高能碰撞中的粒子碰撞與量子糾纏

高能碰撞中的粒子碰撞與量子糾纏

Particle Collisions & Quantum Entanglement in High-Energy Collisions

https://arxiv.org/pdf/2509.07585

摘 要
對基本量子現象（如糾纏和貝爾不等式破壞）的探索——此前已在低能區域得到廣泛研究——最近已擴展至高能粒子碰撞領域。實驗上，貝爾不等式的破壞（挑戰愛因斯坦的局域實在性原理）最早由A. Aspect、J. F. Clauser和A. Zeilinger在低能糾纏光子系統中觀測到，三人因此榮獲2022年諾貝爾物理學獎。粒子對撞機為探測量子信息理論提供了一個全新平臺，其運行能量比以往實驗高出十多個數量級，并涉及電弱與強相互作用。此外，對撞機探測器通過量子態層析技術，在量子態重構方面具有獨特優勢。本章綜述了這一新興領域中的關鍵理論與實驗進展，強調其所面臨的挑戰、研究目標以及對量子信息理論和高能物理的潛在影響。

1 引言

量子力學（QM）最引人入勝的特征之一是復合系統中的糾纏現象。正如我們將展示的，這一特征在經典理論或完全決定論的理論（如隱變量理論（HVT）[5]）中并無對應物；后者試圖通過引入額外的經典隱自由度來解釋量子力學的概率性本質。

決定論理論基于兩個關鍵假設：實在性（realism），即物理系統具有獨立于觀測的明確定義的屬性；以及局域性（locality），即系統只能受其鄰近環境影響，且任何相互作用的傳播速度不超過光速。然而，量子糾纏現象違背了局域實在性原理，清晰劃定了經典與量子現象之間的界限。

量子糾纏的核心在于：無論子系統相距多遠，它們仍能保持相互關聯，從而揭示出量子力學的非局域特性。事實上，一個量子糾纏系統無法表示為其各組成部分狀態的簡單組合——它構成了一種超越經典可分性的非局域整體。這與局域實在性形成鮮明對比，后者假設系統的所有屬性都是預先確定的，且獨立于任何測量而存在。值得注意的是，糾纏系統的測量行為并不違反狹義相對論原理，因為在這些測量過程中，并無能量或信息以超光速傳遞。

在1935年的開創性論文中，愛因斯坦、波多爾斯基和羅森（EPR）[6]指出：若假設局域實在性成立，則僅依賴波函數的量子力學對現實的描述是不完備的。這一觀點為隱變量理論可能提供對量子現象的完備且決定論的解釋打開了大門。關于量子力學框架與隱變量理論之間——或者說關于量子現象的局域性與非局域性之爭——的辯論一直懸而未決，直到1969年約翰·貝爾（John Bell）提出了一項決定性檢驗來區分二者。他的方法涉及對一個糾纏雙粒子系統中兩個空間分離組分的自旋進行獨立測量，并分析其關聯性[7,8]。

在假設這些測量彼此獨立、且兩次測量事件之間無超光速信號傳遞（即滿足局域性）的前提下，可以推導出這些關聯性的上限：這就是如今所稱的貝爾不等式[7,8]。然而，量子力學預言了更強的關聯性，能夠突破這一經典界限，從而揭示其內在的非局域性。因此，實驗中對貝爾不等式的破壞為反對局域隱變量理論提供了有力證據，支持了量子力學框架的非局域特性[8,9]。

最早檢驗貝爾不等式破壞的實驗使用了能量約為幾個電子伏特的糾纏光子，詳見[2]的綜述。在這些實驗中，光子對被制備成自旋單態，沿不同方向測量其偏振（類比于自旋測量），從而探測量子糾纏并檢驗貝爾不等式是否被破壞。

貝爾不等式的首次實驗破壞是在光學裝置中實現的[10,11]，由A. Aspect、J. F. Clauser和A. Zeilinger完成，該成就使他們榮獲2022年諾貝爾物理學獎。這些結果激發了大量努力，旨在消除（或至少顯著減少）實驗漏洞。隨后，利用光子[16,17]和原子[18]的低能實驗幾乎完全關閉了所有主要漏洞，為量子力學的非局域預言提供了強有力支持。進一步的實驗在公里級距離上[21]乃至固態系統中[22]也證實了貝爾不等式的破壞。

貝爾不等式的破壞在相對論性量子場論中同樣被預期存在[23–28]。特別是，對于一個雙粒子系統，若各方局域于類空間隔的時空區域中，則總存在某個量子態會導致相應貝爾不等式的最大破壞[23–28]。

在高能物理中，也可通過對撞機上的基本粒子碰撞研究量子糾纏與非局域性。在此背景下，糾纏表現為自旋關聯或味等內稟量子數的關聯，因為其對應的對稱群是非阿貝爾的[29]。

乍看之下，人們可能認為在對撞機上研究糾纏或貝爾不等式破壞需要極化束流和靶材——類似于光子實驗中使用偏振片——從而排除在高能物理中開展此類研究的可能性。然而，盡管存在此類批評[30]，實際情況并非如此。對撞機實驗通常使用非極化束流，且探測器并不直接測量粒子極化，而是通過母粒子衰變產物的角分布來推斷其極化狀態。這些角分布可用于重建關聯，并將截面測量轉化為極化密度矩陣。這種方法稱為量子態層析（quantum state tomography），使得在對撞機上測量糾纏、檢驗貝爾非局域性成為可能，同時也為通過糾纏敏感觀測量探測標準模型（SM）之外的新物理提供了新工具[31]。

此處需澄清粒子物理中如何檢驗貝爾非局域性。檢驗非局域性與隱變量模型最清晰的框架是“黑箱”方法：可自由選擇經典輸入并記錄相應輸出[32,33]。這是量子信息理論中的標準方法[34,35]，因為它避免了對測量裝置細節的依賴——這些細節可能未知或存在不確定性。然而，目前或計劃中的任何對撞機實驗均不滿足設備無關（device-independent）的要求。實際上，高能實驗僅在特定設備設定下探測量子非局域性，在量子信息理論術語中，這對應于非局域性見證（non-locality witnesses），而非真正的貝爾檢驗——詳見[29]。

與傳統貝爾檢驗不同（后者僅依賴于沿選定空間方向的聯合概率測量，因而僅部分確定末態，留下漏洞），對撞機實驗可通過量子層析實現對量子態的完整重構。這關閉了上述漏洞，并將貝爾檢驗簡化為對合適觀測量的直接評估[29]。

在粒子物理中，糾纏最初通過低能質子系統進行研究[36]，而針對高能對撞機的檢驗方案則見于[30,37,38]。此外，還在多種情境中提出了糾纏與貝爾不等式的檢驗，包括正電子素[39,40]、粲偶素衰變[41–45]、中微子振蕩[46]，以及中性介子-反介子系統[47–50]——盡管在最后一種情形中僅能間接檢驗貝爾非局域性。

近期，隨著大型強子對撞機（LHC）上頂夸克對產生過程中自旋關聯可揭示糾纏[52]、且此類系統也可能違反貝爾不等式[53]的證明，高能糾纏現象學的研究興趣被重新激發。這一復興引發了一系列研究，尤其聚焦于頂夸克產生[54–59]，以及涉及自旋為1的介子[60–62]、超子[62,63]、τ輕子對[64,65]、希格斯衰變產生的規范玻色子[66–69]和矢量玻色子散射[70]的系統。這些工作共同表明：在高能對撞機的多種過程中，糾纏與貝爾不等式破壞均可被觀測，其相關現象學為探索標準模型之外的新物理提供了新途徑[65,71–76]。更多細節參見近期綜述[31]。

