科研儀器 | PID 控制器原理

簡介

采用反饋回路的自動控制系統（即將系統輸出反饋至輸入端）古已有之，如今已成為現代技術中不可或缺的組成部分。James Clark Maxwell 在150多年前發表的《論調節器》[1]中，首次嘗試嚴謹地描述應用反饋的控制回路。

在控制策略中，開環控制系統是控制器根據預定的輸入值來確定控制動作，不依賴任何反饋。相比之下，閉環控制器包含持續的反饋機制，能夠進行實時調整，以提高精度、穩定性和魯棒性，使其更適合在不斷變化的條件下實現所需的控制目標。

目前，應用最廣泛的閉環控制系統是比例-積分-微分 (PID) 控制器。這類控制器持續測量并調整系統輸出，使其與所需的設定點（即目標過程或系統的給定目標狀態）相匹配。由于 PID 控制器幾乎不需要系統的先驗知識或模型，因此具有極強的通用性、成本效益高且易于實現。它們可應用于多種過程：從液壓氣動、模擬電路到數字電子技術。

因此，PID 控制器廣泛應用于各種工業和研究領域，包括制造業、光子學、傳感器、材料科學和納米技術。

PID 控制回路在日常生活和工業自動化中無處不在，例如智能手機和自動駕駛汽車中的陀螺儀、用于烹飪或處理樣品的烤箱、管道中的流量控制器，甚至用于管理交通。

同時，它們在一些前沿研究領域也十分突出，例如光學和光子學中對激光腔和干涉儀的穩定、基于 MEMS（微機電系統）陀螺儀的閉環控制，以及掃描探針顯微鏡 (SPM) 中機械諧振器的表征。

本文將介紹 PID 控制回路的關鍵功能和原理，通過分析其基本構成模塊，描述其優勢和局限性，并概述整定和設計策略，以及如何通過蘇黎世儀器的鎖相放大器輕松實現。

PID工作原理與構成模塊

PID 控制器的目標是生成一個控制信號 u(t)，用以動態地最小化系統輸出 y(t) 與所需的設定點 r(t) 之間的差異。

如圖1所示，在一個典型的控制方案中，首先將系統輸出 y(t) 反饋回來，并通過比較器與設定點 r(t) 進行比較，生成隨時間變化的誤差信號 e(t)=r(t)?y(t)。隨后，環路控制器對該誤差信號進行最小化處理，并生成控制信號 u(t)。該控制信號被施加到執行機構上，驅動系統輸出，從而啟動閉環操作。為了持續最小化誤差，除了考慮當前誤差外，考慮其隨時間累積（積分項）和其未來趨勢（微分項）也至關重要，如圖2所示。

圖 1. 最通用形式的 PID 控制回路示意圖。

圖 2. 誤差函數示例，突出顯示了 P、I 和 D 三項的貢獻。

在最一般情況下，誤差最小化是通過 PID 控制器環路控制器的三個主要部分實現的：比例項、積分項和微分項。

在數學上，最一般形式的完整控制函數可以寫成這三個獨立貢獻項的總和：

其中 Kp、Ki 和 Kd 分別是與比例項、積分項和微分項相關的增益系數。

比例項

比例項（用 P 表示）基于系統設定點與測量的系統輸出之間的瞬時誤差。這一項通過施加與誤差幅度成正比的校正，幫助將系統輸出快速拉回設定點，從而減少控制信號的上升時間，如圖3所示。誤差越大，比例項施加的校正越大；在固定 KP 的情況下，誤差越大，uP(t) 越大。由于 P 項需要非零誤差才能產生輸出，因此其本身不能完全消除誤差。系統達到穩態時，會殘留一個固有的穩態誤差（或稱靜差）。

圖 3. 比例項的影響。增加Kp系數可以縮短上升時間，但穩態誤差永遠不會等于零。此外，比例項增益值過高可能會導致輸出振蕩。

積分項

積分項（用 I 表示）施加一個與誤差的時間積分（即誤差的累積歷史）成正比的校正。如果誤差持續累積，積分項會持續增大，導致對系統輸出施加更大的校正。與比例項不同，積分項能夠使控制器在瞬時零誤差的條件下，也能產生非零的控制信號。這一特性使控制器能夠將系統精確地帶到所需的設定點，徹底消除穩態誤差。其效果如圖4所示。

