2022年菲爾茲獎得主許埈珥

June Huh在大學的第六年之前對數學并不感興趣，直到一次偶然的機會改變了他。他將組合數學與幾何學深刻聯系起來的見解，為他贏得了數學領域的最高榮譽——2022年菲爾茲獎。

June Huh在他的普林斯頓大學辦公室。

June Huh常常會迷失方向。每天下午，他都會在普林斯頓大學校園里長時間散步，他是該校數學系的教授。在五月中旬的這一天，他正穿行于附近高等研究院周圍的樹林中——“只是想讓你知道，”他在考慮前方岔路口時說道，“我不知道我們在哪兒”——不時停下來，指出隱藏在樹葉下或樹后的野生動物的細微動作。在接下來兩個小時的漫步中，他發現了幾只青蛙、一只紅冠鳥、一只頂針大小的烏龜和一只動作敏捷的狐貍，每一種動物都得到了他靜靜的觀察。

“我很擅長發現東西，”他說，“這是我特殊的技能之一。”

39歲的Huh因其在數學領域的卓越貢獻榮獲菲爾茲獎，這是數學界的最高榮譽。他能夠在數學的廣闊天地中游走，找到恰當的對象，然后利用這些對象，讓看似截然不同的幾何學和組合數學以全新的、令人興奮的方式相互交流。從研究生階段開始，他就通過數學的其他分支，走了一條迂回的路線，解決了組合數學中的幾個重大問題，直擊每個證明的核心。每一次，找到這條路徑都像是“小小的奇跡”，Huh說。

他的數學之路同樣充滿了探索和一系列小小的奇跡。年輕時，Huh對成為數學家毫無興趣，對數學這門學科也漠不關心，甚至高中輟學去當詩人。直到大學時期的一次偶然相遇——以及許多迷失的時刻——他才發現數學一直是他所追尋的東西。

這段詩意的迂回之旅，對他的數學突破至關重要。同事們認為，他的藝術氣質體現在他能夠精準地發現工作中那些恰到好處的對象，以及他在所做的一切中追尋更深層次意義的方式。“數學家和藝術家很相似，我們都在追尋美。”舊金山州立大學的數學家、Huh的合作者Federico Ardila-Mantilla說，“但我覺得在他身上，這種特質尤為突出。我真的很喜歡他的品味，他創造的東西都很美。”

“當我得知他是在詩歌之后才投身數學時，我心想，這解釋得通了。”Ardila補充道。

Huh自己也將藝術家和數學家相提并論。他說，對于兩者而言，“感覺像是在抓住已然存在的東西，而非在腦海中創造什么。”

輟學生涯

在任何一天，Huh都會進行大約三個小時的專注工作。他可能會思考一個數學問題，或者準備給學生上課，或者為他的兩個兒子安排醫生預約。“然后我就筋疲力盡了，”他說，“做一些有價值、有意義、有創造性的事情——或者一件他并不想做的任務，比如安排那些預約——會消耗你大量的精力。”

聽他講述，在那三個小時里，他通常對決定專注于什么并沒有太多控制權。在2019年春天的幾個月里，他只是一直在閱讀。他有一種沖動，想要重溫他年輕時首次接觸的書籍——包括羅馬皇帝馬可·奧勒留的《沉思錄》和德國作家赫爾曼·黑塞的幾部小說——所以他這么做了。“這意味著我沒有做任何工作，”Huh說，“所以這有點成問題。”（不過，他現在已經接受這一限制了。“我過去試圖抵抗……但我終于學會向這些誘惑屈服。”結果，“我變得越來越擅長忽視截止日期。”）

Huh最近一次講座的筆記。

他發現，強迫自己做某件事或設定一個具體目標——即使是做自己喜歡的事情——也往往行不通。他發現，將自己的注意力從一件事情轉移到另一件事情上尤為困難。“我認為意圖和意志力……被高估了，”他說。“你很少能靠這些東西做成什么事。”

