我們能知道所有的數(shù)學(xué)真理嗎？

在數(shù)學(xué)中，我們通常相信一件看似理所當(dāng)然的事：對(duì)于一個(gè)命題，只要通過(guò)嚴(yán)格的推導(dǎo)把它證明出來(lái)，那么我們就相信它是真的。既然如此，我們能否知道所有的數(shù)學(xué)真理，或者說(shuō)是否所有的數(shù)學(xué)真理都能被證明？這一信念背后其實(shí)隱藏著一系列關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的更深刻的問題——什么是數(shù)學(xué)證明？如何選擇公理？是否存在一套完備的推理規(guī)則？等等。數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家試圖以形式化的方式回答這些問題，希望用一套明確的公理與推理規(guī)則刻畫所有可能的數(shù)學(xué)證明，從而為整個(gè)數(shù)學(xué)建立堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。但出人意料的是，對(duì)這一計(jì)劃的深入研究最終揭示了一個(gè)現(xiàn)實(shí)：我們對(duì)數(shù)學(xué)真理的把握有著本質(zhì)上的限制，而這種限制來(lái)自數(shù)學(xué)本身。本文也將以此為線索，對(duì)邏輯學(xué)作一個(gè)簡(jiǎn)要介紹。

撰文|葉凌遠(yuǎn)

“ Ignoramus et ignorabimus ”， 我們不知道 ， 我們永遠(yuǎn)不會(huì)知道。

這是德國(guó)生理學(xué)家 Emil du Bois-Reymond 在其 1872 年出版的著作《 關(guān)于自然知識(shí)的限制 》 （ über die Grenzen des Naturerkennens ） 中寫下的拉丁語(yǔ)格言。這句格言表明了對(duì)于科學(xué)發(fā)現(xiàn)的態(tài)度 ：我們能夠發(fā)現(xiàn)的科學(xué)知識(shí)在本質(zhì)上是受局限的。1900年，新世紀(jì)之初，國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在巴黎舉行。在會(huì)上，大衛(wèi) · 希爾伯特（David Hilbert）堅(jiān)定地反對(duì)了面對(duì)科學(xué)探索如此消極的態(tài)度。他發(fā)表了如下這番話：

“每一個(gè)數(shù)學(xué)問題都可以被解決，這種信念是對(duì)研究者的一種強(qiáng)大激勵(lì)。我們?cè)趦?nèi)心不斷聽到這樣的召喚：?jiǎn)栴}就在這里，去尋求它的解答吧，你可以憑借純粹的理性找到它。因?yàn)閿?shù)學(xué)中不存在 ignorabimus”。

三十年后，希爾伯特更是喊出了如下更鏗鏘有力的口號(hào)：“ Wir müssen wissen - wir werden wissen ”，我們必須知道，我們終將知道。我相信，這種對(duì)認(rèn)知數(shù)學(xué)真理的堅(jiān)定信念仍是大部分?jǐn)?shù)學(xué)工作者所認(rèn)同的。

然而，我們真的能 知道 所有的 數(shù)學(xué)真 理嗎？甚至，我們真的有辦法明確地回答這個(gè)問題，而不僅僅是淪為不同信仰的爭(zhēng)吵嗎？本文對(duì)邏輯學(xué)的介紹便會(huì)圍繞這一問題展開。作為一些劇透，我想在本文的最后讓讀者了解，希爾伯特對(duì)數(shù)學(xué)求索的設(shè)想可能過(guò)于樂觀了——我們對(duì)數(shù)學(xué)真理的把握有著本質(zhì)上的限制：這種限制無(wú)關(guān)乎人類的智力或創(chuàng)造力，它是數(shù)學(xué)作為一項(xiàng)嚴(yán)格的事業(yè)所必須要面臨的局限。

