他從一條統計規律出發，用幾何直覺重構復雜世界

在數學愈發走向抽象與符號化的20世紀，一位特立獨行的數學家用幾何視角，從一條看似簡單的統計規律出發，找到了現實事物中隱藏的深刻關聯。他將這種結構稱為——分形，并由此改變了科學家理解和描述復雜世界的方式。這位數學家，就是芒德布羅。

撰文 | 伊恩·斯圖爾特（lan Stewart）

翻譯 | 張憬

貝努瓦· B. 芒德布羅（Benoit B. Mandelbrot），1924 年 11 月 20 日生于波蘭華沙，2010 年 10 月 14 日卒于美國馬薩諸塞州劍橋。丨圖源：wiki

1944 年，由于第二次世界大戰的影響，巴黎高等師范學院和巴黎綜合理工學院將入學考試的時間推遲了六個月。考試持續了一個月，難度極大，但年輕的芒德布羅經受住了兩所名校的考驗。他的一位老師發現，在所有考生中只有一人答上了那道特別難的數學題。他猜這家伙一定是芒德布羅，一問果然沒錯。這位老師坦言，他自己也做不出這道題，因為相關計算的核心是一個“非常可怕的三重積分”。

芒德布羅卻笑了。“這題挺簡單的。”他解釋說，那個積分可以看作經過偽裝的球體體積。在合適的坐標系下，這一點是顯而易見的。每個人都知道球體體積的公式。就是這么一回事，只要找到竅門就好辦了。芒德布羅顯然是對的。震驚之下，這位老師思緒連篇，喃喃道：“當然，當然。”他自己怎么就沒有發現呢？

這是因為他一直在用符號思考，而沒有動用幾何思維。

芒德布羅是一個天生的幾何學家，有著強烈的視覺直覺。因為是猶太裔，他在被占領的法國度過了艱難的童年，隨時都有被納粹逮捕的危險，好不容易才擺脫死在集中營里的命運。他為自己爭取到了不同于正統但十分看重創造力的數學崗位，在美國紐約州約克敦海茨（Yorktown Heights）的 IBM 托馬斯·J. 沃森實驗室擔任研究員。在那里，他寫出了一系列文章，從語言中的單詞頻率到河流的洪水位，主題相當豐富。后來，他靈感迸發，將這些豐富多彩的研究綜合成一個幾何概念——分形。

傳統的數學圖形，比如球、圓錐或圓柱，具有非常簡單的形狀。離得越近，它們看起來就越為光滑、扁平，整體的特點消失了，局部看起來就像沒有特征的平面。分形則不同，它在任何放大比例下都有細致的結構，永遠存在起伏。芒德布羅寫道：“云不是球體，山不是錐體，海岸線不是圓形的，樹皮不是光滑的，閃電也不是沿直線傳播的。”分形捕捉到了數學物理學中傳統結構捕捉不到的自然特征。它從根本上改變了科學家對現實世界建模的方式，被應用于物理學、天文學、生物學、地質學、語言學、全球金融和其他許多領域。它還具有深刻的純數學特征，并與混沌動力學有著密切的聯系。

有些數學領域雖然不是全新的產物，但它們在 20 世紀下半葉開始興起，并通過提供新的方法和視角改變了數學及其應用之間的關系，分形就是其中之一。分形幾何可以追溯到人們對分析邏輯嚴密性的追求，1900 年前后出現的多種“病態曲線”（pathological curve）由此而來，主要作用是表明天真的直觀論證可能會出錯。例如，希爾伯特就曾畫出這樣一條曲線，它會經過一個正方形內的每一個點——不是掠過，而是精確地經過。出于顯而易見的原因，這條曲線被稱為空間填充曲線，它告誡我們在思考維度概念時要小心謹慎。連續變換可以增加空間的維數，這里是從一維變為二維。其他例子還有黑爾格·馮·科赫（Helge von Koch）的雪花曲線（長度無限，但包圍的面積有限）和瓦茨瓦夫·謝爾平斯基（Wac?aw Sierpiński）的墊片（在每一點都與自己相交）。