高能物理中糾纏的探測最近已由CERN的ATLAS[77]和CMS[78,79]合作組確認：他們通過對LHC上閾值附近產生的頂夸克對自旋關聯的分析，以超過5σ的顯著性觀測到糾纏。相比之下，高能下貝爾不等式破壞的首次確認來自對B介子衰變為兩個自旋為1的介子過程的數據分析[60,61]，基于LHCb合作組的實驗分析[80]。該結果在能量約5 GeV的雙qutrit（三能級系統）中提供了遠超5σ顯著性的貝爾破壞證據。這一能量尺度比典型光學實驗[10,11,16]高出近十億倍，并處于強相互作用與弱相互作用的共同作用范圍內。

近期，在粲偶素領域也確認了量子糾纏與貝爾不等式破壞，通過對粲偶素衰變為重子-反重子對（如(Λ, Σ, Λ, Ξ)）及(φ)介子對的過程進行分析[62]。這些結果利用了BESIII合作組[81–91]以及ATLAS[92]、CMS[93]和LHCb[94]合作組提供的這些過程的螺旋度振幅數據。這些發現[62]在粲偶素質量尺度的高能環境中，為涉及不同自旋粒子（qubit與qutrit雙粒子系統）且受電弱與強相互作用共同支配的系統中，提供了糾纏與量子非局域性的又一有力證據。

本章回顧了粒子物理中關于雙粒子qubit與qutrit系統中量子糾纏測量與貝爾不等式破壞的最重要成果。第2節概述了在粒子對撞機上分析自旋系統中量子觀測量所需的理論框架。第3節總結了對撞機上糾纏與貝爾不等式破壞的主要實驗結果，重點介紹LHC及現有e?e?對撞機上的研究，并展望未來擬建輕子對撞機的前景。最后，第4節對未來發展方向進行展望。

2 理論工具

我們在此介紹與糾纏和貝爾不等式概念相關的主要量子可觀測量，這些可觀測量涉及雙粒子量子系統中自旋關聯的測量。我們將聚焦于由自旋-1/2（qubit）粒子對和自旋-1大質量（qutrit）粒子對構成的雙粒子系統。分析的核心是密度矩陣 ρ 的形式化表述，我們將在下節中引入該形式，并將其應用于兩個 qubit 和 qutrit 粒子系統的極化態。

2.1 密度矩陣形式化

一個量子系統的統計性質由一組屬于希爾伯特空間的量子態 |ψ?? 表征，每個態對應一個概率 p?，滿足條件 0 ≤ p? ≤ 1 且 Σ?p? = 1。此時，該狀態被稱為混合態。當量子態 |ψ? 被精確知曉時（即 p = 1，集合僅包含單一態），系統被稱為純態。

混合態的統計描述可由一組純態 |ψ?? 及其對應概率 p? 構成的系綜 {(p?, |ψ??)} 來表達，這些概率編碼了我們對系統的不完全認知。基于此，我們構建了一個稱為密度矩陣的算符：

該算符若且唯若滿足以下條件，才可稱為密度算符：

i) Tr[ρ] = 1
ii) ρ = ρ?
iii) ?ψ|ρ|ψ? ≥ 0，對所有 |ψ? 成立，

其中 Tr[ρ] 表示 ρ 的跡。歸一化條件 i) 表示總概率為 1（即系統必定處于某個確定的狀態）；條件 ii) 確保其本征值為實數（這是必要的，因為它們代表概率）；而條件 iii) 確保概率（期望值）為非負。

純態的密度矩陣簡單地由 ρ = |ψ??ψ| 給出，因為我們精確知道是哪個態 |ψ?? 實際描述了系統。由此可得，對于純態有：

2.2 糾纏與貝爾非局域性

在復合量子系統中量化糾纏通常是一項困難的任務，特別是在混合態的情況下，只有有限的解決方案可用。然而，在某些特殊情況下，糾纏是可以很好地量化的。這就是純態的情況，其中可以定義一個稱為糾纏熵的量，也稱為約化態的馮·諾依曼熵。對于具有相同維數的子系統A和B的二分系統，糾纏熵定義為

其中 ln 表示自然對數，ρ_A 和 ρ_B 分別是子系統 A 和 B 的約化密度矩陣。糾纏熵的取值范圍為 0 ≤ E[ρ] ≤ ln d，其中 d 是子系統 A 和 B 的有限維度。下界在且僅在雙粒子純態可分離時達到（對于純態而言，這意味著 ρ2_{A,B} = ρ_{A,B}），而上界則在最大糾纏態時達到。顯然，一個純態是糾纏的，當且僅當其約化密度矩陣具有非零熵。

在更一般的情形下，例如混合態的情形，必須依賴所謂的“糾纏判據”——即提供充分條件以指示系統中存在糾纏的量。最流行的一種是所謂的糾纏度（concurrence, ?）。對于純態，它被定義為 [97–99]：

在對撞機上研究量子關聯（混合態）的最一般情形中，(8) 式給出的糾纏度下界可被用作糾纏見證（entanglement witness）。

人們已知糾纏態會破壞所謂的貝爾不等式——這些不等式是涉及對雙粒子量子系統中空間分離部分所進行測量之間關聯性的數學表達式。貝爾不等式是區分量子力學預言與基于局域實在性和決定論的經典理論預言的關鍵實驗工具。對貝爾不等式的破壞提供了強有力的證據，表明糾纏粒子的行為無法用任何局域隱變量理論加以解釋，從而凸顯了量子關聯本質上非經典的特性。貝爾不等式建立在“貝爾局域性”（Bell locality）概念之上，而所有決定論理論都滿足這一局域性。

其中 η(λ) 是共享資源的概率分布，Pλ(A|a)（Pλ(B|b)）是 Alice（Bob）獲得結果 a（b）的概率。此條件定義了一個局域理論。如果實驗結果違反該表達式——通常通過貝爾不等式進行檢驗——則該系統被視為非局域的，這突顯了其與經典局域性概念的根本背離。

貝爾檢驗涉及一組不等式，這些不等式在經典局域性假設下對聯合概率 P(A, B|a, b) 施加約束。這些不等式的違反——在實驗中被一致觀測到——表明系統明顯偏離了經典的、局域性的自然解釋，揭示了量子現象固有的非局域特性。

雖然純態中的糾纏總是等價于貝爾非局域性，但這種等價性并不普遍適用于混合態。事實上，某些態是糾纏的，但仍滿足貝爾局域性。這類例子大多可追溯到 Werner 態 [102]，在雙粒子 qubit 系統（如一對自旋-1/2 粒子）的情形下，它被定義為單重態與單位矩陣的混合態。另一個重要例子（在第 3.3 節討論）是頂夸克-反頂夸克系統，它與 Werner 態類似，可以是糾纏的，但同時仍是貝爾局域的 [103]。

此外，還有其他已知的相關性可用于探測量子糾纏，例如量子失協 [104]、導引性 [105] 和非負條件熵 [106]。這些可觀測量捕捉了超越嚴格貝爾意義下糾纏的量子關聯的不同層面。例如，量子失協識別出即使在可分態中依然存在的非經典關聯形式；而導引性則刻畫了一個子系統通過局域測量非局域影響另一子系統狀態的能力。同樣，非負條件熵提供了一個信息論標準，反映了糾纏的存在及其在量子通信任務中的潛在用途。綜上所述，這些度量為理解和量化物理系統中的糾纏提供了互補的視角，并擴展了可用的工具箱。本章范圍之外的詳細討論請參閱相關文獻。

2.3 與量子比特相關的量子可觀測量

在下文中，我們將自旋系統與其對應的量子信息類比物進行對應：一個自旋-1/2 粒子對應一個量子比特（qubit），一個自旋-1 粒子對應一個量子三態（qutrit），更一般地，一個自旋-J 粒子對應一個維度為 2J+1 的量子 d 態（qudit）。相應的形式化描述需要引入極化密度矩陣。