什么是數(shù)學(xué)證明？

要回答“我們能否知道所有的數(shù)學(xué)”這個(gè)問題，最關(guān)鍵一點(diǎn)是明確我們獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的途徑。而數(shù)學(xué)的特殊之處在于，獲得數(shù)學(xué)真理本質(zhì)上只有一種方式：通過(guò) 證明 ！因此，理解何為數(shù)學(xué)證明便是我們回答這一問題的最佳切口。

數(shù)學(xué)和哲學(xué)一樣，是人類智力活動(dòng)中最古老的領(lǐng)域之一。在古希臘，證明幾乎可以看作一種修辭，用于在對(duì)話中說(shuō)服他人相信某個(gè)命題。這一點(diǎn)在柏拉圖的對(duì)話體寫作中體現(xiàn)得尤為明顯，《美諾篇》（ Meno ）更是在一般意義上探討了人類如何獲取知識(shí)這一問題。我們?cè)诖瞬徽撌鲞@一更一般的哲學(xué)問題，但引用其中提到的一個(gè)具體例子。

蘇格拉底詢問一個(gè)奴隸，如果想要把一個(gè)正方形的面積擴(kuò)大兩倍，其邊長(zhǎng)需要擴(kuò)大多少倍？奴隸的第一反應(yīng)是，需要變成原本的兩倍。蘇格拉底按照他的回答在沙地上用木棍畫出了下圖左邊的圖案。由此，奴隸便明白了，依照他的回答，正方形的面積會(huì)變?yōu)樵镜乃谋?。蘇格拉底隨后又在該圖形上添加了四條對(duì)角線，如下圖右所示。

由于每條對(duì)角線都把四個(gè)小正方形分割成了面積相等的兩份，中間構(gòu)成的正方形其面積也會(huì)是外部大正方形面積的二分之一，即為原本小正方形面積的兩倍。蘇格拉 底通過(guò)這樣的對(duì)話說(shuō)服了奴隸這一事實(shí)：若要把正方形的面積變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，其邊長(zhǎng)需要變?yōu)槿缟嫌覉D中對(duì)角線的長(zhǎng)度。整個(gè)對(duì)話便構(gòu)成了一個(gè)“證明”。[1]

現(xiàn)代數(shù)學(xué)意義上的證明可以說(shuō)是從歐幾里得開始的。歐幾里得的《幾何原本》以定義-公理-定理的順序展開，構(gòu)建了許多幾何和數(shù)論的結(jié)論。毫不夸張地說(shuō)，歐幾里得的書寫影響了之后兩千多年人類探索數(shù)學(xué)的方式：數(shù)學(xué)要從解釋所使用的術(shù)語(yǔ)的定義和預(yù)設(shè)的公理開始，根據(jù)邏輯推演得出結(jié)論。同時(shí)，古希臘時(shí)期人們已經(jīng)意識(shí)到這就是證明的一般結(jié)構(gòu)。亞里士多德在其 《后分析 篇 》（ Analytica Posteriora ）中已經(jīng)提到：演繹科學(xué)圍繞著一些無(wú)需進(jìn)一步解釋即可理解的基本概念，和一些被視為理所當(dāng)然的基本真理或公理而構(gòu)建。已定義的概念和定理都被簡(jiǎn)化為這兩者，后者是通過(guò)證明實(shí)現(xiàn)的。

依照這一范本，數(shù)學(xué)獲得了驚人的發(fā)展——即使語(yǔ)言不通，不同地區(qū)的數(shù)學(xué)家們?nèi)匀荒軌蛳嗷ダ斫獠⒄J(rèn)可彼此的定義、公理以及推演步驟，在歷史的長(zhǎng)河中不斷推進(jìn)人類對(duì)數(shù)學(xué)的理解。初學(xué)者可以通過(guò)閱讀與模仿習(xí)得這樣的技巧，隨后發(fā)揮自己的聰明才智發(fā)明新的定義、證明新的定理，從而推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。

