數(shù)學史家張奠宙對話楊振寧：楊先生和當代數(shù)學

楊振寧先生不僅是當代的大物理學家，也是現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的重要推動者，他的兩項巨大成就——楊–米爾斯規(guī)范場和楊–巴克斯特方程，成為上世紀80年代以來一系列數(shù)學研究的出發(fā)點，其影響遍及微分幾何、偏微分方程低維拓撲、紐結(jié)理論、量子群等重大數(shù)學學科。

1991年，我國著名的數(shù)學家、數(shù)學史家和數(shù)學教育家、華東師范大學張奠宙教授（1933-2018）訪問了楊振寧教授，當面訪談了楊先生對他所開拓的上述工作的研究經(jīng)歷和心得。

本文收錄于《楊振寧的科學世界：數(shù)學與物理的交融》（高等教育出版社，2018），經(jīng)出版社和編者授權(quán)刊發(fā)。

撰文 | 張奠宙（數(shù)學史家、華東師范大學數(shù)學科學學院教授）

楊振寧是20世紀偉大的理論物理學家之一，1957年以宇稱不守恒的工作與李政道共獲諾貝爾物理學獎。但是，對數(shù)學家來說，楊振寧卻以楊–米爾斯 (Yang-Mills) 理論和楊–巴克斯特 (Yang-Baxter) 方程而著稱。可以說，楊振寧是繼愛因斯坦和狄拉克之后，對數(shù)學的發(fā)展有最大影響的20世紀物理學家。1991年，我訪問了楊振寧教授。本文根據(jù)該訪問及楊振寧教授已出版的論著寫成。

楊振寧和陳省身的早期交往

1922年，楊振寧出生于中國東部的一個中等城市——合肥。他的父親楊克純 (YangKo - Chuen，又名楊武之) 是北平清華大學教授，其后任復旦大學教授。楊武之于1928年在狄克遜 (L. E. Dickson) 指導下，以數(shù)論研究獲芝加哥大學博士學位。他是把現(xiàn)代數(shù)學引入中國的先驅(qū)之一，教導過許多優(yōu)秀的學生，其中有兩位最著名：華羅庚和陳省身。

張：您第一次見到陳省身教授是在什么時候?

楊：1930-1934年，陳教授在北平清華大學做研究生時，我父親是清華數(shù)學系教授，但我不記得那時我們是否見過面。然而我卻清楚記得首次見到陳夫人時的情景。那是在1929年10月初，她的父親鄭桐蓀教授已在清華做了好幾年教授，楊家則剛搬到清華。那時我只有7歲，在上小學。鄭教授一家邀請我們到他家里吃飯。于是我第一次見到了“鄭姊姊”。鄭楊兩家的關(guān)系一直十分密切。1939年，我父親和母親更撮合了陳教授與鄭士寧女士的婚事，并且因此成為他們在昆明結(jié)婚時的介紹人。

張：1938-1942年間，您是清華大學物理系的學生，陳省身先生是否教過您?

楊：1937年陳教授學成回國。當時由于抗日戰(zhàn)爭，清華大學與北京大學、南開大學在昆明合并組成戰(zhàn)時的國立西南聯(lián)合大學，即西南聯(lián)大。陳先生在西南聯(lián)大教了六年書：1937—1943。他是一位極出色和受歡迎的教授。我則先在西南聯(lián)大讀本科，然后念研究生。西南聯(lián)大的歲月在我腦海中留下了美好的回憶，當時所受的優(yōu)良教育也令我終生感激。

在西南聯(lián)大，我很可能旁聽過陳省身的好幾門數(shù)學課，但是根據(jù)保存至今的成績單，我只是在1940年秋季學期正式選修過他講授的微分幾何課程。當時我是物理系的三年級學生。

張：這門課您有所得益吧?

楊：當然。不過我已經(jīng)記不清楚上課的情形了，只有一件事印象很深：如何證明每一個二維曲面保角等價于平面？我知道如何把度量張量化成

的形式，但是想了很久都想不出怎樣使A=B。有一天，陳先生告訴我要用復變量，并寫下：

這個式子。學到這簡單的妙訣，是我畢生難忘的經(jīng)歷。

張：您何時到達美國?

楊：1945年11月。到美國后，我想追隨費米或維格納學物理。但我在哥倫比亞大學找不到費米，因為他在1942年前已離去。于是我去普林斯頓大學找維格納，卻發(fā)現(xiàn)他下一年度休假，令我大為失望。幸好我聽說費米將回到芝加哥一個新成立的研究所去，這就是我去芝加哥大學讀博士學位的緣由。

張：陳省身先生有一段很長的時間在芝加哥大學當教授。

楊：是的，但這是我1949年離開芝加哥后的事。陳先生在1949年初到美國后，我們經(jīng)常在普林斯頓、芝加哥和伯克利見面。

張：那時你們討論過纖維叢嗎?

楊：70年代之前從未談起過。我們早期的接觸是非學術(shù)性的。我們談?wù)撨^很多數(shù)學家，卻未討論過數(shù)學。

1954年楊振寧和米爾斯的論文

在昆明和芝加哥做研究生時，楊振寧已經(jīng)對規(guī)范不變性決定一切電磁相互作用的事實有深刻的印象。這課題能為人所知曉，是自外爾、?？?、倫敦在1918—1929年間所做的工作，以及后來泡利的綜述文章開始的。但到了40年代和50年代初，這一課題在物理學中仍然只占有一個微不足道的純技術(shù)性的位置。在芝加哥，楊振寧試圖把規(guī)范不變性推廣到非交換群的情形 (電磁場的規(guī)范群是交換群U(1)) 。類似于麥克斯韋方程，他嘗試把場強

定義為：

這似乎是麥克斯韋電磁場方程的自然推廣，但是“結(jié)果出現(xiàn)麻煩，不得不放棄”[1，p. 19]。

1954年楊振寧到紐約長島的布魯克海文國家實驗室訪問研究時，再次回到推廣規(guī)范不變性的想法上來。來自哥倫比亞大學獲得博士學位的米爾斯來到該實驗室做博士后，和楊振寧在同一辦公室工作。楊振寧將非交換規(guī)范場的想法介紹給米爾斯，他們決定在(1)式的右邊添加一個二次項