我們首先從定義單個自旋-J 粒子的極化密度矩陣開始。為此，我們引入用于產生自旋-J 粒子的極化矩陣元 M(λ)，其中 λ 通常表示沿選定自旋量子化軸（或等價地，螺旋度本征態）的自旋本征值——λ = -J, -(J-1), ..., (J-1), J。相應的極化密度矩陣是一個 (2J+1) × (2J+1) 矩陣，其定義如下：

其中 |M?|2 表示該過程對應的非極化平方振幅，且對初態粒子可能的內自由度求和是默認的。

推廣到兩個自旋-J 粒子的情形是直接的。在這種情況下，我們引入用于產生這兩個自旋-J 粒子的極化矩陣元 M(λ?, λ?)，其中 λ? 和 λ? 分別指代粒子 1 和粒子 2 的自旋指標。相應的極化密度矩陣是一個 (2J+1)2 × (2J+1)2 矩陣，其定義如下：

其中，|M?|2 再次表示兩個自旋-J 粒子對應的非極化平方振幅。計算該極化密度矩陣（針對兩個自旋-1/2 和自旋-1 粒子）的技術將在第 2.5 節中提供。

現在，我們從討論一對自旋-1/2 粒子（即量子比特，記為 A 和 B）的極化密度矩陣相關的量子可觀測量開始。在此情形下，根據上述考慮（參見公式 (12)），相應的雙粒子系統在自旋空間中的量子態可由以下厄米、歸一化的 4×4 密度矩陣建模：

其中 σ? 是泡利矩陣，λ?,? 和 λ'?,? 標記矩陣元， 表示 2×2 單位矩陣，且指標 i、j 的求和覆蓋三維空間中任意正交歸一參考系的分量。乘積 A ? B 通常表示 A 和 B 矩陣間的標準克羅內克積。我們采用縮寫：[A ? B]??';??' = A??' B??'。

實系數 B?? = Tr[ρ(σ? ? )] 和 B?? = Tr[ρ( ? σ?)] 分別代表兩個量子比特（即自旋-1/2 粒子 A 和 B）的自旋極化；而實矩陣 C?? = Tr[ρ(σ? ? σ?)] 則給出了它們的自旋關聯。在粒子對系統的情形下，B??,? 和 C?? 是描述該粒子對產生運動學參數的函數。此外，這些系數還需滿足來自密度矩陣正定性要求（即公式 (2.1) 中的條件 ii）的額外約束；這些額外條件通常是復雜的，因為它們源于要求矩陣 ρ 的所有主子式均為非負數。

在兩個量子比特的特殊情形下，糾纏度可對任意量子態進行量化。事實上，糾纏度 ?[ρ] 可通過使用輔助矩陣進行解析計算：

2.4 與量子三態相關的量子可觀測量

在此，我們分析由一對自旋-1 粒子構成的雙粒子態的情形，該態可與兩個量子三態（qutrits）相關聯。根據第 2.3 節的考慮（參見公式 (12)），描述兩個量子三態聯合態的極化密度矩陣是一個 9×9 矩陣。因此，方便的做法是將相應的密度矩陣分解為涉及蓋爾-曼矩陣 T?（其中 a = 1, ..., 8）和 3×3 單位矩陣 ? 的張量積之和，如下所示：

其中我們省略了自旋指標，A ? B 表示如上文所定義的標準克羅內克積。系數 f? 和 g?（a = 1, ..., 8），以及對稱矩陣 h?? 的 64 個元素，通常依賴于產生這兩個量子三態過程的運動學，并可從相關的躍遷振幅中解析計算得出。

這些系數可通過將公式 (21) 中的密度矩陣 ρ 投影到所需的子空間基底上，利用跡運算獲得：

其中我們省略了自旋指標，A ? B 表示如上文所定義的標準克羅內克積。系數 f? 和 g?（a = 1, ..., 8），以及對稱矩陣 h?? 的 64 個元素，通常依賴于產生這兩個量子三態過程的運動學，并可從相關的躍遷振幅中解析計算得出。

這些系數可通過將公式 (21) 中的密度矩陣 ρ 投影到所需的子空間基底上，利用跡運算獲得：

這是本文中我們一貫使用的表達式。

在純態的特殊情況下，人們總可以通過使用糾纏熵（如公式 (4) 所示）來量化兩個量子三態的糾纏度。在下文中，我們將僅在標量衰變為兩個自旋-1 粒子的特殊情形下，提供用極化系數表示的糾纏熵的解析表達式。

量子三態的貝爾局域性檢驗：針對由兩個量子三態構成的雙粒子系統而專門定制的原始貝爾不等式的重新表述，由 Collins、Gisin、Linden、Massar 和 Popescu（CGLMP）不等式 [110–113] 提供。為明確寫出該不等式，考慮一個由兩個量子三態 A 和 B 組成的系統。對于量子三態 A，選擇兩個自旋測量設置，記為 ?? 和 ??，每個對應于具有三種可能結果 {0, 1, 2} 的自旋-1 可觀測量的投影測量。類似地，對于量子三態 B，測量設置由 B?? 和 B?? 表示。基于這些可觀測量，可以定義一個關聯函數 I?，其通過 [110] 中引入的特定組合構造而成：

其中，貝爾算符 ? 的具體形式取決于測試中所使用的四個測量算符 ?? 和 B??（i = 1, 2）的選擇。對于最大關聯的量子三態情形，尋找最優測量方案的問題已被解決 [114]，且 9×9 維貝爾算符 ? 具有簡單形式，其表達式可在 [31, 115] 中找到。

因此，對于給定的密度矩陣，可以通過適當選擇這些算符來增強對貝爾不等式的破壞。然而，無論作何選擇，該可觀測量的結果值都不應超過 4，否則將違背量子力學的有效性。

此外，定義貝爾算符的測量設置還可通過可觀測量的局域幺正變換進一步調整。在此類變換下，貝爾算符按如下方式變換：

其中 U 和 V 是維度為 3×3 的獨立幺正矩陣。這一過程實質上代表了對每個量子三態上的測量所施加的局域基底旋轉。在下文中，第 3 節所呈現的現象學分析將利用這種自由度，以優化從參考文獻 [116] 定義的貝爾算符中獲得的 I? 值，從而最大化 I? 對應的貝爾不等式破壞。

2.5 極化密度矩陣

在本節中，我們介紹用于計算自旋-1/2 費米子和大質量自旋-1 粒子極化密度矩陣的洛倫茲協變方法——這些情形將作為后續現象學分析的基礎。隨后將另行討論基于螺旋度振幅方法的獨立分析。

2.5.1 自旋-1/2 極化矩陣

此處我們提供用于計算與自旋-1/2 費米子 ψλ 的極化態 λ 相關的密度矩陣的工具箱。推廣到兩個自旋-1/2 費米子的雙粒子態是直接的。

我們從自旋-1/2 費米子 ψλ 產生過程的極化振幅 ?(λ) 開始：

其中 λ 表示沿指定量子化方向的極化，λ ∈ {??, ?}，A 是振幅中乘以所產生費米子旋量 ūλ 的項。我們采用方括號記號 [?] 來追蹤其內部量的旋量指標縮并。

然后，密度矩陣由下式給出 [31]：

其中，p? ≡ γμpμ —— γμ 和 γ5 為通常的狄拉克矩陣——σ? 是泡利矩陣，{n?^μ} 是一組類空四維矢量，每個都滿足 n?^μ pμ = 0。這些 n?^μ 是通過將自旋四維矢量 n = (0, n?) 在費米子靜止系中的標準基底進行洛倫茲變換，得到費米子具有四動量 p 的參考系中獲得的。上述 n? 定義了費米子靜止系中的自旋極化矢量（模長為1）。