這種情況從他年輕時就開始了。他1983年出生在加利福尼亞，當時他的父母正在那里完成研究生學業。Huh兩歲左右時，全家搬到了韓國首爾。在那里，他的父親教授統計學，母親教授俄語語言文學。

上學對他來說是一種折磨。他熱愛學習，但在課堂上就是無法集中注意力，也無法吸收任何知識。相反，他更喜歡自己閱讀——在小學時，他讀完了關于生物的一套10卷百科全書——還喜歡探索他家公寓附近的一座山。他很快就對那座山的每一個角落都了如指掌，但有一次他還是迷了路，甚至誤入了一個可能有地雷的區域。

他總是盡量避免接觸數學。他的父親曾試圖用一本練習冊教他，但他并沒有嘗試解題，而是從書后抄答案。當他父親發現后撕掉了那些頁碼，他就去當地書店把答案抄下來。“他當時就放棄了，”Huh說。

16歲那年，他正讀高中一年級（韓國高中三年制），他決定輟學去寫詩。他當時是個浪漫主義者。“聽了好的音樂后，我可能會感動得流淚，”他說。他寫關于自然和自己經歷的詩。他計劃在必須上大學之前的兩年內完成他的杰作。“所以那沒實現，”他笑著說。

2002年進入首爾大學時，他感到迷茫。他曾短暫地想過成為一名科學作家，并決定主修天文學和物理學。但他經常逃課，不得不重修幾門課程。“我只是總體上很迷茫，”他說。“我不知道自己想做什么，也不知道自己擅長什么。”

結果證明他確實擅長數學——這是他完全偶然發現的。

真正的美 Huh花了六年時間才畢業。在第六年，他選修了日本著名數學家廣中平佑的課，后者在1970年獲得了菲爾茲獎。廣中平佑富有魅力，Huh很快就被他吸引住了。

但吸引Huh在第一天上課的不僅僅是教授的魅力。還有數學本身。表面上，這門課是代數幾何的入門，研究代數方程的解及其幾何性質。然而，廣中平佑講授的是他自己在奇點理論領域的工作，該領域關注某些類型的幾何空間。“基本上，他講的是他昨天思考的內容，”Huh說——非常具體的問題，以及未必正確的證明。這門最初有200名學生的課很快就人數銳減；幾周后，只剩下5名學生，Huh是其中之一。

他第一次目睹了數學研究的實時展開。廣中平佑的課不像其他本科課程那樣經過打磨，所有內容都經過精簡，答案早已確定。Huh喜歡這種懸念，嘗試做沒人真正知道如何做的事情——以及這種無知帶來的自由，可能的驚喜。他說，大學里通常教授的材料經過了幾個世紀的提煉。“這與親眼目睹這種原始數學的情況大不相同。”

Huh發現，這種數學研究能給予詩歌無法給予的東西：在自身之外探尋美的能力，嘗試把握某種外在、客觀且真實的東西，這種方式讓他比寫作更開放。“你不會考慮自己渺小的自我，”他說，“沒有自我存在的空間。”他發現，與當詩人時不同，他從未因渴望認可而受到驅使。他只是想做數學。

或許廣中平佑意識到了這一點，于是將他納入自己的門下。Huh畢業后，在首爾大學攻讀碩士學位，在那里他還遇到了 Nayoung Kim，她后來成為了他的妻子。在課間休息時，他常跟隨教授回到日本，在東京和京都與他同住，幫他提包，一起用餐，當然也繼續討論數學。

出乎意料的發現 Huh申請了美國大約十幾所大學的博士課程。但由于他本科階段的表現并不突出，除了一個學校外，其余都拒絕了他。2009年，他開始在伊利諾伊大學香檳分校學習，隨后在2011年轉到密歇根大學完成博士學位。

盡管面臨諸多挑戰——身處異國他鄉，與 Kim 分隔兩地（她在首爾大學攻讀數學博士學位）——Huh依然珍視他在研究生階段的經歷。他能夠全身心投入數學研究，并且享受探索帶來的自由，正是這種自由最初吸引了他。

