面向貝葉斯推理的單次量子機器學習端到端優化

面向貝葉斯推理的單次量子機器學習端到端優化

End-to-end Optimization of Single-Shot Quantum Machine Learning for Bayesian Inference

https://arxiv.org/pdf/2512.20492

我們提出了一種量子機器學習的端到端優化策略，該策略直接針對有限測量資源下的性能表現，其中學習目標直接定義在任務性能層面。該方法應用于貝葉斯量子計量任務，因為該任務提供了一個具有已知基本極限和隨系統尺寸變化的自然測試平臺。這種具有采樣意識的混合算法在使用32個量子比特的情況下，實現了單次測量風險在貝葉斯極限（-20 dB）內的1 dB范圍內。我們將貝葉斯框架從參數估計擴展到全局函數推斷，任務是推斷從任意先驗分布中抽取的傳感器輸入的目標函數，并證明了直接函數推斷相比于間接重建在計算和感知方面具有明顯優勢。我們將相應的貝葉斯風險與容量度量聯系起來，并認為可分辨表達容量為單次測量中可訪問的函數空間提供了一個自然的度量。由此產生的特征任務分析識別出具有噪聲魯棒性的特征組合，這些組合能夠在資源受限或實時設備端設置中產生更緊湊的估計器，提高精度并降低優化成本。

I. 引言

在量子硬件上進行訓練和推理本質上受到有限相干時間、有限測量資源、受限的物理編碼以及硬件行為與理想化數值模型之間不可避免的不匹配的限制。在本工作中，我們特別關注由有限采樣引起的限制，這構成了近期量子機器學習的主要且不可避免的瓶頸。量子機器學習（QML）中常見的方法是在理想化、有效無限次測量的假設下優化目標損失函數，然后僅在施加有限次測量時評估性能。這種分離有兩個關鍵缺點。首先，正如現在已廣泛認識到的那樣[1]，它掩蓋了實現的真正硬件成本：在無限采樣極限下最優的模型可能需要過大的測量預算來實現該性能，嚴重限制了它們的實際可用性。其次，更微妙的是，優化問題本身的結構在有限測量資源下可能會發生定性的變化，因此在理想化極限下找到的解在采樣受限時可能無法達到或不是最優的。盡管最近的研究表明，有限次測量噪聲在某些情況下可以作為一種隨機正則化器，輔助基于梯度的優化[2]，但這種觀點仍將采樣噪聲視為偶然的而非基礎性的。在這里，我們采用了一種端到端的方法，其中估計器、訓練動態和推理過程被明確地針對固定且有限的采樣預算進行優化。通過直接在量子設備上進行優化，并將硬件視為一個噪聲輸入-輸出映射，我們開發了一個量子機器學習框架，其性能與現實實驗約束內在匹配，而不是從理想化極限外推而來。

我們的方法建立在最近物理神經網絡（PNN）理論的發展[3, 4]之上，并將其適應于在嚴格測量約束下對基于量子比特的設備進行優化。在PNN視角中，設備被視為一個黑箱，其可分辨的輸出函數可以直接通過采樣來表征。這種觀點也直接解決了模型與硬件之間的不匹配問題：最優估計器由實際設備和測量條件定義，而不是由理想化的數值替代品定義。

在QML應用中，評估量子基底相對于經典基底所賦予的優勢的一個核心挑戰在于缺乏一個系統框架來確定量子力學所允許的基本極限。同樣重要的是一個方法論，用于在等價資源約束下系統地比較其性能與經典基底的性能。我們發現，將基于QML的框架應用于貝葉斯量子計量（BQM）為應對這一挑戰提供了一個嚴謹的基礎，因為（1）存在一個成本函數，其隨系統尺寸變化的行為和性能可以推導和計算，（2）原則上可以與在經典極限下運行的等價傳感器類別進行比較分析。我們在這里提出了一個應用這種一般策略的方法。

