楊振寧：20世紀數學與物理的分與合

轉自：環球科學科研圈

編者按：

我們悲痛地獲悉，享譽世界的物理學家、諾貝爾物理學獎獲得者、中國科學院院士、清華大學教授暨高等研究院名譽院長楊振寧先生，因病于2025年10月18日12時00分在北京逝世，享年103歲。

楊振寧先生是20世紀最杰出的物理學家之一。他與米爾斯共同提出的規范場理論，奠定了粒子物理標準模型的基礎，其深遠影響已被全球物理學界廣泛認同。而他與李政道先生關于弱相互作用中宇稱不守恒的突破性發現，徹底改變了現代物理學的基本觀念，二人因此共同榮獲1957年諾貝爾物理學獎。

楊振寧先生不僅在基礎研究領域成就卓著，亦長期致力于推動國家的科學和教育事業發展。自1971年起，他積極促進中外學術交流，為中國基礎科學的規劃與進步建言獻策，對中國物理學的演進影響深遠。尤為值得一提的是，楊先生曾向周恩來總理提議加強科普工作，并推薦引進具有百年歷史的國際知名科普期刊《科學美國人》。1979年，《科學美國人》中文版正式獲批引入，成為改革開放后我國第一本版權合作期刊，后定名為《環球科學》。楊振寧先生還與周光召院士共同擔任《環球科學》總顧問，為雜志的成長提供了持續而寶貴的指導。

楊振寧先生積極通過《環球科學》這一平臺，與廣大科技工作者及科學愛好者分享思想、傳播科學精神。2008年10月，他在本刊發表《20世紀數學與物理的分與和》一文，系統梳理了數學與物理學從同源共生到分道揚鑣，再借規范場論與纖維叢等理論重新交匯的歷程，并分享了自身在推動兩大學科融合中的親身體驗。2015年，值愛因斯坦逝世60周年與廣義相對論發表100周年之際，楊振寧先生接受《環球科學》專訪，深入剖析愛因斯坦的科學遺產。他認為，愛因斯坦是歷史上唯一可與牛頓比肩的物理學家，因其兼具“近看”與“遠看”的卓越能力——既能深入物理現象的微觀機理，又能把握理論體系的宏大結構。

為緬懷楊振寧先生的卓越貢獻與深邃思想，本刊特重刊以上兩篇重要文章，與廣大讀者共同追思這位科學巨匠。

楊振寧先生永垂不朽！

撰文 楊振寧

原載 《環球科學》2008年10月刊

在中國的傳統里大家講“書畫同源”，就是說書法跟繪畫是從一個源頭來的；那么我們也可以說，數學跟物理歷史上也是同源的。比如說微積分，當然大家知道是數學里頭一個關鍵性的基本發展，它是從牛頓在萬有引力的研究里頭發展出來的。事實上，牛頓在研究萬有引力定律的時候，中間發生了一個數學問題，他為解決這個數學問題，花了不止十年的功夫。而解決的方法，就是后來的微積分。

數學分析（mathematical analysis），跟動力學（dynamics），也是一起發展的：在牛頓的工作以后，數學家跟物理學家要研究行星、研究衛星（比如說月亮）、研究潮汐的規律的時候，把牛頓所發展的微積分跟萬有引力定律再發展出來。一些大數學家，像拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）和拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange），發展了數學分析和動力學，所以這兩個學科也是一起成長的。
可是19世紀末以來，數學變得越來越抽象。1961年有一個有名的美國數學家，叫做馬歇爾·斯通（Marshall Stone）。我在芝加哥大學做研究生的時候，他是芝加哥大學數學系的主任，他把芝加哥大學數學系的地位給大大地提高了。所以現在芝加哥大學的人說，那個時候，上世紀50年代、60年代初在芝加哥是馬歇爾·斯通時代。他在1961年發表了一篇半通俗的文章，其中講了這么幾句話：“自1900年起數學跟我們對于數學的一些觀念，出現了非常重要的變化（他所謂出現了非常重要的變化，就是越來越抽象），其中最富革命性的發展是原來數學完全不涉及物理世界。”再清楚一點說（這還是他的話），“數學與物理世界完全沒有關聯。”他講的這個話確實是當時數學發展的整個趨勢。當時數學發展就是要研究一些數學結構之間互相的、非常美的、非常妙的關系，這是當時數學思想的主流。所以在20世紀的中葉，數學跟物理是完全分家了。
這個半世紀以前的情形，與今天已經大大地不一樣了。我要跟大家談的，就是這個分開的關系怎么又合了起來。要談這件事情我們要回到麥克斯韋（James Clerk Maxwell）。麥克斯韋是19世紀最偉大的理論物理學家。他在19世紀的中葉寫下了有名的麥克斯韋方程式。
他把以前關于電與磁的四個實驗定律寫成了四個數學方程式（下圖）。這些方程式是今天電的時代，無線電時代與網絡通訊時代的基礎。沒有這些方程式，人類今天的生活不可能是今天的樣子。

