基于2n=p+q的藝術(shù)品

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

1742年6月7日，克里斯蒂安·哥德巴赫(Christian Goldbach)給萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)寫了一封信，指出任何大于4的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)的和。哥德巴赫的猜想是一個(gè)跳板，為我提供了創(chuàng)作一系列藝術(shù)品的靈感。受這個(gè)簡單語句啟發(fā)而生成的圖案是密鋪圖案，具有偶數(shù)個(gè)密鋪，這些密鋪被劃分為兩個(gè)集合。每一組由素?cái)?shù)的拼塊組成。這些拼圖是底圖，用于使用傳統(tǒng)和非傳統(tǒng)材料構(gòu)建有趣的藝術(shù)品。

1. 介紹

參觀畫廊或博物館后，我經(jīng)常會(huì)有靈感。我的第一個(gè)繪畫老師告訴我，你不能等待靈感，但你必須工作。靈感來自工作，而不是等待。在這篇文章中描述的一系列藝術(shù)作品之前，我參加了AM98(1998年8月3-7日在加州大學(xué)伯克利分校舉行的藝術(shù)與數(shù)學(xué)會(huì)議)。我發(fā)現(xiàn)程序[1]和研討會(huì)很吸引人。會(huì)議結(jié)束后，成為一個(gè)有貢獻(xiàn)的參與者成為我的目標(biāo)。此后的很短一段時(shí)間里，我一直在尋找一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)概念，作為業(yè)余數(shù)學(xué)家，我可以為我的藝術(shù)目的而促進(jìn)和控制它。隨著時(shí)間的推移，這促使我開發(fā)了一個(gè)基于克里斯蒂安·哥德巴赫猜想的系統(tǒng)。在1742年6月7日寫給萊昂哈德·歐拉的信中，哥德巴赫提出，每個(gè)大于4的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)[2]的和。換句話說，每一個(gè)正偶數(shù)寫成2n的形式，其中n>2，可以表示為2n=p+q，其中p和q是奇質(zhì)數(shù)。歐拉試圖證明這個(gè)猜想，但從未成功。從那時(shí)起，數(shù)學(xué)家們就一直在為這個(gè)問題而苦苦掙扎。2000年3月20日，英國Faber and Faber出版公司發(fā)行了一本英文小說，這本小說最初于1992年以希臘文出版，[3]講述了一位數(shù)學(xué)家為了證明這個(gè)困難的猜想而浪費(fèi)了生命的故事。彼得羅斯叔叔和哥德巴赫猜想(Apostolos Doxiadis)的出版引發(fā)了一場慶祝其出版的比賽。在2000年3月20日至2002年3月20日期間，任何能夠證明哥德巴赫猜想的人都將獲得100萬美元的獎(jiǎng)金。這一挑戰(zhàn)是與美國布盧姆斯伯里出版社(Bloomsberry Publishing)聯(lián)合發(fā)布的，該出版社是該書的美國出版商[4]。沒有人領(lǐng)獎(jiǎng)。

當(dāng)上次報(bào)道時(shí)，哥德巴赫猜想已被驗(yàn)證為所有偶數(shù)，直到6×10^16[5]。這意味著，出于藝術(shù)目的，我可以使用任何我喜歡的偶數(shù)。經(jīng)過長時(shí)間的反復(fù)試驗(yàn)，我最終找到了將一個(gè)正方形劃分為32個(gè)全等三角形的方法，如圖1所示。我通過在紙上繪制對角線來構(gòu)建這個(gè)分區(qū)，首先將正方形的對角連接起來，然后將四個(gè)三角形進(jìn)行細(xì)分，即等分，得到八個(gè)三角形，并重復(fù)等分兩次，總共得到32個(gè)相等的45-45-90三角形(拼塊)。在確定了2n = 32后，因?yàn)?2 = 19 + 13，所以我將32個(gè)三角形分成兩組，分別由19個(gè)三角形和13個(gè)三角形組成，可以用于設(shè)計(jì)美術(shù)作品。圖2顯示了使用兩組三角形的正方形的第一個(gè)密鋪圖，其中黑色用于13組三角形，白色用于19組三角形。