他很快嶄露頭角。在伊利諾伊大學作為一名剛開始的研究生時，他證明了一個在圖論中開放了40年的猜想。在最簡單的形式下，這個問題被稱為Read’s conjecture，涉及與圖相關的多項式——例如n4 + 5n3 + 6n2 + 3n + 1。圖是由頂點（點）和邊（線）連接而成的集合。假設你想給圖的頂點上色，使得沒有兩個相鄰的頂點顏色相同。在給定一定數量的顏色的情況下，有許多方法可以給圖上色。結果發現，總的可能性數量可以通過一個稱為色多項式的方程來計算（該方程以所使用的顏色數量為變量）。

數學家們觀察到，無論圖如何，色多項式的系數似乎總是遵循某些模式。首先，它們是單峰的，即先增加后減少。以之前的多項式為例，其系數的絕對值——1、5、6、3、1——形成一個單峰序列。此外，該序列還是“對數凹”的。對于序列中的任意三個連續數字，中間數字的平方至少與它兩邊的數字的乘積一樣大。（例如，在上述多項式中，62 ≥ 5 × 3。）

涂色計數

在研究生階段，數學家June Huh證明了與圖相關的方程，即色多項式，滿足特定的性質。

色多項式

給定一個圖，你有多少種方法可以給它上色，使得沒有兩個相連的頂點顏色相同？給定n種顏色，圖的色多項式計算可能的上色方式數量。

小于5種顏色，這個圖不可被著色，方程等于0

當等于5種顏色時，這個圖可以被著色，共有120種方式。

盡管數學家們在證明這些性質方面遇到了困難，但Huh似乎從天而降，帶來了突破。

在攻讀碩士學位期間，他師從廣中平佑，研究代數幾何和奇點理論。該領域的研究對象主要是代數簇，可以視為由某些方程定義的形狀。有趣的是，某些代數簇與已知的對數凹數相關，Huh之所以知道這一點，是因為他的研究方向使然。Huh的關鍵想法是找到一種方法，構造一個代數簇，使得這些相關的數恰好是原問題中圖的色多項式的系數。

他的解決方案震驚了數學界。就在那時，密歇根大學在最初拒絕了他的申請后，開始招募他加入他們的研究生項目。

Huh的成就令人印象深刻，不僅僅因為他解決了長期以來看似完全無法解決的Read’s conjecture。他還揭示了圖的組合性質之下隱藏著更深層次的、幾何性質。

數學家們對他的風度也印象深刻。他在會議上的演講總是通俗易懂、具體實在；與他交談時，可以明顯感受到他對所研究概念的深刻而廣泛的思考。“對于一個研究生來說，他成熟得令人難以置信，”佐治亞理工學院的數學家Matthew Baker說。Baker第一次見到他時，“我只是想知道，這家伙到底是誰？”

據Mircea Musta??，Huh在密歇根大學的導師說，他幾乎不需要任何監督或指導。與大多數研究生不同，他已經有了自己的研究計劃，并且對如何推進這個計劃有自己的想法。“他更像是一個同事，”Musta??說，“他已經有自己獨特的視角。”

他的許多合作者都提到，他非常謙遜、平易近人。當他得知自己獲得了菲爾茲獎時，“感覺并不那么好，”Huh說，“當然，你會高興，但內心深處，你又有點擔心，他們可能最終會發現，你其實并沒有那么優秀。我是一個相當不錯的數學家，但我真的值得獲得菲爾茲獎嗎？”

從空間中逃脫 圖實際上只是可以定義更一般結構——擬陣——的一種對象。例如，考慮二維平面上的點。如果平面中有超過兩個點位于一條直線上，你可以說這些點是“依賴的”。擬陣是抽象對象，捕捉了在各種不同上下文中，如圖、向量空間、代數域中的依賴和獨立概念。