△ 麥克斯韋方程式

1915年到1916年，愛因斯坦發表了廣義相對論，把引力理論變成一個幾何化的理論。文章發表了以后，他又寫出文章，說另外還有一種力量，即電磁力（electromagnetism），也必須要幾何化。

一兩年以后，有一個數學家叫做赫爾曼·魏爾（Hermann Weyl），響應了愛因斯坦這個號召。魏爾大家公認，是20世紀最偉大的幾個數學家之一，他的工作領域是純粹數學，是非常抽象的。可是他大膽提出來一個關于電磁學的理論。
我于1949年到普林斯頓高等研究院做博士后，那個時候他是高等研究院的一個教授，所以我見過他多次。可是那個時候我所發生興趣的、我同輩的物理學家們所發生興趣的領域，都跟當時赫爾曼·魏爾發生興趣的數學沒有關系，所以我們跟他只是在雞尾酒會上有一些交談。在我的記憶之中，我從來沒有和他談過一些學術上的問題。
在1918年、1919年的時候，魏爾發表了幾篇文章，他認為他想出來了一個辦法能夠把電磁學幾何化。他先討論平行移動。這是愛因斯坦的幾何中一個重要觀念。平行移動是什么意思呢？

假如我在平面上畫一個圈，從A這一點走回來。在A這一點上我畫一個向量（一個箭頭），然后當我走的時候，盡量使得那個向量平行于自己，這樣走回來，當然它還是在原來的方向。可是這只是因為我是在平面上。假如我是在一個曲面上，比如說在一個球面上畫一個圈，從一個原點A出發，在那個地方放一個向量，然后盡量使得這個向量在移動的時候跟自己平行，那么你可以想象，轉了一圈回來以后，向量就不一定跟原來的方向一樣了。所以在一個曲面上，經過平行移動的向量未必回到它原來的方向。

于是魏爾問，“Warum nicht auch seine Lnge?”（德語：為什么長度不能也這樣？）假如是這樣，“一個向量的長短為什么不也可以改變？”也就是說，如果讓向量的長短也在移動中繼續不斷地改，那么回到原來的A點，既然向量的方向可以不一樣了，為什么它的長短不可以也不一樣了？這是他的關鍵想法。為了貫徹此想法他，說在下圖中，自A到B，一路上尺的長短都在繼續改，改的因子如圖上面所示，他給此因子起了一個很長的名字，翻譯出來應是“比例因子”。他說此因子中的φμ應為電磁勢eAμ。然后他說雖然移動一圈回來有些量改了，但是仍有一些不改的量，這些不改的量才是真正電磁現象，這樣他就給了電磁現象一個幾何意義。

魏爾把他的理論叫做Masstab Invarianz（尺度不變）理論。這個名詞后來被翻譯成Gauge Invariance（規范不變）。

他把他的文章投到德國普魯士科學院（Prussian Academy）去發表。普魯士科學院請愛因斯坦審稿。愛因斯坦一針見血地指出一個大問題。他說我在A放一樣長的兩個尺，一個尺從一個路徑走到B，另外一個尺從另外一個路徑走到B，根據魏爾的講法，到了B的地方，這兩個尺就不一定一樣長了。那么本來是標準尺，后來哪個算是標準尺呢？沒法做標準尺，就不能做任何物理實驗，整個物理學就要垮臺。這真是一針見血的批評。