圖1：一個(gè)分成32個(gè)全等三角形的正方形(1999)。

圖2：用三角形來密鋪正方形，用黑色來表示質(zhì)數(shù)13，用白色來表示質(zhì)數(shù)19

為了決定使用我的兩組三角形的正方形的哪一組可以為我提供有希望的設(shè)計(jì)可能性來制作圖紙，繪畫和組合，我將一個(gè)分割的正方形切割成三角形，這個(gè)正方形是用圖1所示的圖案放在一張深色的紙上的。通過將13個(gè)三角形以不同的方式放置在同樣分割的白色正方形紙上，我能夠選擇那些在視覺上吸引我的布局，以達(dá)到藝術(shù)目的。

下一步，我在同樣的黑白設(shè)計(jì)布局中畫了兩個(gè)正方形，然后又畫了兩個(gè)正方形，它們是最初設(shè)計(jì)的鏡像。這些是我用水粉畫的，水粉是一種不透明的水彩，用顏色來區(qū)分質(zhì)數(shù)13和19。以兩種不同的方式將四個(gè)著色的方塊組裝起來，以創(chuàng)建如圖3所示的模塊化繪畫。根據(jù)定義，正方形的所有邊都等長；因此，它們的邊緣對齊以允許多個(gè)重復(fù)的方案。當(dāng)使用兩個(gè)鏡像正方形的模塊時(shí)，可以產(chǎn)生更大的四個(gè)正方形的雙邊對稱設(shè)計(jì)。然而，由于我覺得對稱性妨礙了設(shè)計(jì)，我隨后安排了一些密鋪的方塊，通過使用四分之一圈旋轉(zhuǎn)來打破對稱性，如圖4和圖5所示。這就是我的收藏的起源，我稱之為“哥德巴赫密鋪”。在制作了這一系列廣泛的圖畫、繪畫和組合之后，我將它們分類，現(xiàn)在我將對它們進(jìn)行描述。

圖3：圖2中的四個(gè)密鋪的正方形以兩種不同的方式組合在一起，形成對稱的設(shè)計(jì)

圖4：向右轉(zhuǎn)四分之一圈

圖5：由于密鋪方塊的旋轉(zhuǎn)而造成對稱的破壞。請注意，當(dāng)正方形相遇時(shí)，會(huì)形成額外的幾何形狀

2. 分散排列

第一類我稱之為“分散排列”[6]。在這一類作品中，三角形的分布被分成幾組，當(dāng)幾個(gè)方塊拼接在一起時(shí)，提供了幾個(gè)與指定素?cái)?shù)相似的顏色或紋理的小形狀。注意，在圖5中，當(dāng)密鋪設(shè)計(jì)方塊連接在一起時(shí)，會(huì)形成額外的幾何形狀。通過視覺分組產(chǎn)生的節(jié)奏允許觀眾觀察到反復(fù)出現(xiàn)的圖像，如三角形，正方形，梯形和自由形成的形狀，當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)拼塊設(shè)計(jì)合并形成分散的排列。我覺得這些作品建立了一種平衡，讓眼睛在整個(gè)構(gòu)圖中尋找，在正式/對稱的平衡，非正式/不對稱的平衡和徑向平衡之間徘徊，因?yàn)樗鼈儗ΨQ地圍繞著一個(gè)中心點(diǎn)[7]，如圖6所示。當(dāng)在同一畫布上組合兩個(gè)以上不同的密鋪方形設(shè)計(jì)時(shí)，這一點(diǎn)也變得明顯。圖7顯示了三個(gè)示例，其中合并了幾個(gè)不同的密鋪方形設(shè)計(jì)。