然而，能夠?qū)懴聰?shù)學(xué)證明并不意味著對(duì) 證明本身 有了完整 的 理解。要描述 所有 可能的數(shù)學(xué)證明，我們所面臨的是如何理解證明的一般結(jié)構(gòu)中所出現(xiàn)的幾個(gè)要素：

1. 如何確定數(shù)學(xué)的基本概念？

2. 如何選取公理？

3. 推理的規(guī)則有哪些？

若仔細(xì)想想，這幾個(gè)問題的答案都不是顯然的。很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，數(shù)學(xué)定義要么依賴于之前已經(jīng)定義好的術(shù)語(yǔ)，要么必須超出數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，依賴于人們對(duì)某些基本概念的 直觀 。例如，在《幾何原本》中，歐幾里得將“點(diǎn)”定義為“沒有部分的事物”，而后者并沒有更進(jìn)一步的闡釋，而是默認(rèn)了讀者對(duì)此有足夠的直觀理解該定義的內(nèi)涵。顯然，我們也不能一直通過(guò)引入別的概念來(lái)解釋現(xiàn)有的定義——否則就會(huì)陷入無(wú)窮盡的循環(huán)。那么，哪一個(gè)或哪些概念能夠作為其他一切概念定義的基礎(chǔ)呢？對(duì)于選定的基本概念，要選擇哪些自然的事實(shí)作為公理？要使得所選的基本概念和公理能夠囊括 所有 的數(shù)學(xué)證明，這是一件不容易的事。

其次，哪些推理規(guī)則是可以在證明中使用的？我們很容易列舉出一些常見的推理規(guī)則，比如“若A推出B，且B推出C，則A推出C”，或者“若A推出C，B也推出C，則（A或B）能推出C”。歷史上許多哲學(xué)家都研究過(guò)可行的推理規(guī)則，早期有亞里士多德著名的“三段論”，中國(guó)的墨家也對(duì)推理有相關(guān)的敘述。要完整地理解什么是一個(gè)數(shù)學(xué)證明，我們必須列舉出所有可以在數(shù)學(xué)證明中使用的推理規(guī)則。檢查列舉出的推理規(guī)則是否正確，或者說(shuō)是否 有效 ，是比較容易的：若推理的前提為真，則結(jié)論也必須為真?？墒?，如何確保所列舉出的推理規(guī)則是 完全的 ？或者更明確地說(shuō)，如何確保所有 可能 被證明的命題都能夠依據(jù)我們所列舉出的推理規(guī)則演繹得到？回答這個(gè)問題同樣困難。

現(xiàn)代邏輯學(xué)對(duì)上面這些問題都給出了可能的答案。基于此，邏輯學(xué)對(duì)什么是一個(gè)數(shù)學(xué)證明本身給出了一個(gè)可能的嚴(yán)格且完整的描述。在筆者看來(lái)，這是人類對(duì)真理探索——至少是數(shù)學(xué)真理探索——旅程上一個(gè)重要的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，它標(biāo)志著我們將探索真理這項(xiàng)活動(dòng)本身也納入了理性檢驗(yàn)的范疇。

本文之后的內(nèi)容就圍繞著邏輯學(xué)如何回答這幾個(gè)問題展開，為讀者簡(jiǎn)要地介紹邏輯學(xué)的思想。在文章的最后，我們會(huì)回到行文伊始的問題， 在邏輯學(xué)的角度下談?wù)勏柌貙?duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的觀念是否是恰當(dāng)?shù)?。

