出不確定性原理的論文出來以后，人們不顧物理理論自洽性與物理事實提出了很多稀奇古怪的能量—時間不確定性關系(參見拙著《物理學咬文嚼字》卷二)，其中和本文扯上關系的是所謂?

ετ

h

關系中?

被理解為能級寬度(譜線寬度)而

是激發態壽命。這個解釋的一個明顯缺陷是，譜線是涉及兩個能級的故事，而

作為壽命是單個能級的特征量。其實，所謂的能級壽命就是為了湊合關系?

ετ

h

而來的說辭，沒有獨立的確認能級壽命的程式。這是個永遠沒有可能驗證的雞—蛋關系。再者，能級寬度——在維格納這里還只是允許分子形成的前驅物之相對能量的范圍——同譜線寬度之間的直接等價只是對普朗克關系

hν

的濫用。電子躍遷產生的光譜線同兩個能級有關，即便固定終態能級，同一個線系的譜線寬度也沒表現出關系式?

ετ

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所規定的單調關系。其實，只要能量算符解不出帶寬度的能量本征值，所謂的能量—時間不確定性關系就沒有任何存在依據。

2.2　群論在量子力學中的應用

外維格納1925年回到柏林技校當研究助手，期間和一位名叫G. Wessenberg的私俸講師一起工作。據說如下的一段對話讓維格納回到了對稱性研究。

Wessenberg：“… it’s a miracle that in a crystal the atoms are often arranged along the axis or plane of symmetry, why?”

Wigner：“I noticed that if you have an axis of symmetry, the potential is an extremum (a maximum or minimum), but the probability of its being a maximum is much larger, and a similar consideration applied to the plane of symmetry.”

Wessenberg：“Perhaps you are right, but it is important to give a more elegant demonstration!”

維格納認識到了，就量子力學之于原子系統(單原子、分子、大塊物質)的應用而言，關鍵的突破口是對稱性。當維格納認識到對稱性對新力學的意義時，他手邊還就有幫得上忙的參考書，即數學家韋伯(Heinrich Martin Weber，1842—1913)的Lehrbuch der Algebra(代數課本)，這個三卷本中的第二卷里有群論。

維格納開始研究電子置換下原子波函數的對稱性(symmetry of atomic eigenfunctions under permutation of electrons)。海森堡研究了兩個電子的情形，維格納迅速給推廣到三電子以至更多電子的情形，當然都沒考慮自旋。接下來維格納和馮·諾伊曼合作了三篇，用泡利理論處理了電子的自旋。到這時，維格納已經成了用群論研究量子力學的先驅者，在柏林大學的勞厄教授的催促下，維格納寫出了

Gruppentheorie und ihre Anwendung auf der Theorie der Atomspektren

這本經典，1931年出版。

維格納對量子力學(應用)的貢獻是典型的數學物理。他的《群論及其在原子譜量子力學上的應用》，如人們所評價，是同類三本經典中(另外兩本是外爾和范德沃頓的)最接近應用情景的、對量子力學的應用推廣最有用的。這本書洋洋灑灑24章，從各章標題我們正好可以一窺理解量子力學應用于原子譜到底涉及哪些內容：