結(jié)果把一切“麻煩”都消除了，并引出一種很漂亮的新場論。1954年夏，他們向《物理評論》提交了一篇論文，此論文在當年10月發(fā)表，標題是“同位旋守恒和規(guī)范不變性”[2]。關(guān)于這段時期，米爾斯后來寫道[4，p. 463]：

我當時接受了一個博士后的工作，也在布魯克海文，并與楊振寧在同一個辦公室工作。(當時我正在紐約的哥倫比亞大學的克羅爾指導下慢慢地撰寫對于四階蘭姆位移可能有的貢獻進行研究的畢業(yè)論文。)楊振寧當時已在許多場合中表現(xiàn)出了他對剛開始物理學家生涯的青年人的慷慨，他告訴我關(guān)于推廣規(guī)范不變性的思想，而且我們較為詳細地做了討論。我當時已有了有關(guān)量子電動力學的一些基礎(chǔ)，所以在討論中能有所貢獻(特別是關(guān)于量子化的過程)，而且在計算它的表述形式方面也有小小的貢獻，但是一些關(guān)鍵性的思想都是屬于楊振寧的。

張：我看過有報道說，米爾斯當時在英國[4. p. 463]：“1954年，楊振寧在美國，米爾斯在英國，他們構(gòu)造了一種涉及非交換群的麥克斯韋方程的非線性推廣?！?/p>

楊：那是不正確的。1954年米爾斯確實是在美國。后來他曾多次訪問英國，但絕不是1954年。

張：梅耶 (M. E. Mayer) 在1977年出版的一本書里，曾這樣寫道：

讀了Yang和Mills的論文，就可以看出他們一定明白了規(guī)范勢的幾何意義，因為他們使用了規(guī)范協(xié)變的微分與聯(lián)絡(luò)的曲率形式。此外，該文的基本方程將與從更為幾何的考慮而導出的方程相符······[5，p. 2]

梅耶認為你們已經(jīng)清晰地理解了微分幾何，是這樣的嗎?

楊：不，不是這樣的。米爾斯和我在1954年所做的事，只是想推廣麥克斯韋方程。我們并不清楚麥克斯韋方程的幾何意義，也沒有朝那個方向去想。對物理學來說，規(guī)范勢根植于我們對電磁場的描述，而聯(lián)絡(luò)是一種幾何概念，我是在1970年前后才了解的。麥克斯韋方程原來具有很深的幾何意義，是物理學家意想不到的新發(fā)現(xiàn)。

張：一個有趣的問題是，你在1954年是否理解這篇關(guān)于非交換規(guī)范場論的原創(chuàng)論文的巨大重要性?

楊：喔，恐怕不會。在20世紀50年代，我們只覺得這篇文章很重要；到了60年代，才覺察到它的重要性；及至70年代，才曉得它對物理學是極為重要的。只是到了1974年以后，我才清楚認識到它跟數(shù)學的關(guān)系。

張：眾所周知，外爾是規(guī)范理論的創(chuàng)始人，為什么你們在1954年的論文中沒有提到他?

楊：在20世紀40至50年代，物理學家雖然知道外爾曾經(jīng)導出交換的規(guī)范不變概念，但大多只引用泡利的評論文章[6，7]。事實上，我那時并沒有看過外爾的任何論文。

張：你在普林斯頓見過外爾嗎?

楊：當然見過，1985年，我在蘇黎世紀念外爾百年誕辰的演講中曾提到這件事：

當我在1949年成為普林斯頓高等研究所的一名年輕成員時，曾見過外爾。之后的幾年 (1949-1955) 內(nèi)，我時?？吹剿?。他很容易親近，但我不記得曾和他討論過物理學或數(shù)學問題。在物理學家中，沒有人知道他對規(guī)范場思想的興趣是鍥而不舍的。無論是奧本海默還是泡利，都從未提及這一點。我猜測他們也沒有把我和米爾斯1954年發(fā)表的論文告訴他。如果他們告訴了他，或者他偶然發(fā)現(xiàn)了我們的文章，那么我能想象得到，他一定會非常高興，而且會非常激動。因為我把他所最珍愛的兩樣東西——規(guī)范場和李群——放在一起了。[8，pp. 19–20]。

張：我從你的這篇有關(guān)外爾的漂亮文章中，知道外爾創(chuàng)立了中微子的二分量理論。

楊：是的。外爾在1929年所寫的論文中提出了這一理論，但指出它違背了左右對稱性，因此不能與現(xiàn)實有關(guān)。大約三十年以后，在1956-1957年間，當發(fā)現(xiàn)左右對稱性并不嚴格地被遵守的時候，外爾的理論復活了。時至今日，這仍然是有關(guān)中微子的正確理論。順便說一句，在外爾去世兩年以后，我和太太買了外爾在普林斯頓的房子，并在那里住了九年之久：1957—1966。

張：當外爾知道他的中微子理論獲得證實時，有怎樣的反應?

楊：在1957年物理學界發(fā)生巨大轟動的兩年之前，外爾不幸去世了。1957年初，發(fā)現(xiàn)左右對稱不被嚴格遵守 (即宇稱不守恒) 后，外爾的理論復活了。它與μ-衰變的實驗極漂亮地吻合。但此后的六個月，物理學界又陷入關(guān)于β-衰變的困惑，這一問題與外爾的中微子究竟是右旋還是左旋有關(guān)。到這年的秋天，出現(xiàn)了關(guān)于β-衰變結(jié)構(gòu)的V-A建議。到了12月，一個精巧的實驗將一切問題都澄清了，其中包括外爾中微子是左旋的結(jié)論。

張：外爾比楊振寧年長37歲，他們屬于不同的學術(shù)時代，來自不同的國家，從事不同的學科。我們是否可以說外爾是非常欣賞物理的數(shù)學家，而楊振寧則是非常欣賞數(shù)學的物理學家?