然而，這些早期成果在專業方向之外意義不大，主要被視為孤立的奇異之物。一個學科領域要想“崛起”，就必須有人將碎片拼接在一起，理解其潛在的統一性，以足夠的概括程度提出所需的概念，然后走出去，向世界推廣這些思想。芒德布羅絕不是正統意義上的數學家，但他既有眼界也有毅力，能夠承擔這樣的重任。

早年經歷

芒德布羅在兩次世界大戰的戰爭間隙出生于華沙，這是一個猶太裔的立陶宛家庭，知識氛圍濃厚。他的母親貝拉·呂里（Bella Lurie）是一名牙醫。他的父親卡爾·芒德布羅（Karl Mandelbrojt）沒有受過正規教育，以制衣售衣為業，但他的家族是學者世家，因此芒德布羅是在學術傳統的熏陶下長大的。父親有一個弟弟叫紹萊姆·芒德布羅（Szolem Mandelbrojt），后來成了杰出的數學家。母親貝拉曾經因為傳染病失去過一個孩子，所以為了避免悲劇重演，她將芒德布羅留在家中，有幾年沒讓他出去上學。另一位叔叔洛特曼·芒德布羅（Loterman Mandelbrojt）負責教導他，但這個老師不是很靠譜。芒德布羅學會了下棋、聽古典神話和故事，但基本上也僅限于此了。他甚至不了解字母表和乘法口訣。不過，他的圖像思維能力確實得到了開發。他思考棋子的走法時，很大程度上要看棋局的形狀，也就是棋盤上棋子構成的圖案。他非常喜歡地圖，這一點可能源自父親。他的父親是個地圖收藏發燒友，家里所有墻上都掛著地圖。他還會閱讀一切能接觸到的文字。

1936 年，他們一家成了逃離波蘭的經濟政治難民。他的母親無法繼續行醫，父親的生意也倒閉了。一位在巴黎的姑媽成了他們投靠的對象。后來，芒德布羅提到，多虧有這位姑媽的幫助，他們保住了性命，也沒有被抑郁壓垮。

紹萊姆的數學事業倒是蒸蒸日上，在芒德布羅 5 歲時，他的這位叔叔成了克萊蒙 - 費朗（Clermont-Ferrand）大學的教授，八年后，又當上了巴黎法蘭西公學院的數學教授。芒德布羅深受觸動，也開始考慮從事數學研究，不過他的父親不贊成他去干這種不接地氣的職業。

芒德布羅 10 多歲時，他的教育是由紹萊姆叔叔負責的。他也曾進入巴黎羅蘭（Rolin）中學學習。但納粹占領時期的法國對猶太人來說太過糟糕，他的童年十分窮困，而且時常處在暴力和死亡的威脅之下。1940 年，一家人再次逃亡，這次他們去了法國南部的小鎮蒂勒（Tulle），芒德布羅的叔叔在那里有一處鄉間房產。隨后，法國南部也被納粹占領，芒德布羅在接下來的 18 個月里一直在躲避追捕。他言辭凄涼地描述了這段生活：

有幾個月我在佩里格（Périgueux）做鐵路上的工匠學徒。等仗打完了，這份手藝還是有用的，這樣看來這段經歷比我在戰時當馬夫的另一段經歷更值。但無論外表還是言談，我都不像個學徒或是馬夫，有一次還險些被處決或驅逐。最終，在一些好朋友的安排下，我得以進入里昂的公園中學。當世界上大部分地區處于動蕩之中時，備考班卻幾乎一切如常，正忙著應對可怕的法國精英大學（被稱為 Grandes écoles）的考試。在里昂，接下來的幾個月是我一生中最重要的時光之一。大部分時間，赤貧的生活和對城中德國老大——我們后來才知道他就是克勞斯·巴比（Klaus Barbie）——深深的恐懼將我束縛在書桌前。