證明的出發(fā)點(diǎn)：集合

數(shù)學(xué)基于非常簡(jiǎn)單且直觀的基本概念發(fā)展了許多年。幾何學(xué)以點(diǎn)、線、面等基本幾何對(duì)象為基礎(chǔ)，數(shù)論與代數(shù)則基于自然數(shù)，這些概念對(duì)于有立體感官以及計(jì)數(shù)經(jīng)驗(yàn) 的人而言是直接的。隨著數(shù)學(xué)不斷涉及新的復(fù)雜概念，為數(shù)學(xué)對(duì)象尋找一個(gè)嚴(yán)格甚至是統(tǒng)一的基礎(chǔ)變得越來(lái)越重要。首先是微積分，在其發(fā)展的早期，許多計(jì)算與證明都基于對(duì)“無(wú)窮小”以及“連續(xù)體”等概念啟發(fā)式的理解，并不具有嚴(yán)格性。之后復(fù)數(shù)與復(fù)分析的發(fā)展更是讓人們對(duì)于
作為一個(gè)數(shù)字的具體含義感到困惑。礙于篇幅與能力，筆者在此無(wú)法詳細(xì)地整理數(shù)學(xué)中概念的發(fā)展歷程。但這一節(jié)想要說(shuō)明的是，到了十九、二十世紀(jì)，在戴德金、康托等數(shù)學(xué)家的努力下，以一個(gè)單獨(dú)的概念為基礎(chǔ)統(tǒng)一 所有 的數(shù)學(xué)定義變得可能了，這個(gè)概念就是 集合 。

一個(gè)集合直觀上就是一些元素所構(gòu)成的整體。集合之間最基本的關(guān)系就是 集合之間的屬于 關(guān)系，數(shù)學(xué)家用 x∈y 來(lái)表明 x 是 y 的 一個(gè)元素，每個(gè)集合都由其 內(nèi) 的 元素 唯一確定。直觀上，集合之間存在許多自然的操作：最簡(jiǎn)單的集合是 空集 ? ，即不包含任何元素的集合；給定一些集合，我們能將它們的元素并在一起構(gòu)成一個(gè)新的集合，等等。從空集出發(fā)，我們能定義自然數(shù)，例如將 0 看作空集 ? ，1 看作只包含 0 這一個(gè)元素的集合，通常記作 {0} ；2 看作包含0，1兩個(gè)元素的集合，記作 {0,1} ， 以 此類推。這樣，每個(gè)自然數(shù)所包含的元素個(gè)數(shù)即為該自然數(shù)本身。

或許最精彩的構(gòu)造是戴德金用集合的語(yǔ)言對(duì)實(shí)數(shù)的定義：一個(gè)實(shí)數(shù)可以看作是對(duì)有理數(shù)集某種特別的“分割”，被稱為戴德金分割。實(shí)數(shù)由此便可看作是對(duì)有理數(shù)集分割的集合。從自然數(shù)和實(shí)數(shù)出發(fā)，用集合論的語(yǔ)言就能夠清晰地描述代數(shù)與幾何中的基本概念。同時(shí)，在以柯西為代表的數(shù)學(xué)家們工作的基礎(chǔ)上，集合論的語(yǔ)言也為微積分、復(fù)數(shù)等近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的復(fù)雜概念提供了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。

至此，數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域看似不同類別的對(duì)象都能夠統(tǒng)一地用集合的語(yǔ)言描述。這是數(shù)學(xué)一次巨大的理念革新，意味著我們找到了一個(gè)可能的基本概念： 所有其余的數(shù)學(xué)定義都基于集合這一基本概念，而所有的數(shù)學(xué)證明都可以從有關(guān)集合的定義與公理出發(fā)，依照嚴(yán)格的推理完成。

集合的公理

然而，這一理念革新潛藏著危機(jī)——對(duì)于集合，應(yīng)當(dāng)選擇什么樣的公理？在數(shù)學(xué)發(fā)展的初期，當(dāng)人們?nèi)砸曰镜膸缀螌?duì)象或自然數(shù)作為基本概念時(shí)，有關(guān)它們的公理 或多或少是顯然的：我們有足夠的直觀能夠直接地判斷一個(gè)關(guān)于基本幾何對(duì)象或自然數(shù)的命題是否正確。例如，歐幾里得在《幾何原本》中列出的五條幾何的基本公理，或是自然數(shù)的歸納公理，這些在直觀上都是 顯然 的：我們能直觀上驗(yàn)證這些公理的正確性，并且往往從這些簡(jiǎn)單且基本的公理出發(fā)，我們能夠證明大部分有關(guān)幾何與自然數(shù)的基本事實(shí)。