Yang-Mills理論與幾何學

在楊振寧和米爾斯的原始論文發(fā)表以后，涉及規(guī)范理論的量子化和重整化、尋求Yang - Mills方程的精確解的論文大量涌現(xiàn)，但只有少數(shù)人注意到規(guī)范場論的幾何與拓撲意義，其中包括S. Mandel - stam(1962)，E. Lubkin(1963)和H. G. Loos(1967)。此外，R. Hermann為物理學家寫了一系列數(shù)學讀物，其中一部分也涉及規(guī)范場和幾何的關(guān)系，不過這些工作似乎都沒有產(chǎn)生很大的影響。于是我向楊振寧先生詢問他了解規(guī)范場論與幾何學之間的關(guān)系的個人體驗。

張：1954年以后，您曾繼續(xù)研究規(guī)范理論嗎?

楊：是的，我一直在研究。在20世紀50年代和60年代，雖然物理學中還沒有實際地使用非交換規(guī)范場論，但是隨著時間的推移，越來越多的人欣賞到它的優(yōu)美特性。例如在1964年，D. Ivanienko出版了一冊輯錄了12篇譯成俄文的關(guān)于規(guī)范場論的論文集，這些論文的作者包括Yang - Mills，Lee - Yang，J. J. Sakurai，M. Gell - Mann等。我自己在整個20世紀50年代都在規(guī)范場論的各個方面做工作，雖然沒有獲得多少有用的結(jié)果。

到了20世紀60年代末期，我開始用不可積相因子的方法重新建立規(guī)范場論。有一個學期，我正在講授廣義相對論，突然注意到規(guī)范場論中的公式

與黎曼幾何中的曲率公式

不僅十分相似，而且如果把二者的符號正確地等同起來，這兩個公式乃是完全一樣的。當我理解到這一點時，我內(nèi)心的震撼是難以形容的。

張：這是你第一次覺察到規(guī)范場論與微分幾何之間有密切聯(lián)系嗎?

楊：我早先曾注意到Levi - Civita的平行移動和規(guī)范場論中的不可積相因子之間的相似性，但我真正領(lǐng)略到二者之間的精確聯(lián)系，是在我認識到公式(1)與(2)完全一樣的那一瞬間。

懷著想弄清楚規(guī)范理論的幾何意義的想法，我向一位杰出的幾何學家賽蒙斯 (J. Simons) 請教，他當時是紐約州立大學石溪分校的數(shù)學系主任。賽蒙斯告訴我，規(guī)范理論一定與纖維叢上的聯(lián)絡(luò)有關(guān)。這之后，我試圖從閱讀斯廷羅德 (N. E. Steenrod) 的《纖維叢的拓撲學》這類書去了解纖維叢理論，結(jié)果卻一無所獲。對物理學家而言，現(xiàn)代數(shù)學的語言實在太乏味、太抽象了。

張：我想，只有數(shù)學家才會欣賞今天的數(shù)學語言。

楊：我告訴你一個有關(guān)的故事。大約在十年前，我在韓國漢城做演講，開個即興玩笑說：“現(xiàn)今只有兩類現(xiàn)代數(shù)學著作：一類是你看完第一頁就不想看下去了，另一類是你看完第一句話就不想看下去了?！焙髞怼稊?shù)學情報員》雜志還把我這個玩笑刊登出來。但是我猜想，很多數(shù)學家都會同意我的看法。

張：你在什么時候弄懂了纖維叢理論?

楊：1975年初，我邀請賽蒙斯教授給我們做一系列有關(guān)微分形式和纖維叢理論的午餐演講，他欣然接受了這一邀請。于是我們學到了deRham定理、微分形式、拼接 (patching) 等。這些演講非常有用，使我們理解了物理學中Aharonov - Bohm實驗和狄拉克磁單極的量子化條件的數(shù)學含義。曹宏生和我后來還弄懂了美妙的Chern - Weil定理。回顧起來，正是這些演講，使我理解了過去理解得不甚清楚的流形的概念。

Yang-Singer-Atiyah

張：賽蒙斯的演講促使楊振寧和吳大峻寫了一篇著名的論文：《不可積相因子的概念與規(guī)范場的整體表述》[9]。在這篇論文里，他們分析了電磁場的內(nèi)蘊含義，特別強調(diào)了它的整體拓撲性質(zhì)。他們討論了Aharonov-Bohm實驗和狄拉克磁單極的量子化條件的數(shù)學意義。他們還展示了如下的一個字典 (后來被稱為“吳–楊字典”) ：

?是廣義下的電荷和電流。

半年后，即1976年夏天，麻省理工學院的數(shù)學家辛格 (I. M. Singer) 教授來紐約州立大學石溪分校訪問，并和楊教授做了詳細的討論。Singer在大學里原本是學物理的，20世紀40年代轉(zhuǎn)入數(shù)學系做研究生。他在1985年這樣寫道：

三十年后，我發(fā)現(xiàn)自己在牛津大學講規(guī)范場理論，從吳大峻和楊振寧的字典講起，最終得到了瞬子，即楊–米爾斯方程的自對偶解。做了三十年的數(shù)學，我似乎又回到了物理學[10，p. 200]。

為了闡述過去十年的發(fā)展，Singer在這篇文章里引用了吳–楊的字典。

1977年四五月間，一份由Atiyah，Hitchin，Singer[11]合著的預印本被廣泛傳閱。在這篇文章里，Atiyah-Singer的指標定理被應用到自對偶規(guī)范場上去，由此而引發(fā)了許多數(shù)學家對規(guī)范場的興趣。

1979年，Atiyah出版了一個專題研究報告，題目是“楊–米爾斯場論的幾何學”[12]。他的《論文選集》第五卷以“規(guī)范場理論”為標題。在楊振寧石溪的辦公室的書架上，我發(fā)現(xiàn)了一冊有Atiyah簽名的第五卷《論文選集》。在前言中，Atiyah寫道[13]：

從1977年開始，我的興趣轉(zhuǎn)向規(guī)范場理論，以及幾何學和物理學的互動。一直以來，我對理論物理的興趣不大，大多數(shù)的沖擊都來自跟麥凱(George Mackey)的深入討論。1977年的動因來自兩個源泉。一方面，Singer告訴我Yang-Mills方程，通過楊振寧的影響，它正在向數(shù)學圈滲透。當Singer在1977年初訪問牛津時，他與Hitchin和我周密地考察了自對偶方程。我們發(fā)現(xiàn)，簡單應用指標定理，就可以得出關(guān)于“瞬子”的參數(shù)個數(shù)的公式。另一個動因則來自彭羅斯(Roger Penrose)和他的小組。

張：在吳–楊字典中，你們?yōu)槭裁戳粝乱粋€問號?