巴比是個納粹頭子，供職于令人膽寒的黨衛軍，他也是蓋世太保的成員。親自下手折磨法國戰俘的行為讓他得了個“里昂屠夫”的稱號。戰后，他逃往玻利維亞，但于 1983 年被引渡回法國，并因反人類罪入獄。

1944 年在里昂，芒德布羅在學習數學時發現自己視覺直覺極佳。面對老師以符號形式（比如方程）提出的難題，他可以立即轉換至幾何視角，而這些問題的幾何版本通常更容易解決。他去了巴黎高等師范學院的數學系。然而，那里的數學風氣非常像布爾巴基派——抽象、概括，側重于純數學。他的叔叔也有類似的數學思想，在布爾巴基派開始按照嚴格的抽象路線系統地修正數學之前，這位叔叔就是這個團體的早期成員。這種沒有圖形或具體應用的形式化數學思維風格對芒德布羅并不具有吸引力。在巴黎高等師范學院待了幾天后，他認定自己來錯了地方，于是退學。后來，他進入了更注重實踐的巴黎綜合理工學院（兩所學校的入學考試他都通過了）。在這里，他有更多的自由去學習不同的學科。

他的叔叔繼續把他推向更抽象的數學，并建議他在選擇博士論文題目的時候參考加斯東·茹利亞（Gaston Julia）1917 年發表的復變函數相關研究。但做侄子的并不喜歡這個建議。芒德布羅后來在接受沃爾夫獎時寫了下面這段話：

我叔叔所鐘愛的泰勒級數和傅里葉級數在幾個世紀前誕生于物理學情境，但在 20 世紀發展成一種自詡“精細”“艱深”的數學分析。在我叔叔的定理中，假設可能需要好幾頁紙才能寫完。讓他沉醉其中的差異是如此難以捉摸，以至于沒有任何條件是必要且充分的。對他來說，這些問題的悠久歷史是驕傲之源；而對年輕的我來說，這是厭煩之源。

芒德布羅仍在尋找論文題目。某天，他問紹萊姆有沒有能在地鐵上打發時間的讀物。他的叔叔想起了被自己扔進廢紙簍的一篇文章，于是把東西撿了回來，直言這“很瘋狂，但你就喜歡瘋狂的東西”。那是一篇針對語言學家喬治·齊普夫（George Zipf）著作的評論，內容關乎所有語言共有的一種統計特性。似乎沒有人明白這到底是怎么回事，但芒德布羅當場決定為這種特性尋找解釋，這就是我們現在所說的齊普夫定律。我們很快就會看到芒德布羅的進展。

1945—1947 年，芒德布羅在巴黎綜合理工學院師從保羅·萊維（Paul Lévy）和茹利亞，隨后進入美國加利福尼亞理工學院學習，獲得航空學碩士學位。之后他回到法國，于 1952 年獲得博士學位。他還曾受雇于法國國家科學研究中心。接受馮·諾依曼的資助后，他在美國新澤西州普林斯頓高等研究院待了一年。1955 年，他與阿利耶特·卡甘（Aliette Kagan）結婚并搬到日內瓦。去過美國幾次之后，夫婦倆于 1958 年在此定居，芒德布羅成了約克敦海茨的 IBM 研究人員。他在 IBM 工作了 35 年，先后擔任研究員和榮休研究員。他得到過很多嘉獎，包括法國榮譽軍團勛章（1989 年）、沃爾夫獎（1993 年）和日本獎（2003 年）。他的著作包括《分形對象：形、機遇和維數》（Fractals: Form, Chance, and Dimension，1977 年）和《大自然的分形幾何學》（The Fractal Geometry of Nature，1982 年）。他于 2010 年因癌癥去世。