圖 4： 在Kp=1恒定的情況下，積分項的影響。增加Ki，響應速度會更快，但如果值增加太多，也會導致更大的振蕩和超調（綠色曲線）。

增大積分增益系數 Ki 的值，會增加累積誤差對控制信號的貢獻。這意味著如果存在穩態誤差，具有較大 Ki 的積分項將比小的積分項更快地驅動控制信號以消除誤差。

然而，過度增加積分項會導致輸出振蕩。如果累積了過多誤差，可能導致控制信號超調并在設定點周圍產生振蕩。這種現象有時被稱為積分飽和[2]。

微分項

微分項（用 D 表示）通過施加與誤差對時間的導數（即其變化趨勢）成正比的校正來控制誤差。這有助于減少誤差的變化率，從而提高控制回路的穩定性和響應速度。其目的是預測誤差信號的變化：如果誤差呈上升趨勢，微分項會嘗試補償，無需等待誤差變得顯著（比例動作）或持續一段時間（積分動作）。

在 PID 的實際實現中，微分項有時會被省略，因為它對輸入信號的質量高度敏感。當控制信號中信號噪聲較大或設定點快速變化時，誤差的導數往往會變得非常大，導致 PID 控制器輸出急劇變化，可能引起控制回路的不穩定或振蕩。

為了提高穩定性，一種緩解策略是使用低通濾波器對誤差信號進行預處理。然而，低通濾波與微分控制在頻率響應上相互抵消，因此只能進行有限量的濾波。如果經過正確校準且系統具備足夠裕度，微分項可以對控制器性能做出決定性貢獻。微分項的效果如圖5所示。

圖 5： 微分項的目的是增加系統的阻尼。然而，如文中所述，過大的Kd值可能會使系統不穩定或振蕩。圖中曲線是在保持比例和積分增益恒定（Kp=4 和 Ki=1 s?1）的情況下獲得的。

每個項對系統響應的影響在很大程度上取決于系統的動態特性。

因此，可以調整 Kp、Ki 和 Kd 增益的權重來微調控制回路的性能，以實現所需的響應速度和準確性。

某些應用或簡單系統中，可能只需要PID控制器三個控制項中的一個或兩個。要僅使用這些項的一部分來操作控制器，只需將未使用的項增益設為零，即可得到 PI、PD、P 或 I 控制器。

例如，PI 控制器在優先考慮消除穩態誤差和系統穩定性，而非極快響應時間的應用中很常見，因為它們的動態響應相對較慢。一個典型的例子是烤箱溫度控制，通常使用 PI 控制器來確保精確的溫度調節并消除任何穩態偏移，考慮到烤箱系統較慢的熱響應特性。

初始參數推導（整定）

PID 控制器的主要優勢之一是它們可以在不了解系統或沒有詳細模型的情況下實現。由于其啟發式的校準程序，可以僅基于在校準過程中進行的簡單實驗測試來計算系數。盡管如此，PID 參數的初始整定可能是一項復雜的任務。

存在幾種成熟的方法來推導初始系數集，其中許多涉及測量系統的開環特性參數。

開環指的是在沒有任何反饋控制下系統的行為，即有一個輸入信號輸入系統，僅測量結果輸出，但不反饋到輸入。輸入信號可以是階躍信號、斜坡信號、正弦波或任何其他適合被控系統的信號類型。系統的輸出作為時間的函數被記錄下來，并可以進行分析以確定系統的響應特性，例如其時間常數、自然頻率和阻尼比。

尋找初始參數的一般策略通常包括三個步驟：

1. 獲取系統的開環響應并測量一些特征參數，例如系統輸出的振蕩周期和過程延遲。

2. 基于測得的參數，計算增益系數 Kp、Ki 和 Kd 的粗略值。

3. 調整 PID 增益系數以優化控制回路的噪聲抑制、速度或魯棒性。

一些最廣泛應用的粗調技術是 Ziegler-Nichols 方法[3]、Cohen-Coon 方法[4]、繼電反饋方法[5]和 Tyreus-Luyben 方法[6]。

