探秘遺失的對(duì)稱性：南印度泰米爾人地畫

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

泰米爾許多傳統(tǒng)的門庭地畫都是由一個(gè)封閉的、光滑的、精細(xì)的圖案而成。對(duì)泰米爾圖案的調(diào)查表明，這些圖案不符合他們的文化標(biāo)準(zhǔn)，因?yàn)樗鼈冇蓛蓷l、三條或更多的重疊閉合路徑組成，這些設(shè)計(jì)是由單一“永不結(jié)束”的線條組成的原本更對(duì)稱的圖案的“退化”版本。可能的原始版本已經(jīng)改變。

泰米爾門庭地畫設(shè)計(jì)

在瑪加利收獲月(12月中旬至1月中旬)，南印度的泰米爾婦女每天早上都會(huì)在家門口畫圖案。瑪格利節(jié)是各種傳染病都會(huì)發(fā)生的月份。他們的設(shè)計(jì)是為了安撫統(tǒng)治瑪加利的濕婆神。

為了準(zhǔn)備他們的繪畫，婦女們掃一小塊大約一碼寬的土地，在上面撒上水或涂上牛糞。在干凈潮濕的表面上，他們用等距的圓點(diǎn)組成一個(gè)矩形參考系。然后形成設(shè)計(jì)的曲線是用手指夾住米粉，當(dāng)手朝著想要的方向移動(dòng)時(shí)，通過輕微的移動(dòng)，讓米粉掉出一條閉合的、平滑的線。曲線以這樣一種方式繪制，它們圍繞著點(diǎn)而不接觸點(diǎn)。“理想的設(shè)計(jì)是由一條連續(xù)的線組成的”[1，第123頁;當(dāng)前作者的斜體字]。圖1顯示了滿足泰米爾理想的門庭設(shè)計(jì)示例。這些圖紙顯示了一個(gè)[圖l(a)]，兩個(gè)[圖l(b, c)]或四個(gè)[圖1 (d)]雙邊對(duì)稱。然而，還有其他傳統(tǒng)的門庭設(shè)計(jì)不符合泰米爾標(biāo)準(zhǔn)，因?yàn)樗鼈冇蓛蓷l、三條或更多重疊的封閉路徑組成。圖2(a)顯示了一個(gè)例子，由三條獨(dú)立的閉合線組成[圖2(b-d)]。根據(jù)萊亞德的說法，這些設(shè)計(jì)“絕對(duì)代表了一種藝術(shù)發(fā)展的精神……，但在技術(shù)上退化了”[1，第149頁;當(dāng)前作者的斜體字]。他們是“仿制品”；它們可能只會(huì)給人一種由一條“永不結(jié)束”的曲線構(gòu)成的印象。這種退化真的是因?yàn)槲茨軇?chuàng)造出更復(fù)雜的、單一的閉線設(shè)計(jì)嗎?

圖1：泰米爾門庭地畫由一條“永不結(jié)束”的曲線組成。

在本文中，將提出另一個(gè)假設(shè)：Layard分析的由“多條永無止境的線”構(gòu)成的大多數(shù)設(shè)計(jì)是最初單一閉合路徑圖形的退化版本。

pavitram圖案的分析與重建

由一條“永不結(jié)束”的線組成的圖案通常被稱為pavitram，意思是“環(huán)”和“梵天之結(jié)”。“pavitram的目的是嚇走巨人、惡靈或魔鬼”[1,p. 138]。圖2(a)中的設(shè)計(jì)雖然由三條疊加的封閉路徑組成，但卻被稱為pavitram，這不是很奇怪嗎?是否有可能構(gòu)造一個(gè)與圖2(a)相當(dāng)相似但只由一條線組成的設(shè)計(jì)?

圖2：pavitram設(shè)計(jì)組成的三個(gè)重疊的封閉路徑。

一方面，該設(shè)計(jì)的外部顯示出90°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱[參見圖3(a)]，但是另一方面，內(nèi)部僅顯示出180°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱[參見圖3(b)]。我們?nèi)绾蜗齼?nèi)在和外在之間的不一致？

圖3：pavitram設(shè)計(jì)的外部和內(nèi)部。

垂直上有兩條“sinoidal”曲線繞中心旋轉(zhuǎn)[圖2(a)與圖4(a)比較]。如果在水平上發(fā)生同樣的情況[見圖4(b)]，那么就有可能完成一個(gè)設(shè)計(jì)[圖4(c)]，不僅顯示90°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(從左邊或右邊看，從底部或頂部看，圖形始終保持相同)，而且類似于pavitram[圖2(a)]。而且，設(shè)計(jì)[圖4(c)]只由一條封閉的光滑路徑組成!

