北大韋東奕等SCM論文解決了菲爾茲獎得主 Lions 提出的密度斑塊問題

郝田田，邵鋒，韋東奕，章志飛

摘要

我們在非常一般的假設下構造了二維非勻質Navier-Stokes方程的一類全局強解，其中初始密度僅假設有界，初始速度屬于 。在對初始密度進行適當額外假設(包括密度斑塊和真空氣泡情形)后，我們證明了Lions弱解與具有相同初值的強解相同。特別地，這完全解決了菲爾茲獎得主Lions(1996)提出的密度斑塊問題：對于密度斑塊初值 (其中 為光滑有界區域)，Lions弱解在演化過程中保持 的正則性。

研究背景

故事要從1996年講起。法國數學家、菲爾茲獎得主Pierre-Louis Lions在其經典著作[5]中，系統地研究了非勻質Navier-Stokes方程：

與經典的常密度Navier-Stokes方程不同，這個方程組描述了密度分布不均勻的不可壓縮粘性流體，其演化同時受控于速度的輸運—擴散與密度的純對流，結構更為復雜。Lions證明了對于 ， ，該方程整體弱解的存在性。

自然地，他提出這樣一個深刻的問題：

“假設初始密度 是一個光滑區域 的特征函數，即 ，這意味著流體是一塊密度均勻的‘斑塊’，周圍是真空(或者內部有真空氣泡)。書中定理2.1保證至少存在一個整體弱解。那么，一個很自然的問題是：區域 的正則性(例如邊界的光滑性)是否會隨時間演化而保持？”

這就是著名的“Lions密度斑塊問題”。它類似于流體力學中另一個經典問題——二維Euler方程的“渦塊”問題，后者由法國科學院院士Chemin在1993年解決[1]。

在Lions提出問題后的二十多年里，許多數學家都在嘗試攻克它。解決這個問題的核心難點在于，初始密度是間斷的，可以取 和 兩個值(即允許真空出現)，這對解的正則性理論構成了巨大挑戰。

在眾多努力中，中國科學院數學與系統科學研究院的張平院士與其合作者廖嫻的工作尤為關鍵。2019年，他們在Communications on Pure and Applied Mathematics上發表了關于二維密度斑塊的重要成果[4]。他們證明了，對于正密度跳躍的情況(即 ，其中 )，強解的斑塊邊界正則性可以得到保持。盡管[4]沒有觸及Lions弱解，這一工作仍為最終解決Lions的原版問題奠定了堅實的基礎，并首次揭示了這類問題與輸運方程、流映射正則性之間的深刻聯系。

然而，對于原版Lions問題中 的情況(即流體區域外是完全真空)，依然需要一些額外的技術假設，比如對初始速度施加一個很強的“相容性條件”[6]。Lions提出的原始問題——在沒有任何額外假設下， 時弱解是否保持邊界正則性——依然懸而未決。

主要結果

我們發表在 Science China Mathematics 的論文[2]主要證明了以下結果。

1. 構建了極其一般條件下的整體強解

首先，我們在沒有任何相容性條件的假設下，證明了只要初始密度 且不恒為零，初始速度 ，那么二維非勻質Navier-Stokes方程就存在整體強解。

1. 證明了Lions弱解與強解的唯一性，徹底解決密度斑塊問題

在此基礎上，如果初始密度 滿足以下兩個非常寬松的條件之一：

(H1) 具有緊支集(例如，一個有限的密度斑塊)；

(H2) 在任何固定的球內都有均勻的正質量(例如，允許有可數無窮多個大小相同的真空氣泡)。

那么，我們證明了“弱強唯一性”：由Lions構造的整體弱解，與本文構造的整體強解是完全相同的。這個結論至關重要，因為強解具有更好的正則性，其密度由初始密度沿著速度場的流映射輸運得到，即 。由此，我們得到了一系列漂亮的推論，徹底回答了Lions的提問：

推論. 對于初始密度為 或者 的密度斑塊( 是一個具有 邊界的有界區域，其中 )，Lions意義下的弱解是唯一的，并且滿足 ，其中 。更重要的是， 的邊界與初始區域 一樣光滑(即保持 正則性)。

這意味著，即使流體內部存在真空，密度不連續的分界面也會像一個被拉拽的光滑曲面一樣，始終保持其光滑性，而不會產生新的奇點。這正是對Lions問題的完美解答。

我們在論文[2]中發展的方法和思想具有高度普適性，引發了大量后續相關研究。在近期發表于International Mathematics Research Notices的論文[3]中，我們解決了Lions在他的專著[5]中提出的另一個公開問題：在臨界框架下，二維非勻質Navier-Stokes方程的Lions弱解在初始密度遠離真空情形下的唯一性。同時，我們在論文[3]中首次將Fujita-Kato小初值理論完整推廣至三維非勻質Navier-Stokes方程。

【參考文獻】

[1] Chemin J-Y. Persistance de structures geometriques dans les fluides incompressibles bidimensionnels. Ann Sci Ecole Norm Sup (4), 1993, 26: 517--542

[2] Hao T T, Shao F, Wei D Y, et al. On the density patch problem for the 2-D inhomogeneous Navier-Stokes equations. Sci. China Math., 2026, 69, https://doi.org/10.1007/s11425-025-2505-y

[3] Hao T T, Shao F, Wei D Y, et al. Global well-posedness of inhomogeneous Navier-Stokes equations with bounded density. Int. Math. Res. Not. IMRN 2025, Paper No. rnaf283, 26 pp

[4] Liao X, Zhang P. Global regularity of 2D density patches for viscous inhomogeneous incompressible flow with general density: low regularity case. Comm. Pure Appl. Math., 2019, 72: 835--884

[5] Lions P-L. Mathematical topics in fluid mechanics, volume 1, Incompressible models. Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications, vol. 3. Oxford: Clarendon Press, 1996

[6] Prange C, Tan J. Free boundary regularity of vacuum states for incompressible viscous flows in unbounded domains. To appear in Amer. J. Math.; arXiv:2310.09288, 2023

作者簡介

郝田田，山東大學數學學院助理研究員。主要研究興趣為偏微分方程，尤其是流體力學方程的適定性理論。2025年加入山東大學數學學院。

邵鋒，北京大學2021級基礎數學專業直博生，研究方向為偏微分方程。

韋東奕，北京大學數學科學學院長聘副教授、研究員、博士生導師。韋東奕研究員的研究聚焦于偏微分方程的數學理論，在流體力學方程、非線性波動方程、奇點分析與穩定性問題等領域取得了具有國際影響力的研究成果。

章志飛，北京大學數學科學學院博雅特聘教授、博士生導師。章志飛教授的研究專注于偏微分方程的理論領域，尤其在流體動力學方程的適定性理論、液晶的數學理論以及流動穩定性與邊界層的數學理論等方面取得了卓越成果。

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來源：中國科學數學

（本文編輯：劉四旦）

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