某種意義上說(shuō)，我們對(duì)集合仍具有良好的直觀。但是，對(duì)于集合直觀的簡(jiǎn)單運(yùn)用卻會(huì)帶來(lái)矛盾——這就是著名的羅素悖論。羅素悖論基于一個(gè)簡(jiǎn)單的直觀：由于一個(gè)集合只是一系列元素構(gòu)成的整體，任何一個(gè)性質(zhì) P 都應(yīng)能定義一個(gè)集合 {x|Px} ，該集合內(nèi)的元素即為所有滿足性質(zhì) P 的對(duì)象。然而，不加限制地使用這一公理會(huì)導(dǎo)致矛盾：定義 R? { x ?x∈x } ，即 R 為所有自己不屬于自己的對(duì)象所構(gòu)成的集合。根據(jù)其定義， R∈R 當(dāng)且僅當(dāng) ?R∈R ，矛盾。

為了解決這一“數(shù)學(xué)危機(jī)”，在確定有關(guān)集合的公理時(shí)需要更為小心謹(jǐn)慎。本文不再詳述集合論公理具體的發(fā)展歷程了。只是告訴讀者，在以德國(guó)數(shù)學(xué)家恩斯特·策梅洛（ Ernst Zermelo ）和亞伯拉罕·弗蘭克爾（ Abraham Adolf Fraenkel ）以及挪威數(shù)學(xué)家托拉爾夫·斯科倫（ Thoralf Skolem ）的努力下，集合論有了一個(gè)被數(shù)學(xué)界普遍接受的公理化系統(tǒng)，現(xiàn)如今通常被記作 ZFC （ Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choice） 。

在為數(shù)學(xué)提供基礎(chǔ)的層面上，公理集合論取得了巨大的成功：目前數(shù)學(xué)界已經(jīng)普遍認(rèn)可所有已知的數(shù)學(xué)定理都可用集合的語(yǔ)言描述，并從集合論的公理出發(fā)得以證明。換句話說(shuō)，目前 絕大多數(shù) 已知的數(shù)學(xué)都是集合論在 ZFC 公理下的推論。以此看來(lái)，集合論的公理系統(tǒng)無(wú)論如何都是人類探求真理歷史上的一顆明珠。

推理規(guī)則的完全性

此時(shí)，我們剩下的唯一一個(gè)問題就是確定數(shù)學(xué)證明所允許的推理規(guī)則。如前文所言，對(duì)這一問題的研究比集合論要古早得多。不過(guò)，從現(xiàn)代的眼光來(lái)看，兩千多年來(lái)人們都只局限于發(fā)現(xiàn)有效的推理規(guī)則，而沒有對(duì)推理規(guī)則進(jìn)行一般性的研究。范式的轉(zhuǎn)變來(lái)自德國(guó)哲學(xué)家戈特洛布·弗雷格（ Gottlob Frege ）于1879年發(fā)表的重要著作 《概念文字》（ Begriffsschrift ）。弗雷格毫無(wú)疑問是現(xiàn)代形式邏輯的奠基人，他首先構(gòu)造出了一個(gè)現(xiàn)代意義上的形式邏輯系統(tǒng)，清晰地定義了何為一個(gè)數(shù)學(xué)證明。自此之前，沒有人想過(guò)存在一套 完全 的證明原則能夠用于所有可能的數(shù)學(xué)推理：

“所有正確推理所必需的內(nèi)容都已完整表達(dá)，而非必需的內(nèi)容通常不予指出；一切都無(wú)需猜測(cè)?！? （《概念文字》，第3頁(yè)）