非常幸運的是，編者們依然把魏爾的文章發表了，后面加了愛因斯坦的后記，提出他的批評。然后又請魏爾寫了一個后后記放在最后面。在這后后記里頭魏爾怎么講法呢？后后記很短，只是一段，說愛因斯坦所講的意思跟他講的不一樣。可是他沒講清到底是怎么不一樣法。他以后又寫了好多文章，都是哲學討論，沒有公式。顯然，他對于他的想法仍然熱衷，可是他始終不能夠響應愛因斯坦的反對。

6年以后，量子力學的發展把這個問題解決了。量子力學跟剛才講的發展，本來是沒有關系的。量子力學是人類歷史上一個大革命，發展以后，發現基本物理里頭要用到

量子力學發展于1925年~1926年。一兩年以后，弗拉基米拉·福克（Vladimir Fock）在前蘇聯，弗里茨·倫敦（Fritz London）在德國，分別指出魏爾當初那個很長名字的因子中，得加一個i上去。

加了一個i以后，本來是一支尺的長短變化，現在不是長短變化，而是相位變化，所以魏爾的因子就變成了phase因子（相位因子）。加了i以后，魏爾的想法與電磁學完全符合，就變成1929年以來大家完全同意的理論。當然有了i，Gauge Theory（規范理論）其實應該改為新名：Phase Theory（相位理論），規范不變理論也應改為新名：相位不變理論，可是因為歷史關系，大家今天都仍然沿用舊名。

長短變化改為相位因子變化以后，愛因斯坦的反對理由也就不存在了。
1929年以后，大家同意以規范理論的觀點來看電磁現象是很漂亮的數學觀點，可是并沒有引出任何新物理結果。
1946年~1948年我是美國芝加哥大學的研究生，對魏爾的規范不變理論之美妙十分欣賞。我嘗試把它推廣，把電磁勢Aμ推廣為2x2的方陣Bμ。這個想法引出頭幾步的計算，很成功，可是推廣到電磁場Fμν時卻導出了冗長的丑陋的公式，使得我不得不把此想法擱置下來。

以后幾年許多新的基本粒子被發現，它們之間的相互作用成了熱門題目。我想規范不變性也許是一個普遍的相互作用原則，所以又回到上面提到的推廣魏爾的規范不變理論來。這次遇到了同樣的困難，同樣于嘗試以后只得再放棄。如此每一兩年重復一次，卻都沒有進展。
1953年~1954年我在美國布魯克黑文國家實驗室（Brookhaven National Laboratory）訪問一年，和一位年輕的物理學家羅伯特·米爾斯（Robert Mills）共享一個辦公室。我們一塊討論此問題。當然又遇到了同樣的困難。不過這次我們沒有放棄，而嘗試將推廣電磁場Fμν時的公式稍微修改一下。這個想法果然靈，數天以后，用了下面的公式，所有冗長的計算都自然化簡了，得到了一個極美的、極簡單的理論！這就是現在被稱為“非阿貝爾規范理論”的雛形。

△規范理論中的一個公式

我們的理論于1954年發表，可是它不能被當時關于新粒子的實驗結果證實。要等到十多年以后，通過好多人的工作，引進來了另一個新的觀念，叫做“對稱破缺”。把對稱破缺跟非阿貝爾規范理論合在一起，才跟實驗對上口。以后幾十年，上千個實驗，證實這個理論跟實驗完全符合。它今天被稱為標準模型，是基礎物理學里頭一個重要基石。今年在瑞士日內瓦即將建成的大加速器LHC就是最新的研究標準模型的大設備。

在70年代我總結了這一切發展的精神，說這是“對稱支配相互作用”（Symmetry Dictates Interaction）：因為規范不變其實是一種對稱，一種與圓的對稱、晶體的對稱、左右對稱等觀念類似，但是是更深入、更抽象的對稱。
1969年我在美國紐約州立大學石溪分校教書的時候，教了一個學期廣義相對論。有一天我在黑板上寫下了廣義相對論中有名的黎曼張量公式。當時我就想它有點像我所熟悉的上面那個公式。下課后把二者仔細對比，最后發現原來二者不只是像，而是完全相同，假如把一些數學符號正確地對應起來的話。

