數(shù)學家看到的世界和普通人到底有什么不同？

在這個瞬息萬變的世界中，自主思考的能力必不可少。歐洲有“七藝”（Liberal Arts）的教育傳統(tǒng)，Liberal 原指“自由”，即“永不為奴”的意思。也就是說，Liberal Arts 是一種讓人自主掌握命運、成為自由之人的素養(yǎng)。不管是成為領(lǐng)導者之時，還是面臨預想之外的問題之時，都必須鍛煉自主思考解決問題的能力。在古羅馬時期，“七藝”為邏輯、語法、修辭、音樂、天文，還有算術(shù)和幾何。最開始的三項是為了磨煉“論證”的語言技術(shù)，我認為這三項排在前面，是因為它們是語言成形的必要條件，只有學會使用語言，才能獲得思考的能力。

“七藝”之中的“算術(shù)”和“幾何”都屬于數(shù)學領(lǐng)域，我覺得很有趣。通常情況下，大家會認為語言領(lǐng)域的文學或外國語言文學屬于文科，數(shù)學屬于理科，但我認為數(shù)學是和語言學習一樣的東西。數(shù)學可以精準地描述事物，這種描述能力超越了英語、日語等自然語言的表現(xiàn)能力。

所以如果理解數(shù)學，就能看到那些無形、不可見的東西，想出從未想到過的新創(chuàng)意。

——世界知名理論物理大家，大栗博司

本文經(jīng)授權(quán)節(jié)選摘編自大栗博司：《用數(shù)學的語言看世界》（人民郵電出版社）。

撰文 | 大栗博司

辛普森審判

1994 年年在美國洛杉磯發(fā)生了歐·杰·辛普森謀殺案，知名橄欖球運動員辛普森的前妻妮科爾·布朗及其友人羅納德·古德曼被發(fā)現(xiàn)死于高曼的寓所外，辛普森被懷疑是殺害兩人的兇手。辛普森退役后以演員和喜劇演員的身份參加各類活動，并且深受人們喜愛。因此，這個案件在當時備受關(guān)注。來自美國各地的律師們組成了辛普森的辯護團，被人們稱為“夢之隊”。另一方面，檢察院也召集了最精明能干的檢察官。甚至電視上還直播了這場“世紀審判”的審判情況。

檢察院提交了辛普森常年對布朗施暴的證據(jù)，試圖用家庭暴力證明其有殺人嫌疑。然而，辯護團中的一名律師、哈佛大學法學院的艾倫·德肖維茨教授引用了美國聯(lián)邦調(diào)查局的一個犯罪統(tǒng)計，即虐待妻子的2500 名丈夫中只有1 人殺害了自己的妻子，并且主張應(yīng)該忽略家庭暴力這個證據(jù)。結(jié)果檢察院無力反駁，最終無法讓陪審員信服辛普森的施暴行為造成了殺人行為。但是，德肖維茨教授的主張純屬詭辯，完全可以用數(shù)學語言駁倒。

刑事審判追究的是有罪的“概率”。除非親眼看見犯罪，否則就不能百分之百地斷定有罪。檢察院的工作就是要證明無罪的概率極小，法律術(shù)語叫作“排除合理懷疑，判定有罪”。至于多小的概率才能排除合理懷疑，這是一道數(shù)學無法判斷的主觀問題。法官和陪審員的職責正是對此作出判斷。但是概率能用數(shù)字表達懷疑的程度，并通過這個數(shù)字來判斷是否存在合理懷疑。這就是數(shù)學的力量。用概率來講，德肖維茨教授的主張是有家庭暴力的丈夫殺害妻子的概率是1/2500，因為這個概率極小，所以作為證據(jù)并無意義。法官和陪審員在作判斷時，必須將所有相關(guān)信息考慮在內(nèi)。實際上，德肖維茨教授忽略了一個重要的信息，即“妮科爾·布朗已經(jīng)被殺害了”。如果把這個條件加進去的話，概率計算會出現(xiàn)完全不同的結(jié)果。