始于齊普夫定律

關于齊普夫定律的研究為芒德布羅未來的職業生涯定下了基調。在很長一段時間里，他的工作似乎只是對奇特的統計模式進行一系列看上去毫無關聯的研究，就像蝴蝶一樣從一朵奇怪的花飛到另一朵奇怪的花上。直到他進入 IBM，這一切才開始顯露關聯。齊普夫定律讓他了解了統計學中一個簡單而有用（卻被低估）的概念，也就是冪律關系。在一份編寫標準的美式英語讀物中，最常見的三個單詞是：

the，出現頻率為 7% ；

of，出現頻率為 3.5% ；

and，出現頻率為 2.8%。

齊普夫定律指出，按照出現頻率排序，第 n 個單詞的頻率是第一個單詞的頻率除以 n ，第二和第三也就是 7%÷2=3.5% 和 7%÷3≈2.3%。后一個數比實際觀察到的數要小，但這并不是一個百分百準確的定律，它只是量化了一種大趨勢。在這里，排第 n 的單詞頻率與 1/n 成正比，我們可以把它寫成 n^（-1）。還有別的例子能夠展現類似的規律，但相關冪的次數不是?1 。例如，費利克斯·奧爾巴赫（Felix Auerbach）在1913 年注意到，城市規模的分布也遵循這種規律，但冪為 n^（-1.07） 。一般來說，如果排在第 n 項的對象的頻率與 n^c 成正比，而且 c 是一個常數，我們可以稱之為 c-冪律。

經典統計學很少關注冪律分布，而是把重點放在正態分布（鐘形曲線）上，這背后有很多原因，有一些是合理的。但現實世界似乎經常出現冪律分布。城市的人口、電視節目的觀看人數，以及人們的收入水平，都有齊普夫定律的影子。直到今天，我們也沒有完全了解這是為什么，但芒德布羅的論文為這番探索開了個好頭，而李文天（音譯）則給出了統計學上的解釋：如果一種語言中，字母表中的每個字母（外加分隔單詞的空格）出現的頻率相同，那么單詞的分布會傾向于符合齊普夫定律。維托爾德·貝列維奇（Vitold Belevitch）證明，多種統計分布都是這樣。齊普夫自己的解釋是，隨著時間的推移，語言會不斷演變，讓人們（在說或聽上）以最小的努力獲得最佳理解，而?1 次冪就是從這一原則中產生的。

后續，芒德布羅發表了關于財富分配、股票市場、熱力學、心理語言學、海岸線長度、湍流、人口統計、宇宙結構、島嶼面積、河網統計、滲流、聚合物、布朗運動、地球物理學、隨機噪聲，以及其他不同主題的論文，看上去雜亂無章。然而，1975 年，他靈光一閃，找到了一切的關聯：他的絕大部分工作都有一個共同的基本主題，就是幾何。

自然過程中的幾何極少遵循球體、錐體、圓柱體和其他擁有光滑表面的標準數學模型。山是參差不齊的，蓬松的云朵有不平整的絲絲縷縷，樹木從樹干到枝丫再到細枝不斷分杈，蕨類植物的葉子看起來像是由許多成對的小葉子組成的。在顯微鏡下，煙塵是諸多聚集在一起的小顆粒，彼此之間有縫隙，也不像球體那樣光滑圓潤。大自然厭惡直線，不在意歐幾里得和數學課本中的其他內容。芒德布羅為這種結構取了個名字：分形。他積極而熱情地推動分形在科學中的應用，為自然界的許多不規則結構建模。