我們之前已經(jīng)提到，一個(gè)有效的推理規(guī)則只需要滿足一個(gè)條件：若前提為真，則結(jié)論也必須為真。很顯然，滿足此條件的推理規(guī)則是無(wú)窮多的，因?yàn)槲覀冎恍璋岩阎挠行评硪?guī)則組合在一起就能形成新的有效的推理規(guī)則。弗雷格的工作所具有的劃時(shí)代意義是：我們能夠?qū)懴?有限 多個(gè)基本的推理原則，使得 所有 的有效推理都能由這些基本推理規(guī)則組合而成。我們稱這有限多個(gè)基本推理規(guī)則是 完全的 。這一理念進(jìn)步對(duì)邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的發(fā)展都具有決定性意義。

弗雷格的《概念文字》毫無(wú)疑問開啟了現(xiàn)代邏輯學(xué)的研究，且現(xiàn)在我們知道，他在其中列舉出的推理規(guī)則的確對(duì)于數(shù)學(xué)證明而言是完全的。然而，對(duì)于這一事實(shí)的嚴(yán)格證明還需要許多數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家的努力。事實(shí)上，如何以嚴(yán)格的方式問出這一問題在弗雷格的年代都并不明晰。到1928年，希爾伯特和德國(guó)數(shù)學(xué)家威廉·阿克曼（William Ackermann）在他們的著作《數(shù)理邏輯原理》（ Grundzüge der theoretischen Logik ）中更加嚴(yán)格地問出了證明規(guī)則完全性的問題。這一問題被庫(kù)爾特· 哥德爾 （Kurt G?del ）于1929年在其博士論文中解決，他證明了希爾伯特和阿克曼在上述著作中給出的證明規(guī)則是完全的。

從現(xiàn)代的角度來(lái)看，一套完全的推理規(guī)則由兩部分組成：結(jié)構(gòu)規(guī)則和邏輯連詞的規(guī)則。結(jié)構(gòu)規(guī)則中最重要的是“切 割 規(guī)則”（cut rule），它聲明若有一個(gè)以 A 為前提 B 為結(jié)論的證明，且有一個(gè)以 B 為前提 C 為結(jié)論的證明，則可將這兩個(gè)證明合起來(lái)構(gòu)成一個(gè)以 A 為前提 C 為結(jié)論的證明。而有關(guān)邏輯連詞的規(guī)則則與每個(gè)邏輯連詞的使用方式有關(guān)：每個(gè)連詞都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)規(guī)則，即它的引入規(guī)則和消去規(guī)則。引入規(guī)則規(guī)定了我們?nèi)绾巫C明一個(gè)帶有該邏輯連詞的語(yǔ)句，而消去規(guī)則規(guī)定了如何從帶有這個(gè)邏輯連詞的語(yǔ)句出發(fā)證明新的句子。現(xiàn)代邏輯學(xué)可以證明，結(jié)構(gòu)規(guī)則加上每個(gè)邏輯連詞 對(duì)應(yīng)的引入和消去規(guī)則對(duì)于所有的邏輯推理是完全的。由于數(shù)學(xué)語(yǔ)句中只涉及有限多個(gè)邏輯連詞（合取、析取、否定、蘊(yùn)含、存在、全部），因此證明規(guī)則也是有限的。

至此，我們對(duì)何為一個(gè)數(shù)學(xué)證明就有了一個(gè)清晰且嚴(yán)格的答案：數(shù)學(xué)證明所涉及的基本概念可選為集合和其之間的包含關(guān)系；對(duì)于集合我們有一套完整且確定的公理描述其性質(zhì)；同時(shí)，我們有一套完全的證明規(guī)則，使得在集合論下所有可能的數(shù)學(xué)證明都能從集合論的公理出發(fā)，依照這些有效的推理原則證明得到。我們最后得到的這一系統(tǒng)原則上囊括了自數(shù)學(xué)發(fā)展以來(lái)所寫下的——以及可見的未來(lái)內(nèi)可能寫下的—— 所有 數(shù)學(xué)證明。按照現(xiàn)代邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)的約定，我們把這一整套公理及證明系統(tǒng)記作 ZFC。