I. Vektor und Matrizen (矢量與矩陣)

II. Verallgemeinerung (上一章內容的推廣)

III. Hauptachesentransformation (主軸變換)

IV. Gundlagen der Quantenmechanik (量子力學基礎)

V. St?rungstheorie (攝動理論)

VI. Transformationstheorie und Grundlinien der Statistischen Deutung der Quantenmechanik (變換理論與量子力學統計詮釋的基本原理)

VII. Abstrakte Gruppentheorie (抽象群)

VIII. Normalteiler (正規子群)

IX. Allgemeine Darstellungstheorie ( 表示理論通論)

X. Kontinuierliche Gruppen (連續群)

XI. Darstellungen und Eigenfunktionen (表示與本征函數)

XII. Algebra der Darstellungstheorie (表示論的代數)

XIII. Die symmetrische Gruppe (對稱群)

XIV. Die Drehgruppen (轉動群)

XV. Die Darstellungen der dreidimensionalen reinen Drehgruppe (三維純轉動群的表示)

XVI. Die Darstellungen des direkten Produktes (分立積的表示)

XVII. Die Grundzüge der Atomspektren (原子譜的特征)

XVIII. Auswahlregeln und die Aufspaltung der Spektrallinien (選擇定則與譜線劈裂)

XIX. Teilweise Bestimmung der Eigenfunktionen aus ihren Transforamtionseigenschaften (用變換性質部分確立本征函數)

XX. Das Drehelektron (轉動原子)

XXI. Die Gesamtquantenzahl (總量子數)

XXII. Die Feinstruktur der Spektrallinien (譜線的精細結構)

XXIII. Auswhal-und Intensit?tsregeln bei Mitberücksichtigung des Spins (納入自旋考量的選擇定則與強度規則)

XXIV. Das Aufbauprinzip (構造原理)

維格納的這本書提供了對量子力學中的對稱性觀念的基本分析，他將那些思考的中間過程盡可能地掰開揉碎了講清楚，努力想讓數學功底不深的讀者“感到輕松自在(sich zu Hause fühlen)”。他讓人們看到群論應用于量子力學會比應用于經典力學能得到更多的結果。對于我們這些智力與基礎雙虧的原子物理與量子力學修習者，這真是一本難得的入門參考書。當然，這本書對數學功底的挑戰也不容小覷，至少關于維格納定理及其證明這些群論知識就不是筆者這樣的學習者容易弄懂的。

解量子力學的微分方程一般都會遭遇極大的困難，直接計算只能得到粗略的近似，萬幸的是，很大一部分的量子力學結果僅憑對稱性考慮就能得到(ein so gro?er Teil der quantenmechanischen Resultate schon durch reine Symmetrieüberlegungen erhalten werden kann)。對用群論處理薛定諤方程的做法，有人認為它是非物理的。維格納說，“我倒是覺得，有意識地運用基本的對稱性質要比計算更加對應物理感覺(Es scheint mir aber, da? die bewu?te Ausnutzung elementarer Symmetrieeigenschaften dem physikalischen Gefühl eher entsprechen mu?, als die mehr rechnerische Behandlung)”?！八?群論)由大量的相當不明顯的結論組成，盡管單個看來是平凡的，但其作為一個整體就不可無視了(Sie besteht n?mlich aus einer gro?en Zahl unscheinbarer Schlüsse, die zwar einzeln betrachtet trivial, in ihrer Gesamtheit aber doch nicht so leicht zu überblicken sind)”。對數學之美以及物理感覺這種抽象品質的強調，是維格納的科學研究的特色。

2.3　Wigner—Eckart定理

維格納的另外一個成就是留下了Wigner—Eckart定理，這是群表示論的一個結果，從數學的角度看未必有多了不得，但是對于量子力學的應用還是蠻重要的。Wigner—Eckart定理斷言，不可約張量算符關于角動量本征態的矩陣元可以寫成Clebsch—Gordan系數同一個不依賴于角動量投影(即

m

值)的項之積，即

這個工作，一般文獻會回溯到“Carl Eckart, Some Studies Concerning Rotating Axes and Polyatomic Molecules, Physical Review 47, 552 —558 (1935)”一文，該文結尾提及維格納閱讀過稿件。然而，該文似乎并不是顯著地與這個定理有關，當然可能是筆者理解不到位?！癊ugene P. Wigner, On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of S. R. Groups”一文對轉動群(角動量問題)有詳細的介紹，此文成于1940年但未發表，后收錄入“L. C. Biedenharn, H. van Dam (eds.), Quantum Theory of Angular Momentum , Academic Press(1965)”一書。

2.4　維格納—塞茨單胞

我第一次知道維格納這個名字是在1985年，從固體物理課上學到的，見于維格納—塞茨單胞{其實我覺得不應加這個“單”字}，當然我那時沒管這個維格納是誰。單胞，unit cell，是晶體的構成單元，通過復制—平移充滿整個空間。一個只包含一個格點的特殊單胞稱為元胞(primitive cell)。一塊晶體可以有無窮多種不同的元胞。維格納—塞茨胞是這樣的元胞，是通過弗羅諾伊(Георгий Феодосьевич Вороной，1868—1908)分割方法(Voronoi decomposition)構造的，即從一個格點出發，向附近的格點連線，作連線的垂直平分線，垂直平分線所圍成的最小閉合空間就是維格納—塞茨胞，胞內任意一點到此格點的距離比到其他格點都近。維格納—塞茨胞就是最小結界，看看烤面包(如果面包劑子是周期排列的，如果烤好的面包充滿整個烤盤的話)您就知道什么是維格納—塞茨胞啦。若格點是一個原子實，則維格納—塞茨胞就是圍繞原子實最近的、供電子占據的可重復空間。

圖4　截角八面體。它既是面心立方結構的Wigner—Seitz單胞，也是Brillouin區，還是能充滿三維空間但表面積幾乎是最小的幾何體

維格納—塞茨胞是維格納和塞茨在1933年的論文中為解鈉晶體中電子的薛定諤方程而引入的。對于鈉晶體(面心立方晶體)，維格納—塞茨胞是截角八面體(truncated octahedron)，見圖4。維格納—塞茨用球對截角八面體作近似，在表面上引入邊界條件
。有物理文獻說，這是周期性邊界條件，筆者以為不確。這是由弗羅諾伊分割的規則決定的，即便旁邊的格點有偏移，即周期性破缺了，這個邊界條件也成立。我們的固體物理書說不清楚這里的問題，真讓人無語。