“模型”是這里的一個關鍵。地球看上去大致是個球體，再準確一點，我們也可以把它當作橢球體。這些形狀能夠幫助物理學家和天文學家理解潮汐和地軸傾斜等問題，但數學對象只是模型，不會完全符合現實。模型以理想化的形式捕捉自然界的某些特征，足夠簡潔，便于人們分析思考。但是，地球表面是粗糙的、不規則的。一個地方不能等同于它的地圖，事情理應如此。澳大利亞的地圖可以折疊起來放進口袋里，需要的時候隨時拿出使用，同一套動作顯然不能用在真正的澳大利亞上。地圖應該比對應的地區簡單，但能提供有用的信息。數學中的球體無論怎么放大都是完美光滑的，但現實是物體在原子層面會顯現出微粒的模樣。不過，這對行星的引力場研究并不重要，所以在特定情況下可以也應該忽略。同理，水適合被當作無限可分的連續體來建模，盡管在分子層面上，真正的水也是離散的。

分形同樣如此。數學中的分形不是某種隨機的形狀，而是在所有放大比例上都有具體結構。通常而言，分形在所有尺度上都有相同的結構，這樣的形狀被稱為自相似的。在蕨類植物的分形模型中，每片葉子都由小葉子組成，而小葉子又由更小的葉子組成，這個過程永不停止。同樣的過程在真實的蕨類植物上只有四五個階段。盡管如此，分形作為模型還是比三角形之類的更好，就像橢球體比球體更適合作為地球的模型一樣。

芒德布羅很清楚波蘭數學家在分形萌芽期的重要角色。這原本是針對分析、幾何和拓撲提出的高度抽象的方法，來自數學家的一個小圈子，其中許多人定期在波蘭利沃夫（今屬烏克蘭）的蘇格蘭咖啡館見面。他們中有創立了泛函分析的斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach），以及深度參與制造原子彈的曼哈頓計劃并提出氫彈主要構想的斯坦尼斯瓦夫·烏拉姆（Stanis?aw Ulam）。波蘭華沙大學的謝爾平斯基也是同道中人，他提出了一種圖形，“同時符合康托爾集和若爾當曲線的特征，其中的每一點都是分叉點”，也就是說，一種連續的曲線，在每一點上都與自己相交。

后來，芒德布羅將這種圖形戲稱為“謝爾平斯基墊片”，因為它很像連接汽車氣缸蓋和發動機的多孔密封片。回想起來，謝爾平斯基墊片是 20 世紀初出現的少數分形例子中的一個，它們被統稱為病態曲線，盡管這些圖形對自然界甚至對現在的數學來說都談不上怪異——“病態”只是以前那些數學家的看法。貝殼上也有類似墊片的圖案。不管怎么說，謝爾平斯基墊片可以通過對一個等邊三角形做迭代來構造。先把它分成四個全等的等邊三角形，每個小三角形的邊長是大三角形的一半。刪掉倒置的中心三角形，對其余的三個 小三角形進行剛才的處理，這樣無限重復下去。所有倒置的三角形 （不包括它們的邊）都被刪除后，剩下的就是謝爾平斯基墊片。

構建謝爾平斯基墊片的最初幾個階段丨圖源：wiki

現在，我們認為這是早期的分形，芒德布羅從中獲得了靈感。后來，他發現了其中的有趣之處：

我的叔叔在 20 歲左右的時候去了法國，他是一個受意識形態驅使的難民，這種意識形態既無關政治，也無關經濟，純粹是學識上的。他同“波蘭數學”水火不容，當時那個圈子正被瓦茨瓦夫·謝爾平斯基（1882—1969）建立成一個激進的抽象領域。極具諷刺意味的是，很久以后，我開始尋找建構分形幾何的工具，猜猜看，是誰的研究讓我收獲頗豐？正是謝爾平斯基！我的叔叔逃離（謝爾平斯基的）意識形態，加入了 20 世紀 20 年代統治巴黎的龐加萊繼承者行列。我的父母與他情況不同，他們就是經濟政治難民。他們后來在法國和我叔叔相聚，我們一家逃過了劫難。我從未見過謝爾平斯基，但他（在不知情中）對我們一家產生了深遠的影響。