在表1中，概述了一個基于 Ziegler-Nichols 方法的初始整定過程示例：

表 1： 基于 Ziegler-Nichols 方法的 PID 控制器初始整定的逐步程序。

模擬和數字 PID 控制器

近年來，由于現場可編程門陣列 (FPGA) 技術、微處理器和數字信號處理技術的出現，數字 PID 控制器（連同許多其他數字工具）在許多方面已經超越了其模擬對應物。特別是，數字形式的 PID 控制具有易于通過算法實現并由微控制器設備執行的巨大優勢。這極大地提高了其靈活性、性能和可處理應用的數量。

數字和模擬 PID 控制器在處理信號和執行控制操作的方式上有所不同。模擬控制器使用連續信號和模擬器件（如運算放大器和電阻器）來執行計算并生成控制信號。相反，數字 PID 控制器對信號進行采樣和數字化，執行計算并輸出離散的控制信號。數字信號處理技術的使用使得數字控制器能夠執行更復雜的控制算法，從而避免了額外的模擬電路。模擬電路的物理特性可能會隨時間漂移，從而降低控制操作的質量。

此外，數字控制器可以輕松實現配置的保存/調用以及與其他數字系統的集成，從而增加了其對更多控制問題和應用的適應性。

與所有數字信號處理實現一樣，數字 PID 控制器最常見的問題與量化和采樣有關。在離散時間間隔內操作時，合理選擇采樣速率對于避免諸如混疊之類的偽影并確保精確控制至關重要。此外，在數字化平臺（例如 FPGA 或微處理器）上實現算法可能成本更高，并且需要額外的技術專長以及對用于信號計算和調理的相應數值方法的仔細評估。

最終，模擬和數字控制器之間的選擇通常取決于應用要求、可用資源和所需的性能。

表2提供了兩種方法優缺點的概述。

表 2： 模擬和數字 PID 控制回路之間的比較。

蘇黎世儀器為其鎖相放大器、阻抗分析儀和 Boxcar 平均器提供數字 PID 控制器作為升級選件。儀器的集成架構允許用戶從多種不同的輸入和輸出信號中選擇 PID 的信號源。此外，通過選擇解調信號作為 PID 控制器的輸入，用戶可以獲得以下優勢：

• 增強信噪比和穩定性： 解調將所需信號與噪聲和干擾隔離，為控制器提供更“干凈”的輸入信號。

• 提高靈敏度并改進系統響應： 鎖相檢測放大微弱信號，實現更精細的調整，并增強 PID 控制器對細微變化的響應能力。

• 消除不需要的頻率分量： 解調濾除原始信號中存在的不需要的頻率分量，從而實現更準確和高效的控制。

如圖6所示，可選擇的信號包括解調信號的幅度、相位（借此可構建所謂的鎖相環，簡稱 PLL[7]）、正交分量（Q分量）和同相分量（I分量）、Boxcar 輸出以及輔助輸入和輸出。集成的數字信號處理保證了最大的信噪比、最小的反饋回路延遲和高穩定性的閉環反饋操作。反饋信號可作為模擬輸出使用，也可以直接應用于內部信號發生器輸出以控制其幅度、頻率、偏置和相位。

圖 6： 蘇黎世儀器鎖相放大器中 PID 控制器的數字處理架構。根據具體應用，可以使用不同的輸入和輸出信號。

數字化處理使得可以在同一儀器上嵌入多個 PID 控制器，其輸入和輸出可以以串聯或并行方式配置使用，即它們彼此獨立或級聯連接。

鑒于圖6所示的架構類型，鎖相放大器中嵌入的 PID 選件增強了儀器的多功能性，使其適用于各種應用，即使特定應用需求可能彼此顯著不同。

如前所述，確定 PID 控制器的適當起始參數條件及其優化可能是一項具有挑戰性的任務。蘇黎世儀器提供的與硬件對接的軟件 LabOne? 提供了幾種工具來簡化 PID 控制器的設置和優化過程，使 PID 參數優化過程更高效、更直接。

LabOne 工具（如 Sweeper 參數掃描儀、PID Advisor 和 Autotune PID 參數自動整定）可以幫助用戶實現 PID 控制回路，根據所需的性能提供直觀可調的帶寬、速度和初始整定參數。

例如，Sweeper 可用于通過掃描信號獲得被測設備 (DUT) 的開環響應，然后 PID Advisor 基于預設的傳遞函數和通過 Sweeper 測量獲得的 DUT 開環特性選擇初始反饋增益參數。在閉環后，為了最小化殘余誤差信號并增強控制性能，可以將 Auto Tune 功能應用于反饋信號以動態調整反饋增益參數。