楊：因為那時數(shù)學家不曾探究過物理學家十分熟悉的重要概念：源，通常用J表示。在麥克斯韋對庫侖定律和安培–麥克斯韋定律的聯(lián)合表述中，這是一個關(guān)鍵的概念。用現(xiàn)代數(shù)學來寫，就是：

其中?是Hodge對偶。在“無源”(J=0)的情形，則可以寫成

(依據(jù)±號的選取，f分別稱為自對偶與反自對偶的) 時，此方程自動滿足 (因為f本身還滿足另一組麥克斯韋方程

這是法拉第定律和高斯定律的聯(lián)合表述) 。正是這個原因，許多數(shù)學家和物理學家開始研究自對偶與反自對偶的Yang-Mills方程。

張：這是一個極有趣的故事。自對偶規(guī)范場的研究后來引出了許多優(yōu)美的數(shù)學，包括菲爾茲獎得主唐納森的工作 (下面還會提到) 。

楊：是的，這故事正好提供了一個現(xiàn)代的例子，就是數(shù)學家可以從物理學衍生某些概念，這其實在幾個世紀以前是很普遍的，不幸的是，現(xiàn)在很少見了。

張：有些數(shù)學概念對物理學也會變得重要，對此你有什么意見?我們會想起愛因斯坦曾被勸告去注意張量分析，這和你從賽蒙斯那里得到了幫助是否類似?

楊：愛因斯坦有博大精深和令人驚嘆的洞察力，不宜將后人和他相提并論。至于數(shù)學滲入廣義相對論與規(guī)范場理論的過程，是完全不同的。就前者而言，愛因斯坦沒有黎曼幾何就不可能寫出廣義相對論的方程；就后者而言，規(guī)范場論的方程早已寫出來了，但后來是通過數(shù)學才了解其深意。

張：曾有許多學者早就指出，規(guī)范場論和纖維叢理論密切相關(guān)，為什么他們的論文不如你們的論文在數(shù)學界有影響力?

楊：這可能有許多原因。有些工作太形式化，以至于物理學家不能理解它究竟說了些什么；有些是由于物理內(nèi)容沒有被充分揭示，使得數(shù)學家覺得太微不足道。至于吳大峻和我在1975年所寫的論文，關(guān)于Aharonov-Bohm實驗和狄拉克磁單極的量子化條件的討論，都有助于引起人們的關(guān)注。當然，那個字典也很有用。

張：你和Singer、Atiyah有過學術(shù)交往嗎?

楊：我多次見過他們，但沒有學術(shù)合作。

Yang-Baxter方程

楊振寧為數(shù)學界提供的另一重要數(shù)學結(jié)構(gòu)，是Yang-Baxter方程，這是從他在統(tǒng)計力學的工作中引出的。

1967年，楊振寧試圖找出在δ-函數(shù)相互作用下，一維費米子多體問題的本征函數(shù)[14]。這是一個相當困難的問題。他在求解過程中，揭示出關(guān)鍵的一步是以下的矩陣方程：

數(shù)年之后，Baxter在解另一個物理問題 (八頂點模型) 時，再次得到矩陣方程(4)。之后有好幾個研究中心都朝著這兩個發(fā)展方向進行研究，尤其是蘇聯(lián)，更集中了人力去研究。1980年，L. D. Faddeev采用了“Yang-Baxter關(guān)系”或“Yang-Baxter方程”的術(shù)語。時至今日，這一命名已被廣泛接受。(1985年，Vladimir Drinfeld還定義了所謂的Yangian以紀念楊振寧，這與量子Yang-Baxter方程有關(guān)。)

最近六七年以來，數(shù)學和物理學上許多激動人心的進展表明，Yang-Baxter方程是與許多數(shù)學分支有關(guān)的一個基本數(shù)學結(jié)構(gòu)，這些分支包括：紐結(jié)和辮群理論、算子理論、Hopf代數(shù)、量子群、三維拓撲、微分方程的單值化等。就這些課題而發(fā)表的工作造成了文獻爆炸[10-12]。

張：Yang-Baxter方程不過是一個簡單的矩陣方程，為何會有那么大的重要性呢?

楊：在最簡單的情況下，該方程可以寫為

(5)

這是關(guān)于辮群的Artin基本方程。顯然，編辮子是一系列置換的歷史記錄。我們也不難理解，許多數(shù)學和物理問題與一連串置換的歷程有密切關(guān)系。

從最近六七年的進展來看，我感覺，Yang-Baxter方程是繼Jacobi恒等式

(其中[A,B]=AB?BA是換位子)之后最基本的代數(shù)方程。大家都知道，Jacobi恒等式是整個李代數(shù)理論及相關(guān)的李群理論的起點。

張：Yang-Baxter方程對數(shù)學的影響似乎比對物理的影響更大?