圖4：重建pavitram設(shè)計(jì)

這兩種設(shè)計(jì)，Layard報(bào)道的設(shè)計(jì)[圖2(a)]和作者重建的設(shè)計(jì)[圖4(c)]僅在兩個(gè)細(xì)節(jié)上不同，如圖5所示。當(dāng)在圖4(c)中曲線段在P和Q中如此接近，以至于它們幾乎接觸時(shí)，它們可能產(chǎn)生P和Q構(gòu)成交點(diǎn)的錯(cuò)誤印象，如圖5(a)所示。

圖5：區(qū)別

圖4(c)的單閉合線設(shè)計(jì)可能是原始設(shè)計(jì)。所報(bào)道的多條閉合線圖案[圖2(a)]是圖4(c)的退化，是由例如不清楚的繪圖或不精確的記憶引起的一代代傳承不足的結(jié)果。因?yàn)椤皼]有試圖保存圖案。地畫被踐踏后就找不到了”[1，第123頁]，非常容易失傳。

第二個(gè)例子

圖6(a)所示的未命名門庭設(shè)計(jì)由五條閉合曲線組成[圖6(b)]，顯示了90°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。人們可能會(huì)認(rèn)為這種圖案的原型是由一條封閉的線構(gòu)成的，并且顯示出同樣的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。通過在每一側(cè)消除一個(gè)“假”結(jié)，如前面的例子(結(jié)P和Q)，四個(gè)設(shè)計(jì)變成可能的原始圖案(見圖7)。

圖6：由五條閉合曲線組成的未命名門庭設(shè)計(jì)。

圖7：四種可能的原始圖案。

轉(zhuǎn)換規(guī)則

在推進(jìn)其他傳統(tǒng)泰米爾門庭設(shè)計(jì)的重建之前，似乎應(yīng)該分析一下當(dāng)引入或消除連接時(shí)，從一種圖案傳遞到另一種圖案時(shí)，閉合線的數(shù)量會(huì)發(fā)生什么變化。由于連接點(diǎn)可以通過連接兩條不同的曲線來引入，也可以通過連接同一條線的兩個(gè)部分來引入，因此必須區(qū)分兩種情況。在第一種情況下，行數(shù)減少了1。在另一種情況下，這個(gè)數(shù)字增加了1。由于連接點(diǎn)可能由同一曲線的兩個(gè)交叉部分構(gòu)成，也可能由兩條不同的交叉曲線構(gòu)成，當(dāng)考慮到連接點(diǎn)的消除時(shí)，還會(huì)出現(xiàn)另外兩種(相反的)情況。現(xiàn)在，行數(shù)在第一種情況下增加了1，但在后一種情況下減少了。表1總結(jié)了轉(zhuǎn)換規(guī)則。

在重建pavitram設(shè)計(jì)的例子中，我們應(yīng)用了規(guī)則4兩次。在第二個(gè)示例中，同樣的規(guī)則被使用了四次，將總行數(shù)從五行減少到一行。

重建“玫瑰花灑”和“搖擺板”設(shè)計(jì)

我們現(xiàn)在給出變換規(guī)則1的兩個(gè)應(yīng)用。“玫瑰花灑”設(shè)計(jì)[見圖8(a)]由四條閉合曲線組成[圖8(b-e)]。通過在垂直軸上的P、Q和R中引入接合點(diǎn)，可以獲得非常相似的設(shè)計(jì)(圖9)，僅由一個(gè)閉合路徑組成。

圖8：“玫瑰水灑”設(shè)計(jì)，由四條封閉曲線組成。

圖9：重建“玫瑰花灑”設(shè)計(jì)。

圖10所示的“搖擺板”門庭設(shè)計(jì)由三條疊加的“無止境”線構(gòu)成。當(dāng)人們現(xiàn)在在水平對(duì)稱軸上的S和T中創(chuàng)建連接時(shí)，由單個(gè)閉合曲線構(gòu)成的可能的原始圖案出現(xiàn)(見圖11)。

圖10：“搖擺板”設(shè)計(jì)。

圖11：重構(gòu)“搖擺板”設(shè)計(jì)。

圖12：重構(gòu)“搖擺板”設(shè)計(jì)。第二種可能

重現(xiàn)PAVITRAM設(shè)計(jì)

