何新數學史札記（6）：喬治·貝克萊主教及其思想

貝克萊主教是近代主觀唯心論哲學的代表人物，他并非專業數學家，但是他對微積分基礎概念的尖銳批評，即著名的“貝克萊悖論”，具有里程碑式的意義，直接引發了數學史上的“第二次危機”。

一、生平與哲學思想

? 基本信息：新教主教，神學家
喬治·貝克萊，1685年出生于愛爾蘭，1753年去世。

喬治·貝克萊屬于基督教新教中的安立甘宗，也就是英格蘭圣公會的神甫。他最終的身份是愛爾蘭克羅因地區的大主教，這是圣公會神職系統中的高階職位。

貝克萊是業余哲學家和數學家。他是英國近代經驗主義哲學的重要代表人物。

? 核心哲學主張：存在就是被感知

這是貝克萊哲學最廣為人知的觀點。
他認為，世界并非真實存在，上所有物體的存在，都依賴于它們被心靈所感知。一個事物，如果它沒有被任何心靈（無論是人的還是神的）所感知，它就不存在。他有一句名言：“物是觀念的集合。”

貝克萊認為 ，一個蘋果的存在，就是它的顏色、形狀、味道、觸感等一系列觀念的組合。如果這些觀念沒有被任何心靈（人的或上帝的）所感知，那么這個蘋果就不存在。

二、貝克萊悖論

盡管貝克萊是一位哲學家和神學家，但他對科學的興趣，促使他審視了當時最前沿的數學工具——牛頓的微積分。

? 背景：
17世紀末，牛頓和萊布尼茨各自獨立發明了微積分。這套新工具威力無比，能輕松解決傳統幾何學難以處理的運動、曲線等問題。然而，它的基礎卻是模糊不清的。無窮小分析方法，牛頓稱之為“流數”，萊布尼茨稱之為“dx”和“dy”，它們都是所謂的“無窮小量”——一個比任何正數都小，但又不是零的量。

? 貝克萊的攻擊：
貝克萊發現了無窮小分析其中的邏輯矛盾。他在1734年出版的著作《分析學家；或一篇致一位不信神數學家的論文，其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達，或更明顯的推理》中，對微積分發起了猛烈的抨擊。

? “貝克萊悖論”的核心觀念：

貝克萊嘲笑牛頓的“流數”概念是一個邏輯上無法立足的“幽靈”。
他以求導數為例，指出了邏輯矛盾所在：

1. 為了計算 (x+Δx)2 - x2 / Δx，必須將 Δx 當作一個非零量來進行代數運算（如約分），否則無法進行除法。

2. 但當運算結束后，為了得到最終的導數 2x，又必須把這個 Δx 直接當作零舍去。

貝克萊尖銳地質問道：那么這個 無窮小變量Δx 到底是什么？

? 如果它不是零，那么 (2x + Δx) 就不是最終答案 2x。
? 如果它是零，那么你第一步的除法運算就是“除以零”，這是無意義的。

著名的反諷：
貝克萊將無窮小量比作“已死量的幽靈”或“正在消失的量的鬼魂”。他說，這些量“既不是有限量，也不是無限小量，但又不是無”。它們是“我們既不能感知也不能理解的”東西。
貝克萊批評牛頓等數學家是在用“神秘的、含混不清的方法”進行研究，其嚴密性還不如神學和信仰。

三、歷史影響與評價
在當時，貝克萊的批評屬于非主流的理論，許多數學家對他感到憤怒，認為他不懂數學。

? 然而，歷史最終證明了貝克萊的偉大。
貝克萊悖論深刻地指出了微積分基礎概念的內在矛盾。
為了回應貝克萊的挑戰，數學家們在18、19世紀進行了長達一個半世紀的艱苦努力，最終通過建立極限理論、實數理論等，為微積分奠定了嚴格基礎，催生了現代數學分析。
喬治·貝克萊是哲學史和數學史上一位重要而偉大的人物。

【佛教唯識論：萬法唯識】

唯識論認為， “三界唯心，萬法唯識。” 整個世界（“萬法”）都是“識”（心識，心，感知）的表現。

佛教唯識論認為，我們所看到的山河大地、桌椅板凳，并不是獨立存在的“色法”，而是我們“阿賴耶識”中所藏種子在因緣際會下的顯現，是我們的心識所投射出的“相分”。

禪宗：非幡動，是心動

禪宗認為“心外無物”。
一個著名的禪宗話頭是：風吹動了寺廟的幡旗，兩個和尚爭論是風所動物還是幡所自動。

六祖慧能大師斷喝說：“不是風動，不是幡動，仁者心動。”

意思是，風和幡本身并無動。我們所看到的“動”，其實是我們內心心念所動。