在跟進這些概念時，一些純數學家發現，分形的粗糙程度可以表示為一個數，他們稱之為“維數”，因為它與研究線段、包含內部的正方形或實心立方體等標準圖形時提到的維數一致。這三個標準圖形的維數分別是 1、2、3。然而，分形的維數不一定是整數，因此“有多少個獨立方向”的解釋不再適用，關鍵在于圖形放大后的表現。

如果將一條線段放大一倍，它的長度就會乘以 2；將一個正方形放大一倍，它的面積就會乘以 4；將一個立方體放大一倍，它的體積就會乘以 8。這些數分別是 2^1、2^2、2^3，也就是 2 的維數次冪。如果將一個墊片放大一倍，它可以變出三份和原先一樣的圖形。所以在這里，2 的維數次冪應該等于 3，維數就是 ln 3 / ln 2 ，約為1.585。有一個定義更為一般化，不局限于自相似分形，叫作豪斯多夫-貝西科維奇維數，還有一個更實用的版本叫盒維數，在應用之中表現不錯，也是實驗檢驗分形模型的一種方法。例如，有研究表明，分形可以很好地為云建模，攝影圖像（投影到平面上，更容易操作和測量）的維數大致為 1.35。

芒德布羅集

最后要講的這件事有幾分諷刺意味，從中可以看出在數學領域匆忙做出價值判斷是多么危險。1980 年，為了尋找分形幾何的新應用，芒德布羅回過頭來閱讀茹利亞 1917 年的論文——正是他叔叔推薦的那篇，但年輕時他覺得相關研究太過抽象，所以很排斥。茹利亞和另一位數學家皮埃爾·法圖（Pierre Fatou）分析了復變函數在迭代下的奇怪行為。這里的迭代指的是從某個數開始，應用這個函數得到第二個數，然后再次應用這個函數得到第三個數，以此類推，不斷進行下去。他們重點研究了最簡單的重要示例：f (z) = z^2+c 形式的二次函數，其中 c 是一個復常數，對這種映射的行為有重要影響，具體細節比較復雜。茹利亞和法圖已經針對這個特定的迭代過程證明了幾個深奧難懂的定理，但這些都是以符號為核心的研究。芒德布羅想知道相關圖像是什么樣子。

茹利亞和法圖沒有就此深挖幾何，原因可能是手工進行相關計算耗時太長。但幾十年過去，計算機的能力越發強大，而芒德布羅正好在 IBM 工作。于是，他利用計算機程序處理計算并繪圖。雖然畫得很亂（打印機的墨水快用光了），也很粗糙，結果依然令人驚喜。茹利亞和法圖的復雜動態是由單一幾何對象組織起來的——它，或者更準確地說，它的邊界，是一個分形。這是一個二維的邊界，因此它“幾乎將空間填充”。阿德里安·杜阿迪（Adrien Douady）稱之為芒德布羅集，這也是我們現在常用的名稱。與其他重要研究情況相似，關于芒德布羅集也有一些早期發現和與之密切相關的前期工作，尤其值得一提的是，羅伯特·布魯克斯（Robert Brooks）和彼得·馬特爾斯基（Peter Matelski）在 1978 年繪制了相同的集。芒德布羅集是復雜美麗的計算機圖形學圖像之源，也是數學研究的熱點，它至少催生過兩塊菲爾茲獎章。

芒德布羅集丨圖源：wiki

因此，在芒德布羅最初排斥的那篇抽象的純數學論文中，包含了后來成為分形理論核心的思想，而他之所以發展分形理論，正是因為它沒那么抽象，而且與自然界有著千絲萬縷的聯系。數學是一個高度關聯的整體，抽象與具體通過微妙的邏輯鏈條聯系在一起。不能說哪一種思想比另一種高明，重大突破往往是在兩者并用中出現的。

本文經授權摘自《數學巨人傳 : 思考、創造的奇趣故事》（人民郵電出版社·圖靈新知，2025年12月版）第24章《芒德布羅：分形之父》，小標題和圖片為編者所加。

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