楊：目前是如此。實際上，有些物理學家認為，Yang-Baxter方程是純數(shù)學，我認為這看法將會改變。Yang-Baxter方程是一個基本結(jié)構(gòu)，不論物理學家是否喜歡，最終必然要使用它。在20年代，許多物理學家稱群論為“害” (group pest)。這種觀念一直持續(xù)到30年代，但此后就消失了。

1986年和1990年的菲爾茲獎

Yang-Mills理論和Yang-Baxter方程，兩者都在當今核心數(shù)學中占重要位置，從1986年和1990年的菲爾茲獎的頒發(fā)就可以看出這一點。

唐納森在1986年于伯克利舉行的國際數(shù)學家大會上獲得菲爾茲獎。Atiyah這樣介紹唐納森的工作[19]：

如果跟弗里德曼 (Freedman) 的一項重要工作合在一起，唐納森的結(jié)論意味著：存在一個“怪異”的四維空間，它與標準的歐幾里得空間同胚，但不微分同胚······他們的結(jié)果來自理論物理中的Yang-Mills方程，它是麥克斯韋方程的非線性推廣。

1990年的國際數(shù)學家大會有四位菲爾茲獎得主：德林費爾德 (Vladimir Drinfeld)、瓊斯 (V. F. R. Jones)、森重文 (Shigefumi Mori) 和威騰 (E. Witten) 。除森重文外，其他三人的工作都跟Yang-Mills方程或Yang-Baxter方程有關(guān)。以下的引文摘自1990年在京都舉行的國際數(shù)學家大會上的報告：

我們要提到德林費爾德和馬寧(Manin)在構(gòu)造瞬子方面的先驅(qū)性工作。這些是自對偶Yang-Mills方程的解······德林費爾德在物理學上的興趣，繼續(xù)保持在Yang-Baxter方程的研究上[20，p. 1210]。

瓊斯認識到，在某些條件下，Yang-Baxter方程可用來構(gòu)造鏈環(huán)(link)的一些不變量，從而開啟了一個新的方向······量子群理論和非交換Hopf代數(shù)被神保道夫 (Michio Jimbo) 和德林費爾德用來構(gòu)造Yang-Baxter方程的解[21，p. 1210]。
威騰用這些觀念描述了唐納森和弗洛爾(Floer)的不變量 (Atiyah早先想法的推廣)，并且將瓊斯的紐結(jié)多項式推廣到任意的環(huán)繞三維流形(ambient 3-manifold)上[22，p. 1214]。

我也頗有興趣地注意到，在京都國際數(shù)學家大會上的大會報告過分傾向于數(shù)學物理，人們有過一些抱怨[23]：

到處聽到的都是量子群、量子群、量子群!

數(shù)學和物理

張：為什么您在物理上的工作會對數(shù)學產(chǎn)生這么大的影響?

楊：這是一個很難回答的問題。幸運是一個因素。除此之外，以下兩點可能有關(guān)。首先，如果你選擇去做原始的問題，那么你就有較大的機會接觸到數(shù)學的基本結(jié)構(gòu)。其次，你必須對數(shù)學的價值觀有某種程度的欣賞。

張：請就第一點做進一步的說明。

楊：理論物理中的好多文章是這樣產(chǎn)生的：甲發(fā)表了一篇論文闡述他的理論，乙說他的論文改進了甲的結(jié)果，后來丙指出乙的理論是錯誤的，甚至往往最后發(fā)現(xiàn)甲的原始概念是完全錯的或者根本沒有意義。

張：數(shù)學界同樣有類似的情形。

楊：不，不，情況極為不同。數(shù)學定理都是被證實過的，或被認為是證實過的。在理論物理界，我們就像在做猜謎游戲，而大多數(shù)猜測又往往是錯的。

張：不過，讀最新的文獻是必要的。

楊：那當然對，了解你從事的領(lǐng)域中別人在想些什么，當然是重要的。但是要取得實質(zhì)性的進展，就必須面對原始的簡單物理問題，而不是別人的猜想。

張：您和米爾斯在1954年提出規(guī)范場正是這樣做的嗎?

楊：是的，我們問自己：“我們能否把麥克斯韋方程加以推廣，從而得到粒子相互作用的一般法則呢?”

張：那么，Yang-Baxer方程又是怎么一回事呢?您在1967年的論文里討論的并不是物理學里的一個基本重要的問題。

楊：你說得對。但是，我是在探究量子力學里一個最簡單的數(shù)學問題：具有最簡單的相互作用的一維費米子的系統(tǒng)。

張：為什么您強調(diào)“最簡單”?

楊：因為問題越簡單，你的分析工作就越可能接近某些基本的數(shù)學結(jié)構(gòu)。讓我用以下的比喻來闡明。假如象棋與圍棋中有一者被發(fā)現(xiàn)具有一個以數(shù)學為基礎(chǔ)的獲勝策略，那么一定是圍棋，因為圍棋較為簡單和基本。

張：請您再談?wù)劦诙c成功秘訣。

楊：許多理論物理工作者在某些方面對數(shù)學有抗拒的心理或者有貶低數(shù)學的傾向。我不贊同這種態(tài)度，我曾經(jīng)這樣寫道[1，p. 74]：

我的物理學界同事大多對數(shù)學采取功利主義的態(tài)度。也許因為受我父親的影響，我較為欣賞數(shù)學。我欣賞數(shù)學家的價值觀，我贊美數(shù)學的優(yōu)美和力量：它有戰(zhàn)術(shù)上的技巧與靈活，又有戰(zhàn)略上的雄才遠慮。而且，堪稱奇跡中的奇跡的是，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本結(jié)構(gòu)。

張：您父親對你有哪些數(shù)學影響?

楊：舉例來說吧。當我還是中學生的時候，就從父親那里接觸到群論的基本原理，也常常被父親書架上的一本斯派澤關(guān)于有限群的書中的美麗插圖所迷住。當我寫大學論文時，父親建議我讀一讀迪克森所寫的一本小書，叫做《近世代數(shù)理論》。這本書有短短20頁的一章介紹了群表示的特征標理論的要點。這一章的優(yōu)美和威力，使我認識到群論無與倫比的美妙和力量。

張：據(jù)說你曾經(jīng)當過中學數(shù)學老師，而且楊夫人(杜致禮)就是你授課班上的學生。

楊：是的。我曾在1944-1945年間，在昆明的一所中學里教數(shù)學，她是我班上的學生。但那時我們并不熟悉。好幾年之后，我在普林斯頓和她邂逅。教數(shù)學是一樁有趣的經(jīng)歷，不過這跟我對數(shù)學的態(tài)度并沒有關(guān)系。

張：你認為物理學家多學一點數(shù)學是否重要?

楊：不，如果一個物理學家學了太多的數(shù)學，他或她將可能被數(shù)學的價值觀所吸引，并因而喪失自己的物理直覺。我曾經(jīng)把數(shù)學和物理之間的關(guān)系比喻為一對樹葉，它們只在基部有很小的共同部分，而其余大部分是分開的：

它們有各自的目標和截然不同的價值觀與傳統(tǒng)。在基礎(chǔ)概念的層面，它們令人驚訝地共享著某些概念，但即使如此，每個學科仍舊按著自身的脈絡(luò)生長著。

張：對物理學來說，學習實驗結(jié)果是否更重要?