圖6：使用單個(gè)密鋪正方形的多個(gè)副本的分散排列組合，10×10英寸

圖7：三個(gè)分散的排列示例，每個(gè)10×10英寸，使用四個(gè)不同的密鋪正方形

3.緊密排列

第二類，我稱之為“緊密排列”[6]，仍然基于32 = 13 + 19的分解，但是在緊密排列中，在密鋪正方形的最終設(shè)計(jì)中只有兩個(gè)可辨別的形狀是明顯的。通過合并幾個(gè)這樣的密鋪方塊，我形成了一個(gè)網(wǎng)格，通過強(qiáng)調(diào)密鋪方塊相遇的邊緣，而不是分散排列中明顯的形狀互鎖的形成。圖8顯示了使用九個(gè)密鋪的正方形形成的網(wǎng)格示例。

圖8：緊密排列

我使用直邊在畫布上繪制和標(biāo)記我的設(shè)計(jì)中的單個(gè)密鋪方形，但是一旦圖案到位，就會(huì)用取自大自然的紋理來創(chuàng)造視覺上的刺激，包括種子、葉子、干花、豆莢和果皮，以及在典型的藝術(shù)用品商店中發(fā)現(xiàn)的顏色和其他紋理的應(yīng)用。這些材料的使用不會(huì)掩蓋基本的設(shè)計(jì)，而是在膠水的幫助下，增強(qiáng)和固化它。圖9和圖10展示了另外兩個(gè)緊密排列的例子。

圖9：緊密排列，丙烯帆布畫，64×54英寸

圖10：緊密排列，48×48英寸；帆布上的亞麻雕版印花、彩色油墨、種子、珠子、織物、橘皮

4.方形排列

對于我稱之為“方形排列”的類別，基本設(shè)計(jì)已經(jīng)改變。我從一個(gè)7×6英寸的矩形開始，將它分割成42個(gè)相等的正方形，即拼塊，通過將這些正方形分成兩組分別代表31 + 11或23 + 19的正方形來進(jìn)一步區(qū)分它們。我通過在矩形的每個(gè)邊界上測量和標(biāo)記一英寸的線段，然后用手畫出連接相對標(biāo)記的線來構(gòu)建這個(gè)分區(qū)。注意，在圖11中，黑色用來表示質(zhì)數(shù)11，白色用來表示質(zhì)數(shù)31，而在圖12中，黑色用來表示質(zhì)數(shù)19，白色用來表示質(zhì)數(shù)23。圖13提供了由利用正方形排列的單個(gè)密鋪矩形的多個(gè)副本組成的完整藝術(shù)品的圖示。

圖11：用黑色表示質(zhì)數(shù)11或白色表示質(zhì)數(shù)31的正方形來密鋪一個(gè)矩形

圖12：用黑色表示質(zhì)數(shù)19或白色表示質(zhì)數(shù)23的正方形在矩形上密鋪

圖13：方形排列；鏡子，薄紙，絕緣板，木薯淀粉和石膏帆布，28 × 24英寸

5.六邊形排列

將一個(gè)六邊形分割成2n個(gè)等邊三角形，其中2n等于54，奇素?cái)?shù)和為17 + 37或23 + 31，這是“六邊形排列”的推動(dòng)力[6]。我通過在我的電腦上“點(diǎn)擊并拖動(dòng)”將54個(gè)等邊三角形組合成一個(gè)六邊形來構(gòu)建這個(gè)分區(qū)。每個(gè)六邊形的分區(qū)由54個(gè)等邊三角形組成。圖14和15分別展示了我使用的兩個(gè)六邊形排列的兩個(gè)例子。它們類似于分散排列中的密鋪，因?yàn)橛袃蓚€(gè)以上可辨別的形狀是明顯的，并且當(dāng)加入顏色時(shí)變得更加明顯，如圖16和17所示。