如圖6(a)所示，我們將未命名的門庭設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)換為一個(gè)封閉的線條圖案，通過應(yīng)用規(guī)則4消除了四個(gè)連接點(diǎn)。“逆”過程也是可以實(shí)現(xiàn)的：規(guī)則1可以引入四個(gè)新的結(jié)點(diǎn)。如圖13和14所示，有兩種可能性，以這種方式，最終的設(shè)計(jì)顯示出與圖6(a)相同的90°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，并且僅由一條“永無止境”的線形成。圖14(b)中的閉合路徑構(gòu)成了這種未命名門庭設(shè)計(jì)的另一個(gè)可能的原型[圖6(a)]，因?yàn)閮煞N圖案仍然相當(dāng)相似。令人驚訝的是，圖13(b)與我們的鋪層設(shè)計(jì)[圖2(a)]的重建圖[圖4(c)]相同，但沒有邊緣裝飾。在這種形式下，該圖案可以很容易地被擴(kuò)展，正如在簡要提及泰米爾設(shè)計(jì)傳統(tǒng)中固有的擴(kuò)展概念后所顯示的那樣。

圖13：通過引入P Q R和S中的連接進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

圖14：通過U, V, W和Z的連接進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

門庭設(shè)計(jì)的擴(kuò)展

圖15所示的由單一閉合曲線制成的泰米爾門庭設(shè)計(jì)在結(jié)構(gòu)上非常相似。兩者都可以被認(rèn)為是“矩形”圖案(見圖16 ),在不是矩形頂點(diǎn)的那些邊界點(diǎn)處具有“圓形”裝飾。在這個(gè)意義上，圖15(b)可以被稱為圖15(a)的可能擴(kuò)展或概括。圖17構(gòu)成了下一步。

圖15(a) (b)：兩個(gè)相關(guān)的門庭設(shè)計(jì)。

圖16：“矩形”圖案。

圖17：擴(kuò)展的下一步。

圖18(a)是圖15(a)所示泰米爾設(shè)計(jì)的另一種可能的擴(kuò)展。反過來，這種圖案已被用作“搖籃”門庭設(shè)計(jì)的一個(gè)組成部分，如圖18(b)所示。我們之前分析過的精心制作的“搖擺板”圖案(圖10-12)可以被認(rèn)為是圖19所示的單個(gè)閉合線元素的并置和部分疊加，因此是其延伸。

圖18：建筑的“搖籃”門庭設(shè)計(jì)。

圖19：單個(gè)閉合線元素

圖20所示的梵天結(jié)的原始形狀，由四條閉合的光滑曲線構(gòu)成，可以很容易地重建。如圖21所示，在其中心附近拉長曲線段是足夠的。如果我們將這個(gè)重建的梵天結(jié)與圖22所示的傳統(tǒng)泰米爾門庭設(shè)計(jì)進(jìn)行比較，我們的假設(shè)就更加可信了。兩者都“服從”相同的幾何算法。圖23(b)顯示了這兩個(gè)圖案的進(jìn)一步擴(kuò)展，這次每個(gè)正方形邊有8個(gè)點(diǎn)。這些閉合曲線是由四個(gè)“分支”以這樣一種方式建立起來的，兩個(gè)連續(xù)的分支相對(duì)于水平或垂直軸是對(duì)稱的。