什么是擬陣？ 擬陣是捕捉非相關性和相關性抽象概念的結構。這些概念出現在許多情境中，包括圖和點集。

非相關性：非相關邊的集合不構成一個閉合回路。非相關點的集合最多只有兩點共線。

相關性：相關性邊集構成一個回路；相關點集有三點共線。

如果滿足某些特定性質，擬陣將包含初始的元素集合 [fabcde] 以及所有獨立子集的集合。

就像圖有對應的色多項式一樣，擬陣也有對應的特征多項式。有人猜想，這些更一般的對象的多項式也應該具有對數凹的系數。然而，Huh用來證明Read猜想的技術只適用于非常狹窄的一類擬陣，比如從圖中產生的擬陣。

與數學家Eric Katz合作，Huh擴大了這類證明所適用的擬陣范圍。他們遵循某種策略，先從感興趣的擬陣出發，用它來構造一個代數簇。然后，他們可以提取出一個稱為上同調環的結構，并利用其某些性質來證明對數凹性。

只有一個問題：大多數擬陣沒有任何幾何基礎，這意味著實際上沒有一個代數簇可以與它們關聯。于是，Huh、Katz和數學家Karim Adiprasito想出了一種方法，直接從擬陣本身，從零開始寫出正確的上同調環。他們隨后用一套新的技術證明，這個上同調環表現得就像來自一個真正的代數簇，盡管它并非如此。通過這樣做，他們證明了所有擬陣的對數凹性，徹底解決了被稱為Rota猜想的問題。“它能奏效，真是相當了不起。”貝克說。

這項工作表明，“你不需要空間來做幾何，”Huh說，“這讓我從根本上重新思考幾何到底是什么。”它還引導他走向許多其他問題，他繼續推動這一想法，使他能夠發展出更廣泛的方法。

但盡管這項工作需要大量的具體操作，構建正確的上同調環卻需要大量的猜測和在黑暗中摸索。這是Huh特別享受的工作方面之一。“沒有指導原則……沒有明確定義的目標，”他說，“你只需要做出猜測。”

Huh的工作涉及研究擬陣的性質。這些抽象結構有時可從幾何對象中產生。

Caroline Gutman 為《量子雜志》拍攝 這種缺乏意圖的狀態，恰好映照了他在日常生活中最高效的工作方式。就像他發現了一套與他個性完美契合的數學研究模式。Huh說，他再次發現“事情會自然而然地發生”。

事物的核心 Huh說話緩慢，常常停頓，小心翼翼地選擇用詞，舉止平靜祥和，近乎冥想。與Huh在多個重要項目上合作過的威斯康星大學麥迪遜分校數學家王博童表示：“他不會輕易興奮。”

他在做數學時同樣有條不紊。王博童初次目睹時十分震驚。“我有數學競賽的經驗，認為數學家必須聰敏、迅速，”他說，“但June恰恰相反。……如果你和他聊五分鐘微積分問題，會覺得他連資格考都過不了。他非常慢。”事實上，慢到王博童最初以為他們在簡單問題上浪費了太多時間。但后來他意識到，Huh是在更深層次地學習，甚至看似簡單的概念——而這正是后來證明有用的方式。

“June喜歡以正確的方式做事，”安大略省西部大學數學家、Huh的合作者格雷厄姆·丹納姆說。

例如，丹納姆、阿爾迪拉和Huh剛完成一份50頁的、與羅塔猜想密切相關的證明，Huh卻建議花更多時間尋找更簡潔、更吸引人的方法。他認為存在更優的解釋，不應倉促。丹納姆說：“我和Federico心想，好吧，那我們就把之前的成果扔掉吧。”

花了兩年時間打磨出更優的論證。“我們都有終身教職，這很好，”阿爾迪拉說。但最終，阿爾迪拉和丹納姆都認為額外的努力是值得的。阿爾迪拉說：“我們的最終成果完全不同，更加深入，直擊事物的核心。”

這種方法不僅適用于Huh的數學研究。2013年，他決定學習烹飪。作為完全的新手，他采用每天做同一道菜——簡單的油煮意大利面——直到完美的策略。在六個月內，他確實這樣做了。（據Kim說，到目前為止，這是他唯一會做的菜。）