推廣到末態包含多個自旋-1/2 費米子的過程是直接的。所得的密度矩陣可以利用由泡利矩陣與單位矩陣的張量積所構成的基底進行展開。特別地，在此情形下，若我們定義：

此處，張量積隱式應用于與兩個費米子相關的泡利矩陣，自旋指標的縮并關系在整個過程中默認成立。這導出了公式 (13) 中給出的雙粒子密度矩陣，其分量 B??,? 和 C?? 可通過計算 ρ（見公式 (33)）與相應的極化和關聯矩陣投影算符的跡來提取，如公式 (13) 下方所示。

接下來的第 3 節將聚焦于頂夸克和 τ 輕子對產生的量子層析，我們將在對撞機實驗的具體背景下提供關于極化系數和關聯系數推導的更多細節。

2.5.2 自旋-1 極化矩陣

在此，我們考慮自旋-1 的大質量粒子，其極化態對應于量子三態系統。類比于上述描述的自旋-1/2 系統，我們將一個具有螺旋度 λ ∈ {+1, 0, -1} 和動量 p 的大質量規范玻色子產生過程的振幅分解為：

通過公式 (40) 計算出的所有項均為洛倫茲標量。

我們在此強調，公式 (21) 中密度矩陣的蓋爾-曼表示僅是可能的參數化方式之一。關于用張量算符分量表示的三量子比特密度矩陣的其他表示形式，請參見 [108, 109]。

2.5.3 螺旋振幅自旋形式體系

我們現在討論與螺旋振幅自旋形式體系的關聯。螺旋振幅被定義為 S 矩陣在初態與末態螺旋本征態之間的矩陣元。這些螺旋態通常在質心系中指定，其中散射角決定了用于定義末態粒子 |λ?? 螺旋本征態的量子化軸。當這些態被變換到第 i 個粒子的靜止系時，它們退化為通常的自旋本征態。

通過將 S 矩陣分解為 S = 1 + iT，躍遷振幅可寫作：

δ???(p? + p? - k? - k?) ?(λ?, λ?) ∝ ?Ω(θ, φ), λ? λ? | T | Ω(0, 0), χ? χ?? ， (41)

k? 和 k? 是初態粒子的動量，它們沿 z 軸取向，即 Ω(θ = 0, φ = 0)，其中 θ 和 φ 分別表示極角和方位角，而對散射角的全部依賴性被吸收到 Ω(θ, φ) 項中。上式中，χ? 和 χ? 表示初態粒子的螺旋度，而如前所述，λ? 和 λ? 指的是質心系中末態粒子的螺旋度。

隨后，躍遷振幅可按分波展開為：

正如我們所見，振幅的全部角依賴性都包含在 D???(α, β, γ) 項中，這些項是旋轉群自旋-J 表示中的維格納 D 矩陣元（其中 α, β, γ 為通常的歐拉角），且 χ = χ? - χ?，λ = λ? - λ?。

隨后，末態的螺旋密度矩陣可寫作：

其中，對初態粒子螺旋度的求和是隱含的，且 w??λ?λ?? ∝ ?λ?λ?|T?|χ?χ??。整體歸一化因子由條件 Tr(ρ) = 1 確定，而在固定螺旋度下過程平方振幅（|?|2）中對所有極化的求和也是隱含的。正如從該過程的柱對稱性所預期的那樣，對方位角 φ 的依賴性被抵消。

對于 1 → 2 衰變過程，類似的表達式也成立，此時 J 對應于衰變粒子的自旋。正如我們將在下文中看到的，公式 (43) 中的表達式在此情況下特別適用于重構密度矩陣。

2.6 從衰變中重構極化密度矩陣

只要這些分布能在母粒子靜止系中獲得，一個自旋粒子系統的極化密度矩陣就可以從其衰變產物的角分布中實驗上重構出來。在這里，我們關注兩個特定情況：一對自旋-? 粒子（量子比特）和一對自旋-1 粒子（量子三比特）的產生，假設母粒子衰變為可探測的子代產物。

2.6.1 量子比特

作為一個例子，考慮一對頂夸克 t t? 的產生及其衰變為輕子道：t t? → ??νb ??ν?b?，其中 ??(??) 表示輕子（反輕子），ν(ν?) 表示中微子（反中微子），b(b?) 表示底夸克（反底夸克）。該方法可推廣至任何其他費米子-反費米子對。

我們在頂夸克和反頂夸克的靜止系中采用相同的歸一化右手坐標系 {r?, n?, k?}，如文獻 [121, 122] 所提出。此處，k? 表示在 t t? 質心系中頂夸克運動的方向，p? 表示實驗室系中其中一個質子束的方向。其余方向 n? 和 r? 則按如下方式定義 [121, 122]：

其中，Γ 是寬度，θ 是母粒子自旋方向與衰變產物 f 的動量之間的夾角，κ_f 是衰變產物的自旋分析能力，其取值范圍為 -1 到 1，P 是母粒子的極化。

然后，通過將數據擬合到公式 (46) 中沿 ij 方向的雙分布 cos θ?? cos θ??，可以提取關聯系數 C??。類似地，擬合單分布 cos θ?? 和 cos θ?? 可分別確定極化系數 B?? 和 B??。

2.6.2 量子三比特

我們將自旋-1 規范玻色子視為量子三比特，其衰變產物充當內建的偏振計。我們以帶正電的弱玻色子 W? 為例開始討論。W? 的極化可通過其衰變 W? → ??ν 重構。在此情況下，輕子 ?? 以正螺旋度發射，而中微子以負螺旋度發射，表明 W? 沿輕子方向的極化為 +1。類似地，在 W? → ??ν? 衰變中，輕子 ?? 具有負螺旋度，反中微子具有正螺旋度，從而得到 W? 沿輕子方向的極化為 -1。

在這兩種情況下，末態輕子的方向（例如如圖1所示）直接提供了 W 玻色子極化的探針。這些粒子動量是確定規范玻色子極化態所必需的基本可觀測量——無論是來自模擬還是實驗數據。

利用文獻 [67] 中概述的方法，可以從公式 (21) 的密度矩陣分解中通過雙微分角分布 [124] 提取出關聯系數 (h??) 和極化系數 (f?, g?)。

其中，σ 是兩個規范玻色子衰變為輕子道的產生截面，dΩ± = sinθ± dθ± dφ± 是末態輕子在各自 W± 玻色子靜止系中的立體角。對 m?? 和 Θ 的依賴關系是隱含的。矩陣 ρ???? 描述了兩個自旋-1 玻色子的產生，如公式 (21) 所示。

極化矩陣 Π± 編碼了規范玻色子的手性衰變結構，其中將無質量的末態輕子近似為投影算符。這些矩陣是通過將自旋 ±1 態從 z 軸旋轉到任意方向得到的。在蓋爾-曼基底下，它們由下式給出：

其中，維格納函數 ±? 是輕子球坐標角的函數，其表達式可在例如文獻 [31, 67] 中找到。

關聯系數 h?? 和極化系數 f?、g? 可通過公式 (48) 中的單微分與雙微分截面，經投影得到：

3 對撞機上的糾纏與貝爾不等式違背

在本節中，我們介紹關于對撞機上量子糾纏和貝爾不等式違背的測量結果及標準模型（SM）預測的主要內容。我們首先回顧已在低能過程中觀測到量子糾纏和貝爾不等式違背的最相關案例，重點關注中性 B 介子和粲偶素衰變為量子比特和量子三比特雙粒子末態的情形，這些研究已在 LHCb、Belle II 和 BESIII 實驗中開展。接著，我們討論近期在 LHC 上對頂夸克對產生中糾纏現象的測量，以及在雙玻色子（WW、ZZ 和 WZ）產生過程、以及通過共振希格斯中介道（WW* 和 ZZ*，其中 * 表示離殼玻色子）探測貝爾不等式違背和量子糾纏的前景。最后，我們考察了在各種對撞機設施上通過 τ 輕子對產生檢驗這些量子特性的潛力。