辯護團的德肖維茨教授主張有家庭暴力的丈夫殺害妻子的概率為1/2500，因為這個數(shù)字太小，所以作為證據(jù)提交并沒有意義。換言之，

但是，辛普森審判中最重要的問題是“有家庭暴力，而且妻子遇害時，丈夫殺害妻子的概率”。

據(jù)說在美國，已婚女性被丈夫以外的人殺害的概率為20 000 人中有1 個人。假設(shè)受到家庭暴力的妻子為100 000 人，其中有5 人遇害的原因與家庭暴力無關(guān)。另一方面，受到家庭暴力的妻子被丈夫殺害的概率為1/2500，即100 000 人有40 人被丈夫殺害。遇害的妻子總共為40 + 5 = 45 人，其中被丈夫殺害的妻子為40 人，所以受到家庭暴力的妻子被殺害時，丈夫是犯人的概率為

也就是說，只要能夠證明辛普森有家庭暴力，他殺害布朗的概率為90%。提出這個概率的話，想必就不能“排除合理懷疑”了。所以，顯然這是一個重要的證據(jù)。90% 的概率也足以用來反駁德肖維茨教授的主張。這就是數(shù)學的力量。

事件發(fā)生時兇手所使用的黑色皮手套最終決定了審判結(jié)果。在辛普森家中發(fā)現(xiàn)的手套中沾有兩人血液以及布朗的金色發(fā)絲，同時還檢驗出了辛普森的DNA。檢察院提交了作為證物的手套，但是他們致命的失敗在于要求辛普森戴上手套。因為沾有血跡的皮手套收縮了一些，所以辛普森的大手難以戴上。而且，后來媒體曝光出發(fā)現(xiàn)這個皮手套的警官是一名種族歧視者，辯護團主張這位警官有可能捏造證據(jù)誣陷黑人辛普森。由于警方草率管理證據(jù)遭到曝光，持有合理懷疑的陪審員們討論后一致決定辛普森無罪。雖然數(shù)學起了一定的作用，但是僅靠數(shù)學也不一定能贏得審判。

純粹數(shù)學的精華

數(shù)學家弗蘭克·納爾遜·柯爾出生于1861 年，曾在哥倫比亞大學執(zhí)教并擔任美國數(shù)學學會的秘書官長達25 年。退休時，他用收集的捐贈款設(shè)立了“柯爾獎”，這也是現(xiàn)在數(shù)學界最具權(quán)威性的獎項之一。1903 年10 月31 日，柯爾在紐約召開的美國數(shù)學學會總會上發(fā)表了題為“關(guān)于大數(shù)字的因數(shù)分解”的演講。柯爾用粉筆在會場大黑板的左邊寫下了“2<67>”，接著計算2 的67 次方，用2的67方減去1（下面用

代表n次方），得到

2<67> ? 1 = 147 573 952 589 676 412 927

然后又挪到黑板的右邊，寫下

193 707 721 × 761 838 257 287

在此期間，他一言不發(fā)，通過筆算計算出上述乘法運算的結(jié)果：

193 707 721 × 761 838 257 287 = 147 573 952 589 676 412 927

經(jīng)過確認之后，與左邊的2<67> ? 1 用等號連接起來。柯爾依舊沉默著放下粉筆，走回座位。原本鴉雀無聲的會場里響起了雷鳴般的掌聲。

柯爾在黑板上寫的數(shù)屬于梅森數(shù)中的一個。17 世紀的法國數(shù)學家馬林·梅森對

2

? 1

做了大量的計算，推斷出在小于257 的自然數(shù)n 中，當n = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 時2

? 1 是素數(shù)。素數(shù)指的是除了1 和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)。例如n = 2、3、5、7 時，2

? 1 = 3、7、31、127，這些數(shù)確實都屬于素數(shù)。

法國數(shù)學家愛德華·盧卡斯通過歷時19 年的筆算，終于在1876年證實了2<127> ? 1 是素數(shù)。這是當時發(fā)現(xiàn)的數(shù)值最大的素數(shù)。直到20世紀中期，人們在計算器的幫助下才發(fā)現(xiàn)了更大的素數(shù)，在那之前這個記錄一直沒被打破。盧卡斯證實了梅森所推斷的n = 127 時，2

? 1是素數(shù)，同年他還證明了2<67> ? 1 不是素數(shù)。既然不是素數(shù)，那么說明2<67> ? 1 可以表示為多個數(shù)的乘積。不過，盧卡斯所使用的證明方法無法推出這個數(shù)是哪些數(shù)的乘積。柯爾證明了這個數(shù)是193 707 721 和761 838 257 287 的乘積。據(jù)說他堅持在每個周日的下午認真計算，最終花了3 年時間終于找到這個分解方法。