△上面是規范理論公式，下面是廣義相對論中的黎曼張量公式，兩者完全相同

這個發現使我震驚：原來規范理論與廣義相對論的數學結構如此相似！我立刻到樓下數學系去找系主任吉姆·賽蒙斯（Jim Simons）。他是我的好朋友，可是那以前我們從來沒有討論過數學。那天他告訴我，不稀奇，二者都是不同的“纖維叢”，那是20世紀40年代以來數學界的熱門新發展！
后來賽蒙斯花了兩個多星期的功夫，給我們幾個物理學家講解纖維叢理論。學到了纖維叢的數學意義以后，我們知道它是很廣很美的學問，而電磁學中的許多物理觀念原來都有纖維叢的對應觀念。于是1975年吳大峻和我合寫了一篇文章，用物理學的語言，解釋電磁學與數學家們的纖維叢理論的關系。文章中我們列出了一個表，是一個“字典”。表中左邊是電磁學（即規范理論）名詞，右邊是對應的纖維叢名詞。

字典中左邊有一項“源”，右邊沒有對應，因為賽蒙斯說纖維叢理論中沒有這個觀念。后來美國麻省理工學院的數學家伊薩多·辛格（Isadore Singer）來紐約州立大學石溪分校訪問，我和他談了此事。他隨后去英國牛津大學，帶了吳大峻和我的文章，與邁克爾·阿提亞（Michael Atiyah）和奈杰爾·希欽（Nigel Hitchin）寫了一篇關于無“源”的文章。因為他們在數學界的名望，規范場與纖維叢的密切關系很快即傳遍數學界，從而引起了以后這些年物理與數學重新合作的高潮。

20世紀80年代開始，賽蒙斯辭了石溪分校的位置，轉而進入華爾街，成了最成功的對沖基金主持人。2001年聶華桐和我請他夫婦到北京清華大學訪問，那是他們第一次訪問中國。回去后他們夫婦慨捐一百多萬美元給清華建了一座“陳賽蒙斯樓”。陳是陳省身教授（1911~2004），是數學大師，曾和賽蒙斯合寫一篇關于陳－賽蒙斯不變式（Chern-Simons Form）的文章，現在在物理中極有重要性。

陳省身先生在20世紀30年代曾是我父親的學生，抗戰時期在昆明西南聯大我又曾是他的學生。他在纖維叢理論里面曾做過重要的奠基性的工作。我在1980年發表的一篇文章里說（譯自英文）：

1975年，規范場就是纖維叢上的聯絡的事實使我非常激動。我駕車去陳省身在伯克利附近埃塞利托（El Cerrito）的家〔1940年初，當我是國立西南聯大的學生，陳省身是年輕教授的時候，我聽過他的課。那是在陳省身推廣高斯-包乃特定理（Gauss-Bonnet Theorem）和“陳氏級”的歷史性貢獻之前，纖維叢在微分幾何中還不重要〕。我們談到朋友們、親戚、中國。當我們談到纖維叢時，我告訴他我從賽蒙斯那里學到了漂亮的纖維叢理論以及深奧的陳省身-韋爾定理。我說，令我驚詫不止的是，規范場正是纖維叢上的聯絡，而數學家是在不涉及物理世界的情況下搞出來的。我又說：“這既使我震驚，也令我迷惑不解，因為，你們數學家居然能憑空想出這些概念。”他立即反對說：“不，不，這些概念不是憑空想出來的。它們是自然而真實的。”

今天沒有人會再說“數學與物理世界完全沒有關聯”了。可是為什么“自然而真實”的、與物理世界本來無關的數學觀念，是這樣的“對稱”，而且從而“支配”了宇宙間一切基本“力量”，恐怕將是永遠不解之謎。

本文原載于《環球科學》2008 年第 10 期。

作者簡介：楊振寧，著名物理學家，1957年因共同提出宇稱不守恒理論而獲得諾貝爾物理學獎。他和羅伯特·米爾斯共同提出的楊－米爾斯理論，即非阿貝爾規范理論，是粒子物理標準模型的基礎，對基礎物理學產生了深遠的影響。他還與吳大峻合作研究了規范理論與數學上纖維叢的密切聯系。