3.1 中性 B? 介子衰變為兩個矢量介子

首次在高能區觀測到貝爾不等式違背——其統計顯著性遠高于通常的 5σ 閾值——是在中性 B? 介子衰變為兩個自旋-1 矢量介子 V? 和 V? 的背景下實現的 [60, 61]。該結果是通過對 LHCb 合作組的數據分析獲得的 [80]。

用于重構密度矩陣的理論框架依賴于應用于涉及兩個量子三比特末態的螺旋振幅自旋形式體系，如第 2.5.3 節所討論。

在 (贗)標量介子衰變為兩個大質量自旋-1 粒子的特定情況下（例如 B? → V?V?），公式 (43) 中的密度矩陣表達式顯著簡化。由于 B? 介子自旋為零，密度矩陣不再依賴散射角 θ。事實上，相關的維格納 D 矩陣元退化為單位矩陣，且僅保留三個非零的螺旋振幅，這由角動量守恒決定。

由于螺旋度守恒，這兩個大質量自旋-1 粒子的（純）量子自旋態可表示為 [69, 73]

其中，歸一化因子由 |?|2 = |w??|2 + |w??|2 + |w??|2 給出。

橫向螺旋態 |++? 和 |--? 相對于縱向分量 |00? 的相對貢獻由角動量守恒決定。因此，相應的螺旋密度矩陣 ρ = |Ψ??Ψ| 完全由螺旋振幅確定。如果選擇維度為 9 的極化基的表示如下：

這些關系使我們能夠將公式 (58) 中的密度矩陣用實驗上可獲取的極化可觀測量重新表示。

具有最精確測量的極化振幅的衰變道是 B? → J/ψ K* [80]。假設密度矩陣取公式 (58) 給出的形式，已有研究 [60] 表明：

導致貝爾不等式 I? < 2 的違背，其統計顯著性遠超 5σ 閾值——數值上達到 36σ 水平，同時對于糾纏熵 ? > 0 也是如此。

為解決“局域性漏洞”——該漏洞涉及未被類空間隔分隔的事件（如在 J/ψ K* 衰變的情形中）——必須考慮兩個末態粒子相同的衰變過程，例如 B? → φφ。在此情況下，由于兩個 φ 介子具有相同的壽命，衰變呈現出指數時間分布，且超過 90% 的事件發生在類空間隔處 [61]。

對于 B? → φφ 衰變 [128]，關于糾纏熵和貝爾不等式違背的相應分析 [60, 61] 給出：

這對應于在 8.2σ 水平上違反貝爾不等式 I? < 2。

中性 B 介子的其他衰變道中也報告了量子糾纏和貝爾不等式違背，但統計顯著性較低 [60]。

3.2 粲偶素衰變：重子與矢量介子

來自粲偶素衰變實驗的螺旋振幅測量也可提供一種手段，用于量化末態自旋關聯中的糾纏，并探測貝爾不等式的潛在違背。

粲偶素衰變最初在文獻 [37, 41] 和 [42, 43] 中被識別為粒子物理中檢驗貝爾不等式違背的有前景候選者。特定衰變道如 ηc → ΛΛ? 和 J/Ψ → ΛΛ? 最初被研究，后在文獻 [44] 中得到更詳細的探討。

最近，參考文獻 [62] 研究了由自旋-0、自旋-1 和自旋-2 粲偶素系統衰變產生的各種雙粒子末態中的量子糾纏及貝爾不等式違背。

該分析利用了由 BESIII 合作組提供的螺旋振幅數據 [81–91]，以及來自 ATLAS [92]、CMS [93] 和 LHCb [94] 合作組測量的 Λb → J/ψ Λ 過程中關于 J/ψ 衰變的額外數據。下文，我們總結文獻 [62] 中關于粲偶素衰變中糾纏和貝爾不等式違背的最重要發現。本文重點關注自旋-0 和自旋-1 粲偶素態的最相關結果。對于統計顯著性相對較低的自旋-2 態的討論，讀者可參閱文獻 [62]。

為更全面地探討粲偶素衰變中的量子關聯、退相干效應以及局域性漏洞的作用，請參見文獻 [62]。

3.2.1 粲偶素自旋-0 態

標量和贗標量粲偶素自旋-0 態 ηc 和 χc? 可衰變為一對奇異 Λ 重子與反重子：

由該密度矩陣計算出的糾纏度（concurrency）達到最大值，[ρ] = 1。因此，霍羅德茨基條件取值 m?? = 2，表明貝爾不等式被最大程度地違背。盡管該評估無需實驗輸入的螺旋振幅數據，但確定結果統計顯著性仍需依賴對這些振幅的數據分析所引入的不確定性。目前，BESIII 實驗合作組尚未提供這些不確定性。

下一個相關情況是粲偶素的標量態，它可以衰變為一對自旋-1 的 φ 介子：

3.2.2 粲偶素自旋-1 態

自旋-1 粒子的衰變通過其極化密度矩陣的結構表現出對散射角 θ 的依賴性，如公式 (43) 中以螺旋振幅展開的形式所示。關于自旋-1 粲偶素衰變中各種末態所對應的極化密度矩陣的更多細節，可參見文獻 [62]。因此，對糾纏的量化以及貝爾不等式的違背呈現出角依賴性，這種依賴性可用于識別這些效應被增強的區域。

文獻 [62] 利用 BESIII 合作組多項分析的數據，研究了以下自旋-1 粲偶素態的衰變。在其中多個衰變道中，貝爾不等式的違背已被觀測到，且統計顯著性超過 5σ：

這包括衰變 ψ(3686) → Λ + Λ? [91] 和 ψ(3686) → Ξ? + Ξ?? [88]，其中存在違背現象，但統計顯著性較低。相比之下，衰變 ψ(3686) → Ω? + Ω? [89] 顯示出量子糾纏的證據，但未出現貝爾不等式的顯著違背。

在表1中，我們報告了在對自旋-? 重子最敏感的粲偶素衰變道中，量子糾纏和貝爾不等式違背的相應結果總結——對于量子比特，分別由可觀測量 [ρ] 和 m?? 進行量化 [62]。這些結果在 θ = π/2 處進行評估，此時違背程度達到最大，糾纏程度也達到最大。

該貝爾不等式違背的顯著性被發現為 98.7σ，但應注意的是，此估計僅考慮了統計不確定性。關于糾纏，由于這是一個由兩個量子三比特在混合態中產生的二分系統，只能使用公式 (8) 中定義的量 ??。這提供了糾纏的一個下限，在 θ = π/2 時其最大值約為 ?? ≈ 1，如文獻 [62] 所報告。

3.3 Top-quark pair production

在部分子層次上，LHC 上的頂夸克對產生 (t t?) 通過兩種主要過程進行：夸克-反夸克湮滅 (q q? → t t?) 和膠子-膠子融合 (g g → t t?)。相應的標準模型費曼圖如圖2所示。因此，頂夸克對是在混合態中產生的，源于不同的初態。

公式 (71) 中涉及交換（Θ → Θ + π）的最后幾項，用于描述源自 LHC 上任一質子束的夸克與反夸克交換下的對稱性，因為這兩種構型具有相同的部分子亮度函數。在標準模型中，夸克引發過程的單自旋極化系數在領頭階下恒為零，即 B?^(q q?) = 0，除非存在由高階電弱修正或 b b? → t t? 過程引起的微小貢獻——本質上是 W 介導的（t 通道）圖與相應的膠子介導的（s 通道）圖之間的干涉。

3.3.1 糾纏

頂夸克對產生是當前一系列高能量子糾纏研究中首個被分析的過程。在文獻 [52] 中，已在文獻 [122] 引入的參考系下計算了極化密度矩陣的預期矩陣元，并計算了糾纏度 [ρ]。