Huh的整個生活建立在例行公事之上。“我幾乎所有的日子都完全一樣，”他說。“我對重復有很高的容忍度。”他難以保持睡眠，通常在凌晨3點左右醒來。然后他去健身房鍛煉，和妻子及兩個兒子（一個8歲，另一個剛滿1歲）吃早餐，送大兒子上學，然后前往普林斯頓的辦公室。

辦公室很簡單，幾乎空無一物。有一張大書桌，一張用于午睡的沙發——Huh通常在上午晚些時候小睡一會兒——還有一張鋪在地上的瑜伽墊（他說只是用來躺著的；他其實不會瑜伽）。沒有書籍，只有幾疊文件整齊地放在一面墻的架子上。角落里有一臺吸塵器。Huh喜歡重復的、無需動腦的活動，比如打掃、洗碗，以及將他讀到的內容抄寫到筆記本中的過程。

他經常在公共圖書館的兒童區工作，那里相當吵鬧。“我不喜歡安靜的地方，”他說。“那會讓我犯困。”Huh對很多事情都有這樣的看法。

每天午餐后，他會去散步，然后回到辦公室繼續工作（除非他已經達到了三小時的工作量），之后回家。他和家人一起度過剩下的晚上時光；他們大約在晚上9點一起睡在一張大床上。

這種對例行公事的偏好——以及偏離它的任何事情都會讓他感到疲憊——有時會以極端的方式表現出來。例如，在密歇根完成博士學位時，“我會幾乎切斷其他一切事物，”Huh說。當他剛搬到安娜堡時，他發現自己沒有準備好應對嚴酷的冬天。他幾乎沒有行李，需要一條毯子。但當他查到如何到達當地商場時，他發現這在物流上太困難了。“這超出了我的容忍限度，”他說。“我不想浪費我的腦力去弄清楚如何從這里到那里。”相反，他走到附近的CVS藥店，買了10塊布料和一個巨大的訂書機，把布料訂在一起做成了一條毯子。

他連續數月靠冷凍披薩為生，因為不想處理采購雜貨和做飯的事。他只想做數學。他將那段時間描述為“幾乎修道士般的生活”。當時，他每周真的只和另一個人——他的導師穆斯塔塔——說一次話。

Kim回憶起Huh還在伊利諾伊州時去拜訪他，她說：“從那之后，我真得重新考慮了我們的關系。‘我應該嫁給他嗎？因為他[沒有]處理現實生活技能、生存技能的能力。’”

然而，她還是在2014年嫁給了他。他們搬到了普林斯頓，在那里兩人開始在高等研究院工作。這是Kim第一次在美國生活，她覺得用英語處理某些事情很不自在；她不得不依靠Huh來完成一些事情。“我們只能說，她很失望，”他說。

那年晚些時候，Kim生下了他們的第一個兒子Dan。在分娩過程中，她發現Huh在做數學。

“我的妻子是一個比我更平衡的人，”他說。“生活有很多方面，而數學只是其中非常、非常、非常小的一部分。”

“我是一個真正的工人，”Kim說。“他是一個思想家。”

但她補充說，Huh從那以后有了很大的改進。隨著兩人撫養Dan，“我學會了如何過一種更平衡的生活，”Huh說。“那是一段具有改變性的時期。”他花了很多時間和Dan在一起——和他一起畫畫，在Dan為他設計的復雜的數學工作簿上解題，帶他去書店和其他當地場所。他甚至會處理Kim讓他做的后勤任務，盡管是不情愿的。“我還是不喜歡，”他說，“但我的意思是，我們不能只靠訂書釘固定的毯子生活。”

現在，他甚至能夠從數學中抽身。當他處于空閑狀態時，他的思緒不再回到解決問題上，當他需要做其他事情時，他能夠休息。

“他是一個完全不同的人，”Kim說。

頂部較重 盡管如此，有些事情并沒有改變。Huh每天仍然只能鼓足精力工作幾個小時。“其他人工作一個小時，就休息五分鐘，”Kim說。“他呢，是一個小時做點別的事，然后集中精力五分鐘、十分鐘。”