楊：是的。

張：你曾和許多數(shù)學家有過交往嗎?

楊：有一些。當李政道和我在1951年研究后來被稱為“單位圓定理”的時候，Von Neumann和A. Selberg曾建議我們?nèi)プxG. Pólya和Szego的著作《分析中的問題和定理》。1965年H. Whitney曾向我和我的弟弟楊振平講解向量場的指數(shù) (index) 的拓撲概念。為了求解Wiener-Hopf積分方程，M. Kac曾建議我們讀M. G. Krein有關(guān)這一課題的長篇綜述。到了70年代，我曾和復旦大學以谷超豪為首的數(shù)學小組進行合作。除了這里提到的賽蒙斯講座之外，我還得益于跟普林斯頓高等研究院A. Borel的交往，也得益于紐約州立大學石溪分校數(shù)學系的同事：Ronald G. Douglas，M. Gromov，I. Kra，B. Lawson，薩支漢(C. H. Sah)①和其他人。

①美國著名數(shù)學家，1934年出生于北京，是物理學家薩本棟次子。

張：你和陳先生有很多的交往嗎?

楊：如上所述，我早年在中國曾選修過他講述的微分幾何課，也可能旁聽過他的其他課程。在1949年及以后的幾年，我們曾多次見面，但未曾深談數(shù)學。在20世紀50年代，我已經(jīng)說過陳氏級 (Chern class) 的重要性，但并不知道它的奧妙。

只是到了1975年，當賽蒙斯在我們的理論物理研究所做了一系列演講之后，我才終于明白了纖維叢和纖維叢上的“聯(lián)絡(luò)”的基本概念。經(jīng)過一番努力，我也終于明白了最基本的陳–韋伊 (Chern-Weil) 定理。

我在懂得這深奧美妙的定理后，真的有了觸電的感覺。這個感受猶勝于60年代了解外爾 (Weyl) 計算群表示的特征標公式和彼得–外爾 (Peter-Weyl) 定理之后的喜悅。為什么呢?可能是因為陳–韋伊定理更“幾何”一點吧。

而且，感受并不止于此。還有更深刻、更觸及心靈深處的地方：到頭來忽然領(lǐng)悟到，客觀的宇宙奧秘與純粹用邏輯和優(yōu)美這些概念發(fā)展出來的數(shù)學概念竟然完全吻合，那真是令人感到悚然。我曾經(jīng)描述過這個感受[1，p. 567]：

在1975年，明白了規(guī)范場和纖維叢理論之間的關(guān)系之后我非常激動。我開車到陳省身教授在伯克利附近的El Cerrito寓所······我說，物理學上的規(guī)范場正好是纖維叢上的聯(lián)絡(luò)，而后者是在不涉及物理世界的情況下發(fā)展出來的，這實在令我驚訝。我還加了一句：“這既令我驚訝，也令我迷惑不解，因為你們數(shù)學家憑空夢想出這些概念?！标愂∩懋敿刺岢霎愖h：“非也，非也，這些概念并非是憑空夢想出來的，它們既是自然的，也是實在的。”

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楊振寧是當代的大物理學家，又是現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的重要推動者，他的兩項巨大成就——楊–米爾斯規(guī)范場和楊–巴克斯特方程，成為80年代以來一系列數(shù)學研究的出發(fā)點，其影響遍及微分幾何、偏微分方程低維拓撲、紐結(jié)理論、量子群等重大數(shù)學學科。筆者曾在楊振寧與當代數(shù)學的訪談錄中有過較為詳細的介紹，這里記錄的有關(guān)數(shù)學與物理學的關(guān)系，來自筆者在1995年末在紐約州立大學訪問楊振寧時的一些談話材料。

1. 有關(guān)數(shù)學的兩則笑話

20世紀80年代初，楊振寧在韓國漢城做物理學演講時說，“有那么兩種數(shù)學書，第一種是你看了第一頁就不想看了，第二種是你看了第一句話就不想看了。”當時引得在座的物理學家哄堂大笑。此話事出有因。1969年，楊振寧覺得物理上的規(guī)范場理論與數(shù)學上的纖維叢理論可能有關(guān)系，就把著名拓撲學家Steenrod寫的《纖維叢的拓撲學》一書拿來讀，結(jié)果是一無所獲。原因是，該書從頭至尾都是定義、定理、推論式的純粹抽象演繹，生動活潑的實際背景淹沒在形式邏輯的海洋中，使人摸不著頭腦。

楊振寧在漢城演講中的那句話本來是即興的玩笑，不能當真的。豈料不久之后被《數(shù)學情報員》爆料出來，公之于眾。數(shù)學界當然會有人反對，認為數(shù)學書本來就應該是那樣寫的。不過，楊振寧先生說，“我相信會有許多數(shù)學家支持我，因為數(shù)學畢竟要讓更多的人來欣賞，才會產(chǎn)生更大的效果。”

我想，在當代物理學家中，楊振寧是特別偏愛數(shù)學而且大量運用數(shù)學的少數(shù)人之一。如果連他也對某些數(shù)學著作的表達方式嘖有煩言，遑論其他的物理學家?就更不要說生物學家、經(jīng)濟學家、一般的社會學家和讀者了。

楊振寧先生講的另一個笑話，可在波蘭裔美國數(shù)學家Ulam的自傳《一個數(shù)學家的遭遇》中讀到，該書第294頁寫道：

楊振寧，諾貝爾物理學獎得主，講過一個有關(guān)當前數(shù)學家和物理學家之間不同思考方式的故事：一天晚上，一幫人來到一個小鎮(zhèn)。他們有許多衣服要洗，于是滿街找洗衣房。忽然他們見到一扇窗戶上有標記：這里是洗衣房。一個人高聲問道：“我們可以把衣服留在這里讓你洗嗎?”窗內(nèi)的老板回答說：“不，我們不洗衣服?！眮砣擞謫柕溃骸澳銈兇皯羯喜皇菍懼窍匆路繂?”老板又回答說：“我們是做洗衣房標記的，不洗衣服?！边@很有點像數(shù)學家。數(shù)學家只做普遍適合的標記，而物理學家卻創(chuàng)造了大量的數(shù)學。