在 t t? 質心系中，公式 (71) 中極化密度矩陣的矩陣元 C?? 對散射角 Θ 和速度因子 β? = √(1 - 4m?2/m??2) 的依賴關系，在 Θ = π/2 的中心區域顯著簡化，此時頂夸克對橫向產生，糾纏達到最大值 [31, 53]。存在兩個糾纏尤為顯著的區域：閾值附近的狹窄區域，以及散射角接近 π/2 的 boosted 區域。在后一種情況下，貝爾不等式的違背（由 m?? 量化）也達到最大值。參見圖3中可觀測量 [ρ] 和 m?? 隨 m?? 和 cosΘ 變化的等高線圖。

在文獻 [52] 中已表明，糾纏對運動學變量非常敏感。這可以通過注意到量

其中，φ 是在衰變頂夸克和反頂夸克的靜止系中計算出的相應輕子之間的夾角 [52]。

ATLAS [77] 和 CMS [78, 79] 合作組最近分析了 13 TeV 的質子-質子碰撞數據，并從公式 (74) 中的微分截面提取了 D 的值。該分析聚焦于全輕子道的頂夸克對事件，通過標記兩個具有高橫向動量的相反電荷輕子來識別。可觀測量 D 在粒子層次上于近閾值區域被測量——具體而言，對于 ATLAS，測量范圍為 340 GeV < m??? < 380 GeV；對于 CMS，測量范圍為 345 GeV < m??? < 400 GeV。測量結果如下：

兩個實驗中測得的 D 值均小于 ?1/3，ATLAS 和 CMS 合作組觀測到的統計顯著性均超過 5σ，從而首次在實驗上觀測到頂夸克自旋之間存在糾纏。

觀測到的糾纏程度超過了模擬預測值，這表明后者可能需要對 t?t? 產生過程中近閾值效應進行更精確的建模。在 CMS 的分析中，蒙特卡洛模擬包含了來自“頂偶素”（toponium）束縛態的單色貢獻——即一種贗標量的 t?t? 束縛態——其計算依據見文獻 [131]。包含這一貢獻傾向于增強預測的糾纏程度，并改善了模擬與數據之間的一致性。

值得注意的是，最近在文獻 [132] 中，已將所有按 α?/v 的冪次縮放的修正項（其中 v 是頂夸克在 t?t? 靜止系中的速度）納入對 t?t? 產生中自旋關聯敏感的可觀測量中。這些修正項主要由 v ～ α? 量級的速度主導，類似于量子電動力學（QED）中的索末菲-費米修正（Sommerfeld-Fermi corrections）[133, 134]，用于描述非微擾的類庫侖 QCD 效應。文獻 [132] 指出，包含這些修正項可顯著緩解、甚至消除理論預測與實驗數據之間的張力。

3.3.2 貝爾不等式違背

頂夸克–反頂夸克對之間的糾纏導致可測量的貝爾不等式違背，該違背通過霍羅德茨基判據（20）[53] 進行量化。具體而言，這種違背由以下可觀測量所刻畫：

如第 2.3 節所述，其中 m?,? 是公式 (20) 中 CC? 矩陣的兩個最大特征值。LHC 上頂夸克對產生過程中 m?? 在可及運動學相空間內的分布如圖 3 右側面板所示。

如圖 3 所示，量子糾纏和貝爾不等式違背（編碼于 m??[C] 的取值中）在更大的散射角和更高的不變質量 m??? 下得到增強。與前一節概述的定性預期一致，m?? 最顯著的區域對應于 m??? > 900 GeV 且 cosΘ/π < 0.2。在此運動學區間內，m?? 的平均值達到 1.44 [71]。

已有多項研究在頂夸克對產生中對量子可觀測量進行了蒙特卡洛模擬——同時考慮了全輕子道和半輕子道衰變通道——見文獻 [53–55, 58, 59]。這些研究成功復現了標準模型的解析預測，并提供了對糾纏和貝爾不等式違背相關不確定性的估計。

在文獻 [53] 中，雙輕子過程 p + p → t + t? → ?±?? + jets + E????? 在領頭階下使用 MADGRAPH5_AMC@NLO [135] 進行模擬，隨后進行部分子簇射與強子化 [136]，并利用 ATLAS 探測器卡片進行探測器層次重建 [137]。

從模擬事例中，如第 2.6.1 節所解釋的，帶電輕子之間的角關聯——特別是乘積 cosθ?? cosθ??——被用于提取矩陣 C??，該矩陣編碼了糾纏和貝爾不等式可觀測量。這要求重構頂夸克靜止系，包括中微子動量。在文獻 [53] 中，m?? 的值是在修正偏置后估算的。對于 LHC 上 Run 1 和 Run 2 數據集的聯合分析（積分亮度為 300 fb?1），預測的貝爾不等式違背顯著性達到 3σ；而在高亮度 LHC（Hi-Lumi LHC）下，當積分亮度達到 3 ab?1 時，顯著性增加至 4σ [53]。相比之下，在文獻 [54] 中報道了同一運動學區域的較低顯著性：Run 1 加 Run 2 數據低于 1σ，而 Hi-Lumi LHC 下僅為 1.8σ。如文獻 [58, 59] 的分析所示，全輕子道與半輕子道之間的顯著性預計會提高 1.6 倍。

除了貝爾非定域性之外，還有一些研究分析了在 t?t? 末態系統中的量子失協（quantum discord）[138, 139]、可導引性（steerability）[139] 以及非負條件熵（non-negative conditional entropy）[138]。這些研究超越了對貝爾不等式的傳統關注，為理解 t?t? 系統中量子關聯的結構提供了互補性的見解。綜合來看，這些工作表明 t?t? 系統構成了一個豐富的實驗平臺，可用于檢驗量子信息理論的不同方面，從而拓展我們對粒子物理實驗中量子關聯表現形式的理解。

3.3.3 利用糾纏探測新物理

糾纏也可用于探測超出標準模型（SM）的新物理效應。相較于傳統的無極化可觀測量（如總截面），其優勢在于：糾纏對極化密度矩陣中所包含的所有極化振幅均敏感。然而，極化測量中的不確定性可能會削弱這種敏感性。

在此框架下，文獻 [140] 研究了頂夸克對自旋糾纏的可能修正。該方法采用標準模型有效場論（SMEFT）的有效拉格朗日量，其形式如下 [141]：

其中，Λ 表示新物理的能標，c? 為威爾遜系數。在 QCD 領頭階下，所有 CP 偶維度六算符均被納入頂夸克自旋糾纏的分析中：包括一個零費米子算符、兩個雙費米子算符和十四個四費米子算符 [140]。SMEFT 展開中高階項的貢獻已在文獻 [142] 中進行了分析。

糾纏受正比于 c?/Λ2 的干涉項（在截面中呈線性）以及正比于 (c?/Λ2)2 的二次項影響。在閾值附近，干涉效應較小，而二次項會降低糾纏度；在高能區，這兩類貢獻都會顯著抑制糾纏。

利用糾纏來限制新物理對膠子磁偶極子算符貢獻的研究已在文獻 [71] 中進行分析。為此目的，采用了如下有效拉格朗日量：

其中，Q? 和 t? 分別代表 SU(2)? 左手雙態頂-底夸克場和右手頂夸克場，而 H? 如通常所定義，是 SU(2)? 雙態希格斯場的對偶場，v 為標準模型希格斯真空期望值。類色磁偶極矩則由 μ = ?(√2 m? v / Λ2) c?G 給出。文獻 [71] 中的一項簡單蒙特卡洛研究表明，在運動學區域 m??? > 900 GeV 且 2Θ/π > 0.85（此時標準模型與新物理預測相差約 3%）下，利用 LHC Run2 數據，當 μ = 0.003 時可實現 2.3σ 的區分度。該結果與文獻 [140] 的分析一致（對應 c?G = -0.1，Λ = 1 TeV），并優于當前 μ ≈ 0.02 的限制 [143]。

