線性代數學閱讀指南｜從“線性結構”到“科學思維的骨架”

導語

為了幫助大家更好地學習這門基礎學科，我們特別整理了線性代數課程主講諸葛昌靖老師與拓撲學課程主講金威老師的閱讀書單。兩套體系各有側重：前者從系統科學與應用直覺切入，而后者則從數學思想與結構的本質展開。它們共同構成了一份完整的學習地圖。

諸葛昌靖老師推薦

《線性代數的幾何意義》——任廣千、謝聰、胡翠芳

一本非常適合“快速重溫”或建立直觀結構感的書。用向量空間的幾何圖像解釋線性變換、特征值、正交分解等主題，語言清爽、例子直觀。這本書自學、重溫或者作為教學的參考都很合適。

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《線性代數導引》——馮琦

從數理邏輯家的視角寫作的線性代數教材。在具體的數學概念前，解釋清楚了數學的核心規范和思維方式。說明了作為“嚴謹性”的代表，數學是確保自身正確性以及數學語言背后的底層邏輯。特別適合去理解“代數”學科理論的建構方式。

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《代數學引論》——許以超

經典的教科書，有很大的篇幅是線性代數的內容，同時包括解析幾何的內容。有很多有意思的例題。我自己本科時期非常受益的一本書。近年來出版了根據此書修改而成的《線性代數與矩陣論》。

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《高等代數學》——張賢科、許甫華

同樣經典的教科書，特別是這本書的習題以及參考文獻。此外，這本書還有配套的習題集。

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《代數學基礎》——張英伯

這本書在很多細節處理上比較易讀，在數學的意義上盡量從具體之處幫助理解。

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《數值線性代數》——徐樹方、高立、張平文

需要注意，本次課程重點是闡述線性代數中的概念及其在自然科學和工程技術中的應用。線性代數自身還有一個重要領域，就是如果把理論和概念具體計算出來，這就是數值線性代數以及矩陣計算，對這方面感興趣的朋友可以參考徐樹方、高立、張平文編著《數值線性代數》。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/21267860/

《線性模型引論（第二版）》——吳密霞、王松桂

此外，線性代數在統計學、運籌學和最優化、理論計算機科學中也有具有重要的應用。這些領域內蘊的發展需要，也產生了利用線性代數的語言刻畫的數學結果。例如，在統計學領域吳密霞、王松桂編著《線性模型引論（第二版）》（書籍鏈接： https://book.douban.com/subject/37458175/ ）、Charu C. Aggarwal著《線性代數與優化》（書籍鏈接： https://book.douban.com/subject/37443576/，原版鏈接： https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-030-40344-7 ）就包含很多由數理統計和運籌學激發的對于矩陣等問題的研究。

從矩陣計算算法和統計優化應用等多個角度去理解線性代數中的概念，能幫助我們注意到一些純理論概念學習中可能會忽略的要點。應用和理論的發展是互利共生的。

金威老師推薦

線性代數（數學院系一般稱為“高等代數”）理論主要研究有限維線性空間，其觀點可以延伸到無限維。顧名思義，它將空間/形象/幾何思維（“線性”）和時間/邏輯-計算/代數思維（“代數”）結合到一起，所以對學習者而言二者的結合和轉換尤為重要。線性空間理論的代數觀點又可分為計算觀點（求解線性方程組、矩陣變換打洞等）和抽象結構觀點（線性空間和線性變換等），而幾何角度則主要是抽象概念所對應的幾何觀點和直覺，這三種視角的交織就構成了線性代數理論的主干。所以對應的講法也有幾種，多數教材均選擇從求解線性方程組開始，逐漸導向抽象的線性空間理論，這種講法比較直觀。而少數教材則是先定義抽象的線性空間和線性變換，再將解線性方程組和矩陣、行列式等內容作為其應用，這種講法相對較抽象，更適合相應思維類型的讀者。此外，此門課程的內容還包括基本的多項式理論。

《高等代數》——丘維聲

首先推薦北京大學丘維聲教授所寫的《高等代數》（兩卷本，多次再版） ，此書從高中時期即熟知的求解線性方程組這個實際問題出發，逐漸展開全部線性代數理論。此書深入淺出，講述了不少動機，示例和習題較多。其簡寫版是丘教授的一卷本《簡明線性代數》，一般供非數學專業的讀者使用。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/34778837/

《代數學》——101計劃

此外國內還有不少類似的教材，比如最近出版的101計劃中的《代數學》（五卷本，第一卷）

書籍鏈接：https://math101.pku.edu.cn/hxjc/qb/a486ddd669bd4014806c0aed33dfb53e.htm

《代數學引論》（前兩卷）——柯斯特利金

蘇聯方面，柯斯特利金的《代數學引論》（前兩卷）很不錯，其第一卷從實際問題引入，比較具體，而第二卷主要從抽象線性空間觀點研究，讀者可以根據實際需要選讀。此書對我國幾十年來的線性代數教學體系產生過很大影響。作者是蘇聯著名數學家，還著有《線性代數與幾何》等，但該書似無中譯版。(書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/2036531/)