維格納他們當年全憑一張紙、一支筆手算固體的能帶結構，真令人佩服。一門學問，如果不是親手感知，是難以有深刻體會的。

3多余的話

關于量子力學中的角動量理論，特別指軌道角動量的理論，長期以來存在一些誤解及含混之處?；谖覀兇饲瓣P于“量子態矢是無量綱的”之認識以及據此對狄拉克表示理論的討論等準備性工作，本文給出軌道角動量算符在算符—態矢體系中的表示，討論了與量子力學的軌道角動量理論相關的問題。波函數體系中的理論對于軌道角動量存在誤解，根源在于一直把量子力學的波函數(概率幅)描述與態矢量描述完全等同起來。不能將量子力學中作用于波函數上的動能算符(即數學意義的拉普拉斯算符)的角部分就當作系統的軌道角動量。一個具有三分量的對象，僅僅因為其對易關系與空間轉動的三個生成元之間的對易關系一致即被當成角動量，并認為其本征值譜應為(

l

m

)這樣的分立譜形式，有失嚴謹。利用嚴格可解的三維諧振子模型，我們證明了系統的定態并不必然還是軌道角動量(J

維格納為錢財謀，青年時期修習化工專業于柏林技校至獲得博士學位(1925)，其間堅持自學數學、物理熱情不減，略有小成，1927年竟至于被數學大神希爾伯特眷顧，招至哥廷恩當研究助手。維格納自1925年開始發表數學、物理研究論文，拋開在純數學、相對論方面的成就不論，其關于量子力學的著述竟位列量子力學自開創以來之第6(見本系列之?？似?，可見其在柏林技校(不是柏林大學！)還是學到了不少真數學與真物理的。與此相對，在世界太多的地方，即便名校宗師講壇也是連個野狐禪都聽不到，殊為可嘆。饒你高聳入云，綿延千里，無神仙不算名山。聰穎少年們欲成棟梁之材，一要始終保持極高的求知熱忱，二要早成飽學之士，三要早得名師點化研習真經，四要早歷研究劫難。非如此，不足以登堂入室。

追述維格納的成才經歷，不得不說，他這樣的大才一般的彎路都改變不了他成為數理巨擘的宿命。這可能與他們在中學就打下堅實的基礎有關。他上的布達佩斯德語學校短時期內聚集了維格納、馮·諾伊曼、西拉德和泰勒四位火星人。有文獻稱贊到，“His teachers were excellent there, eager to impart knowledge”。老師優秀，而且還急切地想把知識給傳遞出去，那學生該是多么幸運。那么他們那里的中學老師優秀的標準是什么呢？維格納的數學老師創立中學數學雜志，還寫 書(He founded the Mathematics Journal for Secondary Schools and wrote books which elucidated the simplest solutions of the problems posed there) ；物理老師做漂亮演示實驗還總是成功 (showed nice experiments and the experiments were always successful)，跟他讀了兩年中學物理后，維格納覺得柏林技校和柏林大學前兩年的物理課都不過是復習。

圖5　晚年的狄拉克與維格納

維格納和狄拉克同年，都是1902年出生的。到了1934年，狄拉克早已是出門帶光環的量子力學奠基人，還依然是個光棍。這一年，維格納介紹自己離婚的妹妹同狄拉克相識，1937年那兩人結婚，而維格納自己也是到了1936年才結婚。這兩位是立業成大家而后結婚成小家的典范，都被圈內人稱為strange man。狄拉克與維格納維持了一生的妹夫郎舅加好友的關系(圖5)，但似乎沒見共同署名的文章，也算是物理學史上的一段佳話。

注：1) J. Coleman 評維格納：a person with razor-sharp mind and of a kind and gentle spirit.

參考文獻

[1] Wightman A S(ed.). The Collected Works of Eugene Paul Wigner. Springer，Vol. I，1993；Vol. II，1996；Vol. III，1997；Vol. IV，1997；Vol. V，1992

[2] Mehra J(ed.). The Collected Works of Eugene Paul Wigner. Springer，Vol.VI，1995；Vol. VII，2001；Vol. VIII，1998

[3] van der Waerden B L. Sources of Quantum Mechanics. Dover Publications，1968

[4] van der Waerden B L. Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik (量子力學中的群論方法). Springer，1932

《物理》50年精選文章