3.4 LHC 與直線對撞機上的雙玻色子產生

在 LHC 上通過規范雙玻色子產生過程研究量子可觀測量在量子三比特系統中的測量潛力，已在文獻 [67, 69, 74] 中通過考察以下過程進行了探索：

這些末態可通過電弱過程在連續的雙玻色子不變質量譜上產生。相應的樹圖層次部分子能級費曼圖如圖4所示。

在文獻 [69] 中，雙玻色子系統的極化密度矩陣已在標準模型框架內通過解析方法推導得出，所用方法詳見第 2.5.2 節。相比之下，文獻 [67] 則通過雙玻色子衰變的事例模擬，采用第 2.6.2 節所述方法重構了相同的密度矩陣。

雙玻色子系統的極化密度矩陣可利用蓋爾-曼基底分解構建，如公式 (21) 所述。特別地，類比于頂夸克對產生中量子比特系統的公式 (71)，我們得到關聯系數 h?? 為：

其中 {a, b} ∈ {1, …, 8}，m?? 表示雙玻色子末態的不變質量，Θ 是其質心系中的散射角。簡寫符號 A^(q q?) 表示該過程自旋求和后的平方振幅，而 h??? = A^(q q?) h??。函數 L^(q q?)(τ) 是夸克部分子亮度函數，定義于公式 (70) 中。對于極化系數 f? 和 g?，存在類似的表達式。函數 h??、f?、g? 已在文獻 [69] 中計算得出，其解析表達式可參見文獻 [31, 69]。

量子三比特的量子糾纏和貝爾不等式違背由可觀測量 ?? 和 ?? 刻畫，其定義分別見公式 (24) 和公式 (27)。對于 ??，應用了最大化程序 [69]，如第 2.4 節所討論。

在圖5和圖6中，我們展示了根據文獻 [69] 得到的 WW 和 ZZ 產生過程中，可觀測量 ?? 和 ?? 在 (m??, cosΘ) 平面上的等高線圖。WZ 產生的結果未予展示，因為文獻 [69] 中的分析發現在相關運動學區域，貝爾不等式違背與零假設相比無顯著偏離——盡管糾纏的存在仍是一個值得探索的可能性 [67, 69]。

在 LHC 上對雙玻色子產生的蒙特卡洛模擬已在文獻 [67, 75] 中完成，使用了 MADGRAPH5_AMC@NLO [135]，并納入了自旋關聯、相對論效應以及布雷特-維格納傳播子。事件在領頭階下生成，質心能量為 13 TeV，重點關注四輕子末態。與解析預測一致，在 WW 和 ZZ 通道中，當散射角較大且不變質量高于 400 GeV 時，預計會出現糾纏。然而，即使在高亮度（3 ab?1）條件下，一旦計入統計不確定性，預計不會出現顯著的貝爾不等式違背。

關于 W?W? 產生，在文獻 [69] 中表明，貝爾不等式的違背發生在比 LHC 情況更寬的運動學變量范圍內，且其幅度更大，而理論不確定性可忽略不計。另一方面，在 ZZ 產生的情況下，貝爾不等式違背發生的運動學變量范圍與 LHC 情況大致相當。這些分析基于使用 MADGRAPH5 在領頭階計算的相關截面，并將事件數按輕子識別效率進行縮放——保守地假設每個輕子的識別效率為 70%，與 LHC 情況相同。

考慮到輕子（和繆子）對撞機在 √s = 1 TeV 和未來圓形對撞機（FCC-ee）在 √s = 368 GeV 的基準質心能量下，文獻 [69] 表明：對于 WW 雙玻色子，未來的繆子對撞機 [145] 和 FCC-ee 均能達到 2σ 顯著性水平以拒絕零假設 ?? ≤ 2。另一方面，對于 ZZ 雙玻色子產生，繆子對撞機同樣達到 2σ 顯著性，而 FCC 由于其更大的事例產額，可超越 4σ 顯著性 [69]。

3.4.1 希格斯衰變至 WW* 和 ZZ*

我們在此考慮由 LHC 上通過共振希格斯粒子 (h) 衰變產生的弱雙玻色子 s 通道共振所形成的雙量子三比特系統：

其中 V ∈ {W, Z}，V* 表示一個離殼矢量玻色子。

對該系統的第一項研究是在文獻 [66] 中進行的，其中在 h → WW* 衰變中研究了糾纏和貝爾不等式的違背。極化密度矩陣是通過 W 衰變中帶電輕子的角分布，利用蒙特卡洛模擬重構得到的。

隨后對同一衰變道的分析出現在文獻 [146–148] 中。該研究隨后擴展至希格斯衰變為兩個中性規范玻色子 ZZ，最初見于文獻 [67, 68]，后在文獻 [75] 中進一步探討。在文獻 [69] 中獲得了 WW* 和 ZZ* 產生過程的可比較結果，其中采用了在螺旋基底下兩個規范玻色子的極化密度矩陣的解析表達式。

下文我們將總結文獻 [69] 中所呈現的標準模型預測的主要解析結果。

為方便起見，離殼玻色子可被近似為一個具有有效質量的在殼粒子，其有效質量由下式給出：

并滿足條件 Tr[ρ?] = 1，該條件源于關系式 4(h?? + h??) = 1。在這些假設下，僅剩下兩個獨立系數。公式 (88) 中 h?? 的解析表達式可在文獻 [69] 中找到。與公式 (88) 相同的自旋密度矩陣已在文獻 [68] 中用張量分量 T?? 表示計算得出，其關聯系數與公式 (88) 中的系數通過以下關系關聯：

其中系數 C?,?,?,?? 和 C?,?,?,?? 在公式 (23) 中定義。

公式 (88) 中的密度矩陣代表一個純態，這可以通過條件 ρ2 = ρ 來驗證。然而需要強調的是，這種純態僅在離殼規范玻色子的不變質量取固定值時才成立。隨后，在假設雙玻色子系統由純態描述的前提下，可通過公式 (4) 定義的糾纏熵來測量其糾纏度。

圖7和圖8分別展示了 WW* 和 ZZ* 衰變的糾纏熵 ? 以及最大化的貝爾算符值 ?? [69]。對 ?? 的最大化（僅依賴于 M?*）通過公式 (28) 的幺正旋轉逐點進行。在最后幾個能區（Mw* = 40 GeV，Mz* = 32 GeV）中取得最大值的幺正矩陣已在文獻 [69] 中給出。

過程 h → WW* 最初在文獻 [66] 中使用 MADGRAPH5_AMC@NLO 進行模擬，并包含了完整的自旋關聯和相對論效應。僅考慮了輕子衰變道，并以貝爾算符 ?? 作為優化目標。

在笛卡爾平面內進行優化。由于末態包含兩個中微子，靜止系重構存在不確定性：根據動量彌散情況，貝爾違背的顯著性在 140 fb?1 積分亮度下從約 5σ 到 1σ 不等。后來在文獻 [148] 中研究了半輕子衰變道 h → jj?ν?，其中 c 標記可降低不確定性，但巨大的 WW* 背景仍是主要限制因素。

對于 h → ZZ*，使用張量基底 [68] 和蓋爾-曼基底 [67] 的模擬顯示情況更為清晰：無中微子、精確的靜止系重構以及低背景。利用 MADGRAPH5_AMC@NLO，貝爾算符基底被明確確定，在 3 ab?1 積分亮度下預計可達 4.5σ 顯著性，使該通道成為弱玻色子衰變中最有望檢驗貝爾不等式的通道。所有基于蒙特卡洛模擬的 WW* 和 ZZ* 結果均與文獻 [69] 中估計的顯著性一致。