從量子計量的角度來看，基于PNN的方法提供了一種數據驅動的方法，自然地適應于給定物理傳感器的控制和測量資源。可訪問資源態的限制、可用哈密頓相互作用以及讀出保真度常常形成瓶頸，需要復雜的技巧來接近海森堡極限[5–7]，這是通過線性量子測量可達到的最終極限，如最近的研究所示，這些研究利用了集體態協議而不進行單粒子檢測[8]、基于壓縮超輻射的讀出方案[9]以及通過量子糾纏增強的計量[10]。PNN框架通過直接在設備的物理約束內進行優化，使用傳感器在采樣信號時生成的數據，提供了一種補充途徑。這種方法的有效性已在變分量子計量[11, 12]中得到證明，這些方法不僅可用于制備計量上有用的糾纏資源態，還可用于產生能夠有效地將糾纏態的參數依賴性集中到易于測量的簡單可觀測量中的解碼器。最近的一項實驗在一個囚禁離子平臺上提供了原理驗證，證明這種方法可以非常有效[13]。

在不同物理基底之間進行合理比較需要一個量化指標，用于衡量在固定資源下可分辨的函數空間。在參考文獻[3]中引入的可分辨表達容量（REC）提供了這樣的度量。對于單次測量預算，它在目標函數為線性且先驗為高斯分布時簡化為單參數計量中使用的貝葉斯均方誤差[11, 13]。因此，REC為這種更廣泛的BQI設置提供了一個自然的度量擴展。對于具有投影測量的基于量子比特的系統，REC有一個緊密的解析界限[3]。對REC的譜分析識別出特征任務，這些是可以以最高信噪比近似的函數[3]。這些提供了最小的有效特征潛在空間，并且與在指數級大的全特征空間中工作相比，可以顯著減輕優化負擔。

在單次測量估計的傳感器參數的測量驅動優化預計是一個具有挑戰性的問題。在無限次測量的漸近極限下，輸出特征收斂到它們的量子期望值，采樣噪聲消失，基于梯度的變分QML方法已被證明由于梯度消失而擴展性差[14]，這使得基于梯度的訓練由于實際可進行的有限次實驗而實際上無效。盡管電路的表達性理論上隨著深度的增加而增加[15–18]，但足夠深的參數化量子電路的優化景觀表現出指數級消失的梯度，導致眾所周知的荒蕪高原現象[14]。這些結果推動了對采用無梯度混合優化方法的研究。

一類適合于近期量子設備（NISQ）的QML算法是量子儲層計算（QRC）[19–24]，它避免了變分方法的優化挑戰。當與有限次測量約束下的中程特征提取相結合時，QRC可以解決有限相干時間所施加的限制，如NISQRC算法所證明的那樣[4]。

在QRC中，一個未經訓練的量子系統作為一個高維非線性特征生成器。其固定的動態將輸入數據轉換為一組豐富的可觀測量。在這個非線性特征空間中優化一個線性估計器，使用標記過的訓練數據。因為只有經典權重被訓練，一個凸優化可以通過標準線性代數例程（如奇異值分解）高效求解，訓練需要的量子評估次數少得多，避免了阻礙變分方法的梯度消失問題。最近使用原子基儲層（108個量子比特）[25]和高斯玻色采樣器（分別為8176[26]和400[27]模式）的實驗演示突出了這種方法的可擴展性潛力。然而，這些研究也報告了在減少采樣時精度迅速下降[23, 28, 29]。超越這些研究，同時保留受儲層啟發的估計器的簡單性，我們展示了在有限次測量條件下優化內部參數可以顯著提高精度，并將測量要求降低到所考慮的BQI任務的單次測量水平。我們推測，對于所考慮的電路類別，最優的BQI傳感器在設備端優化下保持魯棒性。