楊振寧教授的故事是一則深刻的寓言。數(shù)學圈外的人們對于數(shù)學家“只做標記，不洗衣服”的看法是不贊成的。數(shù)學家Ulam在引用了楊振寧的笑話之后，問道，信息論是工程師Shannon創(chuàng)立的，而純粹數(shù)學家為什么不早就建立起來?他感嘆地說：“現(xiàn)今的數(shù)學與19世紀的數(shù)學完全不同，甚至99%的數(shù)學家不懂物理，然而有許許多多的物理概念，要求數(shù)學的靈感、新的數(shù)學公式、新的數(shù)學觀念?！?/p>

2.理論物理的“猜”與和數(shù)學的“證”

1995年12月，楊振寧先生接到復旦大學校長楊福家的來信，邀請楊振寧在1996年5月到復旦大學為“楊武之講座”做首次演講。楊武之教授是楊振寧的父親，又是我國數(shù)學前輩，早年任清華大學數(shù)學系主任多年，50年代后，則在復旦大學任教授。所以楊振寧很愉快地接受了邀請，但是他不能像楊福家校長要求的那樣做20次演講，只準備講三次。順著這一話題，楊振寧先生又談了理論物理和數(shù)學的一些關(guān)系。楊先生說：

理論物理靠的是“猜”，而數(shù)學講究的是“證”，理論物理的研究工作是提出猜想，設(shè)想物質(zhì)世界是怎樣的結(jié)構(gòu)。只要言之成理，不管是否符合現(xiàn)實，都可以發(fā)表。一旦猜想被實驗證實，這一猜想就變成真理。如果被實驗否決，發(fā)表的論文便一錢不值(當然失敗是成功之母，但那是另一層意思了)。數(shù)學就不同，發(fā)表數(shù)學論文只要沒有錯誤，總是有價值的，因為那不是猜出來的，而是有邏輯的證明。邏輯證明的結(jié)果，總有一定的客觀真理性。

正因為如此，數(shù)學的結(jié)果可以講很長時間，它的結(jié)果以及得出這些結(jié)果的推導過程都是很重要的。高斯給出代數(shù)基本定理的四種證明，每種證明都值得講。如果讓丘成桐從頭來講卡拉比猜想的證明，他一定會有20講。但是，要我講宇稱不守恒是怎么想出來的，我講不了多少話。因為當時我們的認識就是朝著否定宇稱守恒的方向想，“猜測”不守恒是正確的。根據(jù)是有一些，但不能肯定。究竟對不對，要靠實驗。

楊先生最后說：“理論物理的工作好多是做無用功，在一個不正確的假定下猜來猜去，文章一大堆，結(jié)果全是錯的。不像數(shù)學，除了個別錯的以外，大部分都是對的，可以成立的。”

楊先生的這番話，使我想起不久前Quine和Jaffe的一篇文章①，發(fā)表于Bulletin of AMS1993年8月號，曾引起相當?shù)霓Z動。該文的主題是問，是否允許“猜測數(shù)學”存在？文中提到，物理學已經(jīng)有了分工，理論物理做“猜測”，實驗物理做“證明”。但是數(shù)學沒有這種分工。一個數(shù)學家，既要提出猜想，又要完成證明。除了Hilbert那樣的大人物可以提出23個問題，其猜想可以成為一篇大文章之外，一般數(shù)學家最多在文章末尾提點猜想以增加讀者的興趣，而以純粹的數(shù)學猜想為主干的文章是無處發(fā)表的。因此，兩位作者建議允許“理論數(shù)學”即“猜測數(shù)學”的存在。

①A. Jaffe and F. Quine, "Theoretical mathematics: toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics," Bull. Amer., Math. Soc. N. S. 29 (1993), 1-13; M. Atiyah et al., "Responses," Bull. Amer. Math. Soc. N. S. 30, (1994), 178-207. (中譯文分別是: "理論性數(shù)學: 數(shù)學與理論物理的文化綜合", 周善有譯,《數(shù)學譯林》1993 年第 13 卷第 2 期, 147{157; 對 A. Jaffe 與 F. Quine 的《理論性數(shù)學: 數(shù)學與理論物理的文化綜合》一文的反應, 江嘉禾、鐵小勻譯,《數(shù)學譯林》1994 年第 13 卷第 4 期, 317-322.)

這樣一來，現(xiàn)在有兩種互相對立的看法。一方面，物理學界中像楊振寧先生那樣，覺得理論物理的研究太自由，胡亂猜測皆成文章，而數(shù)學的情況還是比較好的。另一方面，數(shù)學界如Quine和Jaffe那樣，覺得目前數(shù)學研究要求每個結(jié)論都必須證明的要求，太束縛人的思想，應該允許人們大膽地猜測，允許有根據(jù)但未經(jīng)完全確認的數(shù)學結(jié)論發(fā)表出來。二者孰是孰非，看來需要一個平衡。許多問題涉及哲學和社會學層面，就不是三言兩語可以解決的了。

3. 復數(shù)、四元數(shù)的物理意義

虛數(shù)的出現(xiàn)可溯源至15世紀時求解三次方程，但直到18世紀的Euler時代，仍稱之為“想象的數(shù)”(imaginary numbers)。數(shù)學界正式接受它，要到19世紀，經(jīng)Cauchy，Gauss，Riemann，Weierstrass的努力，以漂亮的復變函數(shù)論贏得歷史地位。至于在物理學領(lǐng)域，一直認為能夠測量的物理量只是實數(shù)，復數(shù)是沒有現(xiàn)實意義的。盡管在19世紀，電工學中大量使用復數(shù)，有復數(shù)的電動勢、復值的電流，但那只是為了計算的方便。不用復數(shù)，你能算出來，只不過麻煩一些而已。計算的最后結(jié)果也總是實數(shù)，并沒有承認在現(xiàn)實中真有“復數(shù)”形態(tài)的電流。