他對美的追求也沒有改變。而且他常常回到關于對數凹性或類似概念的問題，作為挖掘美的方式。

例如，他和王以及其它合作者最近證明了一個關于點、線、平面配置的基本問題，即所謂的道林-威爾遜“頂部較重”猜想。假設在平面上有一組有限的點，其中每對點都由一條線連接。數學家保羅·埃爾德什和尼古拉斯·戈弗特·德布魯因指出，線的數量必須總是大于或等于點的數量（除非所有點都位于一條線上）。例如，考慮四個點排列在一個正方形的四個角上。線不僅勾勒出正方形的邊，還連接了對角線，總共形成了六條線。

頂部較重的猜想推廣了這一觀點。假設在某個高維空間中有一組點，考慮連接這些點對的所有線，由三個點張成的平面，由四個點構成的三維子空間，依此類推。現在考慮由這些數字構成的一個序列：點的數量，線的數量，平面的數量。比較這個序列中對稱位置上的數字（第一個和最后一個，第二個和倒數第二個，依此類推）。對應更高維空間的數字將至少和低維的一樣大——也就是說，這個序列是頂部較重的。（這個序列也被推測是對數凹的，但這一點尚未得到證明；到目前為止，Huh和王已經證明了這個序列的前半部分是單峰的。）

Huh和王借鑒了Huh在羅塔猜想上的研究思路，但在此過程中，他們需要將這一方案進一步拓展。他們再次用到了擬陣、代數簇和上同調環。然而，此次他們需要找到的代數簇存在奇點，即當你聚焦于空間的某處時，它呈現出與其他位置不同的樣貌。這使得構建合適的上同調環空間、證明其性質變得極為復雜，更不用說在沒有代數簇作為指引的情況下，直接從擬陣構造這些上同調環了。

在解決這個問題的五年間，Huh還開始探索一種與幾何徹底決裂的方法。此前，他的大量工作都涉及構建問題所需的精確上同調這一艱巨任務。而且，一旦找到上同調，數學家們仍需證明它滿足某些特定性質，這同樣可能耗費數年時間。

他與數學家佩特·布蘭登共同開發的新理論，成功地繞過了這些傳統方法。該理論使他們得以解決一個名為“強梅森猜想”（涉及擬陣中獨立集數量的問題）的難題，其他數學家也已利用它更直接地重新證明了羅塔猜想。更為重要的是，這一新理論為發現全新的數學問題打開了大門，為所有這些對數凹性陳述的真實性提供了更深層次的解釋線索，并且以一種剛剛開始被探索的有趣方式與理論計算機科學中的問題產生了交集。

對于Huh來說，當他工作時，有一種幾乎是潛意識里的東西在運作。事實上，他通常無法追溯自己的想法是如何以及何時出現的。他沒有突如其來的頓悟。相反，“在某個時刻，你只是突然意識到，哦，我知道了，”他說。也許上周他還不理解某件事，但現在，在沒有任何額外輸入的情況下，這些碎片已經在他毫無察覺的情況下各就各位了。他將其比作你在夢中時，大腦如何出其不意地給你驚喜，創造出意想不到的聯系。“人類的大腦所能做的事情真是令人驚嘆，”他說。“承認我們不知道正在發生的事情，這也很不錯。”

或許這也體現出了他內心深處的藝術家氣質。他希望能夠繼續在數學的不同領域之間發現意想不到的聯系。

“他只是遵循著他最初的那個計劃的愿景……當他還是研究生時就已經有了這個計劃，”貝克說。“將會非常有趣地去見證它的極限在哪里。”

到目前為止，Huh還沒有觸碰到這些極限。而數學家們確信他會繼續創造美好的事物。

當被問及是否會重新拾起他早期藝術家自我的想法，再次嘗試寫詩時，他聳了聳肩。“也許吧。但我不知道，”他說。“我現在全身心地投入在別的事情上。”