為此，我們提出了一種針對單次測量BQI的采樣感知端到端混合優化算法，其中狀態制備、編碼、測量和經典后處理被聯合優化。這種統一處理與通過費舍爾信息界限分析性能[30–32]、主要關注探針態設計[33–35]或優化最終測量[36–40]的方法形成對比。這些觀點通常只涉及傳感管道的單個元素，而我們的框架直接針對整體推理任務以及最終決定單次測量制度下性能的估計器。應用于單參數計量任務時，所提出的方法在32個量子比特的情況下達到了-19.1 dB的風險，接近在相同資源下最優貝葉斯傳感器實現的-20 dB極限[41]。與該最優傳感器不同，我們的電路深度在整個優化過程中保持固定。

II. 理論 & 結果

A. 貝葉斯量子計量學回顧

在這里，我們回顧了貝葉斯量子計量（BQM）在單參數估計[11, 13]中的概念基礎，介紹了適用于任意給定實驗設置的成本函數，并回顧了關于量子理論所施加的最優傳感器配置和計量學界限的已知結果。這為將框架擴展到任意先驗下的全局函數估計奠定了基礎。因為成本函數必須與具體的計量任務相關聯，我們專注于拉姆齊干涉測量，其中最優性由實現最大單次測量信噪比（SNR）來定義。

盡管上述BMSE的下界在所有可能的探針態、估計器和POVM上進行了優化，但過去[41, 45, 46]已經研究了結合迭代數值算法來找到這些界限的建設。然而，直到最近才顯示出可以使用由實驗可訪問的門組成的淺層電路來接近這些界限，無論是在單參數[11, 13]還是多參數[12]設置中。

B. PNN方法在全局函數傳感中的應用

在本節中，我們介紹了量子計算傳感框架的六個組成部分。每個元素都被詳細指定，因為傳感管道的端到端優化需要對每個階段進行精確定義。這些組件共同構成了在量子計量設置中啟用端到端貝葉斯量子推斷（BQI）的架構。該公式下面解決了一個S次測量預算和高維輸入 的一般情況。

1. 估計器構建與訓練：給定測量得到的特征 X(u)，我們使用如下形式的線性估計器來近似目標函數：

1. 單參數計量與容量

在方程（3）中定義的成本函數作為我們數據驅動傳感框架中的中心性能指標，量化了優化后的傳感管道對目標函數的近似程度。除了作為優化目標的角色外，我們在這一部分討論了這個成本函數如何作為表征給定傳感器在使用最優估計器方程（1）時能夠分辨的函數空間的度量。成本函數方程（2）與文獻[3]中引入的容量 線性相關。

因此，單次測量的線性容量可以被視為一系列信息度量的生成泛函：費舍爾信息作為一階貢獻，隨后是一系列更高階的Bhattacharyya型項。

這些發現與最近的研究[47, 50]一致，表明費舍爾信息僅在局部范圍內提供可靠的精度界限，即參數被限制在已知參考值周圍的狹窄鄰域內。當參數分布在一個廣泛的范圍內時，僅靠費舍爾信息（FI）已不足以表征估計的基本限制。在這種全局場景中，更高階的Bhattacharyya信息項變得至關重要，它們提供了更精細和準確的系統估計能力的量化，因為它們考慮了測量結果的非線性響應以及當參數在廣泛范圍內變化時估計的內在非局部特性。對所有可能的正算符值測量（POVM）進行優化，將這些經典量提升為它們的量子對應物，從而產生了量子費舍爾信息和量子Bhattacharyya或Barankin型界限[51]。

因此，方程（5）中的容量包含了所有相關的信息論貢獻，無論是局部的還是非局部的，使其成為所有制度下傳感的自然度量標準。其優化不僅在局部極限中恢復了已知界限，還可能指導在全局場景和貝葉斯量子推斷（BQI）風格任務中改進測量策略的設計，在這些任務中，高階效應變得至關重要。

C. 基于儲層的優化

優化完整的傳感堆棧，包括準備一個度量學上有用的狀態、選擇POVM以及用于計算估計器的經典后處理，提出了巨大的計算挑戰。參數空間是高維的，目標函數在現實條件下表現出隨機波動，特別是當測量次數 S 相對于可能結果的數量 K 較小時。在這種情況下，基于梯度的優化方法往往變得不可靠或效率低下。