此外，由于 LabOne 支持最流行的編程語言（Python、C/C++、MATLAB?、LabVIEWTM 和 .NET），在設置控制回路及其后續優化和改進時確保了最大的靈活性。

挑戰與權衡

盡管 PID 控制器的多功能性和簡單性使其能夠應用于許多控制問題，但它們受到一些限制，并且無法提供所謂的最優控制。最優控制指的是最小化或最大化用于測量受控系統性能的某個標準（有時稱為成本函數）的一組控制信號，例如最小化能耗。

具體而言，PID 控制器滯后性的性質（即不使用系統的明確模型來生成控制系數）使得它們對系統動態的變化敏感，并且可能需要仔細調整以實現所需的性能。一些典型的缺點可能包括：

• 如果系統具有復雜或非線性的傳遞函數，性能會下降。在這些情況下，可能需要更先進和計算量大的基于模型的控制方法，例如狀態空間控制或 H-infinity 控制[8]。

• D 項對噪聲和干擾信號的顯著敏感性，影響控制回路的穩定性和準確性。可以應用緩解策略來部分解決這些問題——例如省略 D 項分量或對其進行低通濾波。

• 對死區時間或相位延遲的敏感性，即控制回路對系統或設定點變化做出響應所需的時間。如果相位延遲太大，控制回路可能變得不穩定并開始振蕩或表現出其他不良行為。

• 執行器飽和： 由于執行器的物理限制（例如，電機不能提供超過其最大扭矩的力），會在過程中引入非線性，從而影響物理系統。諸如抗積分飽和或設定值加權之類的技術可以幫助緩解這些問題，且只需對控制回路進行相對較小的修改[9]。

環路帶寬

設計 PID 控制器時要考慮的另一個重要因素是環路帶寬或閉環帶寬。該帶寬是控制回路可以有效控制系統的頻率范圍。寬帶環路對設定點或系統的變化響應迅速，但也更容易出現振蕩和超調。相比之下，窄帶環路對設定點的變化不太敏感，并且可以以較慢的響應時間為代價提供更平穩和更準確的控制信號。

鑒于速度和精度之間的這種權衡，理解所考慮應用的要求對于選擇合適的環路帶寬至關重要。寬帶環路可能在需要快速響應的應用中更受歡迎，例如電機或其他機械系統的控制。相反，窄帶環路可能在穩定性更重要的應用中表現最佳，例如化學過程的控制或其他具有長時間延遲的系統。

結論

由于能夠在不詳細了解其動態的情況下，準確快速地調整系統的輸出，PID 控制回路已成為在各種應用中保持輸出穩定性和可預測性的強大且廣泛使用的工具。在本文中，我們回顧了這些控制系統的基本原理和特性，并對其功能、參數整定策略、優勢和權衡進行了深入探討。

蘇黎世儀器的鎖相放大器憑借其集成于一體的架構，允許用戶充分利用數字 PID 控制回路的所有優勢，從而可以調整控制回路的操作，以滿足不同用例的需求。

參考文獻

[1] Maxwell James Clerk 1868. On governors, Proc. R. Soc. Lond.16270–283
[2] Y. Tian and D.P. Atherton. Analysis and Design of Reset Control Systems. Institution of Electrical Engineers, 2004.
[3] Ziegler, J. G., & Nichols, N. B. (1942). Optimum settings for automatic controllers. Transactions of the ASME, 64(6), 759-768.
[4] Cohen, H., & Coon, G. A. (1953). A linear operator approach to the analysis of closed-loop servomechanisms. Journal of the Franklin Institute, 256(6), 489-512
[5] ?str?m, K. J., & H?gglund, T. (1995). PID controllers: Theory, design, and tuning (2nd ed.). Instrument Society of America.
[6] Luyben, W. L. (1990). Plantwide control: Some practical considerations. Chemical Engineering Progress, 86(4), 49-53.
[7] Phase-Locked Loops for Analog Signals, White Paper
[8] F. Lin, H. Yang, and Z. Lin. Robust Control Design: An Optimal Control Approach. CRC Press, 2013.
[9] T. Hagglund and K.J Astrom. PID Controllers: Theory, Design, and Tuning. Instrument Society of America, 1995.

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