圖20：梵天結(jié)。

圖21：重建梵天結(jié)。

圖22：另一種泰米爾傳統(tǒng)設(shè)計(jì)。

圖23：(a)幾何算法的說明。(b)進(jìn)一步延伸。

重建的pavitram設(shè)計(jì)的擴(kuò)展

還原重建的pavitram[圖13(b)]的圖案可以很容易地?cái)U(kuò)展，如圖24中p = 9和p = 17的情況所示，其中p表示方形參考系一側(cè)的點(diǎn)數(shù)。如圖25所示，在p = 13的情況下，設(shè)計(jì)的1 / 4的圖紙非常清楚地表明，乍一看，相當(dāng)復(fù)雜的設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)是一個(gè)相對(duì)簡單的幾何算法。完成每個(gè)四分之一后，轉(zhuǎn)過拐角，重復(fù)畫。這解釋了最終設(shè)計(jì)[圖13(b)和24(a,b)]顯示的90°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。不只是擴(kuò)展的正方形圖案是可能的。圖26顯示了非正方形擴(kuò)展17 x 9，其中17表示第一行中的圓點(diǎn)數(shù)量，9表示第一列中的圓點(diǎn)數(shù)量。一般來說，設(shè)計(jì)可以擴(kuò)展到所有矩形參考系(4m + 1)x (4n + 1)，其中m和n表示任意自然數(shù)。所有擴(kuò)展版本都可以被認(rèn)為是由部分重疊的“單元”構(gòu)建而成的。細(xì)胞為無邊框裝飾的重構(gòu)pavitrarn設(shè)計(jì)[圖13(b)]。部分重疊的意思是兩個(gè)相鄰的單元格有一個(gè)共同的點(diǎn)行(或列)。圖27顯示了重建的9 x 9的pavitraman設(shè)計(jì)的擴(kuò)展部分，包括邊界裝飾。

圖24：(a) 9 × 9擴(kuò)展。(b) 17 × 17擴(kuò)展。

圖25：幾何算法以13 × 13為例說明

圖26：17 x 9擴(kuò)展

圖27：重建的pavitram設(shè)計(jì)的延伸

梵天結(jié)

“梵天結(jié)”通常只指由單一“永不結(jié)束”的線條構(gòu)成的某些設(shè)計(jì)。而圖28所示的梵天結(jié)，是由五條疊加的閉合曲線構(gòu)成的(見圖29)。此外，由于這五個(gè)點(diǎn)中有兩個(gè)穿過點(diǎn)P和點(diǎn)Q，而不是包圍它們，我們?cè)谶@里很可能不處理原來的圖案。重新發(fā)現(xiàn)原始泰米爾設(shè)計(jì)的線索似乎在于外圍封閉曲線[圖29(a)]。是否有可能修改這條曲線，使其也能“填充”點(diǎn)正方形網(wǎng)格的內(nèi)部?

圖28：梵天結(jié)

圖29：(a)周邊良好。(b)同一曲線兩次。第一個(gè)穿過P，第二個(gè)穿過q (c)相同的曲線兩次，在設(shè)計(jì)的頂部和底部。

在外圍線的每一側(cè)，相同的“環(huán)”(見圖30)重復(fù)三次。如果每個(gè)“邊”上只有一個(gè)或兩個(gè)這樣的環(huán)會(huì)發(fā)生什么？在第一種情況下(圖31)，單一的“永無止境”曲線“填滿”參考正方形。雖然在第二種情況下沒有發(fā)生這種情況[圖32(a)]，但是通過引入四次與回路非常相似的元素，正方形網(wǎng)格可以被“填充”[圖32(b)]，并且我們已經(jīng)在圖6(c，d)中遇到過。現(xiàn)在，如果在S、T、U和V中應(yīng)用變換規(guī)則1，則獲得具有圖32(d)所示的水平和垂直對(duì)稱軸的設(shè)計(jì)，該設(shè)計(jì)僅由一條平滑的閉合路徑組成。由這些連接引入的分支[圖32(e)]對(duì)泰米爾傳統(tǒng)來說并不陌生，因?yàn)槲覀円郧霸凇懊倒寤ⅰ痹O(shè)計(jì)中見過它們(圖8)，它們也出現(xiàn)在重建和擴(kuò)展的pavitram圖案中(特別參見圖25)。在每邊有三個(gè)環(huán)的情況下，使用相同的幾何算法，可以得到圖33的雙對(duì)稱圖案，這可能是最初的梵天結(jié)。

圖30：一個(gè)環(huán)。

圖31：每個(gè)“邊”都有一個(gè)環(huán)。

圖32：相反的圖案

圖33：重建梵天結(jié)。

靈感的來源

圖29(a)的外圍閉合曲線具有垂直和水平對(duì)稱軸。可以改變兩個(gè)相對(duì)側(cè)上的環(huán)的方向，使得新的外圍線出現(xiàn)(圖34)。這個(gè)顯示了90度的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。圖35顯示了每側(cè)一個(gè)環(huán)路的情況。圖36和37示出了在每側(cè)有兩個(gè)和三個(gè)環(huán)的情況下，當(dāng)“填滿”內(nèi)部時(shí)可以獲得的延伸。所有這些曲線都是平滑的、單一的“永無止境”的線。