圖14：用三角形來密鋪六邊形，用黑色表示質(zhì)數(shù)17，用白色表示質(zhì)數(shù)37

圖15：用三角形來密鋪六邊形，用黑色表示質(zhì)數(shù)23，用白色表示質(zhì)數(shù)31

圖16：六邊形排列使用顏色來增強(qiáng)視覺效果

圖17：昆蟲掛件采用六邊形排列，如圖18所示

圖17顯示了兩種不同顏色的六邊形排列。對于我利用六邊形排列的設(shè)計(jì)，我已經(jīng)通過合并它們的邊或通過關(guān)聯(lián)來自由地排列它們。出于藝術(shù)目的，使用多種合適的設(shè)計(jì)來合并邊是有用的。即使單個(gè)六邊形排列沒有合并，而是僅僅通過放置而相互關(guān)聯(lián)，也會(huì)產(chǎn)生額外的藝術(shù)可能性。圖18顯示了通過合并邊形成的兩個(gè)六邊形排列組合。在圖19和圖20中用于創(chuàng)建哥德巴赫瀑布的條帶上，當(dāng)印刷在紙上時(shí)，不是所有的單個(gè)六邊形排列都接觸，而是通過放置在紙條上和放置在雕塑的構(gòu)造中與設(shè)計(jì)相關(guān)聯(lián)。

圖18：六邊形排列組合使用一個(gè)密鋪六邊形的多個(gè)副本，8×10英寸

圖19：哥德巴赫瀑布，“六邊形排列”印在懸掛在支架上的半透明紙上，還有珠子、紐扣、線、織物等，8×3×2英尺

圖20：哥德巴赫瀑布的細(xì)節(jié)如圖19所示，請參見本圖彩色版本的插頁。

6. 觀察

我認(rèn)為我的設(shè)計(jì)方法類似于作家對語言的使用，其中單詞由相同的26個(gè)字母組成，但通過單詞的排列作為經(jīng)驗(yàn)的表達(dá)，在個(gè)人層面上陳述經(jīng)驗(yàn)和意圖。這些設(shè)計(jì)的簡單本質(zhì)挑戰(zhàn)了我構(gòu)建一個(gè)對我有美學(xué)意義的藝術(shù)品。回想起來，我也可以得出這樣的結(jié)論:我的藝術(shù)靈感從我小時(shí)候就躺在我的床上。我不否認(rèn)，生活中的一系列事件會(huì)影響一個(gè)人的作品，但當(dāng)我第一次開始創(chuàng)作《哥德巴赫拼塊》系列時(shí)，我從未有意識地考慮過我小時(shí)候母親縫的一塊塊絎縫毯子，或者我睡覺時(shí)鄰居縫的鋪在頂層的毯子。我現(xiàn)在想起它們是因?yàn)槲一诟绲掳秃詹孪氲淖髌焚x予了它們新的意義。

參考文獻(xiàn)

[1] AM98, 1998, Art and Math Conference, University of California Berkeley, Berkeley CA, 3–7 August.

[2] Guy, R.K., 1994, Unsolved Problems in Number Theory, 2nd edn, Vol. 1 (New York: Springer-Verlag), p. 105.

[3] Derbyshire, J., 2003, Prime Obsession (Washington, DC: Joseph Henry Press), p. 371.

[4] $1,000,000 Challenge to Prove Goldbach’s Conjecture, Faber and Faber. Available online at: http://webarchive. org/web2002080303574//www.faber.co.uk/faber/milliondollar.asp (accessed 17 March 2007).

[5] Oliveira de Silva, T., Verification of the Goldbach Conjecture up to 2 times 1016, NMBRYHRY@

listserve.nodak.edu mailing list, 24 March 2003. Available online at: http//listserv.nodak.edu/scripts/wa.ese?A2? ind0310&L?nmbryhry%P?168 (accessed 17 March 2007).

[6] Nau, S., 2006, Tiled artworks based on the Goldbach Conjecture. Paper presented at Bridges London: Bridges Mathematical Connections in Art, Music and Science Conference, London, UK, 4–9 August.

[7] Zelanski, P. and Fisher, M.P., 1994, The Art of Seeing, 3rd edn (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, Inc.), pp. 190–194.

[8] S. Nau, Artworks based on 2n=p+q

青山不改，綠水長流，在下告退。

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