有鑒于此，楊振寧先生說，直到20世紀初，情況仍然沒有多少改變。一個例證是創(chuàng)立了量子波動力學的薛定諤，據(jù)說他在1926年初就已經(jīng)得到我們現(xiàn)在熟悉的方程，

（6）

其中含有虛數(shù)單位i，波函數(shù)是復函數(shù)，但最后總是取實部。薛定諤因為其中含有虛數(shù)，而對方程(1)不滿意，力圖找出不含復數(shù)的基本方程。于是，他將上式兩邊求導后化簡，得到了一個不含復數(shù)但更復雜的高階微分方程：

（7）

1926年6月6日，薛定諤在給洛倫茨的一封長信中，認為這個不含復數(shù)的方程(7)“可能是一個普遍的波動方程”。這時薛定諤正在為消除復數(shù)而努力。但是到了同年的6月23日，薛定諤領(lǐng)悟到，這是行不通的。在論文中，他第一次提出：“波函數(shù)是時空的復函數(shù)，并滿足方程(6)?！彼逊匠?6)稱為真正的波動方程，原因是，描述量子行為的波函數(shù)，不僅有振幅大小，還有相位，二者相互聯(lián)系構(gòu)成整體，所以量子力學方程非用復數(shù)不可。另一個例子是Weyl在1918年發(fā)展的規(guī)范理論，被愛因斯坦拒絕接受，也是因為沒有考慮相位因子，只在實數(shù)范圍內(nèi)處理問題。后來由Fock和London用加入虛數(shù)i的量子力學加以修改，Weyl的理論才又復活。

牛頓力學中的量全都是實數(shù)量，但一旦進入量子力學，就必須使用復數(shù)量。楊振寧和Mills在1954年提出非交換規(guī)范場，正是注意到了這一點，才會把Weyl規(guī)范理論中的相位因子推廣到李群的李代數(shù)，從而完成了一項歷史性的革命。

1959年，Aharanov和Bohm設(shè)計一個實驗表明，在量子力學中，與標量勢一樣，向量勢也是可以測量的，打破了“可測的物理量必須是實數(shù)”的框架。這一實驗相當困難，最后由日本的Tonomura及其同事于1982年和1986年先后完成。這樣，物理學中的可測量終于拓展到了復數(shù)。

令我驚異的是，楊振寧教授預言，下一個目標將是四元數(shù)進入物理學。自從1843年愛爾蘭物理學家和數(shù)學家哈密頓發(fā)現(xiàn)四元數(shù)之后，他本人曾花了后半輩子，試圖把四元數(shù)像復數(shù)那樣廣泛地運用于數(shù)學和物理學，開創(chuàng)四元數(shù)的世紀。但結(jié)果是令人失望的。人們曾評論這是“愛爾蘭人的悲劇”。時至今日，一個數(shù)學系的畢業(yè)生可能根本不知道有四元數(shù)這回事，最多也不過是非交換代數(shù)的一個例子而已。我還記得，1986年春，錢學森在致中國數(shù)學會理事長王元的一封信中，曾建議多學計算機知識，而把研究“四元數(shù)分析”(復分析的推廣)的工作貶低為“像上一個世紀的古董”?？傊?，和許多數(shù)學工作者一樣，我認為四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)，只不過是“抽象的代數(shù)產(chǎn)物”，不會有什么大用處。

然而，楊振寧向我解釋了他的想法：

物理學離不開對稱。除了幾何對稱之外，還有代數(shù)對稱。試看四元數(shù)

，其基本單位滿足

像這種對稱的性質(zhì)，在物理學中經(jīng)?？梢耘龅?。問題是：有哪些基本的物理學規(guī)律非用四元數(shù)表示不可?現(xiàn)在似乎還沒有出現(xiàn)。最近，丘成桐等人的文章說，我在1977年發(fā)表的一篇文章，曾推動代數(shù)幾何中穩(wěn)定叢的解析處理的理論。我還沒有問過數(shù)學家，不知道這是怎么一回事。許多工作，包括用四元數(shù)表示的物理理論，也許會在這種交流中逐步浮現(xiàn)。

楊振寧先生又說，至于將復分析理論形式地推廣到四元數(shù)分析理論，由于四元數(shù)乘法的非交換性，導數(shù)無法唯一確定，所以不會有什么好結(jié)果出來?，F(xiàn)在也有物理學家寫成著作，但沒有引起什么注意。將來要用四元數(shù)表達的物理定律，一定會是一組非線性微分方程組，其解的對稱性必須用四元數(shù)來表示。所以楊先生相信：“愛爾蘭人的悲劇是會變成喜劇的?！?/p>

4. “雙葉”比喻

數(shù)學和物理的關(guān)系，應該是十分密切的。在數(shù)學系以外的課程中，物理系開設(shè)的數(shù)學課最多最深?！拔锢韺W公理化、數(shù)學化”(即希爾伯特23個問題中的第6個問題)，曾是一個時期許多大學問家追逐的目標。不過，善用數(shù)學與物理的楊振寧教授卻認為，二者之間的差別很大，他有一個生動的“雙葉”比喻，來說明數(shù)學和物理之間的關(guān)系。楊振寧認為，數(shù)學和物理學像一對“對生的”樹葉，它們只在基部有很小的共有部分，大部分則是互相分離的。楊振寧先生解釋說：“它們有各自的目標和截然不同的價值觀與傳統(tǒng)。在基礎(chǔ)概念的層面，它們令人驚訝地共享著某些概念，但即使如此，每個學科仍按著自身的脈絡(luò)生長著?！?/p>

本文收錄于《楊振寧的科學世界：數(shù)學與物理的交融》（高等教育出版社，2018）。本文中文版原載：數(shù)學傳播，1992(4)；科學，1992(4)。英文版刊于Mathematical Intelligencer，1993，15(4)。中文版與英文版內(nèi)容不全相同，本文由張奠宙譯自英文版。本文還有一篇姊妹篇，見于張奠宙主編的《20世紀數(shù)學經(jīng)緯》一書中的同名文章。

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