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的不完全性

此時(shí)，讓我們回到最開始的問題：我們能否知道所有的數(shù)學(xué)真理？如果我們認(rèn)同人類知道任何數(shù)學(xué)真理的方式只能通過(guò)證明，那該問題就等價(jià)于，是否所有數(shù)學(xué)真理都能被證明？當(dāng)我們確定了數(shù)學(xué)證明所選取的證明系統(tǒng) ZFC，該問題也等價(jià)于問 ZFC 能否證明所有的數(shù)學(xué)真理？

答案是徹底的 否定 ！某種意義上，這是現(xiàn)代邏輯最重要的結(jié)論之一。這一結(jié)論同樣歸功于哥德爾，有意思的是這一結(jié)論同樣來(lái)自于他嘗試回答希爾伯特所提出的另一個(gè)問題：一個(gè)數(shù)學(xué)證明系統(tǒng)能否證明自身無(wú)矛盾？

文章之前提到過(guò)，之所以數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家花了大量的精力嘗試給出集合論嚴(yán)格而確定的公理化，是因?yàn)閷?duì)于一些集合直觀的簡(jiǎn)單運(yùn)用會(huì)立刻導(dǎo)致矛盾。這里未被討論的問題是，那我們?nèi)绾未_定之后所寫下的公理同樣不會(huì)導(dǎo)致矛盾？如果所使用的證明系統(tǒng)能夠推出矛盾，于數(shù)學(xué)而言這顯然是巨大的災(zāi)難。

希爾伯特曾提出了他對(duì)于驗(yàn)證公理證明系統(tǒng)無(wú)矛盾的設(shè)想：我們應(yīng)該能通過(guò)本質(zhì)上“有限”的方法驗(yàn)證所選取的公理-證明系統(tǒng)無(wú)矛盾。哲學(xué)上對(duì)于何為“有限”有很多爭(zhēng)論，但粗略地說(shuō)，我們應(yīng)該能僅僅通過(guò)一些有關(guān)計(jì)數(shù)的原則——這些原則我們應(yīng)該能夠通過(guò)直接計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證——證明所選取的公理系統(tǒng)無(wú)矛盾。由此， 希爾伯特希望 可以毫無(wú)爭(zhēng)議地確定數(shù)學(xué)證明系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生矛盾。

然而，哥德爾的結(jié)論完全推翻了希爾伯特的設(shè)想。即使我們不僅僅局限于“有限”的手段，而將整個(gè) ZFC 作為出發(fā)點(diǎn)，它也無(wú)法證明自身無(wú)矛盾。若我們相信 ZFC 是無(wú)矛盾的——這也是絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)家所相信的——這意味著我們所選取的公理系統(tǒng)無(wú)法證明所有的數(shù)學(xué)真理。這被稱為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的 不完全性 。

讀者自然會(huì)問，這是否是由于我們所選取的公理是不完整的？若所選取的公理不完整，自然而然其無(wú)法證明所有的數(shù)學(xué)真理。事實(shí)上，哥德爾的結(jié)論證明了這不是公理選取多少的問題：只要所選取的公理集是可判定的 （且具有足夠的表達(dá)力） ，即有一個(gè)具體確定的規(guī)則告訴我們一個(gè)數(shù)學(xué)命題是否是一個(gè)公理，最后得到的公理系統(tǒng)都是不完全的。不滿足這一條件的公理系統(tǒng)本質(zhì)上是無(wú)法被數(shù)學(xué)家使用的，因?yàn)槿魺o(wú)法有效地判定一個(gè)語(yǔ)句是否是一個(gè)公理，那如何運(yùn)用公理進(jìn)行數(shù)學(xué)證明呢？因此，我們不可能通過(guò)向 ZFC 增添新的公理的方式得到一個(gè)可用的且能證明所有數(shù)學(xué)真理的公理體系。