梅森的想法雖然并不準確，不過2

? 1 中還包含了許多他沒發(fā)現(xiàn)的素數(shù)，這些素數(shù)被稱作“梅森素數(shù)”。截至2014 年，已被發(fā)現(xiàn)的最大的素數(shù)2<57885161> ? 1 也是梅森素數(shù)。

研究整數(shù)性質(zhì)的“數(shù)論”是純粹數(shù)學中的一個特殊存在。例如被譽為人類歷史上最偉大的數(shù)學家之一的高斯曾經(jīng)說過：“數(shù)學是科學的女王, 而數(shù)論是數(shù)學的女王。”另外，19 世紀德國數(shù)學界的代表性人物利奧波德·克羅內(nèi)克也有一句名言：“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人做的工作。”

無限世界

1976 年，美國的搖滾樂隊“老鷹樂隊”發(fā)行了一張專輯《加州旅館》（Hotel California）。這張專輯的主打歌是將南加州一家虛構(gòu)的旅館作為故事的發(fā)生地。主人公在沙漠公路上駕駛，感覺疲勞的他走進了一家旅館。旅館門口的女服務(wù)員帶他穿過走廊時，里面?zhèn)鱽砹苏f話聲。

歡迎來到加州旅館！加州旅館擁有無窮間客房。您隨時都可以入住。

經(jīng)理（以下稱為“經(jīng)”）：歡迎來到加州旅館！我是經(jīng)理戴維·希爾伯特。本旅館隨時都有空房，因為我們擁有無窮間客房。您看走廊的前方，每間客房都標有房號，1、2、3 · · · 永遠不會停止。您看起來很疲憊！我馬上讓客房部主管為您準備房間。

客房部主管（以下稱為“主”）：經(jīng)理，請您不要再輕易許諾說有多余房間了。今天客房已滿，無法為客人辦理入住。

經(jīng)：你不用擔心，把室內(nèi)廣播的話筒遞給我。（拿起話筒）“不好意思打擾各位休息了。請1 號房的客人搬到2 號房，2號房的客人搬到3 號房”。

主：1 號房就變成空房了。

經(jīng)：那么，就請這位客人入住1 號房。加州旅館的賣點就是保證您隨時都可以入住。

主：駛來了一輛旅游大巴，車身貼著“自然數(shù)旅行團”的標簽。

經(jīng)：你數(shù)一下來了多少客人。

主：1、2、3 · · ·，怎么也數(shù)不完。貌似所有自然數(shù)都來了，總共有無窮位客人。而且客房已滿，如果只來1 位或2 位還可以想想辦法。現(xiàn)在來了無窮位客人，客房肯定不夠了。

經(jīng)：你不用擔心。又到了室內(nèi)廣播的時間，“不好意思打擾各位休息了。現(xiàn)在麻煩各位搬到偶數(shù)房間。請1 號房的客人搬到2 號房，2 號房的客人搬到4 號房。3 號房的客人搬到6 號房。”

主：1 號房、3 號房、5 號房· · · 等奇數(shù)房間全部空出來了。

經(jīng)：請大巴上的客人按順序入住。第一位客人入住1 號房、第2 為客人入住3 號房、第n 位客人入住(2n ? 1) 號房。這樣一來，就能幫乘坐大巴的所有自然數(shù)客人安排房間。加州旅館的賣點就是保證您隨時都可以入住。

主：經(jīng)理，又來了好幾輛自然數(shù)旅游大巴。

經(jīng)：你先數(shù)好大巴數(shù)。

主：1、2、3 · · · 怎么也數(shù)不完。貌似來了無窮輛大巴。而且，每輛大巴內(nèi)都坐著無窮位客人。客房肯定不夠了。

經(jīng)：你不用擔心。按照到達旅館的先后順序給旅游大巴編號，1、2、3 · · · 再播放與剛才相同的廣播內(nèi)容。

主：和剛才一樣，奇數(shù)房間都空出來了。但是，也只夠一輛旅游大巴的客人入住。

經(jīng)：你不用擔心。旅游大巴里的客人都有2 個號碼，一個是自己乘坐的大巴編號，一個是自己在大巴里的座號。例如，如果是3 號大巴的第5 名乘客，就記作(3, 5)。