3.4.2 矢量玻色子融合

我們通過總結文獻 [70] 中關于通過矢量玻色子融合（vector-boson fusion）過程產生雙玻色子的研究來結束本節。

其中計算了相應的樹圖層次標準模型振幅。該機制導致不同的末態構型：兩個量子比特（光子）、一個量子比特與一個量子三比特（光子與大質量規范玻色子），或兩個量子三比特（大質量規范玻色子）。分析聚焦于糾纏和貝爾不等式違背。盡管糾纏程度依賴于相空間區域，但大多數通道展現出相似水平的糾纏，唯獨 ZZ → ZZ 通道中的糾纏被強烈壓低。在此框架下，可通過在選定的相空間區域內計算相應貝爾算符的期望值來實施貝爾不等式檢驗，詳見文獻 [70]。

3.4.3 利用糾纏探測新物理

糾纏及量子可觀測量在探測希格斯粒子與大質量規范玻色子之間非標準耦合方面的潛力已在文獻 [73, 75] 中進行了研究，其中考慮了希格斯玻色子 h 與規范玻色子 W± 和 Z 之間最一般的洛倫茲不變相互作用拉格朗日量（見下式）：

其中，V?? 是規范玻色子 V = W 或 Z 的場強張量，??? = ? ε??ρσ Vρσ 是其對應的對偶張量。反常耦合 ?? 通過與標準模型貢獻的干涉，標志著 CP 對稱性的破缺。

文獻 [73] 中利用一個對密度矩陣反對稱部分敏感的可觀測量 ??dd = ? Σ? <? |h?? - h??| 以及公式 (4) 定義的糾纏熵，研究了對這些耦合的限制。在 95% 置信水平下進行了 χ2 檢驗，其不確定性由 pp → h w?ν? [149] 和 z???? [150] 過程中的希格斯質量測量結果估算得出。這些誤差被作為重建希格斯靜止系及由此導致的規范玻色子極化不確定性的代理，通過蒙特卡洛方法在實驗允許的 mh 變化范圍內傳播至各可觀測量。該分析的主要結果已在表2中總結，分別對應 lhc run2 和高亮度 lhc（hi-lumi）基準亮度 ?="3" fb?1 ab?1。< pan>

3.5 τ 輕子對產生

τ 輕子對糾纏的研究最初在 LEP 上提出 [38]，后擴展至 LHC [71] 和 SuperKEKB [64]。在 LHC 上，極化密度矩陣的計算方式與第 3.3 節中頂夸克情形類似，主要產生機制為德雷爾-彥過程：夸克湮滅為 s 通道的光子或 Z 玻色子，隨后衰變為 τ 對。相應的樹圖層次費曼圖可通過將圖2中 s 通道膠子傳播子替換為光子或 Z 玻色子得到。

在 SuperKEKB 上，其質心能量為 √s = 10 GeV，τ 輕子對的產生主要由單光子交換圖主導。SuperKEKB 上 τ 輕子對產生過程中的量子糾纏性質和貝爾不等式違背已在文獻 [64] 中進行了研究。研究表明，由于 SuperKEKB 提供了巨大的事例樣本和異常干凈的實驗條件，該裝置為研究糾纏和貝爾不等式違背提供了極佳的環境。在此情況下，預期的糾纏度 ? 和貝爾不等式關聯量 m?? 均可表示為緊湊的解析形式 [64]：

在 SuperKEKB 上，糾纏度 ?[ρ] 和貝爾不等式關聯量 m?? 的最大值均出現在散射角接近 π/2 時，如圖9所示。

在文獻 [64] 中，使用 MADGRAPH5_AMC@NLO [135] 在領頭階模擬了 2 億個 e?e? → τ?τ? 事例，并用 PYTHIA [136] 處理部分子簇射、強子化及 τ 衰變。所有相關的 τ 衰變道均被納入分析，結果在真值層次和考慮探測器效應后均進行了研究。該分析預測，在與 Belle II 實驗相當的數據量下，糾纏和貝爾不等式違背的顯著性將超過 5σ。

τ 輕子對中的量子糾纏和貝爾不等式違背也已在共振希格斯衰變過程中得到研究 [71, 151, 152]。

由于末態源自一個標量粒子的衰變，自旋系統應處于純態。根據希格斯玻色子與費米子的湯川耦合相互作用，末態 τ 輕子對的自旋關聯矩陣為 [71]：

在公式 (44) 定義的 {n?, r?, k?} 基底下定義。這導致最大糾纏度，C[ρ] = 1，且 m?? = 2，意味著貝爾不等式被最大程度地違背。

希格斯玻色子衰變為 τ 輕子對的過程已在文獻 [151] 和 [152] 中通過蒙特卡洛模擬進行了分析，研究背景為未來 e?e? 對撞機上的 HZ 伴隨產生——與強子對撞機中的 s 通道產生相比，該過程更易于重構末態。在文獻 [151] 中，預測在國際直線對撞機（ILC）[153] 和 FCC-ee 上，糾纏效應可觀測性將超過 5σ。在 ILC 上預計不會出現貝爾不等式違背，但在 FCC-ee 上應能達到約 3σ；另一方面，對于圓形正負電子對撞機（CEPC）[154, 155]，預期顯著性僅為約 1σ [152]。

3.5.1 利用糾纏探測新物理

τ 輕子對糾纏對新物理的敏感性已在夸克與 τ 輕子之間的接觸相互作用框架下 [71] 以及希格斯玻色子耦合的 CP 性質研究中 [71, 151] 得到探索。

關于接觸相互作用，這些效應可在 LHC 上進行探測。文獻 [71] 表明，糾纏在高能區對新物理效應最為敏感，最優區域被確定為 m??? > 800 GeV 且散射角接近 π/2，在此區域內可獲得足夠多的事例且新物理效應顯著。在此能區，標準模型與 Λ = 25 TeV 的新物理之間的相對差異可達約 70%。在高亮度 LHC 上，對于此類接觸相互作用，標準模型可被以 2.7σ 的顯著性排除，這與當前對四費米子算符的限制一致 [129]。

關于希格斯玻色子的 CP 性質，文獻 [151] 的作者考慮了 e?e? 對撞機上 Z h 伴隨產生過程，并在隨后的衰變 h → τ?τ? 中考察了一般相互作用拉格朗日量：

文獻 [151] 中已使用 MADGRAPH5_AMC@NLO 對兩個基準對撞機——ILC 和 FCC-ee——進行了蒙特卡洛分析，通過利用單道衰變 τ? → π?ν? 和 τ? → π?ν?? 來重構 τ 輕子對的極化密度矩陣 C??。在 90% 置信水平下，對參數 δ 得到的限制區間為：?10.89° ≤ δ ≤ 9.21°（ILC）和 7.36° ≤ δ ≤ 7.31°（FCC-ee），這些結果與傳統分析方法所獲得的限制相當 [156]。

4 展望

對撞機上量子糾纏與貝爾不等式違背的研究已從理論探討邁入實驗可及的領域。LHC 和 BESIII 的最新測量結果已在頂夸克對、B 介子衰變和粲偶素態中提供了糾纏的直接證據，從而將量子非定域性檢驗拓展至比傳統光學實驗高出多個數量級的能量尺度。這些成果證實，量子信息概念可以切實地嵌入高能物理的理論框架之中。

展望未來，多個有前景的方向正在浮現。首先，對撞機實驗精度的不斷提升將使我們能夠系統性地研究更廣泛過程中的糾纏現象，包括雙玻色子產生和希格斯衰變。其次，發展針對對撞機可觀測量量身定制的量子層析技術，對于從背景效應中分離出真實的量子關聯至關重要。第三，對糾纏敏感的可觀測量可能為探索超出標準模型的新物理提供全新探針，特別是在涉及 CP 破壞、接觸相互作用或非標準希格斯耦合的情形中。

總之，量子信息與高能物理的交叉正在開辟一個新前沿：對撞機實驗不僅為檢驗量子力學的基本原理提供了獨特平臺，也豐富了探索新物理現象的唯象學工具箱。理論、實驗與量子信息科學之間的持續協同，有望將這一新興領域轉變為未來對撞機計劃的核心組成部分。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2509.07585