在這種制度下，精心設計的優化策略是必不可少的，因為傳感組件的聯合訓練否則會陷入景觀的次優區域。為了克服這一困難，我們開發了一種適合于監督機器學習問題（包括我們的傳感任務）的復雜非凸結構特征的定制優化方案。

D. 特征任務分析

為了緩解這一點，可以識別并消除冗余或噪聲主導的特征，類似于主成分分析（PCA）的精神，它只選擇特征空間中最有信息量的方向。在我們的上下文中，這些特征的最優線性組合被稱為特征任務，這個概念最早在文獻[3]中引入，并已被證明可以最小化具有大型訓練數據集的監督機器學習任務中的泛化誤差[61]。

定義特征任務的關鍵方程是一個廣義特征值問題

其中權重 是在簡化的特征集上訓練的。最后，盡管特征任務的定義到目前為止假設可以訪問理想化的無限次測量特征 x 和無限大的訓練集，但它們仍然可以在有限次測量和有限大小的訓練數據集下有效近似，并保持實際應用價值[3]。

E. 結果

受到變分量子算法在囚禁離子平臺上成功應用的啟發，我們假設探針、糾纏器和解碼器電路的形式為：

非平凡先驗下信號的函數逼近——我們接下來演示我們的框架在估計從非平凡先驗分布中抽取的單參數 u 的設置中。

我們進一步使用各種電路變體研究算法的性能，如圖5所示，結合了定制的輸入狀態和有效的POVM。我們的結果與文獻中先前報告的結果完全一致，從而驗證了現有基準，并驗證了我們的框架在再現最新性能方面的有效性。

1. 特征任務的使用

到目前為止，我們的傳感管道優化依賴于從傳感器獲得的完整原始特征集，以成功逼近目標函數。然而，如第IID節所討論的，一個有希望的替代方案是考慮特征的線性組合——稱為特征任務——這些組合表現出足夠高的信噪比。因此，電路變體中糾纏和解碼部分的內部參數優化，以及估計器，必須重新審視，因為原則上得到的最優配置通常依賴于訓練的特征任務數量。這種修改源于用于根據信噪比 選擇特征任務的截斷標準。在所有特征任務都被保留的特殊情況下，優化簡化為原始設置，因為特征轉換和估計器都是線性的。

III. 討論與結論

我們開發了一個數據驅動的量子傳感學習框架，其中狀態制備、編碼、測量和經典估計針對全局推理任務進行聯合優化。將量子傳感表述為監督學習術語，允許直接逼近隨機輸入的任意非線性函數，擴展了量子計量學的范圍，超越了局部費舍爾信息界限，并將性能與更廣泛的功能容量概念聯系起來。

技術上，我們引入了一種高效的優化程序，該程序將基于儲層的估計器與后儲層損失最小化相結合，即使在采樣噪聲最強的單次測量制度下也能收斂到接近最優的解決方案。特征任務分析進一步識別出抗噪聲的特征組合，這些組合產生緊湊的估計器，同時抑制不穩定或低信噪比模式。

我們的結果表明，聯合優化整個傳感管道比參數估計先于功能評估的兩階段策略獲得顯著增益。該框架再現了已知基準，適應一般先驗和非線性目標，并為現實傳感場景提供了統一的方法。這些發現表明量子計量學向集成的、數據驅動的傳感器和推理算法設計的轉變。

這項工作的幾個方向隨之而來。在多參數和多次測量設置中，功能容量與量子信息界限之間的更深層次理論聯系將拓寬概念基礎。在實際方面，將優化框架適應于噪聲中等規模設備，結合硬件感知方法，并在實驗平臺（如囚禁錮離子和超導電路）上進行基準測試是自然的下一步。將當前的線性估計器架構擴展到非線性或自適應讀出可能為量子增強傳感和學習解鎖更多機會。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2512.20492