圖34：顯示90°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的新外圍線。

圖35：每“側(cè)”一個(gè)環(huán)。

圖36：第一次延伸

圖37：第二次延伸

讓我們回到圖14(b)，用a表示這個(gè)設(shè)計(jì)。通過這個(gè)圖案在其垂直對(duì)稱軸周圍的反射，我們可以得到如圖38(b)所示的設(shè)計(jì)(表示形式-A)。如果一個(gè)元素現(xiàn)在按照方案連接兩個(gè)A和兩個(gè)-A元素

這樣，兩個(gè)相鄰的“單元格”有一個(gè)共同的點(diǎn)行(或列)邊界，你會(huì)發(fā)現(xiàn)有趣的單封閉路徑設(shè)計(jì)，如圖39所示，具有水平和垂直對(duì)稱軸。如果將它的5 × 5中心“隔離”，就會(huì)得到另一個(gè)“永不結(jié)束”的單線圖[圖40(a)]。設(shè)B表示這個(gè)設(shè)計(jì)。通過B在其對(duì)角線周圍的反射，可以得到圖40(B)(表示BT)。通過根據(jù)以下方案構(gòu)造類似的設(shè)計(jì)

你會(huì)發(fā)現(xiàn)圖41中的單線圖案。5 × 5中心的隔離使我們?cè)俅位氐綀D案A。

圖38：(a) A. (b) -A。

圖39：根據(jù)以下方案構(gòu)造的單閉合曲線

圖40：(a)B. (b) B T。

圖41。根據(jù)該方案構(gòu)建的單閉合曲線

許多其他變化是可能的。

總結(jié)

Layard的研究所基于的大多數(shù)門庭地畫設(shè)計(jì)都于1923年在馬德拉斯出版。當(dāng)時(shí)，在瑪加利收獲月期間，泰米爾人在自家門前畫圖案的傳統(tǒng)正在衰落。我們分析的設(shè)計(jì)，由多個(gè)“永無止境”的曲線組成，是最初單一封閉線條圖案的“退化”版本。這些圖案不是“從天上掉下來的”；它們不是“偶爾”被發(fā)現(xiàn)的。恰恰相反。系統(tǒng)分析導(dǎo)致了他們的發(fā)明。已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了變換規(guī)則和幾何算法。雙邊對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的概念變得根深蒂固。它們的發(fā)明者發(fā)展了(或拋棄了)清晰的擴(kuò)展和概括思想。他們構(gòu)建的設(shè)計(jì)必須滿足特定的選擇標(biāo)準(zhǔn)，如“單一性”、連續(xù)性、平滑性和對(duì)稱性。

我們的分析揭示了導(dǎo)致泰米爾門庭設(shè)計(jì)的傳統(tǒng)的高度數(shù)學(xué)潛力。進(jìn)一步研究它的起源和對(duì)印度(或其他地方)數(shù)學(xué)(和藝術(shù))發(fā)展的可能影響似乎是必要的。此外，造成上述“退化”的社會(huì)、教育和技術(shù)因素，即不符合單一閉合線圖案文化標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計(jì)的發(fā)展，值得進(jìn)一步研究。在某些情況下[例如圖6(a)]“退化”可能有助于記憶。

參考文獻(xiàn)

1. J. Layard, Labyrinth ritual in South India: threshold and tattoo designs. Folk-Lore 48, 115-182 (1937).

2. P. Gerdes, Zum erwachenden geometrischen Denken. Eduardo Mondlane Univ., Maputo (1985).

3. P. Gerdes, Reconstruction and extension of lost symmetries: examples from the Tchokwe of North-East Angola. Eduardo Mondlane Univ., Maputo (1988).

4. P. Gerdes, Ethnogeometrie: kulturanthropologische Beitriige zur Genese und Didaktik der Geometrie. Franzbecker Verlag, Bad Salzdetfurth 0988).

5. P. Gerdes, On possible uses of traditional Angolan sand drawings in the mathematics classroom. Educ. Stud. Math. 19, 3-22 (1988).

6. P. Gerdes, RECONSTRUCTION AND EXTENSION OF LOST SYMMETRIES: EXAMPLES FROM THE TAMIL OF SOUTH INDIA

青山不改，綠水長流，在下告退。

轉(zhuǎn)發(fā)隨意，轉(zhuǎn)載請(qǐng)聯(lián)系張大少本尊，聯(lián)系方式請(qǐng)見公眾號(hào)底部菜單欄。

掃一掃，關(guān)注微信公眾號(hào)“宇宙文明帶路黨”