結(jié)語(yǔ)

基于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的不完全性，我們?cè)撘允裁礃拥姆绞矫鎸?duì)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)研究呢？許多數(shù)學(xué)家都認(rèn)為，這些結(jié)論對(duì)于具體的數(shù)學(xué)工作是沒有意義的。因?yàn)閿?shù)學(xué)的重點(diǎn)不全在于證明新的定理，一部分也在于加深人類對(duì)理念和現(xiàn)實(shí)世界的理解——而這種理解不是通過(guò)對(duì)定理進(jìn)行形式化地證明，而是通過(guò)創(chuàng)造新的概念、找出看似不同事物之間的關(guān)聯(lián)而取得的。盡管 ZFC 原則上能夠描述所有已知的數(shù)學(xué)證明，但在實(shí)際研究中，集合論就像一把大刀隨意地將數(shù)學(xué)的對(duì)象切碎成末，加工成人類無(wú)法理解的碎片。好的數(shù)學(xué)應(yīng)該是像柏拉圖在《 費(fèi)德魯斯篇 》（ Phaedrus ）中所說(shuō)，要“切在自然的關(guān)節(jié)處”：引入好的概念使得人的理解加深，而不單單是機(jī)械地證明更多定理。

筆者同意這樣的看法，但也認(rèn)為部分?jǐn)?shù)學(xué)家可能沒有意識(shí)到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對(duì)于他們工作的潛在重要性。的確，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家的工作可能不會(huì)超出 ZFC 的能力，但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們必定會(huì)遇見他們推斷為真——事實(shí)上也可能真的為真——但 ZFC 無(wú)法證明的命題。許多人可能會(huì)認(rèn)為這樣的情況不會(huì)出現(xiàn)：數(shù)學(xué)中任何“自然的”命題應(yīng)該都能在 ZFC 中證明。然而，何為一個(gè)“自然”的命題并不清晰。希爾伯特在 1900 年巴黎數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了著名的 23 個(gè)問題，許多問題都深遠(yuǎn)地影響著數(shù)學(xué)之 后一百多年的發(fā)展。其中的第一個(gè)問題有關(guān)康托的“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”，而哥德爾和美國(guó)數(shù)學(xué)家保羅·科恩（Paul Cohen）的工作說(shuō)明該假設(shè)與 ZFC 獨(dú)立 ，即 ZFC 不可證明也不可證否該假設(shè)。

當(dāng)然，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的探討可能無(wú)法對(duì)目前大部分?jǐn)?shù)學(xué)家的日常工作產(chǎn)生幫助，數(shù)學(xué)也的確不應(yīng)該一直局限于對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的探討當(dāng)中，而更應(yīng)該關(guān)注什么樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)更能夠揭示數(shù)學(xué)和自然界的真理。但隨著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，我們有一天一定還會(huì)回到對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的討論中來(lái)，因?yàn)槊總€(gè)數(shù)學(xué)家工作的下一個(gè)問題都可能超出 ZFC 中的證明。那時(shí)，如哥德爾在其職業(yè)生涯后期一直所強(qiáng)調(diào)地那樣，我們會(huì)需要新的公理——甚至是不再基于集合作為基本概念的新的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

注釋

[1] 當(dāng)然，依照現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光，這并不構(gòu)成一個(gè)嚴(yán)格的證明。不過(guò)有趣的是，現(xiàn)代邏輯學(xué)對(duì)證明的其中一種解釋是博弈語(yǔ)義，它可以看作將證明理解為對(duì)話的理論基礎(chǔ)。只不過(guò)對(duì)話的對(duì)象變成了抽象的“上帝”：如果你能說(shuō)服上帝某個(gè)命題為真，那顯然你就證明了它，否則全知全能的上帝一定能舉出反例！

來(lái)源：返樸

編輯：可去奇點(diǎn)

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