主：不過經(jīng)理，1 號大巴的客人全部入住后，客房就全滿了。

經(jīng)：像你這樣安排的話當然會住不下。首先，請客人們按我說的排隊。

主：麻煩客人們排一下隊伍。請2 號大巴的客人后退一步，3 號大巴的客人后退2 步。

經(jīng)：對了，等客人們排好隊后，給他們發(fā)放新的號碼牌。

主：請按從前到后，從左到右的順序傳遞號碼牌。

經(jīng)：這樣一來，每位客人都能拿到號碼牌。然后我們只要按照新的號碼牌安排房間即可。剛才已經(jīng)請之前入住的客人都搬到偶數(shù)房間，所以現(xiàn)在奇數(shù)房間都空出來了。那么，請[1] 號客人入住1 號房，[2] 號客人入住3 號房，[n] 號客人入住(2n ? 1) 號房。

主：即使來了無窮多輛大巴的客人，也能完美地安排他們?nèi)胱　?/p>

經(jīng)：加州旅館的賣點就是保證您隨時都可以入住。

主：又來了一輛大巴，是有理數(shù)旅游團。

經(jīng)：你不用擔心。加州旅館隨時都有房間。

主：這次來的客人是分數(shù)。

經(jīng)：所有的分數(shù)都來了嗎？

主：是的。僅1 和2 之間的分數(shù)就是無窮個，看起來比旅館的房間還要多，能住得下嗎？

經(jīng)：你不用擔心。剛才拿著大巴編號和座位編號2 個數(shù)字的客人都已經(jīng)順利入住了。

主：是的，給這些客人發(fā)放了新的號碼牌，例如(1, 2) 換成[2]，(2, 3) 換成[8]，然后讓他們按照新號碼牌先后辦理了入住。

經(jīng)：只要把分數(shù)看成2 的數(shù)對就好了。例如客人1/2 就是(1, 2)，給他發(fā)放[2] 號，客人2/3 就是(2, 3)，換成[8]號。然后按照剛才的方法安排他們?nèi)胱　?/p>

主：不過1/2 = 2/4，客人1/2 拿到的是[2] 號，而客人2/4 拿到的卻是[8] 號。說起來，1/2 = 3/6 = 4/8 = 5/10 =· · ·，所以重復的客人太多了。

經(jīng)：那就把重復的房間空出來。

主：這家旅館太厲害了。分數(shù)的客人全部成功入住，而且還有空房。

經(jīng)：時間不早了，我先去休息了。剩下的就交給你處理了。

主：（原來如此！不管來多少客人，只要給他們分配號碼牌就可以了。如果我能處理好，經(jīng)理一定會對我刮目相看。客人們快點來吧！）

導游（以下稱為“導”）：這么晚還來打攪你們，真是不好意思。我是實數(shù)旅行團的導游。

【注】這段對話是1924 年希爾伯特在哥廷根大學講課時，為說明有限集合和無限集合的區(qū)別而使用的例子，被叫作“希爾伯特旅館”。

雖然說這是世界知名理論物理學家大栗博司先生寫給女兒的數(shù)學啟蒙書，我讀了讀竟然發(fā)現(xiàn)，它極其適合分享給每一位想了解數(shù)學的讀者。根據(jù)上面分享的內(nèi)容，你應(yīng)該能體會這本書有多棒了！

這本書趣味性、知識性兼?zhèn)洹幸杂谩皵?shù)學語言”解讀自然為線索，突破傳統(tǒng)數(shù)學教育的順序和教學方式，用歷史事件、生動故事以及比喻直接講解數(shù)學核心概念的原理與相關(guān)體系，并且講解了把數(shù)學作為一門“語言”、用數(shù)學探索自然不可見結(jié)構(gòu)的思維方式，是重新認識和理解數(shù)學的科普佳作。

《用數(shù)學的語言看世界（修訂版）》

作者：大栗博司

加州理工學院理論物理研究所所長、東京大學Kavli 數(shù)學物理聯(lián)合宇宙研究機構(gòu)研究主任大栗博司贈給女兒的“私房”數(shù)學科普讀本。

全書以用“數(shù)學語言”解讀自然為線索，用生動故事和比喻重新講解了數(shù)學的核心原理與體系，并且講解了把數(shù)學作為一門“語言”的思維方式，是數(shù)學入門，重新理解數(shù)學的科普佳作。

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