《線性代數可以這樣學》——Sheldon Axler

美國也有不少好書，例如Sheldon Axler的《線性代數可以這樣學》和 P.D.Lax的《線性代數及其應用》等。后者的作者是阿貝爾獎、沃爾夫數學獎得主，又是美國科朗所教授，因此其觀點貫穿理論與應用，此書發揮了線性代數中的諸多專題，不過內容更深一些，適合作為進階讀物。

書籍鏈接：

https://book.douban.com/subject/3715623/

書籍鏈接：

https://book.douban.com/subject/3309541/

《代數學基礎》——沙法列維奇

在代數學（抽象代數）方面，線性代數更深刻的理論基礎，可以參考沙法列維奇的《代數學基礎》。此書從問題和動機角度介紹眾多的代數結構。作者在數論、代數幾何等領域頗有成就，與柯爾莫哥洛夫和蓋爾范德并列為蘇聯數學三巨頭。

書籍鏈接：https://mall.hep.com.cn/goods-8805.html

《代數學引論》——李文威

李文威教授十分熱心于中文數學寫作，且觀點較高，故需要讀者具有“較高的數學上的成熟性”。

學術主頁：https://wwli.asia/index.php/zh/

《線性代數講義》——李思

清華李思教授在他的主頁https://sili-math.github.io/上發布了線性代數講義，其內容十分豐富，除線性代數基本理論外，還涉及線性代數在線性微分方程、矩陣群、線性規劃和博弈論、量子論中的應用等相關專題。該講義用于清華大學的課程教學，不斷更新，值得一讀。

網頁鏈接： https://sili-math.github.io/

《高等數學引論》四卷本——華羅庚

在應用方面，還可參考數值線性代數（也稱為“數值代數”）和矩陣論方面的書籍，主要涉及一些數值算法和矩陣分解等，它們在系統科學、復雜性科學，和量子信息與量子計算、人工智能等領域非常重要。同時也可參考華羅庚教授的著作《高等數學引論》四卷本（該書由中國科技大學數學系在上世紀50年代的“一條龍”數學教學材料整理而成），線性代數理論在其中的第四卷。華老的視野貫穿基礎數學和應用數學領域，并且強調數學的內在統一性。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/3729143/

線性代數作為高等數學三大基礎課（微積分、線性代數、解析幾何）中代數學方向的入門課，可謂無處不在。例如，它可以直接應用到幾何學中的的解析幾何（比如用于二次曲面的分類）、微分幾何、代數幾何；分析學中的的實分析、復分析、常微分方程、泛函分析；代數學中的抽象代數和伽羅瓦理論、同調代數、代數群、代數表示論，以及代數拓撲、概率論和隨機過程等學科——此列表幾乎涉及所有高等數學分支，想深入的讀者可以根據自身需要，自行選擇相關參考資料。并且，學習好線性結構，對理解更復雜的非線性結構（比如常微分方程定性理論、動力系統、混沌理論、非線性動力學、范疇論和張量范疇等）也十分必要。

不論如何，我個人對數學學習的建議是從問題出發、主動學習。選擇參考書在精不在多，且每門課程可反復多次地滲透學習——數學基礎課尤其如此。

結語｜線性代數，是科研思維的第一性原理

線性代數不僅教授“矩陣運算”，還教會我們抽象世界的結構。它涉及：

• 如何把數據壓縮成向量

• 如何把系統的變化抽象為變換

• 如何在高維空間里尋找不變量

• 如何從譜結構中識別穩定性、協同作用與模式

無論是控制系統、分析網絡、做機器學習模型、推導量子態演化、構建統計模型……你總是在與線性結構打交道。希望這份書單能成為你學習路線圖中的一部分，讓你在向量空間、變換、特征結構與譜分解之中，看見現代科學世界的隱藏骨架

線性，是結構的起點；
代數，是思維的語言。

線性代數：一名合格科研人的筑基課

線性代數研究向量空間及其上的線性映射，是現代科學最通用、最具結構性的數學語言之一。它的核心對象——向量、矩陣、線性方程組、特征值與特征向量、內積空間——不僅是抽象的代數元素，更是描述狀態、關系、變換、對稱性與降維結構的基本工具。

在科研世界中，無論你研究的是人工智能、生物信息、網絡科學，還是物理與工程，幾乎所有復雜系統的建模與推理都指向同一種底層語言——線性代數。它不僅是計算公式的集合，更是一名科研人理解“結構”、刻畫“變換”、判斷“穩定性”、提取“信息”的基本思維框架。本課程以系統科學的視角重新解構線性代數，帶你越過技巧、直達本質，在跨學科的真實問題中建立起科研必備的數學基石。

集智學園聯合清華大學數學博士諸葛昌靖老師開設「線性代數：一名合格科研人的筑基課」，課程將于12月20日開啟，現在加入可享早鳥價格。

拓撲學課程：從空間直覺到系統科學

你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數學上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統中會出現周期軌、可約化結構和“奇怪吸引子”模式？為什么神經網絡、量子物理甚至心理結構，都可以從“拓撲”角度理解？

拓撲學不僅是數學的抽象分支，更提供了系統的思維方式，讓我們理解連續性、結構不變性乃至復雜系統的整體規律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結，從量子場論到思維科學與腦科學，拓撲學思想正在各學科中普遍而深刻地重塑著我們的認知方式。

集智學園聯合北京大學博士金威老師開設，課程將于11月23日開啟，現在加入可享早鳥價格。